Hvad er lineær vibration?

Lineær vibration: elasticiteten af ​​komponenter i systemet er underlagt krogens lov, og dæmpningskraften, der genereres under bevægelsen, er proportional med den første ligning af den generaliserede hastighed (tidsafledte af de generaliserede koordinater).

begreb

Lineært system er sædvanligvis en abstrakt model for vibration af det virkelige system. Det lineære vibrationssystem anvender superpositionsprincippet, det vil sige, hvis systemets reaktion er y1 under påvirkning af input x1, og y2 under påvirkning af input x2, så er systemets reaktion under påvirkning af input x1 og x2 y1+y2.

På basis af superpositionsprincippet kan et vilkårligt input dekomponeres til summen af ​​en række infinitesimale impulser, og derefter kan systemets samlede respons opnås. Summen af ​​de harmoniske komponenter i en periodisk excitation kan udvides til en serier af harmoniske komponenter ved Fourier-transformation, og effekten af ​​hver harmonisk komponent på systemet kan undersøges separat. Derfor kan responskarakteristika for lineære systemer med konstant parametre kan beskrives ved impulsrespons eller frekvensrespons.

Impulsrespons refererer til systemets respons på enhedsimpulsen, som karakteriserer systemets responskarakteristika i tidsdomænet. Frekvensrespons refererer til systemets responskarakteristik på enhedens harmoniske input. Korrespondancen mellem de to bestemmes ved Fourier-transformationen.

klassifikation

Lineær vibration kan opdeles i lineær vibration af system med enkelt frihedsgrad og lineær vibration af system med flere frihedsgrader.

(1) lineær vibration af et system med en enkelt frihedsgrad er en lineær vibration, hvis position kan bestemmes ved hjælp af en generaliseret koordinat. Det er den enkleste vibration, hvorfra mange grundlæggende begreber og egenskaber ved vibration kan udledes. Den omfatter enkle harmonisk vibration, fri vibration, dæmpningsvibration og forceret vibration.

Simpel harmonisk vibration: den frem- og tilbagegående bevægelse af et objekt i nærheden af ​​dets ligevægtsposition ifølge en sinusformet lov under påvirkning af en genoprettelseskraft proportional med dets forskydning.

Dæmpet vibration: vibration, hvis amplitude konstant dæmpes af tilstedeværelsen af ​​friktion og dielektrisk modstand eller andet energiforbrug.

Forceret vibration: vibration af et system under konstant excitation.

(2) den lineære vibration i multi-frihedsgradssystemet er vibrationen af ​​det lineære system med n≥2 frihedsgrader. Et system med n frihedsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedtilstande.Enhver vibrationskonfiguration af systemet kan repræsenteres som en lineær kombination af hovedtilstandene. Derfor er hovedtilstands-superpositionsmetoden meget brugt i dynamisk responsanalyse af multi-dof-systemer.På denne måde bliver måling og analyse af systemets naturlige vibrationsegenskaber et rutinetrin i det dynamiske design af systemet.De dynamiske karakteristika ved multi-dof-systemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristika.Siden der er en frekvenskarakteristisk funktion mellem hver indgang og udgang, en frekvenskarakteristisk matrix er konstrueret. Der er en bestemt sammenhæng mellem frekvenskarakteristikken og hovedtilstanden. amplitude-frekvenskarakteristisk kurve for multi-frihed-systemet er forskellig fra single-freedom-systemet.

Lineær vibration af et enkelt frihedsgradssystem

En lineær vibration, hvor positionen af ​​et system kan bestemmes af en generaliseret koordinat. Det er den enkleste og mest fundamentale vibration, hvorfra mange grundlæggende begreber og egenskaber ved vibration kan udledes. Den omfatter simpel harmonisk vibration, dæmpet vibration og tvungen vibration .

Harmonisk vibration

Under virkningen af ​​at genoprette kraften proportional med forskydningen, bevæger objektet sig frem og tilbage på en sinusformet måde nær sin ligevægtsposition (fig. 1). X repræsenterer forskydningen, og t repræsenterer tiden. Det matematiske udtryk for denne vibration er:

(1)Hvor A er den maksimale værdi af forskydning x, som kaldes amplituden og repræsenterer intensiteten af ​​vibrationen;Omega n er amplituden Vinkeltilvæksten af ​​vibrationen pr. sekund, som kaldes vinkelfrekvensen eller den cirkulære frekvens; kaldes den indledende fase. I form af f= n/2 kaldes antallet af svingninger pr. sekund for frekvensen; Det omvendte af dette, T=1/f, er den tid, det tager at oscillere en cyklus, og det kaldes perioden. Amplitude A, frekvens f (eller vinkelfrekvens n), den indledende fase, kendt som simpel harmonisk vibration tre elementer.

FIG. 1 simpel harmonisk vibrationskurve

Som vist i fig. 2, er en simpel harmonisk oscillator dannet af den koncentrerede masse m forbundet med en lineær fjeder. Når vibrationsforskydningen beregnes ud fra ligevægtspositionen, er vibrationsligningen:

Hvor er fjederens stivhed.Den generelle løsning til ovenstående ligning er (1).A og kan bestemmes af startpositionen x0 og begyndelseshastigheden ved t=0:

Men omega n bestemmes kun af selve systemets egenskaber m og k, uafhængigt af de yderligere startbetingelser, så omega n er også kendt som den naturlige frekvens.

FIG. 2 enkelt frihedsgradssystem

For en simpel harmonisk oscillator er summen af ​​dens kinetiske energi og potentielle energi konstant, det vil sige, at systemets samlede mekaniske energi bevares. I vibrationsprocessen omdannes kinetisk energi og potentiel energi konstant til hinanden.

Den dæmpende vibration

En vibration, hvis amplitude konstant dæmpes af friktion og dielektrisk modstand eller andet energiforbrug. For mikrovibrationer er hastigheden generelt ikke særlig stor, og mellemmodstanden er proportional med hastigheden til første potens, hvilket kan skrives som c er dæmpningskoefficienten. Derfor kan vibrationsligningen for én frihedsgrad med lineær dæmpning skrives som:

(2)Hvor m =c/2m kaldes dæmpningsparameteren, og.Den generelle løsning af formel (2) kan skrives:

(3)Det numeriske forhold mellem omega n og PI kan opdeles i følgende tre tilfælde:

N > (i tilfælde af lille dæmpning) partikel produceret dæmpningsvibration, er vibrationsligningen:

Dens amplitude aftager med tiden ifølge den eksponentielle lov vist i ligningen, som vist med den stiplede linje i fig. 3. Strengt taget er denne vibration aperiodisk, men frekvensen af ​​dens peak kan defineres som:

Kaldes amplitudereduktionshastigheden, hvor er vibrationsperioden. Den naturlige logaritme af amplitudereduktionshastigheden kaldes logaritmen minus (amplitude) hastigheden. Det er klart, =, i dette tilfælde, er lig med 2/1.Direkte gennem eksperimentel test delta og ved hjælp af ovenstående formel kan beregnes c.

På dette tidspunkt kan løsningen af ​​ligning (2) skrives:

Sammen med retningen af ​​begyndelseshastigheden kan den opdeles i tre ikke-vibrationstilfælde som vist i fig. 4.

N < (i tilfælde af stor dæmpning), er løsningen til ligning (2) vist i ligning (3). På dette tidspunkt vibrerer systemet ikke længere.

Tvunget vibration

Vibration af et system under konstant excitation.Vibrationsanalyse undersøger hovedsageligt systemets reaktion på excitation.Periodisk excitation er en typisk regulær excitation.Da periodisk excitation altid kan dekomponeres til summen af ​​flere harmoniske excitationer, ifølge superpositionsprincippet, kun systemets reaktion på hver harmonisk excitation er påkrævet. Under virkningen af ​​harmonisk excitation, differentialligningen for bevægelse af et enkelt frihedsgradsdæmpet system kan skrives:

Svaret er summen af ​​to dele. En del er responsen af ​​dæmpet vibration, som aftager hurtigt med tiden. Responsen fra en anden del af tvungen vibration kan skrives:

FIG. 3 dæmpet vibrationskurve

FIG. 4 kurver af tre starttilstande med kritisk dæmpning

Indtast

H /F0= h (), er forholdet mellem konstant responsamplitude og excitationsamplitude, karakteriserende amplitude-frekvenskarakteristika eller forstærkningsfunktion; Bits til stationær respons og faseincitament, karakterisering af fasefrekvenskarakteristika. Forholdet mellem dem og excitationsfrekvensen er vist i fig. 5 og fig. 6.

Som det fremgår af amplitude-frekvenskurven (FIG. 5), har amplitude-frekvenskurven ved lille dæmpning en enkelt peak. Jo mindre dæmpning, jo stejlere peak; Frekvensen svarende til peak er kaldes systemets resonansfrekvens. Ved lille dæmpning er resonansfrekvensen ikke meget forskellig fra den naturlige frekvens.Når excitationsfrekvensen er tæt på egenfrekvensen, øges amplituden kraftigt. Dette fænomen kaldes resonans.Ved resonans er forstærkningen af ​​systemet maksimeret, det vil sige, den tvungne vibration er den mest intense.Derfor i almindelighed altid stræbe efter at undgå resonans, medmindre nogle instrumenter og udstyr til at bruge resonans for at opnå store vibration.

FIG. 5 amplitude frekvenskurve

Kan ses fra fasefrekvenskurven (figur 6), uanset størrelsen af ​​dæmpningen, i omega nul faseforskelbits = PI / 2, kan denne karakteristik bruges effektivt til måling af resonans.

Ud over konstant excitation støder systemer nogle gange på ustabil excitation. Den kan groft opdeles i to typer: Den ene er den pludselige påvirkning. Den anden er den vedvarende effekt af vilkårlighed. Under ustabil excitation er systemets reaktion også ustabil.

Et kraftfuldt værktøj til at analysere ustabile vibrationer er impulsresponsmetoden. Den beskriver systemets dynamiske egenskaber med den transiente respons fra systemets enhedsimpulsinput. Enhedsimpulsen kan udtrykkes som en deltafunktion.I teknik er deltaet funktion er ofte defineret som:

Hvor 0- repræsenterer punktet på t-aksen, der nærmer sig nul fra venstre; 0 plus er det punkt, der går til 0 fra højre.

FIG. 6-faset frekvenskurve

FIG. 7 kan enhver input betragtes som summen af ​​en række impulselementer

Systemet svarer til responsen h(t) genereret af enhedsimpulsen ved t=0, som kaldes impulsresponsfunktionen. Forudsat at systemet er stationært før impulsen, h(t)=0 for t<0.Vidende systemets impulsresponsfunktion, kan vi finde systemets respons på ethvert input x(t). På dette tidspunkt kan du tænke på x(t) som summen af ​​en række impulselementer (FIG. 7). Systemets reaktion er:

Baseret på superpositionsprincippet er systemets samlede respons svarende til x(t):

Dette integral kaldes et foldningsintegral eller et superpositionsintegral.

Lineær vibration af et system med flere frihedsgrader

Vibration af et lineært system med n≥2 frihedsgrader.

Figur 8 viser to simple resonansundersystemer, der er forbundet med en koblingsfjeder.Fordi det er et system med to frihedsgrader, skal der to uafhængige koordinater til for at bestemme dets position. Der er to naturlige frekvenser i dette system:

Hver frekvens svarer til en vibrationstilstand. De harmoniske oscillatorer udfører harmoniske svingninger af samme frekvens, idet de synkront passerer gennem ligevægtspositionen og når synkront yderpositionen.I hovedvibrationen svarende til omega 1 er x1 lig med x2;In hovedvibrationen svarende til omega omega to, omega omega en.I hovedvibrationen er forskydningsforholdet på hver masse holder et bestemt forhold og danner en bestemt tilstand, som kaldes hovedtilstanden eller den naturlige tilstand. Ortogonaliteten af ​​masse og stivhed eksisterer blandt hovedtilstandene, hvilket afspejler uafhængigheden af ​​hver vibration. Den naturlige frekvens og hovedtilstand repræsenterer de iboende vibrationsegenskaber for multi-grads-frihedssystemet.

FIG. 8 system med flere frihedsgrader

Et system med n frihedsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedtilstande. Enhver vibrationskonfiguration af systemet kan repræsenteres som en lineær kombination af hovedtilstandene. Derfor er hovedtilstands-superpositionsmetoden meget brugt i dynamisk responsanalyse af multi -dof-systemer. På denne måde bliver måling og analyse af systemets naturlige vibrationsegenskaber et rutinetrin i det dynamiske design af systemet.

De dynamiske karakteristika ved multi-dof-systemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristika. Da der er en frekvenskarakteristisk funktion mellem hver indgang og udgang, konstrueres en frekvenskarakteristisk matrix. Amplitude-frekvenskarakteristikken for multi-frihedssystemet er forskellig fra enkeltfrihedssystemet.

Elastomeren vibrerer

Ovenstående multi-frihedsgradssystem er en tilnærmet mekanisk model af elastomer. En elastomer har et uendeligt antal frihedsgrader. Der er en kvantitativ forskel, men ingen væsentlig forskel mellem de to. Enhver elastomer har et uendeligt antal naturlige frekvenser og et uendeligt antal af tilsvarende tilstande, og der er ortogonalitet mellem tilstandene for masse og stivhed. Enhver vibrationskonfiguration af elastomer kan også repræsenteres som en lineær superposition af de vigtigste tilstande. Derfor, til dynamisk responsanalyse af elastomer, er superpositionsmetoden for hovedtilstand stadig anvendelig (se lineær vibration af elastomer).

Tag vibrationen af ​​en streng. Lad os sige, at en tynd streng med masse m pr. længdeenhed, lang l, er spændt i begge ender, og spændingen er T. På dette tidspunkt bestemmes strengens naturlige frekvens af følgende ligning:

F =na/2l (n=1,2,3…).

Hvor er udbredelseshastigheden af ​​den tværgående bølge langs strengens retning. Strengenes naturlige frekvenser er tilfældigvis multipla af grundfrekvensen over 2l. Denne heltalsmangfoldighed fører til en behagelig harmonisk struktur. Generelt er der ingen sådan heltalsmultipel relation mellem elastomerens naturlige frekvenser.

De første tre tilstande af den spændte streng er vist i fig. 9. Der er nogle knudepunkter på hovedtilstandskurven. I hovedvibrationen vibrerer knudepunkterne ikke.FIG. 10 viser flere typiske tilstande af den periferielt understøttede cirkulære plade med nogle knudelinjer sammensat af cirkler og diametre.

Den nøjagtige formulering af elastomervibrationsproblemet kan konkluderes som grænseværdiproblemet for partielle differentialligninger. Den nøjagtige løsning kan dog kun findes i nogle af de simpleste tilfælde, så vi må ty til den omtrentlige løsning for den komplekse elastomer Vibrationsproblem. Essensen af ​​forskellige tilnærmede løsninger er at ændre det uendelige til det endelige, det vil sige at diskretisere det lemmerløse multi-grads-frihedssystem (kontinuerligt system) til et endeligt multi-grads-frihedssystem (diskret system). Der er to slags diskretiseringsmetoder, der er meget udbredt i ingeniøranalyse: finite element-metoden og modal syntesemetoden.

FIG. 9 tilstand af streng

FIG. 10 mode af cirkulær plade

Finite element-metoden er en sammensat struktur, som abstraherer en kompleks struktur til et endeligt antal elementer og forbinder dem ved et endeligt antal noder. Hver enhed er en elastomer; Fordelingsforskydningen af ​​element udtrykkes ved interpolationsfunktion af nodeforskydning. fordelingsparametre for hvert element er koncentreret til hver node i et bestemt format, og den mekaniske model af det diskrete system opnås.

Modal syntese er nedbrydning af en kompleks struktur i flere enklere understrukturer. På grundlag af forståelsen af ​​vibrationsegenskaberne for hver understruktur syntetiseres understrukturen til en generel struktur i henhold til koordinationsforholdene på grænsefladen og vibrationsmorfologien af ​​den generelle struktur opnås ved at bruge vibrationsmorfologien for hver understruktur.

De to metoder er forskellige og beslægtede og kan bruges som reference. Den modale syntesemetode kan også effektivt kombineres med den eksperimentelle måling for at danne en teoretisk og eksperimentel analysemetode til vibration af store systemer.