Cosa hè a vibrazione lineare?

Vibrazioni lineari: l'elasticità di i cumpunenti in u sistema hè sottumessu à a lege di Hooke, è a forza di smorzamentu generata durante u muvimentu hè proporzionale à a prima equazione di a velocità generalizata (derivata di u tempu di e coordenate generalizate).

cuncettu

U sistema lineare hè di solitu un mudellu astrattu di a vibrazione di u sistema reale. U sistema di vibrazione lineale applica u principiu di superposizione, vale à dì, se a risposta di u sistema hè y1 sottu l'azzione di l'input x1, è y2 sottu l'azzione di l'input x2, allora a risposta di u sistema sottu à l'azzione di input x1 è x2 hè y1 + y2.

In a basa di u principiu di superposizione, un input arbitrariu pò esse scompostu in a summa di una seria di impulsi infinitesimali, è poi a risposta tutale di u sistema pò esse ottenuta. A summa di i cumpunenti armonichi di una excitazione periodica pò esse allargata in un serie di cumpunenti armonichi da a trasformazione di Fourier, è l'effettu di ogni cumpunente armonicu nantu à u sistema pò esse investigatu separatamente. Per quessa, e caratteristiche di risposta di sistemi lineari cù paràmetri custanti ponu esse descritte da risposta impulsu o risposta di frequenza.

A risposta di l'impulsu si riferisce à a risposta di u sistema à l'impulsu unità, chì caratterizeghja e caratteristiche di risposta di u sistema in u duminiu di u tempu. A risposta di frequenza si riferisce à a caratteristica di risposta di u sistema à l'input armonicu unità. A currispundenza trà i dui hè determinata. da a trasformata di Fourier.

classificazione

A vibrazione lineare pò esse divisa in vibrazioni lineari di sistema di unicu gradu di libertà è vibrazioni lineari di sistema multi-gradu di libertà.

(1) a vibrazione lineale di un sistema di unicu gradu di libertà hè una vibrazione lineale chì a so pusizione pò esse determinata da una coordenada generalizata. vibrazione armonica, vibrazione libera, vibrazione attenuante è vibrazione forzata.

Vibrazione armonica simplice : u muvimentu alternativu di un ughjettu vicinu à a so pusizioni d'equilibriu secondu una lege sinusoidale sottu à l'azzione di una forza restitutiva proporzionale à u so spustamentu.

Vibrazione smorzata: vibrazione chì l'amplitude hè attenuata continuamente da a presenza di attritu è ​​resistenza dielettrica o altri cunsumu d'energia.

Vibrazione furzata : vibrazione di un sistema sottu eccitazione constante.

(2) a vibrazione lineale di u sistema multi-gradu di libertà hè a vibrazione di u sistema lineale cù n≥2 gradi di libertà. Un sistema di n gradi di libertà hà n frequenze naturali è n modi principali. Qualchese cunfigurazione di vibrazione di u sistema pò esse rapprisintatu cum'è una cumminazione lineale di i modi principali. Per quessa, u metudu di superposizione di u modu principale hè largamente utilizatu in l'analisi di risposta dinamica di sistemi multi-dof. a misurazione è l'analisi di e caratteristiche di vibrazione naturali di u sistema diventa un passu di rutina in u disignu dinamicu di u sistema. E caratteristiche dinamiche di sistemi multi-dof ponu ancu esse descritte da caratteristiche di freccia. Siccomu ci hè una funzione caratteristica di freccia trà ogni input è output, una matrice di caratteristiche di frequenza hè custruitu. Ci hè una relazione definita trà a caratteristica di frequenza è u modu principale. A curva caratteristica di amplitude-frequenza di u sistema multi-libertà hè sfarente da quella di u sistema di libertà unica.

Vibrazioni lineari di un sistema unicu gradu di libertà

Una vibrazione lineale in quale a pusizione di un sistema pò esse determinata da una coordenada generalizata. Hè a vibrazione più simplice è fundamentale da quale parechji cuncetti basi è e caratteristiche di a vibrazione ponu esse derivati. Include a vibrazione armonica simplice, a vibrazione ammortizzata è a vibrazione forzata. .

Vibrazione armonica

Sottu à l'azzione di ristabilisce a forza proporzionale à u spustamentu, l'ughjettu si ripruduce in una manera sinusoidale vicinu à a so pusizioni d'equilibriu (FIG. 1).X rapprisenta u spustamentu è t rapprisenta u tempu. L'espressione matematica di sta vibrazione hè:

(1)Induve A hè u valore massimu di u spustamentu x, chì hè chjamatu amplitude, è rapprisenta l'intensità di a vibrazione; Omega n hè l'amplitude Incrementu di l'angolo di a vibrazione per seconda, chì hè chjamatu frequenza angulare, o frequenza circular; Hè chjamatu a fase iniziale. In termini di f= n/2, u numeru di oscillazioni per seconda hè chjamatu a frequenza; L'inversa di questu, T=1/f, hè u tempu chì ci vole à oscillari unu. ciclu, è chì hè chjamatu u periodu.Ampitude A, freccia f (o freccia angulari n), a fase iniziale, canusciutu comu simprici vibration harmonic trè elementi.

FIG. 1 curva di vibrazione armonica simplice

Cum'è mostra in FIG. 2, un oscillatore armonicu simplice hè furmatu da a massa cuncentrata m cunnessa da una primavera lineale. Quandu u spostamentu di vibrazione hè calculatu da a pusizione di equilibriu, l'equazioni di vibrazione hè:

Induve hè a rigidità di a molla. A suluzione generale di l'equazioni sopra hè (1).A è pò esse determinata da a pusizione iniziale x0 è a velocità iniziale à t=0:

Ma omega n hè solu determinata da e caratteristiche di u sistema stessu m è k, indipindentamente di e cundizioni iniziali supplementari, cusì omega n hè ancu cunnisciutu com'è freccia naturali.

FIG. 2 sistema unicu gradu di libertà

Per un oscillatore armonicu simplice, a summa di a so energia cinetica è l'energia potenziale hè constante, vale à dì, l'energia meccanica tutale di u sistema hè cunservata. In u prucessu di vibrazione, l'energia cinetica è l'energia potenziale sò constantemente trasfurmate in l'altru.

A vibrazione ammortizzante

Una vibrazione chì a so amplitude hè attenuata continuamente da a friczione è a resistenza dielettrica o un altru cunsumu d'energia. Per a micro vibrazione, a velocità hè generalmente micca assai grande, è a resistenza media hè proporzionale à a velocità à u primu putere, chì pò esse scrittu cum'è c hè u coefficient damping. Per quessa, l'equazioni di vibrazione di un gradu di libertà cù un damping lineale pò esse scrittu cum'è:

(2)Induve, m = c/2m hè chjamatu u paràmetru damping, è. A suluzione generale di a formula (2) pò esse scritta:

(3)A relazione numerica trà omega n è PI pò esse divisa in i trè casi seguenti:

N > (in u casu di un picculu smorzamentu) particella prodotta vibrazione d'attenuazione, l'equazioni di vibrazione hè:

A so amplitude diminuisce cù u tempu secondu a lege esponenziale mostrata in l'equazioni, cum'è mostra in a linea punteggiata in FIG. 3.Strictamente parlante, sta vibrazione hè aperiodica, ma a freccia di u so piccu pò esse definitu cum'è:

Hè chjamatu u ritmu di riduzzione di l'amplitude, induve hè u periodu di vibrazione. U logaritmu naturali di a tarifa di riduzzione di l'amplitude hè chjamatu logaritmu minus (amplitude). Ovviamente, =, in questu casu, hè uguali à 2/1. prova spirimintali delta è, usendu a formula sopra pò esse calculata c.

À questu tempu, a suluzione di l'equazioni (2) pò esse scritta:

Inseme cù a direzzione di a velocità iniziale, pò esse divisu in trè casi senza vibrazione cum'è mostra in FIG. 4.

N < (in u casu di un grande damping), a suluzione à l'equazioni (2) hè mostrata in l'equazioni (3). À questu puntu, u sistema ùn hè più vibratu.

Vibrazione forzata

A vibrazione di un sistema sottu à l'excitazione constante. L'analisi di vibrazione investiga principalmente a risposta di u sistema à l'excitazione. L'excitazione periodica hè una excitazione regulare tipica. Dapoi l'excitazione periodica pò esse sempre scomposta in a somma di parechji excitazioni armoniche, secondu u principiu di superposizione, solu. a risposta di u sistema à ogni eccitazione armonica hè necessariu. Sottu l'azzione di l'excitazione armonica, l'equazione differenziale di u muvimentu di un sistema di libertà smorzatu pò esse scrittu:

A risposta hè a summa di dui parti. Una parte hè a risposta di a vibrazione ammortizzata, chì decade rapidamente cù u tempu. A risposta di una altra parte di vibrazione forzata pò esse scritta:

FIG. 3 curva di vibrazione ammortizzata

FIG. 4 curve di trè cundizioni iniziali cù ammortizzamentu criticu

Scrivite in u

H /F0 = h (), hè u rapportu di l'ampiezza di risposta stabile à l'ampiezza di eccitazione, chì caratterizeghja e caratteristiche di ampiezza-frequenza, o funzione di guadagnà; Bits per a risposta in u statu stazionariu è l'incentivazione di a fase, a carattarizazione di e caratteristiche di frequenza di fase. a frequenza di eccitazione hè mostrata in FIG. 5 è FIG. 6.

Comu pò esse vistu da a curva di amplitude-frequenza (FIG. 5), in u casu di un picculu ammortizzamentu, a curva di amplitude-frequenza hà un solu piccu. chjamatu a freccia di risonanza di u sistema. In u casu di un picculu ammortizzamentu, a freccia di risonanza ùn hè micca assai diversa da a frequenza naturale. frequenza, l'amplitude aumenta bruscamente. Stu fenominu hè chjamatu resonance.At resonance, u guadagnu di u sistema hè maximizatu, vale à dì, a vibrazione furzata hè a più intensa.Per quessa, in generale, sempre strive to avoid resonance, salvo chì certi strumenti è equipaghji per utilizà a resonance per ottene grandi. vibrazione.

FIG. Curva di frequenza di amplitude 5

Pò esse vistu da a curva di frequenza di fasi (figura 6), indipendentemente da a dimensione di l'ammortizzamentu, in bits di differenza di fase omega zero = PI / 2, sta caratteristica pò esse usata in modu efficace in a misurazione di a resonanza.

In più di l'excitazione stabile, i sistemi si scontranu à volte l'excitazione instabile. Pò esse apprussimatamente divisu in dui tipi: unu hè l'impattu subitu. U sicondu hè l'effettu durà di l'arbitrariu.

Un strumentu putente per analizà a vibrazione instabile hè u metudu di risposta à l'impulsu. Descrive e caratteristiche dinamiche di u sistema cù a risposta transitoria di l'input di l'impulse unità di u sistema. L'impulsu unità pò esse spressione cum'è una funzione delta. In ingegneria, u delta. A funzione hè spessu definita cum'è:

Induve 0- rapprisenta u puntu nantu à l'assi t chì si avvicina à cero da a manca; 0 plus hè u puntu chì và à 0 da a diritta.

FIG. Curva di frequenza di 6 fasi

FIG. 7 ogni input pò esse cunsideratu cum'è a somma di una seria di elementi di impulsu

U sistema currisponde à a risposta h(t) generata da l'impulsu unità à t = 0, chì hè chjamata funzione di risposta à l'impulsu. Assumindu chì u sistema hè stazionariu prima di l'impulsu, h (t) = 0 per t<0. a funzione di risposta impulsu di u sistema, pudemu truvà a risposta di u sistema à qualsiasi input x (t). À questu puntu, pudete pensà à x (t) cum'è a summa di una seria di elementi di impulsu (FIG. 7). .A risposta di u sistema hè:

Basatu annantu à u principiu di superposizione, a risposta tutale di u sistema chì currisponde à x (t) hè:

Questa integrale hè chjamata integrale di cunvoluzione o integrale di superposizione.

Vibrazione lineale di un sistema multi-gradu di libertà

Vibrazione di un sistema lineare cù n≥2 gradi di libertà.

A figura 8 mostra dui sottosistemi risonanti simplici cunnessi da una molla di accoppiamentu. Perchè hè un sistema di dui gradi di libertà, duie coordenate indipindenti sò necessarie per determinà a so pusizioni. Ci sò duie frequenze naturali in questu sistema:

Ogni frequenza currisponde à un modu di vibrazione. L'oscillatori armonichi realizanu oscillazioni armoniche di a listessa frequenza, passendu in modu sincronu per a pusizione di equilibriu è ghjunghje sincronicamente à a pusizione estrema. a vibrazione principale chì currisponde à omega omega two, omega omega one.In a vibrazione principale, u rapportu di spustamentu di ogni massa mantene un certa relazione è forma un certu modu, chì hè chjamatu u modu principale o u modu naturali. L'ortogonalità di massa è rigidità esiste trà i modi principali, chì riflette l'indipendenza di ogni vibrazione. A freccia naturali è u modu principale rapprisentanu e caratteristiche di vibrazione inherente di u sistema multi-gradu di libertà.

FIG. 8 sistema cù parechji gradi di libertà

Un sistema di n gradi di libertà hà n frequenze naturali è n modi principali. Qualchese cunfigurazione di vibrazione di u sistema pò esse rapprisentatu cum'è una cumminazione lineale di i modi principali. -dof systems.In questu modu, a misurazione è l'analisi di e caratteristiche di vibrazione naturali di u sistema diventa un passu di rutina in u disignu dinamicu di u sistema.

E caratteristiche dinamiche di i sistemi multi-dof ponu ancu esse descritte da caratteristiche di frequenza. Siccomu ci hè una funzione caratteristica di freccia trà ogni input è output, una matrice caratteristica di freccia hè custruita. A curva caratteristica amplitude-frequency di u sistema multi-libertà hè sfarente. da quellu di u sistema di libertà unica.

L'elastomer vibra

U sistema di multi-gradu di libertà sopra hè un mudellu meccanicu apprussimativu di elastomer.An elastomer hà un nùmeru infinitu di gradi di libertà.Ci hè una diferenza quantitativa, ma nisuna differenza essenziale trà i dui.Any elastomer hà un nùmeru infinitu di frequenze naturali è un numeru infinitu di modi currispundenti, è ci hè ortogonalità trà i modi di massa è rigidità. Qualchese cunfigurazione vibrazionale di l'elastomeru pò ancu esse rapprisintatu cum'è lineale. superposition of the major modes.Therefore, per l'analisi di risposta dinamica di l'elastomer, u metudu di superposizione di u modu principale hè sempre applicabile (vede a vibrazione lineale di elastomer).

Pigliate a vibrazione di una corda. Dicemu chì una corda fina di massa m per unità di lunghezza, longa l, hè tensionata à i dui estremità, è a tensione hè T. À questu tempu, a freccia naturali di a corda hè determinata da i seguenti. equazione:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Induve, hè a velocità di propagazione di l'onda trasversale longu a direzzione di a corda. E frequenze naturali di e corde passanu per esse multiplici di a freccia fundamentale nantu à 2l. Questa multiplicità integer porta à una struttura armonica piacevule. In generale, ùn ci hè micca. tali relazione multipla intera trà e frequenze naturali di l'elastomeru.

I primi trè modi di a corda tensionata sò mostrati in FIG. 9. Ci sò parechji nodi nantu à a curve di u modu principale. In a vibrazione principale, i nodi ùn vibranu micca. 10 mostra parechji modi tipici di a piastra circulare sustinuta circunferenzialmente cù alcune linee nodali cumposti da cerchi è diametri.

A formulazione esatta di u prublema di vibrazione di l'elastomeru pò esse cunclusu cum'è u prublema di valore di u cunfini di l'equazioni differenziali parziali. Tuttavia, a suluzione esatta pò esse truvata solu in certi di i casi più sèmplice, cusì avemu da ricurdà à a suluzione apprussimata per l'elastomeru cumplessu. Problema di vibrazione. L'essenza di diverse suluzioni apprussimativa hè di cambià l'infinitu à u finitu, vale à dì, per discretizà u sistema multi-gradu di libertà senza membri (sistema cuntinuu) in un sistema finitu multi-gradu di libertà (sistema discretu). Ci sò dui tipi di metudi discretization largamente usatu in analisi ingegneria: metudu elementi finitu è ​​mètudu sintesi modali.

FIG. 9 modu di corda

FIG. 10 modalità di piastra circular

U metudu di elementi finiti hè una struttura composta chì astrae una struttura cumplessa in un numeru finitu di elementi è li cunnetta in un numeru finitu di nodi. Ogni unità hè un elastomeru; U spustamentu di distribuzione di l'elementu hè spressione da a funzione d'interpolazione di u spostamentu di nodu. i paràmetri di distribuzione di ogni elementu sò cuncentrati à ogni node in un certu formatu, è u mudellu meccanicu di u sistema discretu hè ottenutu.

A sintesi modale hè a scomposizione di una struttura cumplessa in parechje substrutture più simplici. À a basa di capiscenu e caratteristiche di vibrazione di ogni sottostruttura, a sottostruttura hè sintetizzata in una struttura generale secondu e cundizioni di coordinazione nantu à l'interfaccia, è a morfologia di vibrazione di u generale. a struttura hè ottenuta da a morfologia di vibrazione di ogni sottostruttura.

I dui metudi sò diffirenti è rilativi, è ponu esse usatu cum'è riferimentu. U metudu di sintesi modale pò ancu esse cumminatu in modu efficace cù a misurazione spirimintali per furmà un metudu d'analisi teoricu è sperimentale per a vibrazione di grandi sistemi.