Wat is lineêre vibrasie?

Lineêre vibrasie: Die elastisiteit van komponente in die stelsel is onderhewig aan die wet van Hooke, en die dempingskrag wat tydens die mosie gegenereer word, is eweredig aan die eerste vergelyking van die veralgemeende snelheid (tyd afgeleide van die algemene koördinate).

konsep

Lineêre stelsel is gewoonlik 'n abstrakte model van die vibrasie van die werklike stelsel. Die lineêre vibrasiestelsel pas die superposisiebeginsel toe, dit wil sê as die reaksie van die stelsel Y1 is onder die werking van inset X1, en Y2 onder die werking van inset X2, Dan is die reaksie van die stelsel onder die werking van inset X1 en X2 Y1+Y2.

Op grond van die superposisiebeginsel kan 'n arbitrêre inset in die som van 'n reeks oneindige impulse ontbind word, en dan kan die totale reaksie van die stelsel verkry word. Die som van die harmoniese komponente van 'n periodieke opwinding kan uitgebrei word tot 'n reeks harmoniese komponente deur Fourier -transformasie, en die effek van elke harmoniese komponent op die stelsel kan afsonderlik ondersoek word. Daarom is die responskenmerke van Lineêre stelsels met konstante parameters kan beskryf word deur impulsrespons of frekwensierespons.

Impulsrespons verwys na die reaksie van die stelsel op die eenheidsimpuls, wat die responskenmerke van die stelsel in die tyddomein kenmerk. deur die Fourier -transformasie.

klassifikasie

Lineêre vibrasie kan verdeel word in lineêre vibrasie van enkel-graad-van-vrye-stelsel en lineêre vibrasie van die multi-graad-van-vrye-stelsel.

(1) Lineêre vibrasie van 'n enkel-graad-van-vrye stelsel is 'n lineêre vibrasie waarvan die posisie bepaal kan word deur 'n veralgemeende koördinaat. Dit is die eenvoudigste vibrasie waaruit baie basiese konsepte en eienskappe van vibrasie afgelei kan word. Dit bevat eenvoudig Harmoniese vibrasie, vrye vibrasie, verswakking vibrasie en gedwonge vibrasie.

Eenvoudige harmoniese vibrasie: die wederkerende beweging van 'n voorwerp in die omgewing van sy ewewigsposisie volgens 'n sinusvormige wet onder die werking van 'n herstelkrag wat eweredig is aan die verplasing daarvan.

Gedempte vibrasie: vibrasie waarvan die amplitude voortdurend verswak word deur die teenwoordigheid van wrywing en diëlektriese weerstand of ander energieverbruik.

Gedwonge vibrasie: vibrasie van 'n stelsel onder konstante opwinding.

(2) Die lineêre vibrasie van die multi-graad-van-vrye-stelsel is die vibrasie van die lineêre stelsel met N≥2 grade van vryheid. 'N Stelsel van N-grade van vryheid het n natuurlike frekwensies en n hoofmetodes. Enige vibrasie-konfigurasie van die stelsel kan voorgestel word as 'n lineêre kombinasie van die belangrikste modusse. Daarom word die hoofmodus-superposisie-metode wyd gebruik in dinamiese responsanalise van multi-DOF stelsels. Op hierdie manier word die meting en ontleding van die natuurlike vibrasie-eienskappe van die stelsel 'n roetine-stap in die dinamiese ontwerp van die stelsel. Die dinamiese eienskappe van multi-DOF-stelsels kan ook deur frekwensie-eienskappe beskryf word. Aangesien daar 'n Frekwensie-kenmerkende funksie tussen elke inset en uitset, 'n frekwensie-kenmerkmatriks is gekonstrueer. Daar is 'n definitiewe verband tussen die frekwensie-kenmerk en die hoofmodus. Die amplitude-frekwensie-kenmerk Die kromme van die multi-vrye stelsel verskil van dié van die enkel-vrye stelsel.

Lineêre vibrasie van 'n enkele mate van vryheidstelsel

'N lineêre vibrasie waarin die posisie van 'n stelsel deur 'n algemene koördinaat bepaal kan word. Dit is die eenvoudigste en mees fundamentele vibrasie waaruit baie basiese konsepte en eienskappe van vibrasie afgelei kan word. Dit bevat eenvoudige harmoniese vibrasie, gedempte vibrasie en gedwonge vibrasie .

Harmoniese vibrasie

Onder die werking van die herstel van krag eweredig aan die verplasing, is die voorwerp op 'n sinusvormige manier naby die ewewigsposisie weer (Fig. 1) .x verteenwoordig die verplasing en T verteenwoordig die tyd. Die wiskundige uitdrukking van hierdie vibrasie is:

(1)Waar A die maksimum waarde van verplasing x is, wat die amplitude genoem word, en die intensiteit van die vibrasie voorstel; omega n is die amplitudehoekverhoging van die vibrasie per sekonde, wat die hoekfrekwensie genoem word, of die sirkelvormige frekwensie; word die aanvanklike fase genoem. In terme van f = n/2 word die aantal ossillasies per sekonde die frekwensie genoem; die omgekeerde hiervan, t = 1/f, is die tyd dat dit dit is Neem een ​​siklus ossilleer, en dit word die periode genoem. Amplitude A, frekwensie F (of hoekfrekwensie N), die aanvanklike fase, bekend as eenvoudige harmoniese trilling drie elemente.

Fig. 1 Eenvoudige harmoniese vibrasiekurwe

Soos getoon in Fig. 2, 'n Eenvoudige harmoniese ossillator word gevorm deur die gekonsentreerde massa M wat deur 'n lineêre veer gekoppel is. As die vibrasieverplasing uit die ewewigsposisie bereken word, is die vibrasievergelyking:

Waar is die styfheid van die veer. Die algemene oplossing vir bogenoemde vergelyking is (1) .a en kan bepaal word deur die aanvanklike posisie x0 en aanvanklike snelheid by t = 0:

Maar omega n word slegs bepaal deur die kenmerke van die stelsel self m en k, onafhanklik van die addisionele aanvanklike toestande, dus omega n staan ​​ook bekend as die natuurlike frekwensie.

Fig. 2 Enkele graad van vryheidstelsel

Vir 'n eenvoudige harmoniese ossillator is die som van sy kinetiese energie en potensiële energie konstant, dit wil sê die totale meganiese energie van die stelsel word bewaar. In die proses van vibrasie word kinetiese energie en potensiële energie voortdurend in mekaar omskep.

Die dempende vibrasie

'N Vibrasie waarvan die amplitude voortdurend verswak word deur wrywing en diëlektriese weerstand of ander energieverbruik. Vir mikro -vibrasie is die snelheid oor die algemeen nie baie groot nie, en die mediumweerstand is eweredig aan die snelheid van die eerste krag, wat geskryf kan word as C is is, is dit is is. die dempingskoëffisiënt. Daarom kan die vibrasievergelyking van een mate van vryheid met lineêre demping geskryf word as:

(2)Waar, m = c/2m word die dempparameter genoem, en die algemene oplossing van formule (2) kan geskryf word:

(3)Die numeriese verhouding tussen Omega N en Pi kan in die volgende drie gevalle verdeel word:

N> (in die geval van klein demping) deeltjie geproduseerde verswakking vibrasie, is die vibrasievergelyking:

Die amplitude neem mettertyd af volgens die eksponensiële wet wat in die vergelyking getoon word, soos aangetoon in die stippellyn in Fig. 3. Streng gesproke is hierdie vibrasie aperiodies, maar die frekwensie van sy piek kan gedefinieer word as:

Word die amplitude -reduksietempo genoem, waar is die periode van vibrasie. Die natuurlike logaritme van die amplitude -verminderingstempo word die logaritme minus (amplitude) tempo genoem. Dit is in hierdie geval gelyk aan 2/1. Direk deur die Eksperimentele toetsdelta en met behulp van bogenoemde formule kan bereken word c.

Op hierdie tydstip kan die oplossing van vergelyking (2) geskryf word:

Saam met die rigting van die aanvanklike snelheid, kan dit verdeel word in drie gevalle wat nie vibrasies is nie, soos getoon in Fig. 4.

N <(in die geval van groot demping), word die oplossing vir vergelyking (2) in vergelyking (3) getoon. Op hierdie punt vibreer die stelsel nie meer nie.

Gedwonge vibrasie

Vibrasie van 'n stelsel onder konstante opwinding. Vibrasie -analise ondersoek hoofsaaklik die reaksie van die stelsel op opwinding. Periodiese opwinding is 'n tipiese gereelde opwinding. Sedert periodieke opwinding kan altyd volgens die superposisiebeginsel in die som van verskeie harmoniese opwinding ontbind word, slegs volgens die superposisiebeginsel, slegs die reaksie van die stelsel op elke harmoniese opwinding is nodig. Onder die werking van harmoniese opwinding, die differensiële bewegingsvergelyking van 'n enkele mate van vryheid Gedempte stelsel kan geskryf word:

Die reaksie is die som van twee dele. Een deel is die reaksie van gedempte vibrasie, wat vinnig mettertyd verval. Die reaksie van 'n ander deel van gedwonge vibrasie kan geskryf word:

Fig. 3 gedempte vibrasiekurwe

Fig. 4 krommes van drie aanvanklike toestande met kritiese demping

Tik in die

H /F0 = H (), is die verhouding van bestendige responsamplitude tot opwindingsamplitude, karakteriseer amplitude-frekwensie-eienskappe, of winsfunksie; bisse vir 'n konstante toestand en aansporing van fase, karakterisering van fase frekwensie-eienskappe. Die verband tussen hulle en hulle en Opwindingsfrekwensie word in Fig. 5 en Fig. 6.

Soos gesien kan word uit die amplitude-frekwensie-kromme (Fig. 5), in die geval van klein demping, het die amplitude-frekwensie-kromme 'n enkele piek. Hoe kleiner die demping, hoe steiler die piek; die frekwensie wat ooreenstem met die piek is die resonante frekwensie van die stelsel genoem. In die geval van klein demping verskil die resonansfrekwensie nie veel van die natuurlike frekwensie nie. Wanneer die opwekkingsfrekwensie naby die Natuurlike frekwensie, die amplitude neem skerp toe. Hierdie verskynsel word resonansie genoem. By resonansie word die wins van die stelsel maksimeer, dit wil sê, die gedwonge vibrasie is die intensste. Daarom streef daar altyd daarna om resonansie te vermy, tensy sommige instrumente en toerusting om resonansie te gebruik om groot te bewerkstellig vibrasie.

Fig. 5 amplitude frekwensiekurwe

Kan gesien word uit die fase frekwensiekurwe (Figuur 6), ongeag die grootte van die demping, in omega -nulfase -verskilbits = PI / 2, kan hierdie eienskap effektief gebruik word om resonansie te meet.

Benewens 'n bestendige opwinding, kom stelsels soms ongestadigde opwinding voor. Dit kan ongeveer in twee soorte verdeel word: een is die skielike impak. Die tweede is die blywende effek van willekeur. Onder onstabiele opwinding is die reaksie van die stelsel ook onstabiel.

'N Kragtige instrument vir die ontleding van onstabiele vibrasie is die impulsresponsmetode. Dit beskryf die dinamiese eienskappe van die stelsel met die kortstondige respons van die eenheidsimpulsinvoer van die stelsel. Die eenheidsimpuls kan uitgedruk word as 'n delta -funksie. Inenieurswese, die delta Funksie word dikwels gedefinieer as:

Waar 0- die punt op die t-as wat nul van links nader, voorstel; 0 plus is die punt wat van regs na 0 gaan.

Fig. 6 Fase frekwensiekurwe

Fig. 7 Enige insette kan beskou word as die som van 'n reeks impulselemente

Die stelsel stem ooreen met die respons h (t) wat gegenereer word deur die eenheidsimpuls by t = 0, wat die impulsresponsfunksie genoem word. As u die stelsel stilstaan ​​voor die polsslag, h (t) = 0 vir t <0. weet Die impulsresponsfunksie van die stelsel, ons kan die reaksie van die stelsel op enige invoer x (t) vind. Op hierdie punt kan u aan x (t) beskou as die som van 'n reeks impulselemente (Fig. 7). Die reaksie van die stelsel is:

Op grond van die superposisiebeginsel is die totale reaksie van die stelsel wat ooreenstem met x (t):

Hierdie integraal word 'n omwentelingsintegraal of 'n superposisie -integraal genoem.

Lineêre vibrasie van 'n multi-graad-van-vrye stelsel

Vibrasie van 'n lineêre stelsel met N≥2 grade van vryheid.

Figuur 8 toon twee eenvoudige resonante substelsels wat deur 'n koppelingsveer gekoppel is. Omdat dit 'n twee-graad-van-vrye stelsel is, is twee onafhanklike koördinate nodig om die posisie daarvan te bepaal. Daar is twee natuurlike frekwensies in hierdie stelsel:

Elke frekwensie stem ooreen met 'n wyse van vibrasie. Die harmoniese ossillators voer harmoniese ossillasies uit met dieselfde frekwensie, wat sinchronies deur die ewewigsposisie beweeg en sinchronies die ekstreme posisie bereik. In die belangrikste vibrasie wat ooreenstem met Omega, is X1 gelyk aan X2; in in die Die belangrikste vibrasie wat ooreenstem met omega omega twee, omega omega een. In die belangrikste vibrasie hou die verplasingsverhouding van elke massa 'n sekere verhouding en vorm dit 'n sekere modus, wat die hoofmodus of die natuurlike modus genoem word. Die ortogonaliteit van massa en styfheid bestaan ​​onder die belangrikste modusse, wat die onafhanklikheid weerspieël van elke vibrasie. Die natuurlike frekwensie en hoofmodus verteenwoordig die inherente vibrasie-eienskappe van die multi-graad van vryheidstelsel.

Fig. 8 stelsel met veelvuldige grade van vryheid

'N Stelsel van N -grade van vryheid het N -natuurlike frekwensies en n hoofmetodes. Enige vibrasiekonfigurasie van die stelsel kan voorgestel word as 'n lineêre kombinasie van die belangrikste modusse. Daarom word die hoofmodus -superposisie -metode wyd gebruik in dinamiese responsanalise van multi -dof stelsels. Op hierdie manier word die meting en ontleding van die natuurlike vibrasie -eienskappe van die stelsel 'n roetine -stap in die dinamiese ontwerp van die stelsel.

Die dinamiese eienskappe van multi-DOF-stelsels kan ook deur frekwensie-eienskappe beskryf word. Aangesien daar 'n frekwensie-kenmerk is tussen elke inset en uitset, word 'n frekwensie-kenmerkende matriks gekonstrueer. Die amplitude-frekwensie-kenmerkende kromme van die multi-vrye stelsel is anders van dié van die enkel-vrye stelsel.

Die elastomeer vibreer

Bogenoemde multi -mate van vryheidstelsel is 'n benaderde meganiese model van elastomeer. 'N Elastomeer het 'n oneindige aantal grade van vryheid. Daar is 'n kwantitatiewe verskil, maar geen wesenlike verskil tussen die twee nie. Enige elastomeer het 'n oneindige aantal natuurlike frekwensies en 'n oneindige aantal ooreenstemmende modusse, en daar is ortogonaliteit tussen die massa -modusse en styfheid. Enige vibrasiekonfigurasie van die elastomeer kan ook voorgestel word as 'n lineêre superposisie van die belangrikste modusse. Daarom is die superposisie -metode van die hoofmodus nog steeds van toepassing vir dinamiese responsanalise van elastomeer (sien lineêre vibrasie van elastomeer).

Neem die vibrasie van 'n string. Laat sê dat 'n dun string massa m per lengte van die eenheid, lank L, aan beide ente gespan is, en die spanning is T.dat die natuurlike frekwensie van die string bepaal word deur die volgende Vergelyking:

F = Na/2L (n = 1,2,3…).

Waar, is die voortplantingsnelheid van die dwarsgolf in die rigting van die string. Die natuurlike frekwensies van die snare is toevallig veelvoude van die fundamentele frekwensie oor 2L. Hierdie heelgetalle multiplicity lei tot 'n aangename harmoniese struktuur. In die algemeen is daar geen Sulke heelgetal -veelvuldige verband tussen die natuurlike frekwensies van die elastomeer.

Die eerste drie modusse van die gespanne string word in FIG. 9. Daar is 'n paar nodusse op die hoofmodus -kromme. In die belangrikste vibrasie vibreer die nodusse nie. 10 toon verskeie tipiese modusse van die omtrek ondersteunde sirkelplaat met sommige nodale lyne wat bestaan ​​uit sirkels en diameters.

Die presiese formulering van die elastomeervibrasieprobleem kan as die grenswaardeprobleem van gedeeltelike differensiaalvergelykings gesluit word. Die presiese oplossing kan egter slegs in sommige van die eenvoudigste gevalle gevind word, dus moet ons die benaderde oplossing vir die komplekse elastomeer gebruik vibrasieprobleem. Die wese van verskillende benaderde oplossings is om die oneindige na die eindige te verander, dit wil sê om die ledemaatlose multi-graad te diskresseer van die vryheidstelsel (deurlopende stelsel) in 'n eindige multi-graad van vryheidstelsel (diskrete stelsel). Daar is twee soorte diskresiseringsmetodes wat wyd gebruik word in ingenieursanalise: eindige elementmetode en modale sintese-metode.

Fig. 9 modus van string

Fig. 10 modus van die sirkelplaat

Eindige elementmetode is 'n saamgestelde struktuur wat 'n komplekse struktuur in 'n eindige aantal elemente onttrek en dit met 'n eindige aantal nodusse verbind. Elke eenheid is 'n elastomeer; die verspreidingsverplasing van element word uitgedruk deur interpolasiefunksie van nodeverplasing. Verspreidingsparameters van elke element word in 'n sekere formaat aan elke knoop gekonsentreer, en die meganiese model van die diskrete stelsel word verkry.

Modale sintese is die ontbinding van 'n komplekse struktuur in verskillende eenvoudiger onderbou. Op grond van die begrip van die vibrasie -eienskappe van elke onderbou, word die onderbou tot 'n algemene struktuur gesintetiseer volgens die koördineringsvoorwaardes op die koppelvlak, en die vibrasie -morfologie van die Algemene Struktuur word verkry deur die vibrasie -morfologie van elke onderbou te gebruik.

Die twee metodes is verskillend en verwant, en kan as verwysing gebruik word. Die modale sintese -metode kan ook effektief gekombineer word met die eksperimentele meting om 'n teoretiese en eksperimentele analise -metode vir die vibrasie van groot stelsels te vorm.