ما هو الاهتزاز الخطي؟

الاهتزاز الخطي: تخضع مرونة المكونات في النظام لقانون هوك ، وقوة التخميد التي تم إنشاؤها أثناء الحركة تتناسب مع المعادلة الأولى للسرعة المعممة (المشتق الزمني للإحداثيات المعممة).

مفهوم

عادةً ما يكون النظام الخطي نموذجًا تجريديًا للاهتزاز النظام الحقيقي. ينطبق نظام الاهتزاز الخطي على مبدأ التراكب ، أي إذا كانت استجابة النظام Y1 تحت إجراء الإدخال X1 و Y2 تحت عمل الإدخال x2 ، ثم استجابة النظام تحت عمل الإدخال X1 و X2 هي Y1+Y2.

على أساس مبدأ التراكب ، يمكن أن تتحلل المدخلات التعسفية في مجموع سلسلة من النبضات اللانهائية ، ثم يمكن الحصول على الاستجابة الكلية للنظام. سلسلة من المكونات التوافقية عن طريق تحويل فورييه ، وتأثير كل مكون متناسق على النظام يمكن التحقيق فيه بشكل منفصل. لذلك ، فإن خصائص الاستجابة للأنظمة الخطية مع ثابت يمكن وصف المعلمات عن طريق استجابة الدافع أو استجابة التردد.

تشير استجابة الدافع إلى استجابة النظام إلى الدافع للوحدة ، والتي تميز خصائص استجابة النظام في المجال الزمني. تشير استجابة التردد إلى خاصية الاستجابة للنظام إلى المدخلات التوافقية للوحدة. يتم تحديد المراسلات بين الاثنين من خلال تحويل فورييه.

تصنيف

يمكن تقسيم الاهتزاز الخطي إلى اهتزاز خطي لنظام من الدرجة المفردة والاهتزاز الخطي لنظام متعدد الدرجات.

(1) الاهتزاز الخطي لنظام واحد من الدرجة من الدرجة الأولى هو اهتزاز خطي يمكن تحديد موضعه من خلال إحداثي معمم. إنه أبسط اهتزاز يمكن من خلاله استخلاص العديد من المفاهيم والخصائص الأساسية للاهتزاز. الاهتزاز التوافقي ، الاهتزاز الحر ، الاهتزاز التوهين والاهتزاز القسري.

الاهتزاز التوافقي البسيط: الحركة المتبادلة لكائن في محيط موضع التوازن وفقًا لقانون الجيوب الأنفية بموجب عمل قوة استعادة تتناسب مع نزوحها.

الاهتزاز المغطى: الاهتزاز الذي يتم تخفيف سعةه باستمرار من خلال وجود الاحتكاك والمقاومة العازلة أو غيرها من استهلاك الطاقة.

الاهتزاز القسري: اهتزاز نظام تحت الإثارة المستمرة.

(2) الاهتزاز الخطي لنظام متعدد الدرجات من الحرية هو اهتزاز النظام الخطي بدرجات N≥2 من الحرية. من النظام يمكن تمثيله كمزيج خطي من الأوضاع الرئيسية. يصبح قياس وتحليل خصائص الاهتزاز الطبيعي للنظام خطوة روتينية في التصميم الديناميكي للنظام. يمكن أيضًا وصف الخصائص الديناميكية للأنظمة المتعددة DOF بواسطة خصائص التردد. الإخراج ، يتم إنشاء مصفوفة مميزة للتردد. هناك علاقة محددة بين خاصية التردد والوضع الرئيسي يختلف عن نظام فرد الحديد.

الاهتزاز الخطي لدرجة واحدة من نظام الحرية

الاهتزاز الخطي الذي يمكن فيه تحديد موضع النظام من خلال إحداثي معمم. إنه أبسط وأكثر اهتمامات أساسية يمكن من خلالها استخلاص العديد من المفاهيم والخصائص الأساسية للاهتزاز. ويشمل الاهتزاز التوافقي البسيط والاهتزاز المغطى والاهتزاز القسري .

الاهتزاز التوافقي

في ظل عمل استعادة القوة التي تناسب الإزاحة ، فإن الكائن بالمثل بطريقة الجيوب الأنفية بالقرب من موضع التوازن (الشكل 1) .x يمثل الإزاحة ويمثل الوقت. التعبير الرياضي لهذا الاهتزاز هو:

(1)عندما يكون A هو الحد الأقصى لقيمة الإزاحة X ، والتي تسمى السعة ، وتمثل شدة الاهتزاز ؛ أوميغا ن هي زيادة زاوية السعة في الاهتزاز في الثانية ، والتي تسمى التردد الزاوي ، أو التردد الدائري ؛ هذا ؛ يطلق عليه المرحلة الأولية. في شروط f = n/2 ، يسمى عدد التذبذبات في الثانية التردد ؛ عكس هذا ، t = 1/f ، هو الوقت الذي يستغرقه تذبذب دورة واحدة ، والتي تسمى الفترة.

تين. 1 منحنى الاهتزاز التوافقي البسيط

كما هو مبين في الشكل. 2 ، يتم تشكيل مذبذب التوافقي البسيط بواسطة الكتلة المركزة M متصلة بواسطة زنبرك خطي. وعندما يتم حساب إزاحة الاهتزاز من موضع التوازن ، فإن معادلة الاهتزاز هي:

أين تصلب الربيع. الحل العام للمعادلة أعلاه هو (1) .A ويمكن تحديده بواسطة الموضع الأولي x0 والسرعة الأولية عند t = 0:

ولكن لا يتم تحديد أوميغا ن إلا من خلال خصائص النظام نفسه M و K ، بغض النظر عن الظروف الأولية الإضافية ، لذلك يُعرف أوميغا N أيضًا باسم التردد الطبيعي.

تين. 2 درجة واحدة من نظام الحرية

بالنسبة لمذبذب التوافقي البسيط ، يكون مجموع طاقته الحركية والطاقة الكامنة ثابتة ، أي أن الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام محفوظة. في عملية الاهتزاز ، تتحول الطاقة الحركية والطاقة المحتملة باستمرار إلى بعضها البعض.

الاهتزاز التخميد

الاهتزاز الذي يتم تخفيف سعةه باستمرار عن طريق الاحتكاك والمقاومة العازلة أو استهلاك الطاقة الآخر معامل التخميد. لذلك ، يمكن كتابة معادلة الاهتزاز لدرجة واحدة من الحرية مع التخميد الخطي على النحو التالي:

(2)حيث ، يسمى m = c/2m المعلمة التخميد ، ويمكن كتابة الحل العام للصيغة (2):

(3)يمكن تقسيم العلاقة العددية بين أوميغا N و PI إلى الحالات الثلاث التالية:

n> (في حالة التخميد الصغير) التي تنتج جسيمات الاهتزاز التوهين ، معادلة الاهتزاز هي:

تتناقص سعةها مع مرور الوقت وفقًا للقانون الأسي الموضح في المعادلة ، كما هو موضح في الخط المنقط في FIG. 3. بالمعنى المحدد ، فإن هذا الاهتزاز هو عابر ، ولكن يمكن تعريف تواتر ذروتها على النحو التالي:

يطلق عليه معدل تقليل السعة ، حيث تكون فترة الاهتزا دلتا الاختبار التجريبي ، وباستخدام الصيغة أعلاه يمكن حساب ج.

في هذا الوقت ، يمكن كتابة حل المعادلة (2):

جنبا إلى جنب مع اتجاه السرعة الأولية ، يمكن تقسيمها إلى ثلاث حالات عدم التهوية كما هو موضح في FIG. 4.

N <(في حالة التخميد الكبير) ، يظهر حل المعادلة (2) في المعادلة (3). في هذه النقطة ، لم يعد النظام يهتز.

الاهتزاز القسري

يبحث اهتزاز نظام تحت الإثارة المستمرة. يحقق تحليل المعايرة بشكل أساسي استجابة النظام للإثارة. الإثارة المعتاد هي الإثارة المعتادة النموذجية. يمكن دائمًا أن يتحلل الإثارة الدورية إلى مجموع العديد من الإثارة التوافقية ، وفقًا لمبدأ التراكب ، فقط. مطلوب استجابة النظام لكل إثارة متناسقة. تحت عمل الإثارة التوافقية ، يمكن كتابة المعادلة التفاضلية لحركة درجة واحدة من الحرية المخففة:

الاستجابة هي مجموع جزأين. جزء واحد هو استجابة الاهتزاز المغطى ، الذي يتحلل بسرعة مع مرور الوقت. يمكن كتابة استجابة جزء آخر من الاهتزاز القسري:

تين. 3 منحنى الاهتزاز المغطى

تين. 4 منحنيات من ثلاثة شروط أولية مع التخميد الحرجة

اكتب في

H /F0 = H () ، هي نسبة سعة الاستجابة الثابتة إلى سعة الإثارة ، وتوصيف خصائص التردد السعة ، أو وظيفة الكسب ؛ بتات استجابة الحالة الثابتة وحافز الطور ، وتوصيف خصائص تردد الطور. العلاقة بينهما و يظهر تردد الإثارة في FIG. 5 و FIG. 6.

كما يتضح من منحنى التردد السعة (الشكل 5) ، في حالة التخميد الصغير ، فإن منحنى التردد السعة ذروة واحدة. وأصغر التثبيت ، كلما كان الذروة أكثر حدة ؛ التردد المقابل للذروة يسمى تردد الرنين للنظام. في حالة التخميد الصغير ، لا يختلف تردد الرنين عن التردد الطبيعي. عندما يكون تردد الإثارة قريبًا من الطبيعة التردد ، يزيد السعة بشكل حاد. تسمى هذه الظاهرة الرنين. في الرنين ، يتم زيادة كسب النظام ، أي أن الاهتزاز القسري هو الأكثر كثافة. لذلك ، بشكل عام ، تسعى دائمًا إلى تجنب الرنين ، ما لم يكن بعض الأدوات والمعدات لاستخدام الرنين لتحقيق كبير اهتزاز.

تين. 5 منحنى تردد السعة

يمكن أن نرى من منحنى تردد الطور (الشكل 6) ، بغض النظر عن حجم التخميد ، في بتات الفرق في أوميغا صفر = PI / 2 ، يمكن استخدام هذه الخاصية بشكل فعال في قياس الرنين.

بالإضافة إلى الإثارة المستمرة ، تواجه الأنظمة في بعض الأحيان إثارة غير مستقرة. يمكن تقسيمها تقريبًا إلى نوعين: الأول هو التأثير المفاجئ. والثاني هو التأثير الدائم للتعسف. تحت الإثارة غير المستقرة ، فإن استجابة النظام غير مستقرة أيضًا.

أداة قوية لتحليل الاهتزاز غير المستقر هي طريقة الاستجابة الدافعة. يصف الخصائص الديناميكية للنظام مع الاستجابة العابرة لمدخلات الدافع للوحدة للنظام. يمكن التعبير عن دافع الوحدة كدالة دلتا. غالبًا ما يتم تعريف الوظيفة على النحو التالي:

حيث يمثل 0- النقطة على المحور T الذي يقترب من الصفر من اليسار ؛ 0 Plus هي النقطة التي تصل إلى 0 من اليمين.

تين. منحنى تردد المرحلة 6

تين. 7 يمكن اعتبار أي مدخلات مجموع سلسلة من العناصر الدافعة

يتوافق النظام مع الاستجابة H (t) التي تم إنشاؤها بواسطة وحدة الدافع في t = 0 ، والتي تسمى وظيفة الاستجابة الدافعة. وظيفة الاستجابة الدافعة للنظام ، يمكننا العثور على استجابة النظام لأي إدخال x (t). في هذه النقطة ، يمكنك التفكير في x (t) كمجموع لسلسلة من العناصر الدافعة (الشكل 7) الاستجابة من النظام هو:

بناءً على مبدأ التراكب ، فإن الاستجابة الكلية للنظام المقابلة لـ X (T) هي:

يسمى هذا التكامل بما يتكامل في الالتفاف أو تكامل تراكب.

الاهتزاز الخطي لنظام متعدد الدرجات

اهتزاز نظام خطي مع N≥2 درجات من الحرية.

يوضح الشكل 8 نظامين فرعيين بسيطين من الرنين المتصلان بنابض اقتران. لأنه هو نظام من درجتين من الدرج ، هناك حاجة إلى إحداثيان مستقلان لتحديد موقعه. هناك ترددان طبيعيان في هذا النظام:

كل تردد يتوافق مع طريقة الاهتزاز. تقوم المذبذبات التوافقية بتنفيذ التذبذبات التوافقية لنفس التردد ، ويمر بشكل متزامن من خلال موضع التوازن والوصول إلى الموضع القصير. الاهتزاز الرئيسي الذي يتوافق مع أوميغا أوميغا اثنان ، أوميغا أوميغا واحد. في الاهتزاز الرئيسي ، نسبة الإزاحة من كل كتلة تحافظ على علاقة معينة وتشكل وضعًا معينًا ، والذي يسمى الوضع الرئيسي أو الوضع الطبيعي. يوجد تعامد الكتلة والصلابة بين الأوضاع الرئيسية ، مما يعكس استقلال كل اهتزاز. خصائص الاهتزاز المتأصلة لنظام الحرية متعدد الدرجات.

تين. 8 نظام بدرجات متعددة من الحرية

يحتوي نظام من درجات الحرية n على ترددات طبيعية n والأوضاع الرئيسية -DOF.

يمكن أيضًا وصف الخصائص الديناميكية للأنظمة المتعددة DOF من خلال خصائص التردد. خلال فترة تكرار مميزة بين كل إدخال ومخرجات ، يتم إنشاء مصفوفة مميزة للتردد. من نظام فرد العمل.

الاهتزاز يهتز

إن نظام الحرية المتعدد أعلاه هو نموذج ميكانيكي تقريبي من المطاطية. إن المطاطية لديها عدد لا حصر له من درجات الحرية. هناك فرق كمي ولكن لا يوجد فرق أساسي بين الاثنين. هناك عدد لا حصر له من الأوضاع المقابلة ، وهناك متعامد بين أوضاع الكتلة والتصلب تراكب خطي للأوضاع الرئيسية. لذلك ، للاطلاع على تحليل الاستجابة الديناميكية من المطاطية ، لا تزال طريقة التراكب في الوضع الرئيسي قابلة للتطبيق (انظر الاهتزاز الخطي من المطاط).

خذ اهتزاز سلسلة. دعنا قل أن سلسلة رقيقة من الكتلة M لكل وحدة طول ، طويلة L ، تتوتر في كلا الطرفين ، والتوتر هو T.at هذه المرة ، يتم تحديد التردد الطبيعي للسلسلة حسب ما يلي معادلة:

f = na/2l (n = 1،2،3 ...).

حيث ، هي سرعة انتشار الموجة المستعرضة على طول اتجاه السلسلة. إن الترددات الطبيعية للسلاسل تصادف أن تكون مضاعفات التردد الأساسي على 2L. هذا التعدد الصحيح يؤدي إلى بنية توافقية ممتعة. هذه العلاقة المتعددة عدد صحيح بين الترددات الطبيعية من المطاطية.

يتم عرض الأوضاع الثلاثة الأولى من السلسلة المتوتر في الشكل. 9. هناك بعض العقد على منحنى الوضع الرئيسي. في الاهتزاز الرئيسي ، لا تهتز العقد. 10 يوضح عدة أوضاع نموذجية من اللوحة الدائرية المدعومة بشكل محيطي مع بعض الخطوط العقدية المكونة من دوائر وأقطار.

يمكن الانتهاء من الصيغة الدقيقة لمشكلة اهتزاز المطاط الفطري باعتبارها مشكلة القيمة الحدودية للمعادلات التفاضلية الجزئية. ومع ذلك ، لا يمكن العثور على الحل الدقيق إلا في بعض أبسط الحالات ، لذلك يتعين علينا اللجوء مشكلة الاهتزا النظام) في نظام محدود متعدد الدرجات من الحرية (نظام منفصل). هناك نوعان من طرق التقدير المستخدمة على نطاق واسع في التحليل الهندسي: طريقة العناصر المحدودة وطريقة التوليف المشروط.

تين. 9 وضع السلسلة

تين. 10 طريقة للوحة الدائرية

طريقة العناصر المحدودة هي بنية مركبة تمنع بنية معقدة في عدد محدود من العناصر ويربطها في عدد محدود من العقد. وحدة EACH هي مرنة ؛ يتم التعبير عن إزاحة توزيع العنصر عن طريق وظيفة الاستيفاء من إزاحة العقدة. ثم تتركز معلمات التوزيع لكل عنصر على كل عقدة بتنسيق معين ، ويتم الحصول على النموذج الميكانيكي للنظام المنفصل.

التوليف المشروط هو تحلل بنية معقدة إلى عدة هياكل أسس يتم الحصول على الهيكل باستخدام مورفولوجيا الاهتزاز لكل بنية أساسية.

الطريقتان مختلفتان ومماثلتان ، ويمكن استخدامهما كمرجع. يمكن أيضًا دمج طريقة التوليف المشروط بشكل فعال مع القياس التجريبي لتشكيل طريقة تحليل نظرية وتجريبية للاهتزاز الأنظمة الكبيرة.