Τι είναι η γραμμική δόνηση;

Γραμμικός δόνηση: Η ελαστικότητα των εξαρτημάτων του συστήματος υπόκειται στον νόμο του Hooke και η δύναμη απόσβεσης που παράγεται κατά τη διάρκεια της κίνησης είναι ανάλογη προς την πρώτη εξίσωση της γενικευμένης ταχύτητας (παράγωγο χρόνου των γενικευμένων συντεταγμένων).

έννοια

Το γραμμικό σύστημα είναι συνήθως ένα αφηρημένο μοντέλο της δόνησης του πραγματικού συστήματος. Το γραμμικό σύστημα κραδασμών εφαρμόζει την αρχή υπέρθεσης, δηλαδή εάν η απόκριση του συστήματος είναι y1 υπό τη δράση της εισόδου x1 και y2 υπό τη δράση της εισόδου x2, Στη συνέχεια, η απόκριση του συστήματος υπό τη δράση των εισροών x1 και x2 είναι y1+y2.

Με βάση την αρχή της υπέρθεσης, μια αυθαίρετη εισροή μπορεί να αποσυντεθεί στο άθροισμα μιας σειράς απειροεξαγόμενων παρορμήσεων και στη συνέχεια μπορεί να ληφθεί η συνολική απόκριση του συστήματος. Το άθροισμα των αρμονικών συστατικών μιας περιοδικής διέγερσης μπορεί να επεκταθεί σε ένα σειρά αρμονικών συστατικών με μετασχηματισμό Fourier και η επίδραση κάθε αρμονικού συστατικού στο σύστημα μπορεί να διερευνηθεί ξεχωριστά. μπορεί να περιγραφεί με απόκριση ώθησης ή απόκριση συχνότητας.

Η απόκριση της ώθησης αναφέρεται στην απόκριση του συστήματος στην ώθηση της μονάδας, η οποία χαρακτηρίζει τα χαρακτηριστικά απόκρισης του συστήματος στον τομέα του χρόνου. από το μετασχηματισμό Fourier.

ταξινόμηση

Ο γραμμικός δόνηση μπορεί να χωριστεί σε γραμμική δόνηση του συστήματος μονού βαθμού-ελευθερίας και γραμμικής δόνησης του συστήματος πολλαπλών βαθμών-ελευθερίας.

(1) Η γραμμική δόνηση ενός συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας είναι μια γραμμική δόνηση της οποίας η θέση μπορεί να προσδιοριστεί από μια γενικευμένη συντεταγμένη. Αρμονικές κραδασμούς, ελεύθερη δόνηση, δόνηση εξασθένησης και καταναγκαστική δόνηση.

Απλή αρμονική δόνηση: Η παλινδρομική κίνηση ενός αντικειμένου κοντά στην θέση ισορροπίας του σύμφωνα με έναν ημιτονοειδές νόμο υπό τη δράση μιας δύναμης αποκατάστασης ανάλογη προς τον εκτοπισμό του.

Αποσυνδεδεμένη δόνηση: δόνηση του οποίου το εύρος εξασθενεί συνεχώς από την παρουσία τριβής και διηλεκτρικής αντίστασης ή άλλης κατανάλωσης ενέργειας.

Αναγκαστική δόνηση: δόνηση ενός συστήματος υπό συνεχή διέγερση.

(2) Η γραμμική δόνηση του συστήματος πολλαπλών βαθμών-ελευθερίας είναι η δόνηση του γραμμικού συστήματος με N≥2 βαθμών ελευθερίας. του συστήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των μεγάλων τρόπων λειτουργίας. Ως εκ τούτου, η μέθοδος Superposition της κύριας λειτουργίας χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση δυναμικής απόκρισης των συστημάτων πολλαπλών dof. Με αυτόν τον τρόπο, το Η μέτρηση και η ανάλυση των φυσικών χαρακτηριστικών κραδασμών του συστήματος γίνεται ένα συνηθισμένο βήμα στο δυναμικό σχεδιασμό του συστήματος. Τα δυναμικά χαρακτηριστικά των συστημάτων πολλαπλών dof μπορούν επίσης να περιγραφούν από τα χαρακτηριστικά συχνότητας. έξοδος, κατασκευάζεται μια χαρακτηριστική συχνότητα. Υπάρχει μια σαφής σχέση μεταξύ του χαρακτηριστικού συχνότητας και της κύριας λειτουργίας. το σύστημα μονής ελευθερίας.

Γραμμική δόνηση ενός συστήματος ελευθερίας ενός βαθμού ελευθερίας

Μια γραμμική δόνηση στην οποία η θέση ενός συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από μια γενικευμένη συντεταγμένη. Είναι η απλούστερη και πιο θεμελιώδη δόνηση από την οποία μπορούν να εξαχθούν πολλές βασικές έννοιες και χαρακτηριστικά των κραδασμών. .

Αρμονική δόνηση

Κάτω από τη δράση της αποκατάστασης της δύναμης ανάλογη προς την μετατόπιση, το αντικείμενο αντιστοιχεί σε ημιτονοειδές τρόπο κοντά στη θέση ισορροπίας του (Εικόνα 1). Η μαθηματική έκφραση αυτής της δόνησης είναι:

(1)Όπου a είναι η μέγιστη τιμή μετατόπισης x, η οποία ονομάζεται πλάτος, και αντιπροσωπεύει την ένταση της δόνησης, ωμέγα n είναι η αύξηση της γωνίας πλάτους της δόνησης ανά δευτερόλεπτο, η οποία ονομάζεται γωνιακή συχνότητα ή η κυκλική συχνότητα. ονομάζεται αρχική φάση. Οι όροι του f = n/2, ο αριθμός των ταλαντώσεων ανά δευτερόλεπτο ονομάζεται συχνότητα, το αντίστροφο αυτού, t = 1/f, είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να ταλαντεύονται έναν κύκλο και Αυτό ονομάζεται περίοδος. Ευρώπη a, συχνότητα f (ή γωνιακή συχνότητα n), η αρχική φάση, γνωστή ως απλή αρμονική δόνηση τρία στοιχεία.

ΣΥΚΟ. 1 απλή καμπύλη αρμονικής δόνησης

Όπως φαίνεται στο ΣΧ. 2, ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής σχηματίζεται από τη συμπυκνωμένη μάζα Μ που συνδέεται με ένα γραμμικό ελατήριο. Όταν η μετατόπιση των κραδασμών υπολογίζεται από τη θέση ισορροπίας, η εξίσωση των κραδασμών είναι:

Πού είναι η δυσκαμψία του ελατηρίου. Η γενική λύση στην παραπάνω εξίσωση είναι (1) .a και μπορεί να προσδιοριστεί από την αρχική θέση x0 και την αρχική ταχύτητα στο t = 0:

Αλλά το ωμέγα n καθορίζεται μόνο από τα χαρακτηριστικά του ίδιου του συστήματος M και K, ανεξάρτητα από τις πρόσθετες αρχικές συνθήκες, οπότε το ωμέγα Ν είναι επίσης γνωστό ως φυσική συχνότητα.

ΣΥΚΟ. 2 μονό βαθμό ελευθερίας σύστημα

Για έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, το άθροισμα της κινητικής ενέργειας και της δυνητικής ενέργειας είναι σταθερό, δηλαδή η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται. Κατά τη διαδικασία των κραδασμών, η κινητική ενέργεια και η δυνητική ενέργεια μετατρέπονται συνεχώς μεταξύ τους.

Η δόνηση απόσβεσης

Μια δόνηση των οποίων το εύρος εξασθενεί συνεχώς με τριβή και διηλεκτρική αντίσταση ή άλλη κατανάλωση ενέργειας. Για μικρο -δόνηση, η ταχύτητα δεν είναι γενικά πολύ μεγάλη και η μέση αντίσταση είναι ανάλογη με την ταχύτητα στην πρώτη ισχύ, η οποία μπορεί να γραφτεί ως C είναι Ο συντελεστής απόσβεσης.

(2)Όπου, M = C/2m ονομάζεται η παράμετρος απόσβεσης και η γενική λύση του Formula (2) μπορεί να γραφτεί:

(3)Η αριθμητική σχέση μεταξύ Omega N και Pi μπορεί να χωριστεί στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:

N> (στην περίπτωση μικρής απόσβεσης) Τα σωματίδια παρήγαγαν δόνηση εξασθένησης, η εξίσωση των κραδασμών είναι:

Το εύρος του μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που παρουσιάζεται στην εξίσωση, όπως φαίνεται στην διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 3. Συγκεντρωτικά, αυτή η δόνηση είναι απεριοδική, αλλά η συχνότητα της αιχμής του μπορεί να οριστεί ως:

Ονομάζεται ρυθμός μείωσης πλάτους, όπου είναι η περίοδος των κραδασμών. Ο φυσικός λογάριθμος του ρυθμού μείωσης πλάτους ονομάζεται λογαρίθμιος μείον (πλάτος). Το πειραματικό δέλτα δοκιμής και, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο μπορεί να υπολογιστεί c.

Αυτή τη στιγμή, η λύση της εξίσωσης (2) μπορεί να γραφτεί:

Μαζί με την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας, μπορεί να χωριστεί σε τρεις περιπτώσεις μη-ίδρυσης όπως φαίνεται στο σχ. 4.

N <(στην περίπτωση μεγάλης απόσβεσης), η λύση στην εξίσωση (2) φαίνεται στην εξίσωση (3). Σε αυτό το σημείο, το σύστημα δεν δονείται πλέον.

Καταναγκαστική δόνηση

Η δόνηση ενός συστήματος υπό σταθερή ανάλυση διέγερσης. Η ανάλυση της διάνοιξης διερευνά κυρίως την ανταπόκριση του συστήματος σε διέγερση. Η διέγερση είναι μια τυπική κανονική διέγερση. Επειδή η περιοδική διέγερση μπορεί πάντα να αποσυντεθεί στο άθροισμα πολλών αρμονικών διέγερσης, σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης, μόνο Απαιτείται η ανταπόκριση του συστήματος σε κάθε αρμονική διέγερση. Με τη δράση της αρμονικής διέγερσης, μπορεί να γραφτεί η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός μεμονωμένου βαθμού απόσβεσης της ελευθερίας:

Η απάντηση είναι το άθροισμα των δύο τμημάτων. Ένα μέρος είναι η ανταπόκριση της απόσβεσης των κραδασμών, η οποία διασπάται γρήγορα.

ΣΥΚΟ. 3 Καμπύλη δόνησης με αποσβεστήρα

ΣΥΚΟ. 4 καμπύλες τριών αρχικών συνθηκών με κρίσιμη απόσβεση

Πληκτρολογήστε το

H /f0 = h (), είναι η αναλογία πλάτους σταθερής απόκρισης στο πλάτος διέγερσης, χαρακτηρίζοντας τα χαρακτηριστικά-συχνότητας πλάτους ή τη λειτουργία κέρδους, bits για σταθερή ανταπόκριση κατάστασης και κίνητρο της φάσης, χαρακτηρισμός χαρακτηριστικών συχνότητας φάσης. Η σχέση μεταξύ τους και Η συχνότητα διέγερσης φαίνεται στο ΣΧ. 5 και Εικ. 6.

Όπως φαίνεται από την καμπύλη της συχνότητας πλάτους (Εικόνα 5), στην περίπτωση μικρής απόσβεσης, η καμπύλη-συχνότητας πλάτους έχει μία μόνο κορυφή. που ονομάζεται συχνότητα συντονισμού του συστήματος. Στην περίπτωση της μικρής απόσβεσης, η συχνότητα συντονισμού δεν είναι πολύ διαφορετική από τη φυσική συχνότητα. Όταν η συχνότητα διέγερσης είναι κοντά στη φυσική συχνότητα, το εύρος αυξάνεται απότομα. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται συντονισμός. δόνηση.

ΣΥΚΟ. 5 καμπύλη συχνότητας πλάτους

Μπορεί να φανεί από την καμπύλη συχνότητας φάσης (Σχήμα 6), ανεξάρτητα από το μέγεθος της απόσβεσης, σε bits διαφοράς μηδενικής φάσης ωμέγα = PI / 2, αυτό το χαρακτηριστικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά στη μέτρηση του συντονισμού.

Εκτός από τη σταθερή διέγερση, τα συστήματα αντιμετωπίζουν μερικές φορές ασταμάτητη διέγερση. Μπορεί να χωριστεί σε δύο τύπους: ο ένας είναι ο ξαφνικός αντίκτυπος.

Ένα ισχυρό εργαλείο για την ανάλυση ασταθούς δόνησης είναι η μέθοδος απόκρισης ώθησης. Περιγράφει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος με την παροδική απόκριση της εισόδου ώθησης μονάδας του συστήματος. Η λειτουργία συχνά ορίζεται ως:

Όπου 0- αντιπροσωπεύει το σημείο του Τ-άξονα που πλησιάζει το μηδέν από το αριστερό, 0 συν είναι το σημείο που πηγαίνει στο 0 από τα δεξιά.

ΣΥΚΟ. 6 καμπύλη συχνότητας φάσης

ΣΥΚΟ. 7 Οποιαδήποτε είσοδος μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα μιας σειράς στοιχείων ώθησης

Το σύστημα αντιστοιχεί στην απόκριση h (t) που παράγεται από την ώθηση της μονάδας στο t = 0, η οποία ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης ώθησης. Η λειτουργία απόκρισης ώθησης του συστήματος, μπορούμε να βρούμε την απόκριση του συστήματος σε οποιαδήποτε είσοδο x (t). Σε αυτό το σημείο, μπορείτε να σκεφτείτε το x (t) ως το άθροισμα μιας σειράς στοιχείων ώθησης (Εικόνα 7) . Η απάντηση του συστήματος είναι:

Με βάση την αρχή της υπέρθεσης, η συνολική ανταπόκριση του συστήματος που αντιστοιχεί στο x (t) είναι:

Αυτό το ολοκλήρωμα ονομάζεται ολοκλήρωμα συνέλιξης ή ολοκλήρωση υπέρθεσης.

Γραμμική δόνηση ενός συστήματος πολλαπλών βαθμών ελευθερίας

Δόνηση ενός γραμμικού συστήματος με N≥2 βαθμών ελευθερίας.

Το σχήμα 8 δείχνει δύο απλά υποσυστήματα συντονισμού που συνδέονται με ένα ελατήριο σύζευξης. Επειδή είναι ένα σύστημα δύο βαθμών-ελευθερίας, απαιτούνται δύο ανεξάρτητες συντεταγμένες για τον προσδιορισμό της θέσης του. Υπάρχουν δύο φυσικές συχνότητες σε αυτό το σύστημα:

Κάθε συχνότητα αντιστοιχεί σε έναν τρόπο δόνησης. Οι αρμονικοί ταλαντωτές εκτελούν αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας, περνώντας συγχρόνως μέσα από τη θέση ισορροπίας και συγχρονισμένα φτάνουν στην ακραία θέση. Η κύρια δόνηση που αντιστοιχεί στο Omega Omega Two, Omega Omega One.in η κύρια δόνηση, η αναλογία μετατόπισης κάθε μάζας διατηρεί μια συγκεκριμένη σχέση και σχηματίζει μια συγκεκριμένη λειτουργία, η οποία ονομάζεται κύρια λειτουργία ή η φυσική λειτουργία. αντιπροσωπεύουν τα εγγενή χαρακτηριστικά δόνησης του συστήματος πολλαπλών βαθμών της ελευθερίας.

ΣΥΚΟ. 8 Σύστημα με πολλαπλούς βαθμούς ελευθερίας

Ένα σύστημα n βαθμών ελευθερίας έχει n φυσικές συχνότητες και n κύριους τρόπους. Οποιαδήποτε διαμόρφωση δόνησης του συστήματος μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως γραμμικός συνδυασμός των μεγάλων τρόπων. -DOF Systems. Με αυτόν τον τρόπο, η μέτρηση και η ανάλυση των φυσικών χαρακτηριστικών κραδασμών του συστήματος γίνεται ένα συνηθισμένο βήμα στο δυναμικό σχεδιασμό του συστήματος.

Τα δυναμικά χαρακτηριστικά των συστημάτων πολλαπλών DOF μπορούν επίσης να περιγραφούν από τα χαρακτηριστικά συχνότητας. Επειδή υπάρχει μια χαρακτηριστική συχνότητα μεταξύ κάθε εισόδου και εξόδου, κατασκευάζεται μια χαρακτηριστική μήτρα συχνότητας. από εκείνη του συστήματος ενός ελευθερίας.

Το ελαστομερές δονείται

Ο παραπάνω σύστημα πολλαπλών βαθμών ελευθερίας είναι ένα κατά προσέγγιση μηχανικό μοντέλο ελαστομερούς. Ένα ελαστομερές έχει έναν άπειρο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Υπάρχει μια ποσοτική διαφορά αλλά καμία ουσιαστική διαφορά μεταξύ των δύο ελαστομερούς έχει έναν άπειρο αριθμό φυσικών συχνοτήτων και Ένας άπειρος αριθμός αντίστοιχων τρόπων και υπάρχει ορθογωνικότητα μεταξύ των τρόπων μάζας και της δυσκαμψίας. Οποιαδήποτε δονητική διαμόρφωση του ελαστομερούς μπορεί επίσης να είναι Αντιπροσωπεύεται ως γραμμική υπέρθεση των μεγάλων τρόπων λειτουργίας. Για το επομένως, για τη δυναμική ανάλυση απόκρισης του ελαστομερούς, η μέθοδος υπέρθεσης του κύριου τρόπου εξακολουθεί να ισχύει (βλ. Γραμμική δόνηση του ελαστομερούς).

Πάρτε τη δόνηση ενός string.let λένε ότι μια λεπτή σειρά μάζας m ανά μονάδα μήκους, long l, είναι τεντωμένη και στα δύο άκρα, και η ένταση είναι t.at αυτή τη φορά, η φυσική συχνότητα της συμβολοσειράς καθορίζεται από τα παρακάτω εξίσωση:

F = Na/2L (n = 1,2,3 ...).

Όπου είναι η ταχύτητα διάδοσης του εγκάρσιου κύματος κατά μήκος της κατεύθυνσης της συμβολοσειράς. Τέτοιες ακέραιες πολλαπλές σχέσεις μεταξύ των φυσικών συχνοτήτων του ελαστομερούς.

Οι τρεις πρώτες λειτουργίες της τεντωμένης συμβολοσειρά παρουσιάζονται στο Σχ. 9. Υπάρχουν μερικοί κόμβοι στην καμπύλη της κύριας λειτουργίας. Στα κύρια δόνηση, οι κόμβοι δεν δονείται. 10 δείχνει αρκετούς τυπικούς τρόπους της κυκλικής πλάκας που υποστηρίζεται περιφερειακά με ορισμένες κομβικές γραμμές που αποτελούνται από κύκλους και διαμέτρους.

Η ακριβής διατύπωση του προβλήματος δόνησης ελαστομερούς μπορεί να ολοκληρωθεί ως το πρόβλημα της οριακής αξίας των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ωστόσο, η ακριβής λύση μπορεί να βρεθεί μόνο σε μερικές από τις απλούστερες περιπτώσεις, οπότε πρέπει να καταφύγουμε στην κατά προσέγγιση λύση για το σύνθετο ελαστομερές πρόβλημα κραδασμών. Η ουσία των διαφόρων προσεγγίσεων λύσεων είναι να αλλάξει το άπειρο προς το πεπερασμένο, δηλαδή να διακρίνει το σύστημα πολλαπλών βαθμών χωρίς άκρα του συστήματος ελευθερίας (συνεχές σύστημα) σε ένα πεπερασμένο σύστημα πολλαπλών βαθμών ελευθερίας (διακριτό σύστημα). Υπάρχουν δύο είδη μεθόδων διακριτοποίησης που χρησιμοποιούνται ευρέως στην ανάλυση της μηχανικής: μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων και μέθοδο σύνθεσης τρόπων.

ΣΥΚΟ. 9 Λειτουργία συμβολοσειράς

ΣΥΚΟ. 10 τρόπος κυκλικής πλάκας

Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων είναι μια σύνθετη δομή που περιγράφει μια σύνθετη δομή σε έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και τα συνδέει σε έναν πεπερασμένο αριθμό κόμβων. Οι παράμετροι κατανομής κάθε στοιχείου συγκεντρώνονται σε κάθε κόμβο σε μια συγκεκριμένη μορφή και λαμβάνεται το μηχανικό μοντέλο του διακριτού συστήματος.

Η σύνθεση των τρόπων είναι η αποσύνθεση μιας σύνθετης δομής σε αρκετές απλούστερες υποδομές. Με βάση την κατανόηση των χαρακτηριστικών των κραδασμών κάθε υποδομής, η υποδομή συντίθεται σε μια γενική δομή σύμφωνα με τις συνθήκες συντονισμού στη διεπαφή και η μορφολογία των κραδασμών του Γενικού Η δομή επιτυγχάνεται με τη χρήση της μορφολογίας των κραδασμών κάθε υποδομής.

Οι δύο μέθοδοι είναι διαφορετικές και σχετικές και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως αναφορά. Η μέθοδος σύνθεσης modal μπορεί επίσης να συνδυαστεί αποτελεσματικά με την πειραματική μέτρηση για να σχηματίσει μια θεωρητική και πειραματική μέθοδο ανάλυσης για τη δόνηση μεγάλων συστημάτων.