Què és la vibració lineal?

Vibració lineal: l'elasticitat dels components del sistema està subjecta a la llei de Hooke, i la força d'amortiment generada durant el moviment és proporcional a la primera equació de la velocitat generalitzada (derivada temporal de les coordenades generalitzades).

concepte

El sistema lineal sol ser un model abstracte de la vibració del sistema real. El sistema de vibració lineal aplica el principi de superposició, és a dir, si la resposta del sistema és y1 sota l'acció de l'entrada x1 i y2 sota l'acció de l'entrada x2, aleshores la resposta del sistema sota l'acció de l'entrada x1 i x2 és y1+y2.

Sobre la base del principi de superposició, una entrada arbitrària es pot descompondre en la suma d'una sèrie d'impulsos infinitesimals, i després es pot obtenir la resposta total del sistema. La suma dels components harmònics d'una excitació periòdica es pot expandir en un sèrie de components harmònics mitjançant transformada de Fourier, i l'efecte de cada component harmònic en el sistema es pot investigar per separat. Per tant, les característiques de resposta dels sistemes lineals amb paràmetres constants es poden descriure mitjançant resposta d'impuls o resposta de freqüència.

La resposta d'impuls es refereix a la resposta del sistema a l'impuls de la unitat, que caracteritza les característiques de resposta del sistema en el domini del temps. La resposta en freqüència es refereix a la característica de resposta del sistema a l'entrada harmònica de la unitat. Es determina la correspondència entre ambdues per la transformada de Fourier.

classificació

La vibració lineal es pot dividir en vibració lineal del sistema d'un sol grau de llibertat i vibració lineal del sistema de diversos graus de llibertat.

(1) La vibració lineal d'un sistema d'un sol grau de llibertat és una vibració lineal la posició de la qual es pot determinar mitjançant una coordenada generalitzada. És la vibració més simple de la qual es poden derivar molts conceptes i característiques bàsiques de la vibració. Inclou vibració harmònica, vibració lliure, vibració d'atenuació i vibració forçada.

Vibració harmònica simple: el moviment alternatiu d'un objecte al voltant de la seva posició d'equilibri segons una llei sinusoïdal sota l'acció d'una força restauradora proporcional al seu desplaçament.

Vibració amortida: vibració l'amplitud de la qual es veu atenuada contínuament per la presència de fricció i resistència dielèctrica o altres consums d'energia.

Vibració forçada: vibració d'un sistema sota excitació constant.

(2) la vibració lineal del sistema de diversos graus de llibertat és la vibració del sistema lineal amb n≥2 graus de llibertat. Un sistema de n graus de llibertat té n freqüències naturals i n modes principals. Qualsevol configuració de vibració del sistema es pot representar com una combinació lineal dels modes principals. Per tant, el mètode de superposició del mode principal s'utilitza àmpliament en l'anàlisi de resposta dinàmica de sistemes multidof. D'aquesta manera, el el mesurament i l'anàlisi de les característiques de vibració natural del sistema esdevé un pas habitual en el disseny dinàmic del sistema. Les característiques dinàmiques dels sistemes multidof també es poden descriure per característiques de freqüència. Atès que hi ha una funció característica de freqüència entre cada entrada i de sortida, es construeix una matriu de característiques de freqüència. Hi ha una relació definida entre la característica de freqüència i el mode principal. La corba característica d'amplitud-freqüència del sistema de llibertat múltiple és diferent de la del sistema de llibertat única.

Vibració lineal d'un sistema d'un sol grau de llibertat

Una vibració lineal en la qual la posició d'un sistema es pot determinar mitjançant una coordenada generalitzada. És la vibració més senzilla i fonamental de la qual es poden derivar molts conceptes i característiques bàsiques de la vibració. Inclou la vibració harmònica simple, la vibració amortida i la vibració forçada. .

Vibració harmònica

Sota l'acció de restaurar la força proporcional al desplaçament, l'objecte fa un moviment alternatiu de manera sinusoïdal prop de la seva posició d'equilibri (FIG. 1). X representa el desplaçament i t representa el temps. L'expressió matemàtica d'aquesta vibració és:

(1)On A és el valor màxim del desplaçament x, que s'anomena amplitud i representa la intensitat de la vibració; Omega n és l'amplitud Increment de l'angle de la vibració per segon, que s'anomena freqüència angular o freqüència circular; s'anomena fase inicial. En termes de f= n/2, el nombre d'oscil·lacions per segon s'anomena freqüència; la inversa d'aquesta, T=1/f, és el temps que triga a oscil·lar una. cicle, i això s'anomena període. Amplitud A, freqüència f (o freqüència angular n), la fase inicial, coneguda com a vibració harmònica simple de tres elements.

FIG. 1 corba de vibració harmònica simple

Com es mostra a la FIG. 2, un oscil·lador harmònic simple està format per la massa concentrada m connectada per una molla lineal. Quan el desplaçament de vibració es calcula a partir de la posició d'equilibri, l'equació de vibració és:

On és la rigidesa de la molla. La solució general de l'equació anterior és (1).A i es pot determinar per la posició inicial x0 i la velocitat inicial a t=0:

Però omega n només es determina per les característiques del propi sistema m i k, independentment de les condicions inicials addicionals, de manera que l'omega n també es coneix com a freqüència natural.

FIG. 2 sistema d'un sol grau de llibertat

Per a un oscil·lador harmònic simple, la suma de la seva energia cinètica i energia potencial és constant, és a dir, es conserva l'energia mecànica total del sistema. En el procés de vibració, l'energia cinètica i l'energia potencial es transformen constantment entre si.

La vibració amortidora

Una vibració l'amplitud de la qual s'atenua contínuament per la fricció i la resistència dielèctrica o un altre consum d'energia. Per a la microvibració, la velocitat generalment no és molt gran i la resistència mitjana és proporcional a la velocitat de la primera potència, que es pot escriure com c és el coeficient d'amortiment. Per tant, l'equació de vibració d'un grau de llibertat amb amortiment lineal es pot escriure com:

(2)On, m =c/2m s'anomena paràmetre d'amortiment, i. La solució general de la fórmula (2) es pot escriure:

(3)La relació numèrica entre omega n i PI es pot dividir en els tres casos següents:

N > (en el cas d'amortiment petit) la vibració d'atenuació produïda per partícules, l'equació de vibració és:

La seva amplitud disminueix amb el temps segons la llei exponencial que es mostra a l'equació, tal com es mostra a la línia de punts de la FIG. 3. En sentit estricte, aquesta vibració és aperiòdica, però la freqüència del seu pic es pot definir com:

S'anomena taxa de reducció d'amplitud, on és el període de vibració. El logaritme natural de la taxa de reducció d'amplitud s'anomena taxa de logaritme menys (amplitud). Òbviament, =, en aquest cas, és igual a 2/1. Directament a través del prova experimental delta i, utilitzant la fórmula anterior es pot calcular c.

En aquest moment, la solució de l'equació (2) es pot escriure:

Juntament amb la direcció de la velocitat inicial, es pot dividir en tres casos sense vibració, tal com es mostra a la FIG. 4.

N < (en el cas de gran amortiment), la solució de l'equació (2) es mostra a l'equació (3). En aquest punt, el sistema ja no vibra.

Vibració forçada

Vibració d'un sistema amb excitació constant. L'anàlisi de vibracions investiga principalment la resposta del sistema a l'excitació. L'excitació periòdica és una excitació regular típica. Atès que l'excitació periòdica sempre es pot descompondre en la suma de diverses excitacions harmòniques, segons el principi de superposició, només es requereix la resposta del sistema a cada excitació harmònica. Sota l'acció de l'excitació harmònica, l'equació diferencial de moviment d'un sistema amortit d'un sol grau de llibertat pot ser escrit:

La resposta és la suma de dues parts. Una part és la resposta de la vibració amortida, que decau ràpidament amb el temps. La resposta d'una altra part de la vibració forçada es pot escriure:

FIG. 3 corba de vibració amortida

FIG. 4 corbes de tres condicions inicials amb amortiment crític

Escriviu el

H /F0= h (), és la relació entre l'amplitud de resposta constant i l'amplitud d'excitació, caracteritzant les característiques d'amplitud-freqüència, o funció de guany; Bits per a la resposta en estat estacionari i incentiu de fase, caracterització de les característiques de freqüència de fase. La relació entre ells i la freqüència d'excitació es mostra a la FIG. 5 i FIG. 6.

Com es pot veure a la corba amplitud-freqüència (FIG. 5), en el cas d'un amortiment petit, la corba amplitud-freqüència té un únic pic. Com més petit és l'amortiment, més pronunciat és el pic; la freqüència corresponent al pic és anomenada freqüència de ressonància del sistema. En el cas d'un amortiment petit, la freqüència de ressonància no és molt diferent de la freqüència natural. Quan la freqüència d'excitació és propera a la natural freqüència, l'amplitud augmenta bruscament. Aquest fenomen s'anomena ressonància. En la ressonància, el guany del sistema es maximitza, és a dir, la vibració forçada és la més intensa. Per tant, en general, sempre s'esforça per evitar la ressonància, tret que alguns instruments i equips utilitzin ressonància per aconseguir grans vibració.

FIG. Corba de freqüència de 5 amplituds

Es pot veure des de la corba de freqüència de fase (figura 6), independentment de la mida de l'amortiment, en bits de diferència de fase omega zero = PI / 2, aquesta característica es pot utilitzar eficaçment per mesurar la ressonància.

A més de l'excitació constant, els sistemes de vegades es troben amb una excitació inestable. Es pot dividir aproximadament en dos tipus: un és l'impacte sobtat. El segon és l'efecte durador de l'arbitrarietat. Sota l'excitació inestable, la resposta del sistema també és inestable.

Una eina poderosa per analitzar la vibració inestable és el mètode de resposta d'impuls. Descriu les característiques dinàmiques del sistema amb la resposta transitòria de l'entrada d'impuls de la unitat del sistema. L'impuls de la unitat es pot expressar com una funció delta. En enginyeria, el delta La funció sovint es defineix com:

On 0- representa el punt de l'eix t que s'acosta a zero des de l'esquerra; 0 més és el punt que va a 0 des de la dreta.

FIG. Corba de freqüència de 6 fases

FIG. 7 qualsevol entrada es pot considerar com la suma d'una sèrie d'elements impulsius

El sistema correspon a la resposta h(t) generada per l'impuls unitari a t=0, que s'anomena funció de resposta a l'impuls. Suposant que el sistema està estacionari abans del pols, h(t)=0 per a t<0. la funció de resposta d'impuls del sistema, podem trobar la resposta del sistema a qualsevol entrada x(t). En aquest punt, podeu pensar en x(t) com la suma d'una sèrie d'elements d'impuls (FIG. 7) .La resposta de el sistema és:

Basant-se en el principi de superposició, la resposta total del sistema corresponent a x(t) és:

Aquesta integral s'anomena integral de convolució o integral de superposició.

Vibració lineal d'un sistema de diversos graus de llibertat

Vibració d'un sistema lineal amb n≥2 graus de llibertat.

La figura 8 mostra dos subsistemes ressonants senzills connectats per una molla d'acoblament. Com que és un sistema de dos graus de llibertat, es necessiten dues coordenades independents per determinar la seva posició. En aquest sistema hi ha dues freqüències naturals:

Cada freqüència correspon a un mode de vibració. Els oscil·ladors harmònics realitzen oscil·lacions harmòniques de la mateixa freqüència, passant de manera sincrònica per la posició d'equilibri i assolint de manera sincrònica la posició extrema. En la vibració principal corresponent a l'omega un, x1 és igual a x2;In la vibració principal corresponent a omega omega dos, omega omega un. En la vibració principal, la relació de desplaçament de cada massa manté un certa relació i forma un determinat mode, que s'anomena mode principal o mode natural. L'ortogonalitat de la massa i la rigidesa existeix entre els modes principals, que reflecteix la independència de cada vibració. La freqüència natural i el mode principal representen les característiques de vibració inherents. del sistema de diversos graus de llibertat.

FIG. Sistema 8 amb múltiples graus de llibertat

Un sistema de n graus de llibertat té n freqüències naturals i n modes principals. Qualsevol configuració de vibració del sistema es pot representar com una combinació lineal dels modes principals. Per tant, el mètode de superposició del mode principal s'utilitza àmpliament en l'anàlisi de resposta dinàmica de múltiples -dof systems. D'aquesta manera, el mesurament i anàlisi de les característiques de vibració natural del sistema esdevé un pas habitual en el disseny dinàmic del sistema.

Les característiques dinàmiques dels sistemes multi-dof també es poden descriure per característiques de freqüència. Atès que hi ha una funció característica de freqüència entre cada entrada i sortida, es construeix una matriu de característiques de freqüència. La corba característica amplitud-freqüència del sistema multi-llibertat és diferent. del sistema de llibertat única.

L'elastòmer vibra

El sistema de diversos graus de llibertat anterior és un model mecànic aproximat d'elastòmer. Un elastòmer té un nombre infinit de graus de llibertat. Hi ha una diferència quantitativa, però no hi ha diferència essencial entre els dos. Qualsevol elastòmer té un nombre infinit de freqüències naturals i un nombre infinit de modes corresponents, i hi ha ortogonalitat entre els modes de massa i rigidesa. Qualsevol configuració vibratòria de l'elastòmer també es pot representar com una forma lineal. superposició dels modes principals. Per tant, per a l'anàlisi de la resposta dinàmica de l'elastòmer, el mètode de superposició del mode principal encara és aplicable (vegeu vibració lineal de l'elastòmer).

Agafeu la vibració d'una corda. Suposem que una corda prima de massa m per unitat de longitud, llarga l, està tensa als dos extrems, i la tensió és T. En aquest moment, la freqüència natural de la corda ve determinada pel següent equació:

F =na/2l (n= 1,2,3...).

On és la velocitat de propagació de l'ona transversal al llarg de la direcció de la corda. Les freqüències naturals de les cordes són múltiples de la freqüència fonamental per sobre de 2l. Aquesta multiplicitat entera condueix a una estructura harmònica agradable. En general, no hi ha aquesta relació múltiple enter entre les freqüències naturals de l'elastòmer.

Els tres primers modes de la corda tensada es mostren a la FIG. 9. Hi ha alguns nodes a la corba del mode principal.En la vibració principal, els nodes no vibren.FIG. La figura 10 mostra diversos modes típics de la placa circular suportada per la circumferència amb algunes línies nodals compostes per cercles i diàmetres.

La formulació exacta del problema de vibració de l'elastòmer es pot concloure com el problema del valor límit de les equacions diferencials parcials. No obstant això, la solució exacta només es pot trobar en alguns dels casos més senzills, per la qual cosa hem de recórrer a la solució aproximada per a l'elastòmer complex. problema de vibració. L'essència de diverses solucions aproximades és canviar l'infinit al finit, és a dir, discretitzar el sistema de diversos graus de llibertat sense extremitats (sistema continu) en un sistema finit de diversos graus de llibertat (sistema discret). Hi ha dos tipus de mètodes de discretització àmpliament utilitzats en l'anàlisi d'enginyeria: mètode d'elements finits i mètode de síntesi modal.

FIG. 9 mode de corda

FIG. 10 modes de placa circular

El mètode d'elements finits és una estructura composta que resumeix una estructura complexa en un nombre finit d'elements i els connecta en un nombre finit de nodes. Cada unitat és un elastòmer; el desplaçament de distribució de l'element s'expressa mitjançant la funció d'interpolació del desplaçament del node. els paràmetres de distribució de cada element es concentren a cada node en un format determinat, i s'obté el model mecànic del sistema discret.

La síntesi modal és la descomposició d'una estructura complexa en diverses subestructures més simples. A partir de la comprensió de les característiques de vibració de cada subestructura, la subestructura es sintetitza en una estructura general d'acord amb les condicions de coordinació de la interfície i la morfologia de la vibració general. L'estructura s'obté utilitzant la morfologia de vibració de cada subestructura.

Els dos mètodes són diferents i relacionats, i es poden utilitzar com a referència. El mètode de síntesi modal també es pot combinar eficaçment amb la mesura experimental per formar un mètode d'anàlisi teòric i experimental per a la vibració de grans sistemes.