Was ist lineare Schwingung?

Lineare Vibration: Die Elastizität der Komponenten im System unterliegt dem Hookeschen Gesetz und die während der Bewegung erzeugte Dämpfungskraft ist proportional zur ersten Gleichung der verallgemeinerten Geschwindigkeit (zeitliche Ableitung der verallgemeinerten Koordinaten).

Konzept

Das lineare System ist normalerweise ein abstraktes Modell der Schwingung eines realen Systems. Das lineare Schwingungssystem wendet das Superpositionsprinzip an, das heißt, wenn die Reaktion des Systems y1 unter der Wirkung von Eingabe x1 und y2 unter der Wirkung von Eingabe x2 ist, dann ist die Reaktion des Systems unter der Wirkung der Eingaben x1 und x2 y1+y2.

Auf der Grundlage des Superpositionsprinzips kann eine beliebige Eingabe in die Summe einer Reihe von infinitesimalen Impulsen zerlegt und dann die Gesamtreaktion des Systems erhalten werden. Die Summe der harmonischen Komponenten einer periodischen Anregung kann zu a erweitert werden Reihe harmonischer Komponenten durch Fourier-Transformation, und die Wirkung jeder harmonischen Komponente auf das System kann separat untersucht werden. Daher können die Antworteigenschaften linearer Systeme mit konstanten Parametern durch Impulsantwort oder Frequenzantwort beschrieben werden.

Die Impulsantwort bezieht sich auf die Reaktion des Systems auf den Einheitsimpuls, die die Reaktionseigenschaften des Systems im Zeitbereich charakterisiert. Die Frequenzantwort bezieht sich auf die Reaktionseigenschaften des Systems auf den harmonischen Einheitseingang. Die Entsprechung zwischen beiden wird bestimmt durch die Fourier-Transformation.

Einstufung

Lineare Schwingungen können in lineare Schwingungen eines Systems mit einem Freiheitsgrad und lineare Schwingungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden unterteilt werden.

(1) Die lineare Schwingung eines Systems mit einem Freiheitsgrad ist eine lineare Schwingung, deren Position durch eine verallgemeinerte Koordinate bestimmt werden kann. Es handelt sich um die einfachste Schwingung, aus der viele grundlegende Konzepte und Eigenschaften der Schwingung abgeleitet werden können. Sie umfasst einfache harmonische Schwingung, freie Schwingung, Dämpfungsschwingung und erzwungene Schwingung.

Einfache harmonische Schwingung: die Hin- und Herbewegung eines Objekts in der Nähe seiner Gleichgewichtsposition gemäß einem Sinusgesetz unter der Wirkung einer Rückstellkraft, die proportional zu seiner Verschiebung ist.

Gedämpfte Schwingung: Schwingung, deren Amplitude durch Reibung und dielektrischen Widerstand oder anderen Energieverbrauch kontinuierlich gedämpft wird.

Erzwungene Schwingung: Schwingung eines Systems unter ständiger Anregung.

(2) Die lineare Schwingung des Systems mit mehreren Freiheitsgraden ist die Schwingung des linearen Systems mit n≥2 Freiheitsgraden. Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen und n Hauptmoden. Beliebige Schwingungskonfiguration des Systems kann als lineare Kombination der Hauptmoden dargestellt werden. Daher wird die Hauptmodenüberlagerungsmethode häufig in der dynamischen Antwortanalyse von Multi-Dof-Systemen verwendet. Auf diese Weise können die Messung und Analyse der natürlichen Schwingungseigenschaften des Systems durchgeführt werden System wird zu einem Routineschritt in der Dynamisches Design des Systems. Die dynamischen Eigenschaften von Multi-Dof-Systemen können auch durch Frequenzeigenschaften beschrieben werden. Da zwischen jedem Eingang und Ausgang eine Frequenzcharakteristikfunktion besteht, wird eine Frequenzcharakteristikmatrix erstellt. Es besteht eine eindeutige Beziehung zwischen der Frequenz Charakteristik und der Hauptmodus. Die Amplituden-Frequenz-Kennlinie des Multi-Freedom-Systems unterscheidet sich von der des Single-Freedom-Systems.

Lineare Schwingung eines Systems mit einem Freiheitsgrad

Eine lineare Schwingung, bei der die Position eines Systems durch eine verallgemeinerte Koordinate bestimmt werden kann. Es handelt sich um die einfachste und grundlegendste Schwingung, aus der sich viele grundlegende Konzepte und Eigenschaften von Schwingungen ableiten lassen. Sie umfasst einfache harmonische Schwingungen, gedämpfte Schwingungen und erzwungene Schwingungen .

Harmonische Schwingung

Unter der Wirkung einer zur Verschiebung proportionalen Rückstellkraft bewegt sich das Objekt in der Nähe seiner Gleichgewichtsposition sinusförmig hin und her (ABB. 1). X steht für die Verschiebung und t für die Zeit. Der mathematische Ausdruck dieser Schwingung ist:

(1)Wobei A der maximale Wert der Verschiebung x ist, der als Amplitude bezeichnet wird und die Intensität der Schwingung darstellt;Omega n ist die Amplitude des Winkelinkrements der Schwingung pro Sekunde, das als Kreisfrequenz oder Kreisfrequenz bezeichnet wird;Dies wird als Anfangsphase bezeichnet. In Bezug auf f= n/2 wird die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde als Frequenz bezeichnet. Der Kehrwert davon, T=1/f, ist die Zeit, die benötigt wird, um einen Zyklus zu schwingen, und das nennt man die Periode. Amplitude A, Frequenz f (oder Winkelfrequenz n), die Anfangsphase, bekannt als einfache harmonische Schwingung der drei Elemente.

FEIGE. 1 einfache harmonische Schwingungskurve

Wie in FIG. In 2 wird ein einfacher harmonischer Oszillator durch die konzentrierte Masse m gebildet, die durch eine lineare Feder verbunden ist. Wenn die Schwingungsverschiebung aus der Gleichgewichtsposition berechnet wird, lautet die Schwingungsgleichung:

Wo ist die Steifigkeit der Feder? Die allgemeine Lösung der obigen Gleichung ist (1).A und kann durch die Anfangsposition x0 und die Anfangsgeschwindigkeit bei t=0 bestimmt werden:

Da Omega n jedoch unabhängig von den zusätzlichen Anfangsbedingungen nur durch die Eigenschaften des Systems selbst m und k bestimmt wird, wird Omega n auch als Eigenfrequenz bezeichnet.

FEIGE. System mit 2 einzelnen Freiheitsgraden

Bei einem einfachen harmonischen Oszillator ist die Summe seiner kinetischen Energie und potentiellen Energie konstant, d. h. die gesamte mechanische Energie des Systems bleibt erhalten. Im Schwingungsprozess werden kinetische Energie und potentielle Energie ständig ineinander umgewandelt.

Die dämpfende Vibration

Eine Schwingung, deren Amplitude durch Reibung und dielektrischen Widerstand oder anderen Energieverbrauch kontinuierlich gedämpft wird. Bei Mikroschwingungen ist die Geschwindigkeit im Allgemeinen nicht sehr groß und der mittlere Widerstand ist proportional zur Geschwindigkeit in der ersten Potenz, die als c geschrieben werden kann der Dämpfungskoeffizient. Daher kann die Schwingungsgleichung eines Freiheitsgrades mit linearer Dämpfung wie folgt geschrieben werden:

(2)Wobei m =c/2m der Dämpfungsparameter ist und. Die allgemeine Lösung der Formel (2) kann geschrieben werden:

(3)Die numerische Beziehung zwischen Omega-n und PI kann in die folgenden drei Fälle unterteilt werden:

N > (im Fall kleiner Dämpfung) erzeugte Partikel eine Dämpfungsschwingung, die Schwingungsgleichung lautet:

Seine Amplitude nimmt mit der Zeit gemäß dem in der Gleichung dargestellten Exponentialgesetz ab, wie in der gestrichelten Linie in FIG. 3. Streng genommen ist diese Schwingung aperiodisch, aber die Frequenz ihres Höhepunkts kann wie folgt definiert werden:

Wird als Amplitudenreduktionsrate bezeichnet, wobei die Schwingungsperiode ist. Der natürliche Logarithmus der Amplitudenreduktionsrate wird als Logarithmus-Minus-(Amplituden-)Rate bezeichnet. Offensichtlich ist = in diesem Fall gleich 2/1. Direkt durch die Experimentelles Test-Delta und unter Verwendung der obigen Formel kann c berechnet werden.

Zu diesem Zeitpunkt kann die Lösung von Gleichung (2) geschrieben werden:

Zusammen mit der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit kann es in drei Nicht-Vibrations-Fälle unterteilt werden, wie in Abb. 1 dargestellt. 4.

N < (bei großer Dämpfung) ist die Lösung von Gleichung (2) in Gleichung (3) dargestellt. Zu diesem Zeitpunkt schwingt das System nicht mehr.

Erzwungene Vibration

Schwingung eines Systems unter konstanter Anregung. Die Schwingungsanalyse untersucht hauptsächlich die Reaktion des Systems auf Anregung. Periodische Anregung ist eine typische reguläre Anregung. Da periodische Anregung immer nur nach dem Superpositionsprinzip in die Summe mehrerer harmonischer Anregungen zerlegt werden kann Die Reaktion des Systems auf jede harmonische Anregung ist erforderlich. Unter der Wirkung der harmonischen Anregung kann die Differentialgleichung der Bewegung eines gedämpften Systems mit einem einzigen Freiheitsgrad geschrieben werden:

Die Antwort ist die Summe aus zwei Teilen. Ein Teil ist die Reaktion einer gedämpften Schwingung, die mit der Zeit schnell abklingt. Die Reaktion eines anderen Teils der erzwungenen Schwingung kann wie folgt geschrieben werden:

FEIGE. 3 gedämpfte Vibrationskurve

FEIGE. 4 Kurven von drei Anfangszuständen mit kritischer Dämpfung

Geben Sie ein

H /F0= h () ist das Verhältnis der stationären Antwortamplitude zur Anregungsamplitude, das die Amplituden-Frequenz-Eigenschaften oder die Verstärkungsfunktion charakterisiert; Bits für die stationäre Reaktion und den Phasenanreiz, die Charakterisierung der Phasenfrequenzeigenschaften. Die Beziehung zwischen ihnen und Die Anregungsfrequenz ist in Abb. 1 dargestellt. 5 und FIG. 6.

Wie aus der Amplituden-Frequenz-Kurve (Abb. 5) ersichtlich ist, weist die Amplituden-Frequenz-Kurve bei geringer Dämpfung eine einzelne Spitze auf. Je kleiner die Dämpfung, desto steiler die Spitze. Die der Spitze entsprechende Frequenz ist wird als Resonanzfrequenz des Systems bezeichnet. Bei geringer Dämpfung unterscheidet sich die Resonanzfrequenz nicht wesentlich von der Eigenfrequenz. Wenn die Anregungsfrequenz nahe an der Eigenfrequenz liegt, steigt die Amplitude stark an. Dieses Phänomen wird als Resonanz bezeichnet. Bei Resonanz ist die Verstärkung des Systems maximiert, d Vibration.

FEIGE. 5 Amplitudenfrequenzkurve

Wie aus der Phasenfrequenzkurve (Abbildung 6) ersichtlich ist, kann diese Eigenschaft unabhängig von der Größe der Dämpfung in Omega-Null-Phasendifferenzbits = PI / 2 effektiv zur Messung der Resonanz genutzt werden.

Zusätzlich zur stetigen Erregung stoßen Systeme manchmal auf instationäre Erregung. Sie kann grob in zwei Arten unterteilt werden: Eine ist der plötzliche Aufprall.

Ein leistungsfähiges Werkzeug zur Analyse instationärer Schwingungen ist die Impulsantwortmethode. Sie beschreibt die dynamischen Eigenschaften des Systems mit der Übergangsreaktion des Einheitsimpulseingangs des Systems. Der Einheitsimpuls kann als Deltafunktion ausgedrückt werden. In der Technik das Delta Funktion wird oft definiert als:

Dabei stellt 0- den Punkt auf der t-Achse dar, der von links auf Null geht; 0 plus ist der Punkt, der von rechts auf 0 geht.

FEIGE. 6-Phasen-Frequenzkurve

FEIGE. 7 Jede Eingabe kann als Summe einer Reihe von Impulselementen betrachtet werden

Das System entspricht der Antwort h(t), die durch den Einheitsimpuls bei t=0 erzeugt wird, die als Impulsantwortfunktion bezeichnet wird. Unter der Annahme, dass das System vor dem Impuls stationär ist, ist h(t)=0 für t<0.Wissen Mit der Impulsantwortfunktion des Systems können wir die Reaktion des Systems auf jede Eingabe x(t) ermitteln. An diesem Punkt können Sie sich x(t) als die Summe einer Reihe von Impulselementen vorstellen (Abb. 7). .Die Antwort des Systems ist:

Basierend auf dem Superpositionsprinzip beträgt die Gesamtreaktion des Systems entsprechend x(t):

Dieses Integral wird Faltungsintegral oder Überlagerungsintegral genannt.

Lineare Schwingung eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden

Schwingung eines linearen Systems mit n≥2 Freiheitsgraden.

Abbildung 8 zeigt zwei einfache Resonanzsubsysteme, die durch eine Kopplungsfeder verbunden sind. Da es sich um ein System mit zwei Freiheitsgraden handelt, sind zwei unabhängige Koordinaten erforderlich, um seine Position zu bestimmen. In diesem System gibt es zwei Eigenfrequenzen:

Jede Frequenz entspricht einem Schwingungsmodus. Die harmonischen Oszillatoren führen harmonische Schwingungen derselben Frequenz aus, durchlaufen synchron die Gleichgewichtsposition und erreichen synchron die Extremposition. In der Hauptschwingung, die Omega eins entspricht, ist x1 gleich x2;In Die Hauptschwingung entspricht Omega-Omega-Zwei und Omega-Omega-Eins. In der Hauptschwingung hält das Verschiebungsverhältnis jeder Masse ein bestimmtes Verhältnis und bildet einen bestimmten Modus, der als Hauptschwingung bezeichnet wird Modus oder der Eigenmodus. Die Orthogonalität von Masse und Steifigkeit besteht zwischen den Hauptmodi, was die Unabhängigkeit jeder Schwingung widerspiegelt. Die Eigenfrequenz und der Hauptmodus repräsentieren die inhärenten Schwingungseigenschaften des Systems mit mehreren Freiheitsgraden.

FEIGE. 8-System mit mehreren Freiheitsgraden

Ein System mit n Freiheitsgraden hat n Eigenfrequenzen und n Hauptmoden. Jede Schwingungskonfiguration des Systems kann als lineare Kombination der Hauptmoden dargestellt werden. Daher wird die Hauptmodenüberlagerungsmethode häufig bei der dynamischen Antwortanalyse von Multi verwendet -dof-Systeme. Auf diese Weise wird die Messung und Analyse der Eigenschwingungseigenschaften des Systems zu einem Routineschritt bei der dynamischen Auslegung des Systems.

Die dynamischen Eigenschaften von Multi-Dof-Systemen können auch durch Frequenzeigenschaften beschrieben werden. Da zwischen jedem Eingang und Ausgang eine Frequenzcharakteristikfunktion besteht, wird eine Frequenzcharakteristikmatrix erstellt. Die Amplituden-Frequenz-Charakteristikkurve des Multifreiheitssystems ist unterschiedlich von dem des Single-Freedom-Systems.

Das Elastomer vibriert

Das obige System mit mehreren Freiheitsgraden ist ein ungefähres mechanisches Modell eines Elastomers. Ein Elastomer hat unendlich viele Freiheitsgrade. Es gibt einen quantitativen Unterschied, aber keinen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden. Jedes Elastomer hat unendlich viele Eigenfrequenzen und Es gibt eine unendliche Anzahl entsprechender Moden, und es besteht Orthogonalität zwischen den Massen- und Steifigkeitsmoden. Jede Schwingungskonfiguration des Elastomers kann auch als lineare Überlagerung der Hauptmoden dargestellt werden. Daher wird für die Analyse der dynamischen Reaktion von Elastomeren die Superpositionsmethode verwendet des Hauptmodus ist weiterhin gültig (siehe lineare Schwingung von Elastomer).

Nehmen wir die Schwingung einer Saite. Nehmen wir an, dass eine dünne Saite mit der Masse m pro Längeneinheit, lang l, an beiden Enden gespannt ist und die Spannung T beträgt. Zu diesem Zeitpunkt wird die Eigenfrequenz der Saite durch Folgendes bestimmt Gleichung:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Dabei ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwelle entlang der Richtung der Saite. Die Eigenfrequenzen der Saiten sind zufällig Vielfache der Grundfrequenz über 2l. Diese ganzzahlige Vielfachheit führt zu einer angenehmen harmonischen Struktur. Im Allgemeinen gibt es keine eine solche ganzzahlige Vielfachbeziehung zwischen den Eigenfrequenzen des Elastomers.

Die ersten drei Modi der gespannten Saite sind in Abb. 1 dargestellt. 9. Es gibt einige Knoten auf der Hauptmodenkurve. Bei der Hauptschwingung vibrieren die Knoten nicht. ABB. 10 zeigt mehrere typische Modi der umlaufend getragenen kreisförmigen Platte mit einigen Knotenlinien, die aus Kreisen und Durchmessern bestehen.

Die genaue Formulierung des Elastomerschwingungsproblems lässt sich als Randwertproblem partieller Differentialgleichungen zusammenfassen. Die exakte Lösung kann jedoch nur in einigen der einfachsten Fälle gefunden werden, sodass wir auf die Näherungslösung für das komplexe Elastomer zurückgreifen müssen Vibrationsproblem. Das Wesen verschiedener Näherungslösungen besteht darin, das Unendliche ins Endliche zu ändern, dh das gliederlose System mit mehreren Freiheitsgraden (kontinuierliches System) in ein endliches System mit mehreren Freiheitsgraden (diskretes System) zu diskretisieren. .Es gibt zwei Arten von In der technischen Analyse weit verbreitete Diskretisierungsmethoden: Finite-Elemente-Methode und Modalsynthesemethode.

FEIGE. 9 String-Modus

FEIGE. 10 Modus der kreisförmigen Platte

Die Finite-Elemente-Methode ist eine zusammengesetzte Struktur, die eine komplexe Struktur in eine endliche Anzahl von Elementen abstrahiert und diese an einer endlichen Anzahl von Knoten verbindet. Jede Einheit ist ein Elastomer. Die Verteilungsverschiebung des Elements wird durch die Interpolationsfunktion der Knotenverschiebung ausgedrückt. Dann wird die Die Verteilungsparameter jedes Elements werden in einem bestimmten Format auf jeden Knoten konzentriert und das mechanische Modell des diskreten Systems erhalten.

Bei der Modalsynthese handelt es sich um die Zerlegung einer komplexen Struktur in mehrere einfachere Unterstrukturen. Auf der Grundlage des Verständnisses der Schwingungseigenschaften jeder Unterstruktur wird die Unterstruktur entsprechend den Koordinationsbedingungen an der Schnittstelle und der Schwingungsmorphologie der allgemeinen Struktur zu einer allgemeinen Struktur synthetisiert Die Struktur wird durch die Verwendung der Schwingungsmorphologie jeder Unterstruktur ermittelt.

Die beiden Methoden sind unterschiedlich und verwandt und können als Referenz verwendet werden. Die Modalsynthesemethode kann auch effektiv mit der experimentellen Messung kombiniert werden, um eine theoretische und experimentelle Analysemethode für die Schwingung großer Systeme zu bilden.