Unsa ang linear vibration?

Linear nga vibration: ang pagkamaunat-unat sa mga sangkap sa sistema gipailalom sa balaod sa hooke, ug ang pwersa sa damping nga namugna sa panahon sa paglihok proporsyonal sa unang equation sa kinatibuk-ang tulin (time derivative sa generalized coordinates).

konsepto

Ang linear nga sistema kasagaran usa ka abstract nga modelo sa vibration sa tinuod nga sistema.Ang linear vibration nga sistema naggamit sa superposition nga prinsipyo, nga mao, kung ang tubag sa sistema mao ang y1 ubos sa aksyon sa input x1, ug y2 ubos sa aksyon sa input x2, unya ang tubag sa sistema ubos sa aksyon sa input x1 ug x2 mao ang y1+y2.

Pinasukad sa superposition nga prinsipyo, ang usa ka arbitraryong input mahimong madugta ngadto sa gidaghanon sa usa ka serye sa mga infinitesimal impulses, ug unya ang kinatibuk-ang tubag sa sistema mahimong makuha. sunod-sunod nga harmonic nga mga sangkap pinaagi sa Fourier nga pagbag-o, ug ang epekto sa matag harmonic component sa sistema mahimong usisahon nga gilain.Busa, ang mga kinaiya sa pagtubag sa mga linear nga sistema nga adunay kanunay nga mga parameter mahimong gihulagway pinaagi sa impulse response o frequency response.

Ang tubag sa impulse nagtumong sa tubag sa sistema sa impulse sa yunit, nga nagpaila sa mga kinaiya sa pagtubag sa sistema sa domain sa panahon. Ang tubag sa frequency nagtumong sa kinaiya sa pagtubag sa sistema sa unit nga harmonic input. Ang mga sulat tali sa duha gitino pinaagi sa Fourier transform.

klasipikasyon

Ang linear nga vibration mahimong bahinon ngadto sa linear vibration sa single-degree-of-freedom system ug linear vibration sa multi-degree-of-freedom system.

(1) linear vibration sa usa ka single-degree-of-freedom system kay usa ka linear vibration kansang posisyon matino pinaagi sa generalized coordinate.Kini ang pinakasimple nga vibration diin makuha ang daghang batakang konsepto ug mga kinaiya sa vibration. harmonic vibration, libre nga vibration, attenuation vibration ug forced vibration.

Simple harmonic vibration: ang reciprocating motion sa usa ka butang diha sa palibot sa iyang equilibrium nga posisyon sumala sa sinusoidal nga balaod ubos sa aksyon sa usa ka restoring force proporsyonal sa iyang displacement.

Damped vibration: vibration kansang amplitude padayon nga gipaubos sa presensya sa friction ug dielectric resistance o uban pang konsumo sa enerhiya.

Pinugos nga pagkurog: pagkurog sa usa ka sistema ubos sa kanunay nga kahinam.

(2) ang linear vibration sa multi-degree-of-freedom system mao ang vibration sa linear system nga adunay n≥2 degrees of freedom.A system of n degrees of freedom adunay n natural nga frequency ug n main modes.Any vibration configuration sa sistema mahimong irepresentar ingon nga usa ka linear nga kombinasyon sa mga mayor nga mga paagi.Busa, ang nag-unang mode superposition nga pamaagi kaylap nga gigamit sa dinamikong tubag pagtuki sa multi-dof sistema.Niini nga paagi, ang pagsukod ug pagtuki sa natural nga vibration nga mga kinaiya sa sistema nahimong usa ka naandan nga lakang sa dinamikong disenyo sa sistema.Ang dinamikong mga kinaiya sa multi-dof nga mga sistema mahimo usab nga gihulagway pinaagi sa frequency nga mga kinaiya.Tungod kay adunay usa ka frequency nga kinaiya nga function tali sa matag input ug output, usa ka frequency nga kinaiya matrix ang gitukod.Diha maoy usa ka tino nga relasyon tali sa frequency nga kinaiya ug sa nag-unang mode.Ang amplitude-frequency nga kinaiya nga kurba sa multi-freedom nga sistema lahi kay sa single-freedom nga sistema.

Linear vibration sa usa ka degree sa sistema sa kagawasan

Usa ka linear vibration diin ang posisyon sa usa ka sistema mahimong matino pinaagi sa usa ka generalized coordinate.Kini ang pinakayano ug labing sukaranan nga vibration diin makuha ang daghang batakang konsepto ug mga kinaiya sa vibration.Kini naglakip sa simple nga harmonic vibration, damped vibration ug forced vibration. .

Harmonic nga vibration

Ubos sa aksyon sa pagpasig-uli sa pwersa nga proporsyonal sa displacement, ang butang mobalos sa sinusoidal nga paagi duol sa iyang panimbang nga posisyon (FIG. 1). Ang X nagrepresentar sa displacement ug ang t nagrepresentar sa oras. Ang mathematical nga ekspresyon niini nga vibration mao ang:

(1)Diin ang A mao ang pinakataas nga bili sa displacement x, nga gitawag nga amplitude, ug nagrepresentar sa intensity sa vibration; Ang Omega n mao ang amplitude Angle increment sa vibration kada segundo, nga gitawag nga angular frequency, o ang circular frequency; gitawag nga inisyal nga hugna. Sa termino sa f= n/2, ang gidaghanon sa mga oscillation kada segundo gitawag nga frequency; ang panahon.Amplitude A, frequency f (o angular frequency n), ang inisyal nga hugna, nailhan nga yano nga harmonic vibration tulo ka mga elemento.

FIG. 1 simple nga harmonic vibration curve

Ingon sa gipakita sa FIG. 2, ang usa ka yano nga harmonic oscillator naporma pinaagi sa konsentradong masa m nga konektado sa usa ka linear spring.Sa diha nga ang vibration displacement kalkulado gikan sa equilibrium nga posisyon, ang vibration equation mao ang:

Diin ang pagkagahi sa tubod.Ang kinatibuk-ang solusyon sa ibabaw nga equation mao ang (1).A ug mahimong matino pinaagi sa inisyal nga posisyon x0 ug inisyal nga tulin sa t=0:

Apan ang omega n gitino lamang sa mga kinaiya sa sistema mismo m ug k, nga independente sa dugang nga inisyal nga mga kondisyon, mao nga ang omega n nailhan usab nga natural nga frequency.

FIG. 2 single degree sa kagawasan nga sistema

Alang sa usa ka yano nga harmonic oscillator, ang kantidad sa kinetic energy ug potensyal nga enerhiya kanunay, nga mao, ang kinatibuk-ang mekanikal nga enerhiya sa sistema gitipigan.

Ang damping vibration

Usa ka vibration kansang amplitude padayon nga gipaubos sa friction ug dielectric nga pagsukol o uban pang pagkonsumo sa enerhiya. Alang sa micro vibration, ang tulin sa kasagaran dili kaayo dako, ug ang medium nga pagsukol proporsyonal sa tulin sa una nga gahum, nga mahimong isulat ingon c mao ang ang damping coefficient.Busa, ang vibration equation sa usa ka degree sa kagawasan nga adunay linear damping mahimong masulat nga:

(2)Diin, ang m =c/2m gitawag nga damping parameter, ug.Ang kinatibuk-ang solusyon sa pormula (2) mahimong isulat:

(3)Ang numerical nga relasyon tali sa omega n ug PI mahimong bahinon sa mosunod nga tulo ka mga kaso:

N> (sa kaso sa gamay nga damping) nga partikulo nga nagpatunghag attenuation vibration, ang vibration equation mao ang:

Ang amplitude niini mikunhod sa panahon sumala sa exponential nga balaod nga gipakita sa equation, ingon sa gipakita sa tuldok nga linya sa FIG. 3. Sa estrikto nga pagkasulti, kini nga vibration kay aperiodic, apan ang frequency sa peak niini mahimong mahubit nga:

Gitawag nga amplitude reduction rate, diin mao ang panahon sa vibration.Ang natural nga logarithm sa amplitude reduction rate gitawag nga logarithm minus (amplitude) rate.Dayag, =, niini nga kaso, katumbas sa 2/1.Diretso pinaagi sa experimental test delta ug, gamit ang pormula sa ibabaw mahimong kwentahon c.

Niini nga panahon, ang solusyon sa equation (2) mahimong isulat:

Uban sa direksyon sa inisyal nga tulin, kini mahimong bahinon ngadto sa tulo ka non-vibration nga mga kaso sama sa gipakita sa FIG. 4.

N < (sa kaso sa dako nga damping), ang solusyon sa equation (2) gipakita sa equation (3). Niini nga punto, ang sistema wala na magkurog.

Pinugos nga vibration

Ang pagkurog sa usa ka sistema ubos sa kanunay nga paghinam-hinam.Ang pag-analisar sa vibration nag-una nga nagsusi sa tubag sa sistema ngadto sa paghinam-hinam.Ang periodic nga paghinam-hinam usa ka tipikal nga regular nga paghinam-hinam.Tungod kay ang periodic excitation kanunay nga madugta ngadto sa gidaghanon sa pipila ka harmonic excitation, sumala sa superposition nga prinsipyo, lamang gikinahanglan ang tubag sa sistema sa matag harmonic excitation.Ubos sa aksyon sa harmonic excitation, ang differential equation of motion sa usa ka degree of freedom damped system mahimong isulat:

Ang tubag mao ang sumada sa duha ka bahin. Ang usa ka bahin mao ang tubag sa damped vibration, nga paspas nga madunot sa panahon. Ang tubag sa laing bahin sa pinugos nga vibration mahimong isulat:

FIG. 3 damped nga kurba sa vibration

FIG. 4 nga mga kurba sa tulo ka inisyal nga mga kondisyon nga adunay kritikal nga damping

I-type ang

H / F0= h (), mao ang ratio sa makanunayon nga tubag amplitude ngadto sa excitation amplitude, nga nagpaila sa amplitude-frequency nga mga kinaiya, o pag-angkon function;Bits alang sa makanunayon nga kahimtang nga tubag ug insentibo sa hugna, kinaiya sa bahin frequency kinaiya.Ang relasyon tali kanila ug Ang frequency sa eksitasi gipakita sa FIG. 5 ug FIG. 6.

Sama sa makita gikan sa amplitude-frequency curve (FIG. 5), sa kaso sa gamay nga damping, ang amplitude-frequency curve adunay usa ka peak. gitawag nga resonant frequency sa sistema.Sa kaso sa gamay nga damping, ang resonance frequency dili kaayo lahi sa natural nga frequency.Sa diha nga ang excitation frequency duol sa natural nga frequency, ang amplitude motaas pag-ayo. Kini nga panghitabo gitawag nga resonance.Sa resonance, ang ganansya sa sistema gi-maximize, nga mao, ang pinugos nga vibration mao ang labing grabe.Busa, sa kinatibuk-an, kanunay nga maningkamot sa paglikay sa resonance, gawas kon ang pipila ka mga instrumento ug mga ekipo sa paggamit sa resonance sa pagkab-ot sa dako pagkurog.

FIG. 5 amplitude frequency curve

Makita gikan sa phase frequency curve (numero 6), bisan unsa pa ang gidak-on sa damping, sa omega zero phase difference bits = PI / 2, kini nga kinaiya mahimong epektibong gamiton sa pagsukod sa resonance.

Dugang pa sa makanunayon nga paghinam-hinam, ang mga sistema usahay makasugat og dili makanunayon nga paghinam-hinam.Kini mahimong halos bahinon sa duha ka matang: ang usa mao ang kalit nga epekto.Ang ikaduha mao ang malungtarong epekto sa pagkaarbitraryo.Ubos sa dili makanunayon nga paghinam-hinam, ang tubag sa sistema dili usab makanunayon.

Usa ka gamhanan nga himan alang sa pag-analisar sa dili makanunayon nga pagkurog mao ang pamaagi sa pagtubag sa impulse.Gihubit niini ang dinamikong mga kinaiya sa sistema nga adunay lumalabay nga tubag sa input sa impulse sa yunit sa sistema.Ang impulse sa yunit mahimong ipahayag isip usa ka function sa delta.Sa engineering, ang delta Ang function sagad gihubit ingon:

Diin ang 0- nagrepresentar sa punto sa t-axis nga moduol sa zero gikan sa wala; 0 plus mao ang punto nga moadto sa 0 gikan sa tuo.

FIG. 6 nga hugna sa frequency curve

FIG. 7 bisan unsa nga input mahimong isipon nga sum sa usa ka serye sa mga elemento sa impulse

Ang sistema katumbas sa tubag h (t) nga namugna sa unit impulse sa t = 0, nga gitawag nga impulse response function. Nagtuo nga ang sistema naghunong sa wala pa ang pulso, h (t) = 0 alang sa t<0.Nahibalo ang impulse response function sa sistema, atong makit-an ang tubag sa sistema sa bisan unsang input x(t).Niini nga punto, mahunahuna nimo ang x(t) isip sum sa usa ka serye sa mga elemento sa impulse (FIG. 7) .Ang tubag sa sistema mao ang:

Base sa superposition nga prinsipyo, ang kinatibuk-ang tubag sa sistema nga katumbas sa x(t) mao ang:

Kini nga integral gitawag nga usa ka convolution integral o usa ka superposition integral.

Linear vibration sa usa ka multi-degree-of-freedom system

Vibration sa usa ka linear nga sistema nga adunay n≥2 degrees sa kagawasan.

Ang Figure 8 nagpakita sa duha ka yano nga resonant nga mga subsystem nga konektado sa usa ka coupling spring. Tungod kay kini usa ka two-degree-of-freedom system, duha ka independenteng mga coordinate ang gikinahanglan aron matino ang posisyon niini. Adunay duha ka natural nga frequency niini nga sistema:

Ang matag frequency katumbas sa usa ka mode sa vibration.Ang harmonic oscillators nagdala sa harmonic oscillations sa sama nga frequency, synchronously moagi sa panimbang nga posisyon ug synchronously pagkab-ot sa extreme position.Sa nag-unang vibration katumbas sa omega usa, x1 mao ang katumbas sa x2;Sa ang nag-unang vibration nga katumbas sa omega omega duha, omega omega usa.Sa nag-unang vibration, ang displacement ratio sa matag masa nagpabilin sa usa ka piho nga relasyon ug nagporma sa usa ka piho nga mode, nga gitawag nga main mode o natural nga mode.Ang orthogonality sa masa ug Ang pagkagahi anaa sa taliwala sa mga nag-unang mga paagi, nga nagpakita sa kagawasan sa matag vibration.Ang natural nga frequency ug nag-unang mode nagrepresentar sa kinaiyanhon vibration mga kinaiya sa multi-degree sa kagawasan nga sistema.

FIG. 8 nga sistema nga adunay daghang lebel sa kagawasan

Ang usa ka sistema sa n degrees sa kagawasan adunay n natural nga frequency ug n main modes. Ang bisan unsang vibration configuration sa sistema mahimong irepresentar isip linear combination sa major modes.Busa, ang main mode superposition method kaylap nga gigamit sa dynamic response analysis sa multi -dof systems.Niining paagiha, ang pagsukod ug pagtuki sa mga kinaiya sa natural nga vibration sa sistema nahimong naandan nga lakang sa dinamikong disenyo sa sistema.

Ang dinamikong mga kinaiya sa multi-dof nga mga sistema mahimo usab nga gihulagway pinaagi sa frequency nga mga kinaiya. Tungod kay adunay usa ka frequency nga kinaiya nga function tali sa matag input ug output, usa ka frequency nga kinaiya nga matrix ang gitukod. Ang amplitude-frequency nga kinaiya nga kurba sa multi-freedom system lahi. gikan nianang sa single-freedom system.

Ang elastomer nagkurog

Ang labaw sa multi-degree sa kagawasan nga sistema mao ang usa ka gibanabana nga mekanikal nga modelo sa elastomer.Ang usa ka elastomer adunay walay kinutuban nga gidaghanon sa mga ang-ang sa kagawasan.Adunay usa ka quantitative kalainan apan walay mahinungdanon nga kalainan tali sa duha.Bisan unsa nga elastomer adunay usa ka walay kinutuban nga gidaghanon sa mga natural nga frequency ug usa ka walay kinutuban nga gidaghanon sa mga katugbang nga mga paagi, ug adunay orthogonality tali sa mga paagi sa masa ug pagkagahi. Ang bisan unsang vibrational configuration sa elastomer mahimo usab nga irepresentar isip usa ka linear superposition sa mga mayor nga mga mode.Busa, alang sa dinamikong tubag nga pagtuki sa elastomer, ang superposition nga pamaagi sa main mode magamit gihapon (tan-awa ang linear vibration sa elastomer).

Dad-a ang vibration sa usa ka hilo.Ingnon nato nga ang usa ka nipis nga hilo sa masa nga m kada yunit nga gitas-on, taas nga l, gi-tension sa duha ka tumoy, ug ang tensyon mao ang T.Niining panahona, ang natural nga frequency sa hilo gitino sa mosunod equation:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Diin, mao ang propagation velocity sa transverse wave subay sa direksyon sa string.Ang natural nga mga frequency sa mga kuwerdas mahitabo nga multiples sa sukaranang frequency sa ibabaw sa 2l.Kini nga integer multiplicity modala ngadto sa usa ka maanindot nga harmonic structure.Sa kinatibuk-an, walay ang ingon nga integer nga daghang relasyon taliwala sa natural nga mga frequency sa elastomer.

Ang unang tulo ka mga paagi sa tensioned string gipakita sa FIG. 9. Adunay pipila ka mga node sa main mode curve.Sa nag-unang vibration, ang mga node dili mag-vibrate.FIG. Ang 10 nagpakita sa pipila ka kasagarang mga paagi sa circumferentially supported circular plate nga adunay pipila ka nodal lines nga gilangkuban sa mga lingin ug diametro.

Ang eksaktong pormulasyon sa elastomer vibration nga problema mahimong tapuson ingon nga utlanan nga kantidad nga problema sa partial differential equation.Bisan pa, ang eksaktong solusyon makita lamang sa pipila sa pinakasimple nga mga kaso, mao nga kita kinahanglan nga modangop sa gibanabana nga solusyon alang sa komplikadong elastomer problema sa vibration.Ang esensya sa nagkalain-laing gibanabana nga mga solusyon mao ang pag-usab sa walay kinutuban ngadto sa may kinutuban, nga mao, sa discretize sa limb-dili kaayo multi-degree sa sistema sa kagawasan (padayon nga sistema) ngadto sa usa ka may kinutuban nga multi-degree sa kagawasan nga sistema (discrete system) .Adunay duha ka klase sa discretization nga pamaagi kay kaylap nga gigamit sa engineering analysis: finite element method ug modal synthesis method.

FIG. 9 nga paagi sa hilo

FIG. 10 mode sa circular plate

Ang Finite element method kay usa ka composite structure nga nag-abstract sa usa ka complex structure ngadto sa usa ka finite nga gidaghanon sa mga elemento ug nagkonektar kanila sa usa ka finite nga gidaghanon sa mga node. Ang matag unit kay usa ka elastomer; Ang mga parameter sa pag-apod-apod sa matag elemento gikonsentrar sa matag node sa usa ka piho nga format, ug nakuha ang mekanikal nga modelo sa discrete system.

Ang modal synthesis mao ang pagkadunot sa usa ka komplikadong estraktura ngadto sa pipila ka mas simple nga mga substructure. Pinasukad sa pagsabot sa vibration nga mga kinaiya sa matag substructure, ang substructure gi-synthesize ngadto sa usa ka kinatibuk-ang istruktura sumala sa mga kondisyon sa koordinasyon sa interface, ug ang vibration morphology sa kinatibuk-an. Ang istruktura makuha pinaagi sa paggamit sa vibration morphology sa matag substructure.

Ang duha ka mga pamaagi managlahi ug may kalabutan, ug mahimong gamiton ingon nga pakisayran.Ang modal synthesis nga pamaagi mahimo usab nga epektibo nga inubanan sa eksperimento nga pagsukod aron maporma ang usa ka teoretikal ug eksperimental nga pamaagi sa pagtuki alang sa vibration sa dagkong mga sistema.