Què és la vibració lineal?

Vibració lineal: L’elasticitat dels components del sistema està subjecta a la llei de Hooke, i la força d’amortiment generada durant la moció és proporcional a la primera equació de la velocitat generalitzada (derivat de temps de les coordenades generalitzades).

concepte

El sistema lineal sol ser un model abstracte de la vibració del sistema real. El sistema de vibració lineal aplica el principi de superposició, és a dir, si la resposta del sistema és Y1 sota l’acció de l’entrada X1 i Y2 sota l’acció de l’entrada X2, A continuació, la resposta del sistema sota l’acció d’entrada X1 i x2 és Y1+Y2.

A partir del principi de superposició, es pot descompondre una entrada arbitrària en la suma d’una sèrie d’impulsos infinitesimals, i després es pot obtenir la resposta total del sistema. La suma dels components harmònics d’una excitació periòdica es pot ampliar en un Sèrie de components harmònics per transformació de Fourier i l'efecte de cada component harmònic sobre el sistema es pot investigar per separat. Per tant, les característiques de resposta de Els sistemes lineals amb paràmetres constants es poden descriure mitjançant resposta d’impuls o resposta de freqüència.

La resposta a l’impuls es refereix a la resposta del sistema a l’impuls de la unitat, que caracteritza les característiques de resposta del sistema en el domini de temps. La resposta de la freqüència es refereix a la resposta característica del sistema a l’entrada harmònica d’unitat. La correspondència entre tots dos es determina per la transformació de Fourier.

classificació

La vibració lineal es pot dividir en vibracions lineals del sistema d’un grau d’un grau de llibertat i vibració lineal del sistema de diversos graus de llibertat.

(1) La vibració lineal d'un sistema d'un sol grau de freqüència és una vibració lineal la posició de la qual es pot determinar mitjançant una coordenada generalitzada. És la vibració més senzilla de la qual es poden derivar molts conceptes bàsics i característiques de vibració. Vibració harmònica, vibració lliure, vibració atenuada i vibracions forçades.

Vibració harmònica simple: el moviment recíproc d’un objecte als voltants de la seva posició d’equilibri segons una llei sinusoïdal sota l’acció d’una força de restauració proporcional al seu desplaçament.

Vibració amortida: vibració que l’amplitud de la qual s’atén contínuament per la presència de fricció i resistència dielèctrica o un altre consum d’energia.

Vibració forçada: vibració d’un sistema sota excitació constant.

(2) La vibració lineal del sistema multi-grau de freqüència és la vibració del sistema lineal amb n≥2 graus de llibertat. Un sistema de n graus de llibertat té n freqüències naturals i n modes principals. del sistema es pot representar com una combinació lineal dels modes principals. manera, la mesura i l’anàlisi de les característiques naturals de vibració del sistema es converteix en un pas rutinari en el disseny dinàmic del sistema. Les característiques dinàmiques dels sistemes multi-DOF també es poden descriure per característiques de freqüència. Cada entrada i sortida, es construeix una matriu característica de freqüència. Hi ha una relació definida entre la característica de freqüència i el mode principal. El sistema multipredom és diferent del del sistema únic.

Vibració lineal d’un únic grau de sistema de llibertat

Una vibració lineal en què la posició d’un sistema es pot determinar mitjançant una coordenada generalitzada. És la vibració més simple i fonamental a partir de la qual es poden derivar molts conceptes bàsics i característiques de la vibració. Inclou vibracions harmòniques simples, vibracions amortides i vibracions forçades .

Vibració harmònica

Sota l’acció de restauració de la força proporcional al desplaçament, l’objecte recíproca de manera sinusoïdal a prop de la seva posició d’equilibri (Fig. 1) .x representa el desplaçament i T representa el temps. L’expressió matemàtica d’aquesta vibració és:

(1)On A és el valor màxim de desplaçament X, que s’anomena amplitud, i representa la intensitat de la vibració; omega n és l’increment d’angle d’amplitud de la vibració per segon, que s’anomena freqüència angular o la freqüència circular; aquesta; s'anomena fase inicial. En termes de f = n/2, el nombre d'oscil·lacions per segon s'anomena freqüència; la inversa d'aquesta, t = 1/f, és el temps que triga a oscil·la un cicle, i es diu el període. Amplitud A, Freqüència F (o freqüència angular N), la fase inicial, coneguda com a vibracions harmòniques simples tres elements.

Fig. 1 corba de vibració harmònica simple

Com es mostra a la Fig. 2, un oscil·lador harmònic simple està format per la massa concentrada M connectada per una molla lineal. Quan el desplaçament de vibració es calcula a partir de la posició d'equilibri, l'equació de vibració és:

On és la rigidesa de la molla. La solució general a l’equació anterior és (1) .a i es pot determinar per la posició inicial x0 i la velocitat inicial a t = 0:

Però Omega N només es determina per les característiques del propi sistema M i K, independentment de les condicions inicials addicionals, de manera que Omega N també es coneix com la freqüència natural.

Fig. 2 Sistema de Freedom Single Single

Per a un simple oscil·lador harmònic, la suma de la seva energia cinètica i l’energia potencial és constant, és a dir, l’energia mecànica total del sistema es conserva. En el procés de vibració, energia cinètica i energia potencial es transformen constantment en l’altre.

La vibració d’amortiment

Una vibració que l’amplitud de la qual s’atenua contínuament per la fricció i la resistència dielèctrica o un altre consum d’energia. Per a la micro vibració, la velocitat generalment no és gaire gran i la resistència mitjana és proporcional a la velocitat a la primera potència, que es pot escriure com a C és que és C és El coeficient d’amortiment. Per tant, l’equació de vibració d’un grau de llibertat amb amortiment lineal es pot escriure com:

(2)On, m = c/2m s’anomena paràmetre d’amortiment i es pot escriure la solució general de la fórmula (2):

(3)La relació numèrica entre Omega N i PI es pot dividir en els tres casos següents:

N> (En el cas de la petita amortiment) de les partícules produïdes per a la vibració d'atenuació, l'equació de vibració és:

La seva amplitud disminueix amb el temps segons la llei exponencial mostrada a l’equació, tal com es mostra a la línia puntejada de la Fig. 3.Strictament parlant, aquesta vibració és aperiodica, però la freqüència del seu pic es pot definir com:

S’anomena taxa de reducció d’amplitud, on és el període de vibració. El logaritme natural de la taxa de reducció d’amplitud s’anomena taxa de logaritme menys (amplitud). OBVIOSAMENT, =, en aquest cas, és igual a 2/1.directament a través del Delta de prova experimental i, mitjançant la fórmula anterior, es pot calcular c.

En aquest moment, es pot escriure la solució de l’equació (2):

Juntament amb la direcció de la velocitat inicial, es pot dividir en tres casos de no-vibració com es mostra a la Fig. 4.

N <(en el cas de l'amortiment gran), la solució a l'equació (2) es mostra a l'equació (3). En aquest punt, el sistema ja no vibra.

Vibració forçada

Vibració d’un sistema sota excitació constant. L’anàlisi de les vibracions investiga principalment la resposta del sistema a l’excitació. L’excitació feriodica és una excitació regular típica. Excitació periòdica sempre es pot descompondre en la suma de diverses excitació harmònica, segons el principi de superposició, només Es requereix la resposta del sistema a cada excitació harmònica. Segons l’acció de l’excitació harmònica, l’equació diferencial del moviment d’un únic grau de llibertat amortida es pot escriure el sistema:

La resposta és la suma de dues parts. Una part és la resposta de la vibració amortida, que decau ràpidament amb el temps. La resposta d’una altra part de la vibració forçada es pot escriure:

Fig. 3 corba de vibració amortida

Fig. 4 corbes de tres condicions inicials amb amortiment crític

Escriviu al

H /f0 = h (), és la relació de l'amplitud de resposta constant a l'amplitud de l'excitació, caracteritzant les característiques d'amplitud-freqüència o la funció de guany; bits per a la resposta en estat constant i incentiu de fase, caracterització de les característiques de freqüència de fase. La freqüència d’excitació es mostra a la Fig. 5 i fig. 6.

Com es pot veure a la corba de freqüència d’amplitud (Fig. 5), en el cas de l’amortiment petit, la corba d’amplitud-freqüència té un sol pic. Com més petita s’amorteix, més abrupta sigui el pic; la freqüència corresponent al pic és anomenada freqüència ressonant del sistema. En el cas de l’amortiment petit, la freqüència de ressonància no és gaire diferent de la freqüència natural. Quan la freqüència d’excitació és propera a la natural Freqüència, l'amplitud augmenta bruscament. Aquest fenomen s’anomena ressonància. A la ressonància, el guany del sistema es maximitza, és a dir, la vibració forçada és la més intensa. Per tant vibració.

Fig. 5 corba de freqüència d'amplitud

Es pot veure a partir de la corba de freqüència de fase (figura 6), independentment de la mida de l’amortiment, en els bits de diferència de fase omega zero = pi / 2, aquesta característica es pot utilitzar eficaçment en la mesura de la ressonància.

A més de l’excitació constant, els sistemes de vegades es troben amb excitació inestable.

Una potent eina per analitzar vibracions inestables és el mètode de resposta d’impuls. Descriu les característiques dinàmiques del sistema amb la resposta transitòria de l’entrada d’impuls de la unitat del sistema. L’impuls d’unitat es pot expressar com a funció delta. En enginyeria, el delta la funció sovint es defineix com:

Quan 0- representa el punt de l’eix t que s’acosta a zero des de l’esquerra; 0 més és el punt que va a 0 de la dreta.

Fig. 6 Corba de freqüència de fase

Fig. 7 Qualsevol entrada es pot considerar com la suma d'una sèrie d'elements d'impuls

El sistema correspon a la resposta h (t) generada per l’impuls de la unitat a t = 0, que s’anomena funció de resposta d’impuls. Consulteu que el sistema és estacionari abans del pols, h (t) = 0 per a t <0. La funció de resposta d’impuls del sistema, podem trobar la resposta del sistema a qualsevol entrada x (t). En aquest punt, podeu pensar en x (t) com la suma d’una sèrie d’elements d’impuls (Fig. 7). La resposta del sistema és:

A partir del principi de superposició, la resposta total del sistema corresponent a x (t) és:

Aquesta integral s’anomena integral de convolució o integral de superposició.

Vibració lineal d’un sistema de diversos graus de llibertat

Vibració d’un sistema lineal amb n≥2 graus de llibertat.

La figura 8 mostra dos subsistemes de ressonants simples connectats per una molla d'acoblament. Perquè és un sistema de dos graus de llibertat, calen dues coordenades independents per determinar la seva posició. Hi ha dues freqüències naturals en aquest sistema:

Cada freqüència correspon a un mode de vibració. Els oscil·ladors harmònics realitzen oscil·lacions harmòniques de la mateixa freqüència, passant sincrònicament per la posició d’equilibri i arribant a la posició extrema. la vibració principal corresponent a Omega Omega Two, Omega Omega One Vibració principal, la relació de desplaçament de cada massa manté una relació determinada i forma un determinat mode, que s’anomena mode principal o el mode natural. L’ortogonalitat de la massa i la rigidesa existeix entre els modes principals, que reflecteix la independència de cada vibració. La freqüència natural i el mode principal representen les característiques de vibració inherents del sistema multi-grau de llibertat.

Fig. 8 Sistema amb múltiples graus de llibertat

Un sistema de n graus de llibertat té n freqüències naturals i n modes principals. Qualsevol configuració de vibració del sistema es pot representar com una combinació lineal dels principals modes. Per tant, el mètode de superposició de mode principal s’utilitza àmpliament en l’anàlisi de resposta dinàmica de Multi -DOF Systems. En aquesta manera, la mesura i l’anàlisi de les característiques naturals de vibració del sistema es converteixen en un pas rutinari en el disseny dinàmic del sistema.

Les característiques dinàmiques dels sistemes multi-DOF també es poden descriure mitjançant característiques de freqüència. Per la qual cosa hi ha una funció característica de freqüència entre cada entrada i sortida, es construeix una matriu característica de freqüència. La corba característica de freqüència de l'amplitud del sistema multi-freqüent és diferent del sistema de freqüència única.

L’elastòmer vibra

El sistema multi -grau de llibertat anterior és un model mecànic aproximat d’elastòmer. Un elastòmer té un nombre infinit de graus de llibertat. un nombre infinit de modes corresponents, i hi ha l’ortogonalitat entre els modes de massa i la rigidesa. Qualsevol configuració vibracional de l’elastòmer també pot ser representat com una superposició lineal dels principals modes. Per tant, per a l’anàlisi de resposta dinàmica de l’elastòmer, el mètode de superposició del mode principal encara és aplicable (vegeu la vibració lineal de l’elastòmer).

Agafeu la vibració d’una cadena. Diu que una fina cadena de massa m per unitat de longitud, llarga l, està tensada als dos extrems i que la tensió és t.at aquesta vegada, la freqüència natural de la cadena està determinada per la següent Equació:

F = Na/2L (n = 1,2,3 ...).

On, és la velocitat de propagació de l’ona transversal al llarg de la direcció de la cadena. Les freqüències naturals de les cadenes passen a ser múltiples de la freqüència fonamental sobre 2L.Aquesta multiplicitat entera condueix a una estructura harmònica agradable. En general, no hi ha cap Aquesta relació múltiple enter entre les freqüències naturals de l'elastòmer.

Els primers tres modes de la cadena tensada es mostren a la Fig. 9. Hi ha alguns nodes a la corba del mode principal. En la vibració principal, els nodes no vibren.fig. 10 mostra diversos modes típics de la placa circular amb suport circumferencial amb algunes línies nodals compostes per cercles i diàmetres.

La formulació exacta del problema de vibració dels elastòmers es pot concloure com el problema del valor del límit de les equacions diferencials parcials. Tot i que, la solució exacta només es pot trobar en alguns dels casos més senzills, per la qual cosa hem de recórrer a la solució aproximada del complex elastòmer Problema de vibracions. L’essència de diverses solucions aproximades és canviar l’infinit a la finita, és a dir, discretitzar el sistema de llibertat de diversos graus sense extremitats (Sistema continu) en un sistema multi-grau finit del sistema de llibertat (sistema discret). Hi ha dos tipus de mètodes de discretització àmpliament utilitzats en l’anàlisi d’enginyeria: mètode d’elements finits i mètode de síntesi modal.

Fig. 9 Mode de cadena

Fig. 10 mode de placa circular

El mètode de l'element finit és una estructura composta que abstracta una estructura complexa en un nombre finit d'elements i els connecta en un nombre finit de nodes. La unitat d'eC és un elastòmer; el desplaçament de distribució de l'element s'expressa mitjançant la funció d'interpolació del desplaçament de nodes. Els paràmetres de distribució de cada element es concentren a cada node en un format determinat i s’obté el model mecànic del sistema discret.

La síntesi modal és la descomposició d’una estructura complexa en diverses subestructures més senzilles. A la base de comprendre les característiques de vibració de cada subestructura, la subestructura es sintetitza en una estructura general segons les condicions de coordinació de la interfície i la morfologia de vibració del general L’estructura s’obté mitjançant la morfologia de vibració de cada subestructura.

Els dos mètodes són diferents i relacionats i es poden utilitzar com a referència. El mètode de síntesi modal també es pot combinar eficaçment amb la mesura experimental per formar un mètode d’anàlisi teòric i experimental per a la vibració de sistemes grans.