¿Qué es la vibración lineal?

Vibración lineal: La elasticidad de los componentes en el sistema está sujeta a la ley de Hooke, y la fuerza de amortiguación generada durante el movimiento es proporcional a la primera ecuación de la velocidad generalizada (tiempo derivado de las coordenadas generalizadas).

concepto

El sistema lineal suele ser un modelo abstracto de la vibración del sistema real. El sistema de vibración lineal aplica el principio de superposición, es decir, si la respuesta del sistema está Y1 bajo la acción de la entrada x1 e y2 bajo la acción de la entrada x2, entonces la respuesta del sistema bajo la acción de la entrada X1 y X2 es Y1+Y2.

Sobre la base del principio de superposición, se puede descomponer una entrada arbitraria en la suma de una serie de impulsos infinitesimales, y luego se puede obtener la respuesta total del sistema. La suma de los componentes armónicos de una excitación periódica se puede ampliar en A Serie de componentes armónicos por transformación de Fourier, y el efecto de cada componente armónico en el sistema puede investigarse por separado. Por lo tanto, las características de respuesta de los sistemas lineales con constante Los parámetros se pueden describir mediante respuesta de impulso o respuesta de frecuencia.

La respuesta del impulso se refiere a la respuesta del sistema al impulso de la unidad, que caracteriza las características de respuesta del sistema en el dominio de tiempo. La respuesta de frecuencia se refiere a la respuesta de respuesta característica del sistema a la entrada armónica de la unidad. La correspondencia entre los dos se determina por la transformación de Fourier.

clasificación

La vibración lineal se puede dividir en la vibración lineal del sistema de un solo grado de libertad y la vibración lineal del sistema de múltiples grados de libertad.

(1) La vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad es una vibración lineal cuya posición se puede determinar mediante una coordenada generalizada. Es la vibración más simple de la cual se pueden derivar muchos conceptos y características básicas de vibración. Incluye simple Vibración armónica, vibración libre, vibración de atenuación y vibración forzada.

Vibración armónica simple: el movimiento recíproco de un objeto en las proximidades de su posición de equilibrio de acuerdo con una ley sinusoidal bajo la acción de una fuerza de restauración proporcional a su desplazamiento.

Vibración amortiguada: vibración cuya amplitud se atenúa continuamente por la presencia de fricción y resistencia dieléctrica u otro consumo de energía.

Vibración forzada: vibración de un sistema bajo excitación constante.

(2) La vibración lineal del sistema de varios grados de freedom es la vibración del sistema lineal con n≥2 grados de libertad. Un sistema de n grados de libertad tiene n frecuencias naturales y modsos principales. Cualquier configuración de vibración del sistema se puede representar como una combinación lineal de los modos principales. forma, la medición y el análisis de las características de vibración natural del sistema se convierten en un paso de rutina en el diseño dinámico del sistema. Las características dinámicas de los sistemas multidOf también se pueden describir mediante características de frecuencia. Cada entrada y salida, se construye una matriz característica de frecuencia. Hay una relación definitiva entre la característica de frecuencia y el modo principal. La curva característica de frecuencia de amplitud del El sistema multifreedom es diferente al del sistema de libertad única.

Vibración lineal de un solo grado de sistema de libertad

Una vibración lineal en la que la posición de un sistema puede determinarse mediante una coordenada generalizada. Es la vibración más simple y fundamental de la cual se pueden derivar muchos conceptos y características básicas de la vibración. Incluye vibración armónica simple, vibración amortiguada y vibración forzada .

Vibración armónica

Bajo la acción de restaurar la fuerza proporcional al desplazamiento, el objeto se recupera de manera sinusoidal cerca de su posición de equilibrio (Fig. 1) .x representa el desplazamiento y t representa el tiempo. La expresión matemática de esta vibración es:

(1)Donde a es el valor máximo del desplazamiento x, que se llama amplitud, y representa la intensidad de la vibración; omega n es el incremento del ángulo de amplitud de la vibración por segundo, que se llama frecuencia angular, o la frecuencia circular; esto; se llama la fase inicial. En términos de f = n/2, el número de oscilaciones por segundo se llama frecuencia; el inverso de esto, t = 1/f, es el tiempo que lleva a Oscilar un ciclo, y eso se llama período. Amplitud A, frecuencia F (o frecuencia angular n), la fase inicial, conocida como simple vibración armónica tres elementos.

HIGO. 1 curva de vibración armónica simple

Como se muestra en la Fig. 2, un oscilador armónico simple se forma por la masa concentrada M conectada por un resorte lineal. Cuando el desplazamiento de vibración se calcula a partir de la posición de equilibrio, la ecuación de vibración es:

Donde está la rigidez del resorte. La solución general a la ecuación anterior es (1) .A y puede determinarse mediante la posición inicial x0 y la velocidad inicial en t = 0:

Pero Omega n solo está determinado por las características del sistema mismo M y K, independientemente de las condiciones iniciales adicionales, por lo que Omega n también se conoce como la frecuencia natural.

HIGO. 2 Sistema de Libertad de un solo grado

Para un oscilador armónico simple, la suma de su energía cinética y energía potencial es constante, es decir, la energía mecánica total del sistema se conserva. En el proceso de vibración, energía cinética y energía potencial se transforma constantemente entre sí.

La vibración de amortiguación

Una vibración cuya amplitud se atenúa continuamente por la fricción y la resistencia dieléctrica u otro consumo de energía. Para la micro vibración, la velocidad generalmente no es muy grande, y la resistencia media es proporcional a la velocidad a la primera potencia, que se puede escribir como C IS el coeficiente de amortiguación. Por lo tanto, la ecuación de vibración de un grado de libertad con amortiguación lineal se puede escribir como:

(2)Donde, m = c/2m se llama parámetro de amortiguación, y se puede escribir la solución general de la fórmula (2):

(3)La relación numérica entre Omega N y Pi se puede dividir en los siguientes tres casos:

N> (en el caso de la amortiguación pequeña) La vibración de atenuación producida por partículas, la ecuación de vibración es:

Su amplitud disminuye con el tiempo de acuerdo con la ley exponencial que se muestra en la ecuación, como se muestra en la línea punteada en la Fig. 3. Presentadamente hablando, esta vibración es aperiódica, pero la frecuencia de su pico se puede definir como:

Se llama la tasa de reducción de amplitud, donde es el período de vibración. El logaritmo natural de la tasa de reducción de amplitud se llama la velocidad del logaritmo menos (amplitud). Obviamente, =, en este caso, es igual a 2/1.Directamente a través del Delta de prueba experimental y, utilizando la fórmula anterior se puede calcular c.

En este momento, se puede escribir la solución de la ecuación (2):

Junto con la dirección de la velocidad inicial, se puede dividir en tres casos de no vibración como se muestra en la Fig. 4.

N <(en el caso de una amortiguación grande), la solución a la ecuación (2) se muestra en la ecuación (3). En este punto, el sistema ya no vibra.

Vibración forzada

Vibración de un sistema bajo excitación constante. El análisis de vibración investiga principalmente la respuesta del sistema a la excitación. La excitación periódica es una excitación regular típica. Desde que la excitación periódica siempre se puede descomponer en la suma de varias excitaciones armónicas, de acuerdo con el principio de superposición, solo Se requiere la respuesta del sistema a cada excitación armónica. Bajo la acción de la excitación armónica, se puede escribir la ecuación diferencial de movimiento de un solo grado de libertad amortiguado de libertad:

La respuesta es la suma de dos partes. Una parte es la respuesta de la vibración amortiguada, que decae rápidamente con el tiempo. La respuesta de otra parte de la vibración forzada se puede escribir:

HIGO. 3 curva de vibración amortiguada

HIGO. 4 curvas de tres condiciones iniciales con amortiguación crítica

Escriba el

H /f0 = h (), es la relación entre la amplitud de respuesta constante a la amplitud de excitación, caracterizando las características de la frecuencia de amplitud o la función de ganancia; bits para la respuesta de estado estacionario e incentivo de la fase, caracterización de las características de frecuencia de fase. La relación entre ellos y La frecuencia de excitación se muestra en la Fig. 5 y Fig. 6.

Como se puede ver en la curva de frecuencia de amplitud (Fig. 5), en el caso de la pequeña amortiguación, la curva de frecuencia de amplitud tiene un solo pico. Cuanto menor sea la amortiguación, más pronunciada es el pico; la frecuencia correspondiente al pico IS llamada frecuencia resonante del sistema. En el caso de la pequeña amortiguación, la frecuencia de resonancia no es muy diferente de la frecuencia natural. La amplitud aumenta bruscamente. Este fenómeno se llama resonancia. En resonancia, la ganancia del sistema se maximiza, es decir, la vibración forzada es la más intensa. Por lo tanto, en general, siempre se esfuerza por evitar la resonancia, a menos que algunos instrumentos y equipos usen resonancia para lograr grandes vibración.

HIGO. 5 curva de frecuencia de amplitud

Se puede ver en la curva de frecuencia de fase (Figura 6), independientemente del tamaño de la amortiguación, en los bits de diferencia de fase cero omega = PI / 2, esta característica puede usarse de manera efectiva para medir la resonancia.

Además de la excitación constante, los sistemas a veces encuentran una excitación inestable. Se puede dividir aproximadamente en dos tipos: uno es el impacto repentino. El segundo es el efecto duradero de la arbitrariedad. Bajo la excitación inestable, la respuesta del sistema también es inestable.

Una herramienta poderosa para analizar la vibración inestable es el método de respuesta al impulso. Describe las características dinámicas del sistema con la respuesta transitoria de la entrada de impulso de la unidad del sistema. El impulso de la unidad puede expresarse como una función delta. En ingeniería, el delta la función a menudo se define como:

Donde 0- representa el punto en el eje t que se acerca a cero desde la izquierda; 0 plus es el punto que va a 0 desde la derecha.

HIGO. Curva de frecuencia de 6 fase

HIGO. 7 Cualquier entrada puede considerarse como la suma de una serie de elementos de impulso

El sistema corresponde a la respuesta h (t) generada por el impulso de la unidad en t = 0, que se llama función de respuesta del impulso. Asumiendo que el sistema está estacionario antes del pulso, h (t) = 0 para t <0. La función de respuesta de impulso del sistema, podemos encontrar la respuesta del sistema a cualquier entrada x (t). En este punto, puede pensar en x (t) como la suma de una serie de elementos de impulso (Fig. 7) .La respuesta del sistema es:

Según el principio de superposición, la respuesta total del sistema correspondiente a x (t) es:

Esta integral se denomina integral de convolución o una integral de superposición.

Vibración lineal de un sistema de múltiples grados de libertad

Vibración de un sistema lineal con grados de libertad n≥2.

La Figura 8 muestra dos subsistemas resonantes simples conectados por un resorte de acoplamiento. Porque es un sistema de dos grados de libertad, se necesitan dos coordenadas independientes para determinar su posición. Hay dos frecuencias naturales en este sistema:

Cada frecuencia corresponde a un modo de vibración. Los osciladores armónicos llevan a cabo oscilaciones armónicas de la misma frecuencia, pasando sincrónicamente a través de la posición de equilibrio y alcanzando sincrónicamente la posición extrema. En la vibración principal correspondiente a Omega One, x1 es igual a x2; en La vibración principal correspondiente a Omega Omega Two, Omega Omega One. En la vibración principal, el desplazamiento La relación de cada masa mantiene una determinada relación y forma un determinado modo, que se denomina modo principal o el modo natural. La ortogonalidad de la masa y la rigidez existe entre los modos principales, lo que refleja la independencia de cada vibración. La frecuencia natural y la principal El modo representa las características de vibración inherentes del sistema multyegro de libertad.

HIGO. 8 Sistema con múltiples grados de libertad

Un sistema de n grados de libertad tiene n frecuencias naturales y modsos principales. Cualquier configuración de vibración del sistema puede representarse como una combinación lineal de los modos principales. Por lo tanto, el método de superposición del modo principal se usa ampliamente en el análisis de respuesta dinámica de multi -dof sistemas. De esta manera, la medición y el análisis de las características de vibración natural del sistema se convierten en un paso de rutina en el diseño dinámico del sistema.

Las características dinámicas de los sistemas múltiples también se pueden describir mediante características de frecuencia. Desde que existe una función característica de frecuencia entre cada entrada y salida, se construye una matriz característica de frecuencia. La curva característica de frecuencia de amplitud del sistema multifreedom es diferente del sistema de libertad única.

El elastómero vibra

El sistema multi -grado de libertad anterior es un modelo mecánico aproximado de elastómero. Un elastómero tiene un número infinito de grados de libertad. Hay una diferencia cuantitativa pero no hay diferencia esencial entre los dos. un número infinito de modos correspondientes, y existe ortogonalidad entre los modos de masa y rigidez. Cualquier configuración vibratoria del elastómero también puede se representa como una superposición lineal de los modos principales.

Tome la vibración de una cadena. Dé en cuenta que una cadena delgada de masa M por unidad de longitud, larga L, está tensada en ambos extremos, y la tensión es T. En este tiempo, la frecuencia natural de la cuerda está determinada por el siguiente ecuación:

F = Na/2L (n = 1,2,3 ...).

Donde, la velocidad de propagación de la onda transversal a lo largo de la dirección de la cuerda. Las frecuencias naturales de las cadenas son múltiplos de la frecuencia fundamental sobre 2 l. Dicha relación múltiple entero entre las frecuencias naturales del elastómero.

Los primeros tres modos de la cadena tensada se muestran en la Fig. 9. Hay algunos nodos en la curva de modo principal. En la vibración principal, los nodos no vibran. 10 muestra varios modos típicos de la placa circular soportada circunferencialmente con algunas líneas nodales compuestas de círculos y diámetros.

La formulación exacta del problema de vibración de elastómero se puede concluir como el problema del valor límite de las ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la solución exacta solo se puede encontrar en algunos de los casos más simples, por lo que tenemos que recurrir a la solución aproximada para el complejo elastómero. Problema de vibración. La esencia de varias soluciones aproximadas es cambiar el infinito a lo finito, es decir, discretizar el sistema de libertad de libertad multidecina sin extremidades (Sistema continuo) en un sistema finito de varios grados de libertad (sistema discreto). Hay dos tipos de métodos de discretización ampliamente utilizados en el análisis de ingeniería: método de elementos finitos y método de síntesis modal.

HIGO. 9 Modo de cadena

HIGO. 10 modo de placa circular

El método de elementos finitos es una estructura compuesta que abstrae una estructura compleja en un número finito de elementos y los conecta a un número finito de nodos. Cada unidad es un elastómero; el desplazamiento de distribución del elemento se expresa mediante la función de interpolación del desplazamiento del nodo. Los parámetros de distribución de cada elemento se concentran en cada nodo en un determinado formato, y se obtiene el modelo mecánico del sistema discreto.

La síntesis modal es la descomposición de una estructura compleja en varias subestructuras más simples. Según la base de comprender las características de vibración de cada subestructura, la subestructura se sintetiza en una estructura general de acuerdo con las condiciones de coordinación en la interfaz, y la morfología de la vibración de la general La estructura se obtiene utilizando la morfología de vibración de cada subestructura.

Los dos métodos son diferentes y relacionados, y pueden usarse como referencia. El método de síntesis modal también se puede combinar efectivamente con la medición experimental para formar un método de análisis teórico y experimental para la vibración de sistemas grandes.