Beth yw dirgryniad llinol?

Dirgryniad llinol: Mae hydwythedd cydrannau yn y system yn destun cyfraith Hooke, ac mae'r grym tampio a gynhyrchir yn ystod y cynnig yn gymesur ag hafaliad cyntaf y cyflymder cyffredinol (deilliad amser o'r cyfesurynnau cyffredinol).

cysyniad

Mae'r system linellol fel arfer yn fodel haniaethol o ddirgryniad system go iawn. Mae'r system dirgryniad llinol yn cymhwyso'r egwyddor arosodiad, hynny yw, os yw ymateb y system yn Y1 o dan weithred mewnbwn x1, ac y2 o dan weithred mewnbwn x2, yna ymateb y system o dan weithred mewnbwn x1 a x2 yw y1+y2.

Ar sail egwyddor arosodiad, gellir dadelfennu mewnbwn mympwyol i swm cyfres o ysgogiadau anfeidrol, ac yna gellir cael cyfanswm ymateb y system. Gellir ehangu swm cydrannau harmonig cyffro cyfnodol i fod yn cyfres o gydrannau harmonig yn ôl trawsnewidiad Fourier, a gellir ymchwilio i effaith pob cydran harmonig ar y system ar wahân. Cyn hynny, gall nodweddion ymateb systemau llinellol â pharamedrau cyson fod a ddisgrifir gan ymateb impulse neu ymateb amledd.

Mae ymateb impulse yn cyfeirio at ymateb y system i'r impulse uned, sy'n nodweddu nodweddion ymateb y system yn y parth amser. Mae ymateb amledd yn cyfeirio at nodwedd ymateb y system i fewnbwn harmonig yr uned. Mae'r ohebiaeth rhwng y ddau yn cael ei phennu gan y Fourier Transform.

nosbarthiadau

Gellir rhannu dirgryniad llinol yn ddirgryniad llinol system rhyddid un radd a dirgryniad llinol system aml-radd-o-frwd.

(1) Mae dirgryniad llinol system un radd-o-o-o-frwd yn ddirgryniad llinol y gellir pennu ei safle trwy gyfesuryn cyffredinol. Dyma'r dirgryniad symlaf y gellir deillio o lawer o gysyniadau sylfaenol a nodweddion dirgryniad. Dirgryniad harmonig, dirgryniad rhydd, dirgryniad gwanhau a dirgryniad gorfodol.

Dirgryniad harmonig syml: Cynnig cilyddol gwrthrych yng nghyffiniau ei safle ecwilibriwm yn ôl deddf sinwsoidaidd o dan weithred grym adfer sy'n gymesur â'i ddadleoliad.

Dirgryniad llaith: Dirgryniad y mae ei osgled yn cael ei wanhau'n barhaus gan bresenoldeb ffrithiant ac ymwrthedd dielectrig neu ddefnydd ynni arall.

Dirgryniad Gorfodol: Dirgryniad system o dan gyffro cyson.

(2) Dirgryniad llinol y system aml-radd-o-ryddid yw dirgryniad y system linellol sydd â n≥2 gradd o ryddid. Mae gan system n graddau rhyddid N amleddau naturiol N a phrif moddau n Cyfluniad dirgryniad. o'r system gellir ei chynrychioli fel cyfuniad llinol o'r prif foddau. Cyn hynny, defnyddir y prif ddull arosodiad modd yn helaeth mewn dadansoddiad ymateb deinamig o systemau aml-DOF. Yn y ffordd hon, mae mesur a dadansoddi nodweddion dirgryniad naturiol y system yn dod yn gam arferol yn nyluniad deinamig y system. Gellir disgrifio nodweddion deinamig systemau aml-DOF hefyd yn ôl nodweddion amledd. Gan fod swyddogaeth nodweddiadol amledd rhwng pob mewnbwn ac allbwn, mae matrics nodweddiadol amledd yn cael ei adeiladu. Mae perthynas bendant rhwng y nodwedd amledd a'r prif fodd. Mae cromlin nodweddiadol amledd osgled y system aml-ryddid yn wahanol i un y system un-ryddid.

Dirgryniad llinol un radd o system ryddid

Dirgryniad llinol lle gellir pennu lleoliad system trwy gyfesuryn cyffredinol. Dyma'r dirgryniad symlaf a mwyaf sylfaenol y gellir deillio o lawer o gysyniadau sylfaenol a nodweddion dirgryniad. Mae'n cynnwys dirgryniad harmonig syml, dirgryniad llaith a dirgryniad gorfodol .

Dirgryniad harmonig

O dan y weithred o adfer grym sy'n gymesur â'r dadleoliad, mae'r gwrthrych yn dychwelyd mewn modd sinwsoidaidd ger ei safle ecwilibriwm (mae Ffig. 1) .x yn cynrychioli'r dadleoliad ac mae T yn cynrychioli'r amser. Mynegiad mathemategol y dirgryniad hwn yw:

(1)Lle mai A yw gwerth uchaf dadleoli x, a elwir yn osgled, ac mae'n cynrychioli dwyster y dirgryniad; omega n yw cynyddiad ongl osgled y dirgryniad yr eiliad, a elwir yn amledd onglog, neu'r amledd cylchol; yn cael ei alw'n gam cychwynnol. Yn nhermau f = n/2, gelwir nifer yr osgiliadau yr eiliad yn amledd; gwrthdro hyn, t = 1/f, yw'r amser y mae'n ei gymryd i oscilio un cylch, a gelwir hynny yn gyfnod. Amrywiaeth A, amledd F (neu amledd onglog N), y cam cychwynnol, a elwir yn ddirgryniad harmonig syml tair elfen.

Ffig. 1 cromlin dirgryniad harmonig syml

Fel y dangosir yn ffig. 2, mae oscillator harmonig syml yn cael ei ffurfio gan y màs dwys m wedi'i gysylltu gan wanwyn llinol. Pan gyfrifir y dadleoliad dirgryniad o safle'r ecwilibriwm, yr hafaliad dirgryniad yw:

Ble mae stiffrwydd y gwanwyn. Yr ateb cyffredinol i'r hafaliad uchod yw (1). A gellir ei bennu yn ôl y safle cychwynnol x0 a'r cyflymder cychwynnol yn t = 0:

Ond dim ond nodweddion y system ei hun M a K y mae Omega N yn cael ei bennu, yn annibynnol ar yr amodau cychwynnol ychwanegol, felly gelwir omega n hefyd yn amledd naturiol.

Ffig. 2 radd sengl o system ryddid

Ar gyfer oscillator harmonig syml, mae swm ei egni cinetig a'i egni potensial yn gyson, hynny yw, mae cyfanswm egni mecanyddol y system yn cael ei warchod. Yn y broses o ddirgryniad, mae egni cinetig ac egni potensial yn cael eu trawsnewid yn gyson i'w gilydd.

Y dirgryniad tampio

Dirgryniad y mae ei osgled yn cael ei wanhau'n barhaus gan ffrithiant ac ymwrthedd dielectrig neu ddefnydd ynni arall. Ar gyfer micro -ddirgryniad, yn gyffredinol nid yw'r cyflymder yn fawr iawn, ac mae'r gwrthiant canolig yn gymesur â'r cyflymder i'r pŵer cyntaf, y gellir ei ysgrifennu fel C yn C yn cael ei Y cyfernod tampio. Yn y blaen, gellir ysgrifennu hafaliad dirgryniad un radd o ryddid gyda dampio llinol fel:

(2)Lle, gelwir m = c/2m yn baramedr tampio, a. Gellir ysgrifennu datrysiad cyffredinol fformiwla (2):

(3)Gellir rhannu'r berthynas rifiadol rhwng omega n a pi yn y tri achos canlynol:

N> (Yn achos tampio bach) gronynnau a gynhyrchir gan ddirgryniad gwanhau, yr hafaliad dirgryniad yw:

Mae ei osgled yn lleihau gydag amser yn ôl y gyfraith esbonyddol a ddangosir yn yr hafaliad, fel y dangosir yn y llinell doredig yn FIG. Siaradwch yn ôl -drict, mae'r dirgryniad hwn yn aperiodig, ond gellir diffinio amlder ei anterth fel:

Yn cael ei alw'n gyfradd lleihau osgled, lle mae'r cyfnod dirgryniad. Gelwir logarithm naturiol y gyfradd lleihau osgled yn gyfradd logarithm minws (osgled). Yn amlwg, =, yn yr achos hwn, yn hafal i 2/1.Direl yn uniongyrchol trwy'r Gellir cyfrifo delta prawf arbrofol a, gan ddefnyddio'r fformiwla uchod c.

Ar yr adeg hon, gellir ysgrifennu datrysiad hafaliad (2):

Ynghyd â chyfeiriad y cyflymder cychwynnol, gellir ei rannu'n dri achos di-ddirgryniad fel y dangosir yn Ffig. 4.

N <(Yn achos tampio mawr), dangosir yr ateb i hafaliad (2) yn Hafaliad (3). Ar y pwynt hwn, nid yw'r system bellach yn dirgrynu.

Dirgryniad gorfodol

Dirgryniad system o dan gyffro cyson. Dadansoddiad Datblygu Yn bennaf yn ymchwilio i ymateb y system i gyffro. Mae angen ymateb y system i bob cyffro harmonig. Ar weithred cyffroi harmonig, gellir ysgrifennu hafaliad gwahaniaethol cynnig un radd o system laith rhyddid:

Yr ymateb yw swm dwy ran. Un rhan yw ymateb dirgryniad llaith, sy'n dadfeilio'n gyflym gydag amser. Gellir ysgrifennu ymateb rhan arall o ddirgryniad gorfodol:

Ffig. 3 Cromlin Dirgryniad Llaith

Ffig. 4 cromlin o dri chyflwr cychwynnol gyda dampio beirniadol

Teipiwch y

H /f0 = h (), yw'r gymhareb osgled ymateb cyson i osgled cyffroi, nodweddu nodweddion amledd osgled, neu ennill swyddogaeth; darnau ar gyfer ymateb cyflwr cyson a chymhelliant cyfnod, nodweddu nodweddion amledd cyfnod. Y berthynas rhyngddynt a Dangosir amledd cyffroi yn Ffig. 5 a ffig. 6.

Fel y gwelir o'r gromlin amledd osgled (Ffig. 5), yn achos tampio bach, mae gan y gromlin amledd osgled gopa sengl. Y lleiaf yw'r tampio, y mwyaf serth yw'r brig; mae'r amledd sy'n cyfateb i'r brig yn a elwir yn amledd soniarus y system. Yn achos tampio bach, nid yw'r amledd cyseiniant yn llawer gwahanol i'r amledd naturiol. Pan fydd y cyffro Mae amlder yn agos at yr amledd naturiol, mae'r osgled yn cynyddu'n sydyn. Gelwir y ffenomen hon yn gyseiniant. Yn gyseiniant, mae ennill y system yn cael ei gynyddu i'r eithaf, hynny yw, y dirgryniad gorfodol yw'r mwyaf dwys. Yn gyffredinol, yn gyffredinol, ymdrechwch bob amser i osgoi cyseiniant, oni bai bod rhai offerynnau ac offer i ddefnyddio cyseiniant i gyflawni mawr i gyflawni mawr dirgryniad.

Ffig. 5 cromlin amledd osgled

Gellir ei weld o'r gromlin amledd cyfnod (Ffigur 6), waeth beth yw maint y tampio, mewn darnau gwahaniaeth cyfnod omega sero = pi / 2, gellir defnyddio'r nodwedd hon yn effeithiol wrth fesur cyseiniant.

Yn ogystal â chyffroi cyson, mae systemau weithiau'n dod ar draws cyffro simsan. Gellir ei rannu'n fras yn ddau fath: un yw'r effaith sydyn. Yr ail yw effaith barhaol mympwyoldeb.under cyffro simsan, mae ymateb y system hefyd yn simsan.

Offeryn pwerus ar gyfer dadansoddi dirgryniad simsan yw'r dull ymateb impulse. Mae'n disgrifio nodweddion deinamig y system gydag ymateb dros dro mewnbwn impulse uned y system. Gellir mynegi'r impulse uned fel swyddogaeth delta.in peirianneg, y delta Diffinnir swyddogaeth yn aml fel:

Lle mae 0- yn cynrychioli'r pwynt ar yr echel-t sy'n agosáu at sero o'r chwith; 0 a mwy yw'r pwynt sy'n mynd i 0 o'r dde.

Ffig. Cromlin Amledd 6 Cyfnod

Ffig. 7 Gellir ystyried unrhyw fewnbwn fel swm cyfres o elfennau impulse

Mae'r system yn cyfateb i'r ymateb h (t) a gynhyrchir gan yr impulse uned yn t = 0, a elwir yn swyddogaeth ymateb impulse. Gan amau ​​bod y system yn llonydd cyn y pwls, h (t) = 0 ar gyfer t <0.knowing Swyddogaeth ymateb impulse y system, gallwn ddod o hyd i ymateb y system i unrhyw fewnbwn x (t). Ar y pwynt hwn, gallwch feddwl am x (t) fel swm cyfres o elfennau impulse (Ffig. 7) Yr ymateb y system yw:

Yn seiliedig ar yr egwyddor arosodiad, cyfanswm ymateb y system sy'n cyfateb i x (t) yw:

Gelwir yr annatod hwn yn argyhoeddiad annatod neu'n annatod arosodiad.

Dirgryniad llinol system aml-radd

Dirgryniad system linellol gyda n≥2 gradd o ryddid.

Mae Ffigur 8 yn dangos dau is-system soniarus syml wedi'u cysylltu gan wanwyn cyplu.because mae'n system dwy radd o ryddid, mae angen dau gyfesuryn annibynnol i bennu ei safle. Mae dau amledd naturiol yn y system hon:

Mae pob amledd yn cyfateb i ddull dirgryniad. Mae'r oscillatwyr harmonig yn cyflawni osgiliadau harmonig o'r un amledd, gan basio yn gydamserol trwy'r safle ecwilibriwm a chyrraedd y safle eithafol yn gydamserol. Yn y prif ddirgryniad sy'n cyfateb i omega un, mae X1 yn hafal i X2; y prif ddirgryniad sy'n cyfateb i omega omega dau, omega omega un.in Mae'r prif ddirgryniad, cymhareb dadleoli pob màs yn cadw perthynas benodol ac yn ffurfio modd penodol, a elwir y prif fodd neu'r modd naturiol. Mae orthogoniaeth màs a stiffrwydd yn bodoli ymhlith y prif foddau, sy'n adlewyrchu annibyniaeth pob dirgryniad . Mae'r amledd naturiol a'r prif fodd yn cynrychioli nodweddion dirgryniad cynhenid ​​aml-radd y system ryddid.

Ffig. 8 system gyda sawl gradd o ryddid

Mae gan system o raddau n rhyddid amleddau naturiol a n prif foddau. Gellir cynrychioli unrhyw gyfluniad dirgryniad y system fel cyfuniad llinol o'r prif foddau. Yn y blaen, defnyddir y prif ddull arosodiad modd yn helaeth mewn dadansoddiad ymateb deinamig o aml -aml -Dof Systems. Yn y ffordd hon, mae mesur a dadansoddi nodweddion dirgryniad naturiol y system yn dod yn gam arferol yn nyluniad deinamig y system.

Gellir disgrifio nodweddion deinamig systemau aml-DOF hefyd yn ôl nodweddion amledd. Mae swyddogaeth nodweddiadol amledd rhwng pob mewnbwn ac allbwn, mae matrics nodweddiadol amledd yn cael ei adeiladu. Mae cromlin nodweddiadol amledd osgled y system aml-ryddid yn wahanol O'r system un-ryddid.

Mae'r elastomer yn dirgrynu

Mae'r aml -radd uchod o system ryddid yn fodel mecanyddol bras o elastomer. Mae gan elastomer nifer anfeidrol o raddau o ryddid. Mae gwahaniaeth meintiol ond dim gwahaniaeth hanfodol rhwng y ddau. Mae gan unrhyw elastomer nifer anfeidrol o amleddau naturiol ac Nifer anfeidrol o foddau cyfatebol, ac mae orthogoniaeth rhwng y dulliau màs a stiffrwydd. Mae unrhyw ddirgrynol Gellir cynrychioli cyfluniad yr elastomer hefyd fel arosodiad llinol y prif foddau. Yn y blaen, ar gyfer dadansoddiad ymateb deinamig o elastomer, mae dull arosodiad y prif fodd yn dal i fod yn berthnasol (gweler dirgryniad llinellol elastomer).

Cymerwch ddirgryniad llinyn. Dywedwch fod llinyn tenau o fàs m fesul hyd uned, hir L, yn cael ei densiwn ar y ddau ben, a bod y tensiwn yn t.at y tro hwn, mae amledd naturiol y llinyn yn cael ei bennu gan y canlynol hafaliad:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Lle, a yw cyflymder lluosogi'r don draws ar hyd cyfeiriad y llinyn. Mae amleddau naturiol y tannau yn digwydd bod yn lluosrifau o'r amledd sylfaenol dros 2L. Mae'r lluosedd cyfanrif hwn yn arwain at strwythur harmonig dymunol. Yn gyffredinol, nid oes unrhyw beth Perthynas luosog gyfanrif o'r fath ymhlith amleddau naturiol yr elastomer.

Dangosir tri dull cyntaf y llinyn tensiwn yn FIG. 9. Mae rhai nodau ar y brif gromlin modd. Yn y prif ddirgryniad, nid yw'r nodau'n dirgrynu.Fig. Mae 10 yn dangos sawl dull nodweddiadol o'r plât crwn a gefnogir yn amgylchynol gyda rhai llinellau nod yn cynnwys cylchoedd a diamedrau.

Gellir dod i ben yr union luniad o'r broblem dirgryniad elastomer fel problem gwerth ffiniol hafaliadau gwahaniaethol rhannol. Sut bynnag, dim ond yn rhai o'r achosion symlaf y gellir dod o hyd i'r union ateb, felly mae'n rhaid i ni droi at yr ateb bras ar gyfer yr elastomer cymhleth Problem Dirgryniad. Hanfod atebion bras amrywiol yw newid yr anfeidrol i'r meidrol, hynny yw, i ddiffygio'r aml-radd heb aelodau system ryddid (system barhaus) i mewn i aml-radd gyfyngedig system ryddid (system arwahanol). Mae dau fath o ddulliau discretization a ddefnyddir yn helaeth wrth ddadansoddi peirianneg: dull elfen gyfyngedig a dull synthesis moddol.

Ffig. 9 Modd Llinyn

Ffig. 10 Modd y Plât Cylchol

Mae dull elfen gyfyngedig yn strwythur cyfansawdd sy'n tynnu strwythur cymhleth i mewn i nifer gyfyngedig o elfennau ac yn eu cysylltu ar nifer gyfyngedig o nodau. Mae uned yn elastomer; mynegir dadleoliad dosbarthu elfen gan swyddogaeth rhyngosod dadleoli nod. Mae paramedrau dosbarthu pob elfen wedi'u crynhoi i bob nod mewn fformat penodol, a cheir model mecanyddol y system arwahanol.

Synthesis Modal yw dadelfennu strwythur cymhleth i sawl is -strwythur symlach. Ar sail deall nodweddion dirgryniad pob is -strwythur, mae'r is -strwythur yn cael ei syntheseiddio'n strwythur cyffredinol yn ôl yr amodau cydgysylltu ar y rhyngwyneb, a morffoleg dirgryniad y Cadfridog Ceir strwythur trwy ddefnyddio morffoleg dirgryniad pob is -strwythur.

Mae'r ddau ddull yn wahanol ac yn gysylltiedig, a gellir eu defnyddio fel cyfeirnod. Gellir cyfuno'r dull synthesis moddol hefyd yn effeithiol â'r mesuriad arbrofol i ffurfio dull dadansoddi damcaniaethol ac arbrofol ar gyfer dirgrynu systemau mawr.