Hvad er lineær vibration?

Lineær vibration: Elasticiteten af ​​komponenter i systemet er underlagt Hookes lov, og den dæmpningskraft, der genereres under bevægelsen, er proportional med den første ligning af den generaliserede hastighed (tidsderivat af de generaliserede koordinater).

begreb

Lineært system er normalt en abstrakt model for vibrationen af ​​det reelle system. Det lineære vibrationssystem anvender superpositionsprincippet, det vil sige, hvis systemets respons er Y1 under handling af input X1 og Y2 under handling af input x2, Derefter er systemets respons under virkningen af ​​input X1 og X2 Y1+Y2.

På baggrund af superpositionsprincippet kan et vilkårligt input nedbrydes i summen af ​​en række infinitesimale impulser, og derefter kan systemets samlede respons opnås. Summen af ​​de harmoniske komponenter i en periodisk excitation kan udvides til en Serien med harmoniske komponenter med Fourier -transformation, og effekten af ​​hver harmonisk komponent på systemet kan undersøges separat. Derfor er responskarakteristika for lineære systemer med Konstante parametre kan beskrives ved impulsrespons eller frekvensrespons.

Impulsrespons henviser til systemets respons på enhedens impuls, der kendetegner systemets responsegenskaber i tidsdomænet. Frequency -respons henviser til svarkarakteristikken for systemet til enhedens harmoniske input. Korrespondancen mellem de to bestemmes af Fourier -transformationen.

klassifikation

Lineær vibration kan opdeles i lineær vibration af enkeltgrad-af-frihedssystem og lineær vibration af multi-graders frihedssystem.

(1) Lineær vibration af et enkelt-graders frihedssystem er en lineær vibration, hvis position kan bestemmes af en generaliseret koordinat. Det er den enkleste vibration, hvorfra mange grundlæggende koncepter og egenskaber ved vibration kan afledes. Det inkluderer enkel Harmonisk vibration, fri vibration, dæmpningsvibration og tvungen vibration.

Enkel harmonisk vibration: Den frem- og tilbagegående bevægelse af et objekt i nærheden af ​​dens ligevægtsposition i henhold til en sinusformet lov under handlingen af ​​en gendannende kraft, der er proportional med dens forskydning.

Dæmpet vibration: Vibration, hvis amplitude konstant dæmpes af tilstedeværelsen af ​​friktion og dielektrisk modstand eller andet energiforbrug.

Tvungen vibration: Vibration af et system under konstant excitation.

(2) Den lineære vibration af det multi-graders frihedssystem er vibrationen af ​​det lineære system med n≥2 frihedsgrader af systemet kan repræsenteres som en lineær kombination af de vigtigste tilstande. Derfor er den vigtigste mode-superpositionsmetode i vid udstrækning anvendt i dynamisk responsanalyse af multi-dof-systemer. På denne måde er den på denne måde den måde Måling og analyse af systemets naturlige vibrationskarakteristika bliver et rutinemæssigt trin i systemets dynamiske design. De dynamiske egenskaber ved multi-DOF-systemer kan også beskrives ved frekvensegenskaber. Siden er der en frekvenskarakteristisk funktion mellem hvert input og Output, en frekvenskarakteristisk matrix er konstrueret. Der er en klar forbindelse mellem frekvensegenskaben og hovedtilstand. Amplitudefrekvenskarakteristikkurven for multi-frihedssystemet er forskellig fra det fra enkeltfrihedssystemet.

Lineær vibration af en enkelt grad af frihedssystem

En lineær vibration, hvor placeringen af ​​et system kan bestemmes af en generaliseret koordinat. Det er den enkleste og mest grundlæggende vibration, hvorfra mange grundlæggende begreber og egenskaber ved vibration kan udledes. Det inkluderer enkel harmonisk vibration, dæmpet vibration og tvungen vibration .

Harmonisk vibration

Under handlingen med at gendanne kraft proportional med forskydningen gengælder objektet på en sinusformet måde nær dens ligevægtsposition (fig. 1) .x repræsenterer forskydningen og T repræsenterer tiden. Det matematiske udtryk for denne vibration er:

(1)Hvor A er den maksimale værdi af forskydning X, der kaldes amplituden og repræsenterer intensiteten af ​​vibrationen; omega n er amplitudevinkelforøgelsen af ​​vibrationen pr. Sekund, der kaldes vinkelfrekvensen eller den cirkulære frekvens; kaldes den indledende fase. I henhold til f = n/2 kaldes antallet af svingninger pr. Sekund frekvensen; det inverse af dette, t = 1/f, er den tid, det tager at osciller en cyklus, og det kaldes perioden.amplitude A, frekvens F (eller vinkelfrekvens N), den indledende fase, kendt som simpel harmonisk vibration tre elementer.

Fig. 1 Enkel harmonisk vibrationskurve

Som vist i fig. 2, en simpel harmonisk oscillator dannes af den koncentrerede masse M forbundet med en lineær fjeder. Når vibrationsfortrængningen beregnes ud fra ligevægtspositionen, er vibrationsligningen:

Hvor er hovedstivheden i foråret. Den generelle løsning på ovenstående ligning er (1) .a og kan bestemmes af den indledende position x0 og indledende hastighed ved t = 0:

Men omega n bestemmes kun af egenskaberne ved selve systemet m og k, uafhængigt af de yderligere startbetingelser, så omega n er også kendt som den naturlige frekvens.

Fig. 2 enkelt grad af frihedssystem

For en simpel harmonisk oscillator er summen af ​​dens kinetiske energi og potentielle energi konstant, det vil sige, den samlede mekaniske energi i systemet konserveres. I vibrationsprocessen omdannes kinetisk energi og potentiel energi konstant til hinanden.

Dæmpningsvibrationen

En vibration, hvis amplitude konstant svækkes af friktion og dielektrisk modstand eller andet energiforbrug. For mikrovibration er hastigheden generelt ikke særlig stor, og medium modstand er proportional med hastighed Dæmpningskoefficienten. Derfor kan vibrationsligningen af ​​en grad af frihed med lineær dæmpning skrives som:

(2)Hvor m = c/2m kaldes dæmpningsparameteren, og den generelle løsning af formel (2) kan skrives:

(3)Det numeriske forhold mellem Omega N og PI kan opdeles i følgende tre tilfælde:

N> (I tilfælde af lille dæmpning) Partikel produceret dæmpningsvibration er vibrationsligningen:

Dens amplitude falder med tiden i henhold til den eksponentielle lov vist i ligningen, som vist i den stiplede linje i fig. 3. Stressisk set er denne vibration aperiodisk, men hyppigheden af ​​sit højdepunkt kan defineres som:

Kaldes amplitude -reduktionsgraden, hvor er vibrationsperioden. Den naturlige logaritme for amplitude -reduktionshastigheden kaldes logaritmen minus (amplitude) rate.obviously, = i dette tilfælde er lig med 2/1. Directly gennem Eksperimentel test delta og ved hjælp af ovennævnte formel kan beregnes c.

På dette tidspunkt kan løsningen af ​​ligning (2) skrives:

Sammen med retningen af ​​den indledende hastighed kan den opdeles i tre ikke-vibrationssager som vist i fig. 4.

N <(I tilfælde af stor dæmpning) er løsningen på ligning (2) vist i ligning (3). På dette punkt vibrerer systemet ikke længere.

Tvungen vibration

Vibration af et system under konstant excitation. Vibrationsanalyse undersøger hovedsageligt systemets respons på excitation. Periodisk excitation er en typisk regelmæssig excitation. Da periodisk excitation altid kan nedbrydes i summen af ​​flere harmoniske excitation, ifølge superpositionsprincippet, kun Systemets respons på hver harmonisk excitation er påkrævet. Under virkningen af ​​harmonisk excitation, den differentielle ligning af bevægelse af en enkelt grad af frihed dæmpet System kan skrives:

Responsen er summen af ​​to dele. Den ene del er responsen fra dæmpet vibration, der falder hurtigt med tiden. Responsen fra en anden del af tvungen vibrationer kan skrives:

Fig. 3 Dæmpet vibrationskurve

Fig. 4 kurver med tre indledende forhold med kritisk dæmpning

Indtast

H /f0 = h (), er forholdet mellem stabil responsamplitude og excitationsamplitude, karakterisering af amplitudefrekvensegenskaber eller forstærkningsfunktion; bit til stabil tilstand respons og incitament af fase, karakterisering af fasefrekvensegenskaber. Forholdet mellem dem og Excitationsfrekvens er vist i fig. 5 og fig. 6.

Som det kan ses af amplitudefrekvenskurven (fig. 5), i tilfælde af lille dæmpning, har amplitudefrekvenskurven en enkelt top. Jo mindre dæmpning, stejleren toppen; frekvensen svarende til toppen er kaldes systemets resonansfrekvens. I tilfælde af lille dæmpning er resonansfrekvensen ikke meget forskellig fra den naturlige frekvens. Når excitationsfrekvensen er tæt på den naturlige frekvens, er Amplituden stiger kraftigt. Dette fænomen kaldes resonans. I resonansen maksimeres forstærkningen af ​​systemet, det vil sige, den tvungne vibration er den mest intense. Derfor stræber altid efter at undgå resonans, medmindre nogle instrumenter og udstyr til at bruge resonans for at opnå stort vibrationer.

Fig. 5 amplitude frekvenskurve

Kan ses fra fasefrekvenskurven (figur 6), uanset dæmpningstørrelse, i omega nul faseforskelbits = PI / 2, kan denne egenskab effektivt bruges til måling af resonans.

Foruden stabil excitation støder systemer undertiden på ustabil excitation. Det kan groft opdeles i to typer: den ene er den pludselige påvirkning. Den anden er den varige virkning af vilkårlighed. Under ustabil excitation er systemets respons også ustabil.

Et kraftfuldt værktøj til analyse af ustabil vibration er impulsresponsmetoden. Det beskriver systemets dynamiske egenskaber med den kortvarige respons fra enhedsimpulsinput af systemet. Enhedsimpulsen kan udtrykkes som en delta -funktion.in teknik, deltaet funktion defineres ofte som:

Hvor 0- repræsenterer punktet på den T-akse, der nærmer sig nul fra venstre; 0 plus er det punkt, der går til 0 fra højre.

Fig. 6 fase frekvenskurve

Fig. 7 Ethvert input kan betragtes som summen af ​​en række impulselementer

Systemet svarer til responsen H (t) genereret af enhedsimpulsen ved t = 0, der kaldes impulsresponsfunktionen. Overvejelse af, at systemet er stationært før pulsen, h (t) = 0 for t <0. ved at vide Systemets impulsresponsfunktion, vi kan finde systemets respons på ethvert input x (t). På dette punkt kan du tænke på x (t) som summen af ​​en række impulselementer (fig. 7) .De Systemets respons er:

Baseret på superpositionsprincippet er det samlede svar fra systemet, der svarer til x (t),:

Dette integral kaldes en konvolutionsintegral eller en superposition integral.

Lineær vibration af et multi-graders frihedssystem

Vibration af et lineært system med n≥2 frihedsgrader.

Figur 8 viser to enkle resonansundersystemer forbundet med en koblingsfjeder. Fordi det er et to-graders frihedssystem, er der behov for to uafhængige koordinater for at bestemme dets position. Der er to naturlige frekvenser i dette system:

Hver frekvens svarer til en vibrationsmåde. De harmoniske oscillatorer udfører harmoniske svingninger af samme frekvens, synkront passerer gennem ligevægtspositionen og synkront når den ekstreme position. I hovedvibrationen svarer til Omega One, er X1 lig med X2; Den vigtigste vibration svarende til Omega Omega Two, Omega Omega One.in Hovedvibration, forskydningsforholdet for hver masse holder en bestemt relation og danner en bestemt tilstand, der kaldes hovedtilstand eller den naturlige tilstand. Ortogonaliteten af ​​masse og stivhed eksisterer blandt hovedtilstandene, der afspejler uafhængigheden af ​​hver vibration. Den naturlige frekvens og hovedtilstand repræsenterer de iboende vibrationskarakteristika for det flergrad af frihedssystemet.

Fig. 8 system med flere frihedsgrader

Et system med n grader af frihed har N naturlige frekvenser og n hovedtilstande. Enhver vibrationskonfiguration af systemet kan repræsenteres som en lineær kombination af de vigtigste tilstande. Derfor er den vigtigste tilstandssuperpositionsmetode meget anvendt i dynamisk responsanalyse af multi -dof -systemer. På denne måde bliver måling og analyse af systemets naturlige vibrationsegenskaber et rutinemæssigt trin i systemets dynamiske design.

De dynamiske egenskaber ved multi-DOF-systemer kan også beskrives ved frekvensegenskaber. fra det fra enkeltfrihedssystemet.

Elastomeren vibrerer

Ovenstående multi -grader af frihedssystem er en omtrentlig mekanisk model af elastomer. En elastomer har et uendeligt antal frihedsgrader. Der er en kvantitativ forskel, men ingen væsentlig forskel mellem den to. Enhver elastomer har et uendeligt antal naturlige frekvenser og et uendeligt antal tilsvarende tilstande, og der er ortogonalitet mellem former for masse og stivhed. Enhver vibrationskonfiguration af elastomeren kan også være Repræsenteret som en lineær superposition af de vigtigste tilstande. Derfor er der stadig anvendelig til dynamisk responsanalyse af elastomeren, at superpositionsmetoden i hovedtilstand er anvendelig (se lineær vibration af elastomer).

Tag vibrationen af ​​en streng. Lad os sige, at en tynd streng af masse m pr. Enhedslængde, lang l, er spændt i begge ender, og spændingen er t. Denne gang bestemmes den naturlige frekvens af strengen af ​​følgende Ligning:

F = NA/2L (n = 1,2,3 ...).

Hvor er forplantningshastigheden for den tværgående bølge langs strengenes retning. De naturlige frekvenser af strengene er tilfældigvis multipler af den grundlæggende frekvens over 2L.Dette heltalets mangfoldighed fører til en behagelig harmonisk struktur. I generalen er der ingen En sådan heltal multiple relation mellem de naturlige frekvenser af elastomeren.

De første tre former for den spændte streng er vist i fig. 9. Der er nogle noder på hovedtilstandskurven. I hovedvibrationen vibrerer knudepunkterne ikke. 10 viser adskillige typiske former for den perifere understøttede cirkulære plade med nogle nodale linjer sammensat af cirkler og diametre.

Den nøjagtige formulering af elastomervibrationsproblemet kan afsluttes som grænseværdiproblemet for delvise differentialligninger. Dog kan den nøjagtige løsning kun findes i nogle af de enkleste tilfælde, så vi er nødt til at ty til den omtrentlige løsning for den komplekse elastomer Vibrationsproblemer. Essensen af ​​forskellige omtrentlige løsninger er at ændre det uendelige til det endelige, det vil sige at diskretisere den lem-mindre multi-graders af frihedssystemet (kontinuerligt system) til en endelig multi-graders frihedssystem (diskret system). Der er to slags diskretiseringsmetoder, der er vidt anvendt i teknisk analyse: endelig elementmetode og modal syntesemetode.

Fig. 9 Mode for streng

Fig. 10 Mode af cirkulær plade

Finite Element Method er en sammensat struktur, der abstraherer en kompleks struktur i et begrænset antal elementer og forbinder dem med et begrænset antal knudepunkter. Enhed er en elastomer; distributionsforskydningen af ​​element udtrykkes ved interpolationsfunktion af knudepunktsforskydning. Derefter Distributionsparametre for hvert element koncentreres til hver knude i et bestemt format, og den mekaniske model for det diskrete system opnås.

Modal syntese er nedbrydningen af ​​en kompleks struktur til adskillige enklere understrukturer. På grundlaget for forståelse af vibrationsegenskaber for hver understruktur syntetiseres understruktur Struktur opnås ved anvendelse af vibrationsmorfologien for hver understruktur.

De to metoder er forskellige og beslægtede og kan bruges som reference. Modalsyntesemetoden kan også kombineres effektivt med den eksperimentelle måling til dannelse af en teoretisk og eksperimentel analysemetode til vibrationer af store systemer.