Линейна вибрация: еластичността на компонентите в системата се подчинява на закона на Хук, а силата на затихване, генерирана по време на движението, е пропорционална на първото уравнение на обобщената скорост (производна по време на обобщените координати).
концепция
Линейната система обикновено е абстрактен модел на вибрациите на реалната система. Линейната вибрационна система прилага принципа на суперпозиция, т.е. ако реакцията на системата е y1 под действието на входа x1 и y2 под действието на входа x2, тогава реакцията на системата под действието на входа x1 и x2 е y1+y2.
Въз основа на принципа на суперпозиция произволен вход може да бъде разложен на сумата от поредица от безкрайно малки импулси и след това може да се получи общият отговор на системата. Сумата от хармоничните компоненти на периодично възбуждане може да бъде разширена в серия от хармонични компоненти чрез преобразуване на Фурие и ефектът на всеки хармоничен компонент върху системата може да бъде изследван отделно. Следователно характеристиките на отговор на линейни системи с постоянни параметри могат да бъдат описани чрез импулсна характеристика или честотна характеристика.
Импулсният спектър се отнася до реакцията на системата към единичния импулс, който характеризира характеристиките на реакцията на системата във времевата област. Честотната характеристика се отнася до характеристиката на отговора на системата към единичния хармоничен вход. Съответствието между двете се определя чрез преобразуването на Фурие.
класификация
Линейните вибрации могат да бъдат разделени на линейни вибрации на система с една степен на свобода и линейни вибрации на система с множество степени на свобода.
(1) линейна вибрация на система с една степен на свобода е линейна вибрация, чиято позиция може да бъде определена чрез обобщена координата. Това е най-простата вибрация, от която могат да бъдат извлечени много основни концепции и характеристики на вибрацията. Тя включва прости хармонична вибрация, свободна вибрация, затихваща вибрация и принудителна вибрация.
Проста хармонична вибрация: възвратно-постъпателното движение на обект в близост до неговото равновесно положение съгласно синусоидален закон под действието на възстановяваща сила, пропорционална на неговото изместване.
Затихваща вибрация: вибрация, чиято амплитуда непрекъснато намалява от наличието на триене и диелектрично съпротивление или друга консумация на енергия.
Принудена вибрация: вибрация на система при постоянно възбуждане.
(2) линейната вибрация на системата с множество степени на свобода е вибрацията на линейната система с n≥2 степени на свобода. Система с n степени на свобода има n естествени честоти и n основни режима. Всяка конфигурация на вибрация на системата може да бъде представена като линейна комбинация от основните режими. Следователно, методът на суперпозиция на главния режим се използва широко в анализа на динамичния отговор на мулти-dof системи. По този начин измерването и анализът на характеристиките на естествените вибрации на системата се превръщат в рутинна стъпка в динамичния дизайн на системата. Динамичните характеристики на системите с множество DOF могат също да бъдат описани чрез честотни характеристики. Тъй като има функция на честотната характеристика между всеки вход и изход, се изгражда матрица на честотната характеристика. Съществува определена връзка между честотната характеристика и основния режим. Кривата на амплитудно-честотната характеристика на системата с множество свободи е различна от тази на системата с единична свобода.
Линейна вибрация на система с една степен на свобода
Линейна вибрация, при която позицията на дадена система може да се определи чрез обобщена координата. Това е най-простата и най-фундаментална вибрация, от която могат да бъдат извлечени много основни понятия и характеристики на вибрацията. Тя включва проста хармонична вибрация, затихнала вибрация и принудителна вибрация .
Хармонична вибрация
Под действието на възстановяваща сила, пропорционална на изместването, обектът се движи възвратно-постъпателно по синусоидален начин близо до своето равновесно положение (ФИГ. 1). X представлява изместването, а t представлява времето. Математическият израз на тази вибрация е:
(1)Където A е максималната стойност на изместване x, която се нарича амплитуда и представлява интензитета на вибрацията; Omega n е амплитудата. Ъгълът на нарастване на вибрацията за секунда, който се нарича ъглова честота или кръгова честота; Това се нарича начална фаза. От гледна точка на f= n/2, броят на трептенията в секунда се нарича честота; обратното на това, T=1/f е времето, необходимо за осцилиране на един цикъл и това се нарича период. Амплитуда A, честота f (или ъглова честота n), началната фаза, известна като проста хармонична вибрация три елемента.
Фиг. 1 проста хармонична вибрационна крива
Както е показано на фиг. 2, прост хармоничен осцилатор се образува от концентрираната маса m, свързана с линейна пружина. Когато вибрационното изместване се изчислява от равновесното положение, вибрационното уравнение е:
Къде е твърдостта на пружината. Общото решение на горното уравнение е (1).A и може да се определи от началната позиция x0 и началната скорост при t=0:
Но омега n се определя само от характеристиките на самата система m и k, независимо от допълнителните начални условия, така че омега n е известна също като естествена честота.
Фиг. 2 система с една степен на свобода
За прост хармоничен осцилатор сумата от неговата кинетична енергия и потенциална енергия е постоянна, т.е. общата механична енергия на системата се запазва. В процеса на вибрация кинетичната енергия и потенциалната енергия непрекъснато се трансформират една в друга.
Амортизиращата вибрация
Вибрация, чиято амплитуда непрекъснато намалява от триене и диелектрично съпротивление или друга консумация на енергия. За микровибрацията скоростта обикновено не е много голяма и средното съпротивление е пропорционално на скоростта на първа степен, което може да се запише като c е коефициентът на затихване. Следователно, вибрационното уравнение на една степен на свобода с линейно затихване може да бъде записано като:
(2)Където m =c/2m се нарича параметър на затихване и. Общото решение на формула (2) може да бъде написано:
(3)Числената връзка между омега n и PI може да бъде разделена на следните три случая:
N > (в случай на малко затихване) генерирана от частица затихваща вибрация, уравнението на вибрацията е:
Амплитудата му намалява с времето според експоненциалния закон, показан в уравнението, както е показано на пунктираната линия на фиг. 3. Строго погледнато, тази вибрация е апериодична, но честотата на нейния пик може да се определи като:
Нарича се скорост на намаляване на амплитудата, където е периодът на вибрация. Натуралният логаритъм от степента на намаляване на амплитудата се нарича логаритъм минус скорост (амплитуда). Очевидно = в този случай е равно на 2/1. Директно през експериментален тест делта и с помощта на горната формула може да се изчисли c.
По това време решението на уравнение (2) може да бъде написано:
Заедно с посоката на началната скорост, тя може да бъде разделена на три случая без вибрации, както е показано на фиг. 4.
N < (в случай на голямо затихване), решението на уравнение (2) е показано в уравнение (3). В този момент системата вече не вибрира.
Принудителна вибрация
Вибрация на система при постоянно възбуждане. Анализът на вибрациите изследва главно реакцията на системата към възбуждане. Периодичното възбуждане е типично редовно възбуждане. Тъй като периодичното възбуждане винаги може да се разложи на сумата от няколко хармонични възбуждания, според принципа на суперпозицията, само изисква се реакцията на системата към всяко хармонично възбуждане. Под действието на хармонично възбуждане диференциалното уравнение на движението на амортизираната система с една степен на свобода може да бъде записана:
Отговорът е сбор от две части. Една част е отговорът на затихналата вибрация, която бързо намалява с времето. Реакцията на друга част от принудителната вибрация може да бъде написана:
Фиг. 3 крива на амортизирана вибрация
Фиг. 4 криви на три начални условия с критично затихване
Въведете
H /F0= h (), е съотношението на постоянната амплитуда на отговора към амплитудата на възбуждане, характеризиращо амплитудно-честотните характеристики или функцията на усилване; Битове за стабилно състояние на отговора и стимула на фазата, характеризиране на характеристиките на фазовата честота. Връзката между тях и честотата на възбуждане е показана на фиг. 5 и фиг. 6.
Както може да се види от кривата амплитуда-честота (ФИГ. 5), в случай на малко затихване, кривата амплитуда-честота има един пик. Колкото по-малко е затихването, толкова по-стръмен е пикът; Честотата, съответстваща на пика, е наречена резонансна честота на системата. В случай на малко затихване, резонансната честота не се различава много от естествената честота. Когато честотата на възбуждане е близка до естествената честота, амплитудата рязко нараства. Това явление се нарича резонанс. При резонанс усилването на системата е максимално, т.е. принудителната вибрация е най-интензивна. Следователно, като цяло, винаги се стремете да избягвате резонанса, освен ако някои инструменти и оборудване не използват резонанс за постигане на големи вибрация.
Фиг. 5 амплитудна честотна крива
Може да се види от кривата на фазовата честота (фигура 6), независимо от размера на затихването, при омега нулева фазова разлика битове = PI / 2, тази характеристика може да се използва ефективно при измерване на резонанса.
В допълнение към постоянното възбуждане, системите понякога се сблъскват с нестабилно възбуждане. То може грубо да се раздели на два вида: единият е внезапното въздействие. Вторият е трайният ефект на произвола. При нестабилно възбуждане реакцията на системата също е нестабилна.
Мощен инструмент за анализиране на нестабилни вибрации е методът на импулсната реакция. Той описва динамичните характеристики на системата с преходния отговор на единичния импулсен вход на системата. Единичният импулс може да бъде изразен като делта функция. В инженерството делта функция често се определя като:
Където 0- представлява точката на оста t, която се доближава до нула отляво; 0 плюс е точката, която отива до 0 отдясно.
Фиг. 6 фазова честотна крива
Фиг. 7 всеки вход може да се разглежда като сбор от поредица от импулсни елементи
Системата съответства на реакцията h(t), генерирана от единичния импулс при t=0, която се нарича функция на импулсната реакция. Ако приемем, че системата е неподвижна преди импулса, h(t)=0 за t<0. функцията на импулсния отговор на системата, можем да намерим отговора на системата на всеки вход x(t). В този момент можете да мислите за x(t) като сбор от поредица от импулсни елементи (ФИГ. 7). Отговорът на системата е:
Въз основа на принципа на суперпозицията, общият отговор на системата, съответстващ на x(t), е:
Този интеграл се нарича конволюционен интеграл или суперпозиционен интеграл.
Линейна вибрация на система с множество степени на свобода
Вибрация на линейна система с n≥2 степени на свобода.
Фигура 8 показва две прости резонансни подсистеми, свързани чрез съединителна пружина. Тъй като това е система с две степени на свобода, са необходими две независими координати, за да се определи нейната позиция. В тази система има две естествени честоти:
Всяка честота съответства на режим на вибрация. Хармоничните осцилатори извършват хармонични трептения със същата честота, синхронно преминавайки през равновесното положение и синхронно достигайки крайно положение. В основната вибрация, съответстваща на омега едно, x1 е равно на x2; In основната вибрация, съответстваща на омега омега две, омега омега едно. В основната вибрация изместването съотношението на всяка маса поддържа определено отношение и образува определен режим, който се нарича основен режим или естествен режим. Ортогоналността на масата и твърдостта съществува сред основните режими, което отразява независимостта на всяка вибрация. Естествената честота и основните режимът представлява присъщите вибрационни характеристики на системата с множество степени на свобода.
Фиг. 8 система с множество степени на свобода
Система от n степени на свобода има n собствени честоти и n основни режима. Всяка конфигурация на вибрации на системата може да бъде представена като линейна комбинация от основните режими. Следователно, методът на суперпозиция на главния режим се използва широко в анализа на динамичния отговор на множество -dof системи. По този начин измерването и анализът на характеристиките на естествените вибрации на системата се превръща в рутинна стъпка в динамичния дизайн на системата.
Динамичните характеристики на системите с множество DOF могат също да бъдат описани чрез честотни характеристики. Тъй като има функция на честотната характеристика между всеки вход и изход, се изгражда матрица на честотната характеристика. Характеристичната крива на амплитуда-честота на системата с множество свободи е различна от тази на системата с единична свобода.
Еластомерът вибрира
Горната система с множество степени на свобода е приблизителен механичен модел на еластомер. Еластомерът има безкраен брой степени на свобода. Има количествена разлика, но няма съществена разлика между двете. Всеки еластомер има безкраен брой естествени честоти и безкраен брой съответни режими и има ортогоналност между режимите на маса и твърдост. Всяка вибрационна конфигурация на еластомерът може също да бъде представен като линейна суперпозиция на основните режими. Следователно, за анализ на динамичния отговор на еластомер, методът на суперпозиция на основния режим все още е приложим (вижте линейна вибрация на еластомер).
Да вземем вибрацията на струна. Да кажем, че тънка струна с маса m на единица дължина, дълга l, е опъната в двата края и напрежението е T. По това време естествената честота на струната се определя от следното уравнение:
F = na/2l (n = 1,2,3…).
Където е скоростта на разпространение на напречната вълна по посока на струната. Собствените честоти на струните са кратни на основната честота над 2l. Тази цялостна множественост води до приятна хармонична структура. Като цяло няма такава целочислена множествена връзка между естествените честоти на еластомера.
Първите три режима на опъната струна са показани на фиг. 9. Има някои възли на кривата на основния режим. При основната вибрация възлите не вибрират. ФИГ. 10 показва няколко типични режима на периферно поддържана кръгла плоча с някои възлови линии, съставени от кръгове и диаметри.
Точната формулировка на проблема с вибрациите на еластомера може да се заключи като проблем с гранични стойности на частични диференциални уравнения. Въпреки това, точното решение може да бъде намерено само в някои от най-простите случаи, така че трябва да прибегнем до приблизителното решение за сложния еластомер вибрационен проблем. Същността на различни приблизителни решения е да се промени безкрайното в крайно, тоест да се дискретизира безкрайното система с множество степени на свобода (непрекъсната система) в крайна система с множество степени на свобода (дискретна система). Има два вида методи за дискретизация, широко използвани в инженерния анализ: метод на крайните елементи и метод на модален синтез.
Фиг. 9 режим на низ
Фиг. 10 режима на кръгла плоча
Методът на крайните елементи е съставна структура, която абстрахира сложна структура в краен брой елементи и ги свързва в краен брой възли. Всяка единица е еластомер; изместването на разпределението на елемента се изразява чрез интерполационна функция на изместването на възела. Тогава параметрите на разпределение на всеки елемент се концентрират към всеки възел в определен формат и се получава механичният модел на дискретната система.
Модалният синтез е разлагането на сложна структура на няколко по-прости подструктури. Въз основа на разбирането на вибрационните характеристики на всяка подструктура, подструктурата се синтезира в обща структура според координационните условия на интерфейса и морфологията на вибрациите на общата структура се получава чрез използване на вибрационната морфология на всяка подструктура.
Двата метода са различни и свързани и могат да се използват като референтни. Методът на модален синтез може също така да се комбинира ефективно с експерименталното измерване, за да се формира теоретичен и експериментален метод за анализ на вибрациите на големи системи.
Време на публикуване: 3 април 2020 г
