ما هو الاهتزاز الخطي؟

الاهتزاز الخطي: مرونة مكونات النظام تخضع لقانون هوك، وتتناسب قوة التخميد المتولدة أثناء الحركة مع المعادلة الأولى للسرعة المعممة (المشتق الزمني للإحداثيات المعممة).

مفهوم

النظام الخطي عادة ما يكون نموذجًا مجردًا لاهتزاز النظام الحقيقي. يطبق نظام الاهتزاز الخطي مبدأ التراكب، أي إذا كانت استجابة النظام هي y1 تحت تأثير الإدخال x1، و y2 تحت تأثير الإدخال x2، فإن استجابة النظام تحت إجراء الإدخال x1 وx2 هي y1+y2.

على أساس مبدأ التراكب، يمكن تحليل المدخلات التعسفية إلى مجموع سلسلة من النبضات متناهية الصغر، ومن ثم يمكن الحصول على الاستجابة الإجمالية للنظام. ويمكن توسيع مجموع المكونات التوافقية للإثارة الدورية إلى سلسلة من المكونات التوافقية بواسطة تحويل فورييه، ويمكن دراسة تأثير كل مكون توافقي على النظام بشكل منفصل. لذلك، يمكن وصف خصائص استجابة الأنظمة الخطية ذات المعلمات الثابتة من خلال الاستجابة النبضية أو الاستجابة الترددية.

تشير الاستجابة النبضية إلى استجابة النظام لوحدة النبضة التي تميز خصائص استجابة النظام في المجال الزمني. وتشير الاستجابة الترددية إلى خاصية استجابة النظام لمدخلات الوحدة التوافقية. ويتم تحديد المراسلات بين الاثنين بواسطة تحويل فورييه.

تصنيف

يمكن تقسيم الاهتزاز الخطي إلى اهتزاز خطي لنظام درجة واحدة من الحرية واهتزاز خطي لنظام متعدد درجات الحرية.

(1) الاهتزاز الخطي لنظام درجة واحدة من الحرية هو اهتزاز خطي يمكن تحديد موضعه بإحداثيات معممة. وهو أبسط اهتزاز يمكن من خلاله استخلاص العديد من المفاهيم والخصائص الأساسية للاهتزاز. ويتضمن بسيطًا الاهتزاز التوافقي، والاهتزاز الحر، والاهتزاز التوهين والاهتزاز القسري.

الاهتزاز التوافقي البسيط: الحركة الترددية لجسم ما بالقرب من موضع توازنه وفقًا للقانون الجيبي تحت تأثير قوة استعادة متناسبة مع إزاحته.

الاهتزاز المخمد: الاهتزاز الذي يتم تخفيف اتساعه باستمرار بسبب وجود الاحتكاك والمقاومة العازلة أو استهلاك الطاقة الأخرى.

الاهتزاز القسري: اهتزاز النظام تحت الإثارة المستمرة.

(2) الاهتزاز الخطي لنظام متعدد درجات الحرية هو اهتزاز النظام الخطي بدرجة n≥2 من الحرية. النظام ذو n درجة من الحرية له ترددات طبيعية n وأنماط رئيسية n. أي تكوين اهتزاز يمكن تمثيل النظام كمجموعة خطية من الأوضاع الرئيسية. لذلك، يتم استخدام طريقة تراكب الوضع الرئيسي على نطاق واسع في تحليل الاستجابة الديناميكية للأنظمة متعددة المهام. وبهذه الطريقة، يتم قياس وتحليل خصائص الاهتزاز الطبيعية للنظام يصبح النظام خطوة روتينية في التصميم الديناميكي للنظام. ويمكن أيضًا وصف الخصائص الديناميكية للأنظمة متعددة المهام من خلال خصائص التردد. وبما أن هناك وظيفة مميزة للتردد بين كل مدخل ومخرج، يتم إنشاء مصفوفة خصائص التردد. هي علاقة محددة بين خاصية التردد والوضع الرئيسي. يختلف منحنى خاصية تردد السعة للنظام متعدد الحرية عن منحنى نظام الحرية الفردية.

الاهتزاز الخطي لنظام درجة واحدة من الحرية

اهتزاز خطي يمكن من خلاله تحديد موضع النظام من خلال إحداثيات معممة. وهو الاهتزاز الأبسط والأكثر جوهرية يمكن من خلاله استخلاص العديد من المفاهيم والخصائص الأساسية للاهتزاز. ويشمل الاهتزاز التوافقي البسيط والاهتزاز المخمد والاهتزاز القسري .

الاهتزاز التوافقي

في إطار عملية استعادة القوة المتناسبة مع الإزاحة، يتبادل الجسم بطريقة جيبية بالقرب من موضع توازنه (الشكل 1). يمثل X الإزاحة ويمثل t الوقت. والتعبير الرياضي لهذا الاهتزاز هو:

(1)حيث A هي القيمة القصوى للإزاحة x، والتي تسمى السعة، وتمثل شدة الاهتزاز؛ أوميغا n هي زيادة زاوية سعة الاهتزاز في الثانية، وهو ما يسمى التردد الزاوي، أو التردد الدائري؛ تسمى المرحلة الأولية. من حيث f = n/2، فإن عدد التذبذبات في الثانية يسمى التردد؛ ومعكوس ذلك، T = 1/f، هو الوقت الذي يستغرقه التذبذب في دورة واحدة، وهذا ما يسمى الفترة.السعة A، التردد f (أو التردد الزاوي n)، المرحلة الأولية، المعروفة باسم الاهتزاز التوافقي البسيط ثلاثة عناصر.

تين. 1 منحنى الاهتزاز التوافقي البسيط

كما هو مبين في الشكل. 2، يتم تشكيل مذبذب توافقي بسيط من الكتلة المركزة m المتصلة بزنبرك خطي. عندما يتم حساب إزاحة الاهتزاز من موضع التوازن، تكون معادلة الاهتزاز هي:

أين هي صلابة الزنبرك. الحل العام للمعادلة أعلاه هو (1).A ويمكن تحديده من خلال الموقع الأولي x0 والسرعة الأولية عند t=0:

لكن أوميغا n يتم تحديده فقط من خلال خصائص النظام نفسه m و k، بغض النظر عن الشروط الأولية الإضافية، لذلك تُعرف أوميغا n أيضًا بالتردد الطبيعي.

تين. 2 درجة واحدة من نظام الحرية

بالنسبة للمذبذب التوافقي البسيط، يكون مجموع طاقته الحركية وطاقته الكامنة ثابتًا، أي يتم الحفاظ على إجمالي الطاقة الميكانيكية للنظام. في عملية الاهتزاز، تتحول الطاقة الحركية والطاقة الكامنة باستمرار إلى بعضهما البعض.

اهتزاز التخميد

اهتزاز يتم تخفيف اتساعه باستمرار عن طريق الاحتكاك والمقاومة العازلة أو أي استهلاك آخر للطاقة. بالنسبة للاهتزازات الدقيقة، تكون السرعة عمومًا ليست كبيرة جدًا، وتكون المقاومة المتوسطة متناسبة مع السرعة إلى القوة الأولى، والتي يمكن كتابتها كـ c معامل التخميد. ولذلك يمكن كتابة معادلة الاهتزاز لدرجة واحدة من الحرية مع التخميد الخطي على النحو التالي:

(2)حيث m =c/2m يسمى معامل التخميد، ويمكن كتابة الحل العام للصيغة (2):

(3)يمكن تقسيم العلاقة العددية بين omega n وPI إلى الحالات الثلاث التالية:

N > (في حالة التخميد الصغير) ينتج الجسيمات اهتزازًا مخففًا، ومعادلة الاهتزاز هي:

تتناقص سعتها بمرور الوقت وفقًا للقانون الأسي الموضح في المعادلة، كما هو موضح في الخط المنقط في الشكل. 3. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا الاهتزاز هو غير دوري، ولكن يمكن تعريف تردد ذروته على النحو التالي:

ويسمى معدل تخفيض السعة، حيث هي فترة الاهتزاز. ويسمى اللوغاريتم الطبيعي لمعدل تخفيض السعة معدل اللوغاريتم ناقص (السعة). ومن الواضح أن =، في هذه الحالة، يساوي 2/1. مباشرة من خلال دلتا الاختبار التجريبي، وباستخدام الصيغة المذكورة أعلاه يمكن حسابها ج.

في هذا الوقت يمكن كتابة حل المعادلة (2):

بالإضافة إلى اتجاه السرعة الأولية، يمكن تقسيمها إلى ثلاث حالات غير اهتزازية كما هو موضح في الشكل. 4.

N < (في حالة التخميد الكبير)، يظهر حل المعادلة (2) في المعادلة (3). عند هذه النقطة، لم يعد النظام يهتز.

الاهتزاز القسري

اهتزاز النظام تحت الإثارة المستمرة. يبحث تحليل الاهتزاز بشكل أساسي في استجابة النظام للإثارة. الإثارة الدورية هي إثارة منتظمة نموذجية. وبما أن الإثارة الدورية يمكن دائمًا أن تتحلل إلى مجموع العديد من الإثارة التوافقية، وفقًا لمبدأ التراكب، فقط مطلوب استجابة النظام لكل إثارة توافقية. تحت تأثير الإثارة التوافقية، يمكن كتابة المعادلة التفاضلية لحركة نظام مخمد بدرجة واحدة من الحرية:

الجواب هو مجموع جزأين. جزء واحد هو استجابة الاهتزاز المخمد، والذي يضمحل بسرعة مع مرور الوقت. ويمكن كتابة استجابة جزء آخر من الاهتزاز القسري:

تين. 3 منحنى الاهتزاز المخمد

تين. 4 منحنيات لثلاثة شروط أولية مع تخميد حرج

اكتب في

H /F0= h ()، هي نسبة سعة الاستجابة الثابتة إلى سعة الإثارة، التي تميز خصائص تردد السعة، أو وظيفة الكسب؛ بتات لاستجابة الحالة الثابتة وحافز الطور، وتوصيف خصائص تردد الطور.العلاقة بينهما و يظهر تردد الإثارة في الشكل. 5 والشكل. 6.

كما يتبين من منحنى السعة والتردد (الشكل 5)، في حالة التخميد الصغير، يكون لمنحنى السعة والتردد ذروة واحدة. وكلما كان التخميد أصغر، كانت الذروة أكثر انحدارًا؛ والتردد المقابل للذروة هو يسمى تردد الرنين للنظام. في حالة التخميد الصغير، لا يختلف تردد الرنين كثيرًا عن التردد الطبيعي. عندما يكون تردد الإثارة قريبًا من التردد الطبيعي، تزداد السعة بشكل حاد. تسمى هذه الظاهرة بالرنين. عند الرنين، يتم تعظيم مكاسب النظام، أي أن الاهتزاز القسري هو الأكثر كثافة. لذلك، بشكل عام، نسعى دائمًا لتجنب الرنين، ما لم تستخدم بعض الأدوات والمعدات الرنين لتحقيق قدر كبير من الرنين اهتزاز.

تين. 5 منحنى تردد السعة

يمكن رؤيته من منحنى تردد الطور (الشكل 6)، بغض النظر عن حجم التخميد، في بتات فرق الطور أوميغا صفر = PI / 2، يمكن استخدام هذه الخاصية بشكل فعال في قياس الرنين.

بالإضافة إلى الإثارة الثابتة، تواجه الأنظمة أحيانًا إثارة غير مستقرة. ويمكن تقسيمها تقريبًا إلى نوعين: الأول هو التأثير المفاجئ. والثاني هو التأثير الدائم للاعتباطية. وفي ظل الإثارة غير المستقرة، تكون استجابة النظام أيضًا غير مستقرة.

إحدى الأدوات القوية لتحليل الاهتزازات غير المستقرة هي طريقة الاستجابة النبضية. وهي تصف الخصائص الديناميكية للنظام مع الاستجابة العابرة لمدخلات نبضات الوحدة في النظام. ويمكن التعبير عن نبضات الوحدة كدالة دلتا. يتم تعريف الوظيفة غالبًا على النحو التالي:

حيث 0- يمثل النقطة على المحور t التي تقترب من الصفر من اليسار؛ 0 زائد هي النقطة التي تذهب إلى 0 من اليمين.

تين. منحنى تردد 6 مراحل

تين. 7 يمكن اعتبار أي مدخلات بمثابة مجموع سلسلة من العناصر النبضية

يتوافق النظام مع الاستجابة h(t) الناتجة عن وحدة النبضة عند t=0، والتي تسمى وظيفة الاستجابة النبضية. وبافتراض أن النظام ثابت قبل النبضة، h(t)=0 لـ t<0.مع العلم دالة الاستجابة النبضية للنظام، يمكننا العثور على استجابة النظام لأي إدخال x(t). عند هذه النقطة، يمكنك التفكير في x(t) كمجموع سلسلة من العناصر النبضية (الشكل 7) .استجابة النظام هي:

بناءً على مبدأ التراكب، فإن الاستجابة الإجمالية للنظام المقابل لـ x(t) هي:

يُسمى هذا التكامل بالتكامل التلافيفي أو التكامل التراكبي.

الاهتزاز الخطي لنظام متعدد درجات الحرية

اهتزاز النظام الخطي بدرجات حرية n≥2.

يوضح الشكل 8 نظامين فرعيين رنينيين بسيطين متصلين بواسطة زنبرك اقتران. نظرًا لأنه نظام ذو درجتين من الحرية، هناك حاجة إلى إحداثيتين مستقلتين لتحديد موقعه. هناك ترددان طبيعيان في هذا النظام:

يتوافق كل تردد مع نمط من الاهتزاز. تقوم المذبذبات التوافقية بتنفيذ تذبذبات توافقية من نفس التردد، وتمر بشكل متزامن عبر موضع التوازن وتصل بشكل متزامن إلى الموضع الأقصى. في الاهتزاز الرئيسي المقابل لأوميغا واحد، x1 يساوي x2؛ الاهتزاز الرئيسي يتوافق مع أوميغا أوميغا 2، أوميغا أوميغا واحد. في الاهتزاز الرئيسي، تحافظ نسبة الإزاحة لكل كتلة على علاقة معينة وتشكل وضعًا معينًا، يسمى الوضع الرئيسي أو الوضع الطبيعي. التعامد للكتلة و توجد الصلابة بين الأوضاع الرئيسية، مما يعكس استقلالية كل اهتزاز. ويمثل التردد الطبيعي والوضع الرئيسي خصائص الاهتزاز المتأصلة في نظام الحرية متعدد الدرجات.

تين. 8 نظام بدرجات متعددة من الحرية

يحتوي النظام الذي يتمتع بدرجات حرية n على ترددات طبيعية n وأنماط رئيسية n. ويمكن تمثيل أي تكوين اهتزاز للنظام كمجموعة خطية من الأوضاع الرئيسية. لذلك، يتم استخدام طريقة تراكب الوضع الرئيسي على نطاق واسع في تحليل الاستجابة الديناميكية للعديد من الأوضاع -dof Systems. وبهذه الطريقة، يصبح قياس وتحليل خصائص الاهتزاز الطبيعية للنظام خطوة روتينية في التصميم الديناميكي للنظام.

يمكن أيضًا وصف الخصائص الديناميكية للأنظمة متعددة الأبعاد بخصائص التردد. نظرًا لوجود وظيفة مميزة للتردد بين كل مدخل ومخرج، يتم إنشاء مصفوفة مميزة للتردد. ويختلف منحنى خاصية السعة والتردد للنظام متعدد الحرية من نظام الحرية الواحدة.

يهتز المطاط الصناعي

نظام درجات الحرية المتعددة المذكور أعلاه هو نموذج ميكانيكي تقريبي للمطاط الصناعي. لدى المطاط الصناعي عدد لا حصر له من درجات الحرية. هناك فرق كمي ولكن لا يوجد فرق جوهري بين الاثنين. أي المطاط الصناعي لديه عدد لا حصر له من الترددات الطبيعية و عدد لا حصر له من الأوضاع المقابلة، وهناك تعامد بين أوضاع الكتلة والصلابة. ويمكن أيضًا تمثيل أي تكوين اهتزازي للمطاط الصناعي كتراكب خطي للأوضاع الرئيسية. لذلك، لتحليل الاستجابة الديناميكية للمطاط الصناعي، يتم استخدام طريقة التراكب الوضع الرئيسي لا يزال قابلاً للتطبيق (انظر الاهتزاز الخطي للمطاط الصناعي).

لنأخذ اهتزاز الوتر. لنفترض أن خيطًا رفيعًا كتلته m لكل وحدة طول، طويل l، مشدود عند كلا الطرفين، والشد هو T. في هذا الوقت، يتم تحديد التردد الطبيعي للوتر من خلال ما يلي معادلة:

F =نا/2ل (ن= 1,2,3…).

حيث هي سرعة انتشار الموجة المستعرضة على طول اتجاه الوتر. وتصادف أن الترددات الطبيعية للأوتار هي مضاعفات التردد الأساسي على 2l. ويؤدي تعدد الأعداد الصحيحة هذا إلى بنية توافقية لطيفة. وبشكل عام، لا يوجد هذه العلاقة الصحيحة المتعددة بين الترددات الطبيعية للمطاط الصناعي.

تظهر الأوضاع الثلاثة الأولى للسلسلة المشدودة في الشكل. 9. هناك بعض العقد على منحنى الوضع الرئيسي. في الاهتزاز الرئيسي، لا تهتز العقد.الشكل. يوضح الشكل 10 عدة أوضاع نموذجية للوحة الدائرية المدعمة محيطياً مع بعض الخطوط العقدية المكونة من دوائر وأقطار.

يمكن استنتاج الصيغة الدقيقة لمشكلة اهتزاز المطاط الصناعي باعتبارها مشكلة القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية. ومع ذلك، لا يمكن العثور على الحل الدقيق إلا في بعض الحالات البسيطة، لذلك يتعين علينا اللجوء إلى الحل التقريبي للمطاط الصناعي المعقد. مشكلة الاهتزاز. إن جوهر الحلول التقريبية المختلفة هو تغيير اللانهائي إلى المحدود، أي فصل نظام الحرية متعدد الدرجات بدون أطراف (النظام المستمر) إلى نظام محدود متعدد الدرجات من الحرية (نظام منفصل) هناك نوعان من طرق التمييز المستخدمة على نطاق واسع في التحليل الهندسي: طريقة العناصر المحدودة وطريقة التوليف النموذجي.

تين. 9 طريقة السلسلة

تين. 10 وضع لوحة دائرية

طريقة العناصر المحدودة هي بنية مركبة تلخص بنية معقدة في عدد محدود من العناصر وتربطها بعدد محدود من العقد. كل وحدة عبارة عن أحد المطاط الصناعي؛ يتم التعبير عن إزاحة توزيع العنصر من خلال وظيفة الاستيفاء لإزاحة العقدة. ثم يتم تركيز معلمات التوزيع لكل عنصر على كل عقدة بتنسيق معين، ويتم الحصول على النموذج الميكانيكي للنظام المنفصل.

التوليف النموذجي هو تحلل هيكل معقد إلى عدة هياكل أساسية أبسط. وعلى أساس فهم خصائص الاهتزاز لكل بنية أساسية، يتم تصنيع البنية التحتية في هيكل عام وفقًا لشروط التنسيق على الواجهة، ومورفولوجيا الاهتزاز العامة يتم الحصول على الهيكل باستخدام مورفولوجيا الاهتزاز لكل بنية تحتية.

الطريقتان مختلفتان ومترابطتان، ويمكن استخدامهما كمرجع. ويمكن أيضًا دمج طريقة التوليف المشروط بشكل فعال مع القياس التجريبي لتشكيل طريقة تحليل نظرية وتجريبية لاهتزاز الأنظمة الكبيرة.