Was ist lineare Vibration?

Lineare Schwingung: Die Elastizität von Komponenten im System unterliegt dem Hooke -Gesetz, und die während der Bewegung erzeugte Dämpfungskraft ist proportional zur ersten Gleichung der verallgemeinerten Geschwindigkeit (Zeitableitung der verallgemeinerten Koordinaten).

Konzept

Lineares System ist normalerweise ein abstraktes Modell für die Schwingung des realen Systems. Das lineare Schwingungssystem wendet das Überlagerungsprinzip an, dh wenn die Antwort des Systems unter der Aktion von Eingabe x1 und y2 unter der Aktion von Eingabe x2 Y1 ist, ist Y1. Dann ist die Reaktion des Systems unter der Aktion von Eingabe x1 und x2 y1+y2.

Auf der Grundlage des Überlagerungsprinzips kann eine willkürliche Eingabe in die Summe einer Reihe von infinitesimalen Impulsen zerlegt werden, und dann kann die Gesamtreaktion des Systems erhalten werden. Die Summe der harmonischen Komponenten einer periodischen Anregung kann in eine erweitert werden Reihe von harmonischen Komponenten durch Fourier -Transformation, und der Effekt jeder harmonischen Komponente auf das System kann separat untersucht werden. Daher können die Antworteigenschaften von linearen Systemen mit konstanten Parametern die Reaktionseigenschaften durch Impulsantwort oder Frequenzgang beschrieben werden.

Impulsantwort bezieht durch die Fourier -Transformation.

Einstufung

Die lineare Schwingung kann in eine lineare Vibration des Systems mit einem Grad des Freien unterteilt werden, und lineare Vibrationen des Multi-Grad-Freedom-Systems.

(1) Lineare Schwingung eines einstufigen Systems ist eine lineare Schwingung, deren Position durch eine verallgemeinerte Koordinate bestimmt werden kann. Es ist die einfachste Schwingung, aus der viele grundlegende Konzepte und Eigenschaften der Schwingung abgeleitet werden können. Harmonische Schwingung, freie Schwingung, Dämpfungsschwingung und erzwungene Vibration.

Einfache harmonische Schwingung: Die gegenseitige Bewegung eines Objekts in der Nähe seiner Gleichgewichtsposition gemäß einem sinusförmigen Gesetz unter der Wirkung einer restaurierenden Kraft, die proportional zu ihrer Verschiebung ist.

Gedämpfte Schwingung: Vibration, deren Amplitude durch das Vorhandensein von Reibung und dielektrischem Widerstand oder anderen Energieverbrauch kontinuierlich abgeschwächt wird.

Zwangsvibration: Vibration eines Systems unter ständiger Anregung.

(2) Die lineare Schwingung des Mehrfach-Grad-Freedom-Systems ist die Schwingung des linearen Systems mit n ≥ 2 Freiheitsgrad. Ein System von n Freiheitsgraden hat N-Eigenfrequenzen und N-Hauptmodi. des Systems kann als lineare Kombination der Hauptmodi dargestellt werden. Daher wird die Hauptmodus-Überlagerungsmethode in der dynamischen Reaktionsanalyse von Multi-DOF-Systemen häufig verwendet. Auf diese Weise, Die Messung und Analyse der natürlichen Schwingungseigenschaften des Systems wird zu einem routinemäßigen Schritt im dynamischen Design des Systems. Die dynamischen Eigenschaften von Multi-DOF-Systemen können auch durch Frequenzeigenschaften beschrieben werden. und Ausgabe, eine frequenz charakteristische Matrix wird konstruiert. Es besteht eine bestimmte Beziehung zwischen der Frequenzcharakteristik und dem Hauptmodus. Die Amplitudenfrequenz-charakteristische Kurve der Das Multifreedom-System unterscheidet sich von dem des Single-Freedom-Systems.

Lineare Vibration eines einzelnen Freiheitssystems

Eine lineare Vibration, in der die Position eines Systems durch eine verallgemeinerte Koordinate bestimmt werden kann. Es ist die einfachste und grundlegendste Schwingung, aus der viele grundlegende Konzepte und Eigenschaften der Schwingung abgeleitet werden können. Es umfasst einfache harmonische Schwingung, gedämpfte Schwingung und erzwungene Vibration .

Harmonische Schwingung

Unter der Wirkung der Wiederherstellung der Kraft, die proportional zur Verschiebung ist, erwidert das Objekt in der Nähe seiner Gleichgewichtsposition in sinusförmiger Weise (Abb. 1) .x repräsentiert die Verschiebung und T repräsentiert die Zeit. Der mathematische Ausdruck dieser Schwingung ist:

(1)Wobei a der Maximalwert der Verschiebung x ist, der als Amplitude bezeichnet wird und die Intensität der Schwingung darstellt; Omega n ist das Amplitudenwinkelinkrement der Schwingung pro Sekunde, der als Winkelfrequenz oder kreisförmige Frequenz bezeichnet wird; wird als Anfangsphase bezeichnet. In den Begriffen von F = N/2 wird die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde als Frequenz bezeichnet; die Umkehrung dieser, t = 1/f, ist die Zeit Es dauert, um einen Zyklus zu schwingen, und das wird als Periode bezeichnet. Amplitude A, Frequenz F (oder Winkelfrequenz N), die Anfangsphase, die als einfache harmonische Schwingung von drei Elementen bezeichnet wird.

FEIGE. 1 einfache harmonische Schwingungskurve

Wie in Abb. 1 gezeigt. 2, ein einfacher harmonischer Oszillator wird durch die konzentrierte Masse m gebildet, die durch eine lineare Feder verbunden ist. Wenn die Schwingungsverschiebung aus der Gleichgewichtsposition berechnet wird, lautet die Schwingungsgleichung:

Wo ist die Steifheit der Feder?

Omega n wird jedoch nur durch die Eigenschaften des Systems selbst M und K unabhängig von den zusätzlichen Anfangsbedingungen bestimmt, sodass Omega n auch als Eigenfrequenz bezeichnet wird.

FEIGE. 2 einzelnes Freiheitssystem

Für einen einfachen harmonischen Oszillator ist die Summe seiner kinetischen Energie und seiner potentiellen Energie konstant, dh die Gesamtzahl der mechanischen Energie des Systems. Im Prozess der Schwingung, der kinetischen Energie und der potentiellen Energie werden ständig ineinander transformiert.

Die Dämpfungsvibration

Eine Schwingung, deren Amplitude kontinuierlich durch Reibung und dielektrischer Widerstand oder einen anderen Energieverbrauch abgeschwächt wird Der Dämpfungskoeffizient. Daher kann die Schwingungsgleichung eines Freiheitsgrades mit linearer Dämpfung geschrieben werden als:

(2)Wobei m = c/2m als Dämpfungsparameter bezeichnet wird und die allgemeine Lösung der Formel (2) geschrieben werden kann:

(3)Die numerische Beziehung zwischen Omega N und PI kann in die folgenden drei Fälle unterteilt werden:

N> (im Fall einer kleinen Dämpfung) Partikel erzeugt die Schwingung der Dämpfung, die Schwingungsgleichung lautet:

Seine Amplitude nimmt mit der Zeit gemäß dem in der Gleichung gezeigten Exponentialgesetz ab, wie in der gepunkteten Linie in Abb. 1 gezeigt. 3.Strictly genommen ist diese Schwingung aperiodisch, aber die Häufigkeit ihres Peaks kann definiert werden als:

Wird als Amplitudenreduktionsrate bezeichnet, wo die Schwingungsdauer ist. Der natürliche Logarithmus der Amplitudenreduktionsrate wird als Logarithmus minus (Amplitude) bezeichnet. Das experimentelle Testdelta und unter Verwendung der obigen Formel kann berechnet werden c.

Zu diesem Zeitpunkt kann die Lösung von Gleichung (2) geschrieben werden:

Zusammen mit der Richtung der anfänglichen Geschwindigkeit kann es in drei Nicht-Vibrationsfälle unterteilt werden, wie in Abb. 1 gezeigt. 4.

N <(im Fall einer großen Dämpfung) ist die Lösung für Gleichung (2) in Gleichung (3) gezeigt. Bei diesem Punkt ist das System nicht mehr vibriert.

Erzwungene Schwingung

Schwingung eines Systems unter konstanter Anregung. Die Analyse der Vibrationsanalyse untersucht haupt Die Reaktion des Systems auf jede harmonische Anregung ist erforderlich. Unter der Wirkung der harmonischen Anregung kann die Differentialgleichung der Bewegung eines einzelnen Freiheitsgrades geschrieben werden:

Die Antwort ist die Summe von zwei Teilen. Ein Teil ist die Reaktion der gedämpften Vibration, die schnell mit der Zeit abfällt. Die Reaktion eines anderen Teils der erzwungenen Schwingung kann geschrieben werden:

FEIGE. 3 gedämpfte Schwingungskurve

FEIGE. 4 Kurven von drei Anfangsbedingungen mit kritischer Dämpfung

Geben Sie in die ein

H /f0 = H () ist das Verhältnis der stetigen Antwortamplitude zu Anregungsamplitude, die Amplitudenfrequenzeigenschaften oder Gewinnfunktion charakterisieren; Bits für die Reaktion und den Anreiz der Phase, die Charakterisierung der Phasenfrequenzeigenschaften. Die Anregungsfrequenz ist in Fig. 1 dargestellt. 5 und Abb. 6.

Wie aus der Amplitudenfrequenzkurve (Abb. 5) ersichtlich ist, hat die Amplitudenfrequenzkurve im Fall einer kleinen Dämpfung einen einzelnen Peak. Je kleiner die Dämpfung ist Die Resonanzfrequenz des Systems bezeichnet. Im Fall einer geringen Dämpfung unterscheidet sich die Resonanzfrequenz nicht wesentlich von der Eigenfrequenz. Wenn die Anregungsfrequenz nahe der Eigenfrequenz liegt, ist die Amplitude nimmt stark zu. Dieses Phänomen wird als Resonanz bezeichnet. Bei Resonanz wird der Gewinn des Systems maximiert, dh die erzwungene Schwingung ist die intensivste. Daher bemüht sich immer, Resonanz zu vermeiden, es sei denn Vibration.

FEIGE. 5 Amplitudenfrequenzkurve

Aus der Phasenfrequenzkurve (Abbildung 6) können unabhängig von der Dämpfungsgröße in Omega -Null -Phasendifferenzbits = PI / 2 effektiv zur Messung der Resonanz verwendet werden.

Zusätzlich zur stetigen Anregung treten Systeme manchmal auf eine uneingeschränkte Erregung auf. Es kann in zwei Arten grob unterteilt werden: Einer ist der plötzliche Einfluss. Die zweite ist die bleibende Wirkung der willkürlichen. Die uninteressante Anregung ist auch die Reaktion des Systems unsicher.

Ein leistungsstarkes Instrument zur Analyse instationäre Schwingung ist die Impulsantwortmethode. Es beschreibt die dynamischen Eigenschaften des Systems mit der vorübergehenden Reaktion des Einheits -Impuls -Eingangs des Systems. Der Einheitsimpuls kann als Delta -Funktion ausgedrückt werden. Funktion wird oft definiert als:

Wobei 0- den Punkt auf der T-Achse darstellt, der sich Null von links nähert; 0 Plus ist der Punkt, der von rechts auf 0 geht.

FEIGE. 6 Phasenfrequenzkurve

FEIGE. 7 Jede Eingabe kann als Summe einer Reihe von Impulselementen angesehen werden

Das System entspricht der Reaktion H (t), die durch den Einheitsimpuls bei t = 0 erzeugt wird, der als Impulsantwortfunktion bezeichnet wird. Durch die Impulsantwortfunktion des Systems können wir die Reaktion des Systems auf jede Eingabe x (t) finden. An diesem Punkt können Sie sich X (t) als die Summe einer Reihe von Impulselementen vorstellen (Abb. 7) Die Antwort des Systems ist:

Basierend auf dem Überlagerungsprinzip beträgt die Gesamtantwort des Systems, das X (t) entspricht,:

Dieses Integral wird als Faltungsintegral oder ein Überlagerungsintegral bezeichnet.

Lineare Schwingung eines mehrköpfigen Freiheitssystems

Vibration eines linearen Systems mit n≥2 Freiheitsgraden.

Abbildung 8 zeigt zwei einfache resonante Subsysteme, die durch eine Kupplungsfeder verbunden sind. Da es sich um ein zweistufiges System handelt, werden zwei unabhängige Koordinaten benötigt, um seine Position zu bestimmen. Es gibt zwei Naturfrequenzen in diesem System:

Jede Frequenz entspricht einer Vibrationsmodus. Die harmonischen Oszillatoren führen harmonische Oszillationen derselben Frequenz durch, synchron durch die Gleichgewichtsposition und synchron werden die extreme Position erreicht. In der Hauptvibration, die Omega entspricht, ist x1 gleich x2; in in der Hauptposition, in der X2 entspricht, in der x2; in in der Hauptvibration, in der X2 entspricht, in der Höhe von x2; in in der Hauptvibration ist x2 gleich; in in der Hauptvibration. die Hauptvibration, die Omega Omega zwei entspricht, Omega Omega eins. In der Hauptvibration, die, die Verschiebungsverhältnis jeder Masse hält eine bestimmte Beziehung und bildet einen bestimmten Modus, der als Hauptmodus oder natürlicher Modus bezeichnet wird. Der Hauptmodus repräsentiert die inhärenten Schwingungseigenschaften des mehrköpfigen Freiheitssystems.

FEIGE. 8 System mit mehreren Freiheitsgraden

Ein System von n Freiheitsgraden hat N -Eigenfrequenzen und N -Hauptmodi. Jede Schwingungskonfiguration des Systems kann als lineare Kombination der Hauptmodi dargestellt werden -DOF -Systeme. Auf diese Weise wird die Messung und Analyse der natürlichen Schwingungseigenschaften des Systems zu einem routinemäßigen Schritt in der dynamischen Gestaltung des Systems.

Die dynamischen Eigenschaften von Multi-DOF-Systemen können auch durch Frequenzeigenschaften beschrieben werden. Es gibt eine Frequenz charakteristische Funktion zwischen jeder Eingabe und Ausgabe, eine Frequenzcharakteristische Matrix wird konstruiert. Die amplitudenfrequenz charakteristische Kurve des Multi-Freiedom-Systems ist unterschiedlich Aus dem des einsfreien Systems.

Der Elastomer vibriert

Das obige Multi -Grad -of -Freedom -System ist ein ungefähres mechanisches Modell des Elastomers. Ein Elastomer hat eine unendliche Anzahl von Freiheitsgraden. Eine unendliche Anzahl entsprechender Modi, und es gibt Orthogonalität zwischen den Modi der Masse und der Steifheit. Jede Schwingungskonfiguration des Elastomers kann auch sein als lineare Überlagerung der Hauptmodi dargestellt. Daher ist die Dynamikantwortanalyse des Elastomers die Überlagerungsmethode des Hauptmodus immer noch anwendbar (siehe lineare Schwingung des Elastomers).

Nehmen Sie die Schwingung einer Schnur. Lassen Sie sagen, dass eine dünne Masse Masse m pro Länge der Einheit Long L an beiden Enden gespannt wird und die Spannung diesmal t.at ist Gleichung:

F = Na/2L (n = 1,2,3…).

Wo ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Querwelle entlang der Richtung der Saite. Die Eigenfrequenzen der Saiten sind ein Vielfaches der grundlegenden Frequenz über 2L. Diese ganzzahlige Multiplizität führt zu einer angenehmen harmonischen Struktur. Allgemeines gibt es keine Eine solche ganzzahlige Multiple -Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen des Elastomers.

Die ersten drei Modi der gespannten Schnur sind in Abb. 1 dargestellt. 9. Es gibt einige Knoten auf der Hauptmoduskurve. In der Hauptvibration vibrieren die Knoten nicht. 10 zeigt mehrere typische Modi der umfangreich unterstützten kreisförmigen Platte mit einigen Knotenlinien aus Kreisen und Durchmessern.

Die genaue Formulierung des Elastomer -Schwingungsproblems kann als das Randwertproblem der partiellen Differentialgleichungen abgeschlossen werden. Schwingungsproblem. Die Essenz verschiedener ungefähren Lösungen besteht darin, das Unendliche in das Finite zu ändern, dh das Diskretisieren des mehrköpfigen Multi-Grades von Freiheitssystemen (kontinuierliches System) in ein endliches Mehrfach-Grad-Freedom-System (diskretes System). Es gibt zwei Arten von Diskretisierungsmethoden, die in der Engineering-Analyse weit verbreitet sind: Finite-Elemente-Methode und modale Synthesemethode.

FEIGE. 9 Modus der String

FEIGE. 10 Art der kreisförmigen Platte

Die Finite -Elemente -Methode ist eine zusammengesetzte Struktur, die eine komplexe Struktur in eine endliche Anzahl von Elementen zusammenfasst und sie mit einer endlichen Anzahl von Knoten verbindet. Verteilungsparameter jedes Elements werden in einem bestimmten Format auf jeden Knoten konzentriert, und das mechanische Modell des diskreten Systems wird erhalten.

Die modale Synthese ist die Zersetzung einer komplexen Struktur in mehrere einfachere Unterstrukturen. Auf der Grundlage des Verständnisses der Schwingungseigenschaften jeder Unterstruktur wird die Substruktur in eine allgemeine Struktur gemäß den Koordinationsbedingungen der Grenzfläche und der Vibrationsmorphologie des Allgemeinen synthetisiert Die Struktur wird unter Verwendung der Schwingungsmorphologie jeder Unterstruktur erhalten.

Die beiden Methoden sind unterschiedlich und verwandt und können als Referenz verwendet werden. Die modale Synthesemethode kann auch effektiv mit der experimentellen Messung kombiniert werden, um eine theoretische und experimentelle Analysemethode zur Schwingung großer Systeme zu bilden.