Co je lineární vibrace?

Lineární vibrace: elasticita komponent v systému podléhá hookeovu zákonu a tlumicí síla generovaná během pohybu je úměrná první rovnici zobecněné rychlosti (časová derivace zobecněných souřadnic).

pojem

Lineární systém je obvykle abstraktní model vibrací reálného systému. Systém lineárních vibrací uplatňuje princip superpozice, to znamená, že odezva systému je y1 při působení vstupu x1 a y2 při působení vstupu x2, pak odezva systému při působení vstupu x1 a x2 je y1+y2.

Na základě principu superpozice lze libovolný vstup rozložit na součet řady nekonečně malých impulsů a pak získat celkovou odezvu systému. Součet harmonických složek periodického buzení lze rozšířit na řady harmonických složek Fourierovou transformací a vliv každé harmonické složky na systém lze zkoumat samostatně. Charakteristiky odezvy lineárních systémů s konstantními parametry lze proto popsat pomocí impulsní odezvy nebo frekvenční odezvy.

Impulzní odezva se týká odezvy systému na jednotkový impulz, který charakterizuje charakteristiky odezvy systému v časové oblasti. Frekvenční odezva se týká odezvové charakteristiky systému na jednotkový harmonický vstup. Shoda mezi těmito dvěma je určena Fourierovou transformací.

klasifikace

Lineární vibrace lze rozdělit na lineární vibrace systému s jedním stupněm volnosti a lineární vibrace systému s více stupni volnosti.

(1) lineární vibrace systému s jedním stupněm volnosti jsou lineární vibrace, jejichž poloha může být určena zobecněnou souřadnicí. Jde o nejjednodušší vibraci, ze které lze odvodit mnoho základních pojmů a charakteristik vibrací. harmonické vibrace, volné vibrace, útlumové vibrace a vynucené vibrace.

Jednoduché harmonické kmitání: vratný pohyb předmětu v blízkosti jeho rovnovážné polohy podle sinusového zákona působením vratné síly úměrné jeho posunutí.

Tlumené vibrace: vibrace, jejichž amplituda je neustále tlumena přítomností tření a dielektrického odporu nebo jiné spotřeby energie.

Nucená vibrace: vibrace systému při konstantním buzení.

(2) lineární vibrace systému s více stupni volnosti jsou vibracemi lineárního systému s n≥2 stupni volnosti. Systém s n stupni volnosti má n vlastních frekvencí a n hlavních režimů. Jakákoli konfigurace vibrací Systém může být reprezentován jako lineární kombinace hlavních režimů. Proto je metoda superpozice hlavního režimu široce používána při analýze dynamické odezvy systémů s více stupni stupnů. Tímto způsobem je měření a analýza charakteristik přirozených vibrací systému se stává rutinním krokem v dynamickém návrhu systému. Dynamické charakteristiky vícestupňových systémů lze také popsat frekvenčními charakteristikami. Protože mezi každým vstupem a výstupem existuje funkce frekvenční charakteristiky, je zkonstruována matice frekvenční charakteristiky .Mezi frekvenční charakteristikou a hlavním režimem existuje určitý vztah. Křivka amplitudově-frekvenční charakteristiky systému s více volností je odlišná od křivky systému s jednou volností.

Lineární vibrace systému jednoho stupně volnosti

Lineární vibrace, ve kterých lze polohu systému určit zobecněnou souřadnicí. Jedná se o nejjednodušší a nejzákladnější vibraci, ze které lze odvodit mnoho základních konceptů a charakteristik vibrací. Zahrnuje jednoduché harmonické vibrace, tlumené vibrace a vynucené vibrace. .

Harmonické vibrace

Při působení vratné síly úměrné posunutí se objekt pohybuje sinusovým způsobem blízko své rovnovážné polohy (obr. 1). X představuje posunutí a t představuje čas. Matematické vyjádření této vibrace je:

(1)kde A je maximální hodnota posunutí x, která se nazývá amplituda a představuje intenzitu vibrace; Omega n je amplituda Úhlový přírůstek vibrací za sekundu, který se nazývá úhlová frekvence nebo kruhová frekvence; se nazývá počáteční fáze. Pokud jde o f= n/2, počet kmitů za sekundu se nazývá frekvence; Převrácená hodnota, T=1/f, je doba potřebná k rozkmitání jedné cyklus, a to se nazývá perioda. Amplituda A, frekvence f (nebo úhlová frekvence n), počáteční fáze, známá jako jednoduchá harmonická vibrace tří prvků.

OBR. 1 jednoduchá harmonická vibrační křivka

Jak je znázorněno na Obr. 2 je jednoduchý harmonický oscilátor tvořen koncentrovanou hmotou m spojenou lineární pružinou. Když se vibrační výchylka počítá z rovnovážné polohy, vibrační rovnice je:

Kde je tuhost pružiny. Obecné řešení výše uvedené rovnice je (1).A a může být určeno počáteční polohou x0 a počáteční rychlostí v t=0:

Ale omega n je určena pouze charakteristikami samotného systému ma k, nezávisle na dalších počátečních podmínkách, takže omega n je také známá jako vlastní frekvence.

OBR. 2 systém jednoho stupně volnosti

U jednoduchého harmonického oscilátoru je součet jeho kinetické energie a potenciální energie konstantní, to znamená, že celková mechanická energie systému je zachována. V procesu vibrace se kinetická energie a potenciální energie neustále vzájemně přeměňují.

Tlumící vibrace

Vibrace, jejichž amplituda je neustále tlumena třením a dielektrickým odporem nebo jinou spotřebou energie. U mikrovibrací není rychlost obecně příliš velká a střední odpor je úměrný rychlosti k prvnímu mocninu, což lze zapsat jako c koeficient tlumení. Proto lze vibrační rovnici jednoho stupně volnosti s lineárním tlumením zapsat jako:

(2)Kde m =c/2m se nazývá parametr tlumení a. Obecné řešení vzorce (2) lze napsat:

(3)Číselný vztah mezi omega n a PI lze rozdělit do následujících tří případů:

N > (v případě malého tlumení) částice produkovala útlum vibrací, rovnice vibrací je:

Jeho amplituda klesá s časem podle exponenciálního zákona uvedeného v rovnici, jak je znázorněno tečkovanou čarou na OBR. 3. Přísně vzato, tato vibrace je aperiodická, ale frekvenci jejího vrcholu lze definovat jako:

Nazývá se míra snížení amplitudy, kde je perioda vibrací. Přirozený logaritmus míry snížení amplitudy se nazývá míra logaritmu mínus (amplituda). Je zřejmé, že = se v tomto případě rovná 2/1. experimentální test delta a pomocí výše uvedeného vzorce lze vypočítat c.

V tuto chvíli lze řešení rovnice (2) napsat:

Spolu se směrem počáteční rychlosti může být rozdělena do tří nevibračních případů, jak je znázorněno na Obr. 4.

N < (v případě velkého tlumení) je řešení rovnice (2) znázorněno v rovnici (3). V tomto bodě již systém nevibruje.

Nucené vibrace

Vibrace systému při konstantním buzení. Analýza vibrací zkoumá hlavně odezvu systému na buzení. Periodické buzení je typické pravidelné buzení. Protože periodické buzení lze vždy rozložit na součet několika harmonických buzení, podle principu superpozice pouze je vyžadována odezva systému na každé harmonické buzení. Působením harmonického buzení může být diferenciální pohybová rovnice systému s jedním stupněm volnosti tlumena napsáno:

Odpověď je součtem dvou částí. Jedna část je odezva na tlumené vibrace, která se s časem rychle snižuje. Odezvu další části vynucené vibrace lze napsat:

OBR. 3 křivka tlumených vibrací

OBR. 4 křivky tří počátečních podmínek s kritickým tlumením

Zadejte

H /F0= h (), je poměr amplitudy ustálené odezvy k amplitudě buzení, charakterizující amplitudově-frekvenční charakteristiky nebo funkci zesílení;Bity pro ustálenou odezvu a stimulaci fáze, charakterizace fázových frekvenčních charakteristik. Vztah mezi nimi a budicí frekvence je uvedena na Obr. 5 a OBR. 6.

Jak je vidět z křivky amplitudy-frekvence (obr. 5), v případě malého tlumení má křivka amplitudy-frekvence jeden vrchol. Čím menší je tlumení, tím strmější je vrchol. Frekvence odpovídající vrcholu je tzv. rezonanční frekvence systému.V případě malého tlumení se rezonanční frekvence příliš neliší od vlastní frekvence.Když je frekvence buzení blízká vlastní frekvenci, amplituda se zvyšuje ostře. Tento jev se nazývá rezonance. Při rezonanci je zisk systému maximalizován, to znamená, že vynucená vibrace je nejintenzivnější. Proto se obecně vždy snažte rezonanci vyhnout, pokud některé přístroje a zařízení pomocí rezonance dosáhnout velkých vibrace.

OBR. 5 amplitudová frekvenční křivka

Lze vidět z křivky fázového kmitočtu (obrázek 6), bez ohledu na velikost tlumení, v bitech omega nulového fázového rozdílu = PI / 2 lze tuto charakteristiku efektivně využít při měření rezonance.

Kromě ustáleného buzení se systémy někdy setkávají s nestabilním buzením. Lze jej zhruba rozdělit na dva typy: jedním je náhlý náraz. Druhým je trvalý účinek libovůle. Při nestabilním buzení je také reakce systému nestabilní.

Výkonným nástrojem pro analýzu nestacionárních vibrací je metoda impulsní odezvy. Popisuje dynamické charakteristiky systému s přechodovou odezvou jednotkového impulsního vstupu systému. Jednotkový impuls může být vyjádřen jako funkce delta. Ve strojírenství delta funkce je často definována jako:

Kde 0- představuje bod na ose t, který se blíží nule zleva; 0 plus je bod, který jde k 0 zprava.

OBR. 6 fázová frekvenční křivka

OBR. 7 libovolný vstup lze považovat za součet řady impulsních prvků

Systém odpovídá odezvě h(t) generované jednotkovým impulsem v t=0, která se nazývá funkce impulsní odezvy. Za předpokladu, že systém stojí před impulsem, h(t)=0 pro t<0. funkce impulsní odezvy systému, můžeme najít odezvu systému na libovolný vstup x(t). V tomto bodě si můžete x(t) představit jako součet řady impulsních prvků (OBR. 7) . odezva systému je:

Na základě principu superpozice je celková odezva systému odpovídající x(t):

Tento integrál se nazývá konvoluční integrál nebo superpoziční integrál.

Lineární vibrace systému s mnoha stupni volnosti

Vibrace lineárního systému s n≥2 stupni volnosti.

Obrázek 8 ukazuje dva jednoduché rezonanční subsystémy spojené spojovací pružinou. Protože se jedná o systém se dvěma stupni volnosti, jsou k určení jeho polohy zapotřebí dvě nezávislé souřadnice. V tomto systému jsou dvě vlastní frekvence:

Každá frekvence odpovídá režimu vibrací. Harmonické oscilátory provádějí harmonické oscilace stejné frekvence, synchronně procházejí rovnovážnou polohou a synchronně dosahují krajní polohy. V hlavní vibraci odpovídající omega jedna je x1 rovno x2; hlavní vibrace odpovídající omega omega 2, omega omega 1. V hlavní vibraci si poměr posunutí každé hmoty udržuje určitý vztah a tvoří určitý režim, který se nazývá hlavní režim nebo přirozený režim. Mezi hlavními režimy existuje ortogonalita hmotnosti a tuhosti, která odráží nezávislost každé vibrace. Vlastní frekvence a hlavní režim představují vlastní vibrační charakteristiky systému více stupňů volnosti.

OBR. 8 systém s více stupni volnosti

Systém o n stupních volnosti má n vlastních frekvencí a n hlavních režimů. Jakákoli konfigurace vibrací systému může být reprezentována jako lineární kombinace hlavních režimů. Proto je metoda superpozice hlavního režimu široce používána při analýze dynamické odezvy více -dof systémy. Tímto způsobem se měření a analýza charakteristik přirozených vibrací systému stává rutinním krokem v dynamickém návrhu systému.

Dynamické charakteristiky systémů s více stupni volnosti lze také popsat frekvenčními charakteristikami. Protože mezi každým vstupem a výstupem existuje funkce frekvenční charakteristiky, je zkonstruována matice frekvenční charakteristiky. Křivka amplitudově-frekvenční charakteristiky systému s více volností je různá od systému jediné svobody.

Elastomer vibruje

Výše uvedený vícestupňový systém volnosti je přibližný mechanický model elastomeru. Elastomer má nekonečný počet stupňů volnosti. Existuje kvantitativní rozdíl, ale není mezi nimi žádný podstatný rozdíl. Jakýkoli elastomer má nekonečný počet vlastních frekvencí a nekonečný počet odpovídajících módů a mezi módy hmoty a tuhosti existuje ortogonalita. Jakákoli vibrační konfigurace elastomeru může být také reprezentována jako lineární superpozice hlavních módů. Pro analýzu dynamické odezvy elastomeru je proto stále použitelná metoda superpozice hlavního módu (viz lineární vibrace elastomeru).

Vezměme vibraci struny. Řekněme, že tenká struna o hmotnosti m na jednotku délky, dlouhá l, je napnuta na obou koncích a napětí je T. V tomto okamžiku je vlastní frekvence struny určena následujícím způsobem: rovnice:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Kde, je rychlost šíření příčné vlny ve směru struny. Vlastní frekvence strun jsou náhodou násobky základní frekvence přes 2 l. Tato celočíselná násobnost vede k příjemné harmonické struktuře. Obecně neexistuje takový celočíselný násobný vztah mezi vlastními frekvencemi elastomeru.

První tři režimy napínané struny jsou znázorněny na Obr. 9. Na křivce hlavního režimu jsou některé uzly. Při hlavní vibraci uzly nevibrují. 10 ukazuje několik typických režimů obvodově podepřené kruhové desky s některými uzlovými liniemi složenými z kružnic a průměrů.

Přesnou formulaci problému vibrací elastomerů lze uzavřít jako okrajový problém parciálních diferenciálních rovnic. Přesné řešení však lze nalézt pouze v některých nejjednodušších případech, takže se musíme uchýlit k přibližnému řešení pro komplexní elastomer. vibrační problém.Podstatou různých přibližných řešení je změna nekonečného na konečné, to znamená diskretizace systému více stupňů volnosti bez končetin (spojitého systému) na konečný vícestupňový systém volnosti (diskrétní systém). Existují dva druhy diskretizačních metod široce používaných v inženýrské analýze: metoda konečných prvků a metoda modální syntézy.

OBR. 9 režim struny

OBR. 10 režim kruhové desky

Metoda konečných prvků je složená struktura, která abstrahuje složitou strukturu na konečný počet prvků a spojuje je v konečném počtu uzlů. Každá jednotka je elastomer; Distribuční posunutí prvku je vyjádřeno interpolační funkcí posunutí uzlů. distribuční parametry každého prvku jsou soustředěny do každého uzlu v určitém formátu a je získán mechanický model diskrétního systému.

Modální syntéza je rozklad složité struktury na několik jednodušších substruktur. Na základě pochopení vibračních charakteristik každé substruktury je substruktura syntetizována do obecné struktury podle koordinačních podmínek na rozhraní a morfologie vibrací obecné struktury. struktura je získána použitím morfologie vibrací každé podstruktury.

Tyto dvě metody jsou různé a příbuzné a lze je použít jako referenční. Metodu modální syntézy lze také efektivně kombinovat s experimentálním měřením za účelem vytvoření metody teoretické a experimentální analýzy vibrací velkých systémů.