¿Qué es la vibración lineal?

Vibración lineal: la elasticidad de los componentes del sistema está sujeta a la ley de Hooke, y la fuerza de amortiguación generada durante el movimiento es proporcional a la primera ecuación de la velocidad generalizada (derivada en el tiempo de las coordenadas generalizadas).

concepto

El sistema lineal suele ser un modelo abstracto de la vibración del sistema real. El sistema de vibración lineal aplica el principio de superposición, es decir, si la respuesta del sistema es y1 bajo la acción de la entrada x1 e y2 bajo la acción de la entrada x2, entonces la respuesta del sistema bajo la acción de las entradas x1 y x2 es y1+y2.

Sobre la base del principio de superposición, una entrada arbitraria se puede descomponer en la suma de una serie de impulsos infinitesimales y luego se puede obtener la respuesta total del sistema. La suma de los componentes armónicos de una excitación periódica se puede expandir a un Una serie de componentes armónicos mediante la transformada de Fourier, y el efecto de cada componente armónico en el sistema se puede investigar por separado. Por lo tanto, las características de respuesta de los sistemas lineales con parámetros constantes se pueden describir mediante respuesta de impulso o respuesta de frecuencia.

La respuesta al impulso se refiere a la respuesta del sistema al impulso unitario, que caracteriza las características de respuesta del sistema en el dominio del tiempo. La respuesta de frecuencia se refiere a la característica de respuesta del sistema a la entrada armónica unitaria. Se determina la correspondencia entre los dos. por la transformada de Fourier.

clasificación

La vibración lineal se puede dividir en vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad y vibración lineal de un sistema de múltiples grados de libertad.

(1) la vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad es una vibración lineal cuya posición puede determinarse mediante una coordenada generalizada. Es la vibración más simple de la que se pueden derivar muchos conceptos y características básicos de la vibración. Incluye simples vibración armónica, vibración libre, vibración de atenuación y vibración forzada.

Vibración armónica simple: movimiento alternativo de un objeto en las proximidades de su posición de equilibrio según una ley sinusoidal bajo la acción de una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento.

Vibración amortiguada: vibración cuya amplitud se ve continuamente atenuada por la presencia de fricción y resistencia dieléctrica u otro consumo de energía.

Vibración forzada: vibración de un sistema bajo excitación constante.

(2) la vibración lineal del sistema de múltiples grados de libertad es la vibración del sistema lineal con n≥2 grados de libertad. Un sistema de n grados de libertad tiene n frecuencias naturales y n modos principales. Cualquier configuración de vibración del sistema se puede representar como una combinación lineal de los modos principales. Por lo tanto, el método de superposición del modo principal se usa ampliamente en el análisis de respuesta dinámica de sistemas multi-dof. De esta manera, la medición y el análisis de las características de vibración natural del El sistema se convierte en un paso rutinario en la dinámica. diseño del sistema. Las características dinámicas de los sistemas multi-dof también se pueden describir mediante características de frecuencia. Dado que existe una función característica de frecuencia entre cada entrada y salida, se construye una matriz de características de frecuencia. Existe una relación definida entre la característica de frecuencia. y el modo principal. La curva característica amplitud-frecuencia del sistema de múltiples libertades es diferente de la del sistema de una sola libertad.

Vibración lineal de un sistema de un solo grado de libertad.

Una vibración lineal en la que la posición de un sistema puede determinarse mediante una coordenada generalizada. Es la vibración más simple y fundamental de la que se pueden derivar muchos conceptos y características básicos de la vibración. Incluye vibración armónica simple, vibración amortiguada y vibración forzada. .

Vibración armónica

Bajo la acción de una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, el objeto oscila de manera sinusoidal cerca de su posición de equilibrio (FIG. 1). X representa el desplazamiento y t representa el tiempo. La expresión matemática de esta vibración es:

(1)Donde A es el valor máximo del desplazamiento x, que se llama amplitud, y representa la intensidad de la vibración; Omega n es el incremento del ángulo de amplitud de la vibración por segundo, que se llama frecuencia angular o frecuencia circular; se llama fase inicial. En términos de f= n/2, el número de oscilaciones por segundo se llama frecuencia; la inversa de esto, T=1/f, es el tiempo que tarda en oscilar un ciclo, y eso se llama el período.Amplitud A, frecuencia f (o frecuencia angular n), la fase inicial, conocida como vibración armónica simple de tres elementos.

HIGO. 1 curva de vibración armónica simple

Como se muestra en la FIG. 2, un oscilador armónico simple está formado por la masa concentrada m conectada por un resorte lineal. Cuando el desplazamiento de la vibración se calcula desde la posición de equilibrio, la ecuación de vibración es:

¿Dónde está la rigidez del resorte? La solución general de la ecuación anterior es (1).A y puede determinarse mediante la posición inicial x0 y la velocidad inicial en t=0:

Pero omega n sólo está determinada por las características del propio sistema m y k, independientemente de las condiciones iniciales adicionales, por lo que omega n también se conoce como frecuencia natural.

HIGO. Sistema de 2 grados de libertad

Para un oscilador armónico simple, la suma de su energía cinética y energía potencial es constante, es decir, la energía mecánica total del sistema se conserva. En el proceso de vibración, la energía cinética y la energía potencial se transforman constantemente entre sí.

La vibración amortiguadora

Una vibración cuya amplitud se atenúa continuamente por la fricción y la resistencia dieléctrica u otro consumo de energía. Para la microvibración, la velocidad generalmente no es muy grande y la resistencia media es proporcional a la velocidad a la primera potencia, que se puede escribir como c es el coeficiente de amortiguación. Por lo tanto, la ecuación de vibración de un grado de libertad con amortiguación lineal se puede escribir como:

(2)Donde m =c/2m se denomina parámetro de amortiguación y la solución general de la fórmula (2) se puede escribir:

(3)La relación numérica entre omega n y PI se puede dividir en los tres casos siguientes:

N > (en el caso de una pequeña amortiguación) la vibración de atenuación producida por partículas, la ecuación de vibración es:

Su amplitud disminuye con el tiempo según la ley exponencial mostrada en la ecuación, como se muestra en la línea de puntos en la FIG. 3.Estrictamente hablando, esta vibración es aperiódica, pero la frecuencia de su pico se puede definir como:

Se llama tasa de reducción de amplitud, donde es el período de vibración. El logaritmo natural de la tasa de reducción de amplitud se llama logaritmo menos tasa (amplitud). Obviamente, =, en este caso, es igual a 2/1. Directamente a través del delta de prueba experimental y, utilizando la fórmula anterior, se puede calcular c.

En este momento, la solución de la ecuación (2) se puede escribir:

Junto con la dirección de la velocidad inicial, se puede dividir en tres casos sin vibración como se muestra en la FIG. 4.

N < (en el caso de una gran amortiguación), la solución a la ecuación (2) se muestra en la ecuación (3). En este punto, el sistema ya no vibra.

Vibración forzada

Vibración de un sistema bajo excitación constante. El análisis de vibraciones investiga principalmente la respuesta del sistema a la excitación. La excitación periódica es una excitación regular típica. Dado que la excitación periódica siempre se puede descomponer en la suma de varias excitaciones armónicas, según el principio de superposición, solo Se requiere la respuesta del sistema a cada excitación armónica. Bajo la acción de la excitación armónica, la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado de un solo grado de libertad se puede escribir:

La respuesta es la suma de dos partes. Una parte es la respuesta de la vibración amortiguada, que decae rápidamente con el tiempo. La respuesta de la otra parte de la vibración forzada se puede escribir:

HIGO. 3 curvas de vibración amortiguadas

HIGO. 4 curvas de tres condiciones iniciales con amortiguamiento crítico

Escriba el

H /F0= h (), es la relación entre la amplitud de respuesta estable y la amplitud de excitación, que caracteriza las características de amplitud-frecuencia, o función de ganancia; Bits para respuesta de estado estable e incentivo de fase, caracterización de las características de frecuencia de fase. La relación entre ellos y La frecuencia de excitación se muestra en la FIG. 5 y FIG. 6.

Como puede verse en la curva amplitud-frecuencia (FIG. 5), en el caso de una amortiguación pequeña, la curva amplitud-frecuencia tiene un solo pico. Cuanto menor es la amortiguación, más pronunciado es el pico; la frecuencia correspondiente al pico es llamada frecuencia de resonancia del sistema. En el caso de una pequeña amortiguación, la frecuencia de resonancia no es muy diferente de la frecuencia natural. Cuando la frecuencia de excitación está cerca de la frecuencia natural, la amplitud aumenta bruscamente. Este fenómeno se llama resonancia. En la resonancia, la ganancia del sistema se maximiza, es decir, la vibración forzada es la más intensa. Por lo tanto, en general, siempre esfuércese por evitar la resonancia, a menos que algunos instrumentos y equipos utilicen la resonancia para lograr grandes vibración.

HIGO. 5 curva de frecuencia de amplitud

Puede verse en la curva de frecuencia de fase (figura 6), independientemente del tamaño de la amortiguación, en bits de diferencia de fase cero omega = PI/2, esta característica se puede utilizar eficazmente para medir la resonancia.

Además de la excitación constante, los sistemas a veces encuentran excitación inestable. Se puede dividir a grandes rasgos en dos tipos: uno es el impacto repentino. El segundo es el efecto duradero de la arbitrariedad. Bajo excitación inestable, la respuesta del sistema también es inestable.

Una herramienta poderosa para analizar la vibración inestable es el método de respuesta al impulso. Describe las características dinámicas del sistema con la respuesta transitoria de la entrada de impulso unitario del sistema. El impulso unitario se puede expresar como una función delta. En ingeniería, el delta La función a menudo se define como:

Donde 0- representa el punto en el eje t que se acerca a cero desde la izquierda; 0 plus es el punto que va a 0 desde la derecha.

HIGO. Curva de frecuencia de 6 fases

HIGO. 7 cualquier entrada puede considerarse como la suma de una serie de elementos de impulso

El sistema corresponde a la respuesta h(t) generada por el impulso unitario en t=0, que se denomina función de respuesta al impulso. Suponiendo que el sistema está estacionario antes del pulso, h(t)=0 para t<0.Saber la función de respuesta al impulso del sistema, podemos encontrar la respuesta del sistema a cualquier entrada x(t). En este punto, puedes pensar en x(t) como la suma de una serie de elementos de impulso (FIG. 7) .La respuesta del sistema es:

Basado en el principio de superposición, la respuesta total del sistema correspondiente a x(t) es:

Esta integral se llama integral de convolución o integral de superposición.

Vibración lineal de un sistema de múltiples grados de libertad.

Vibración de un sistema lineal con n≥2 grados de libertad.

La Figura 8 muestra dos subsistemas resonantes simples conectados por un resorte de acoplamiento. Debido a que es un sistema de dos grados de libertad, se necesitan dos coordenadas independientes para determinar su posición. Hay dos frecuencias naturales en este sistema:

Cada frecuencia corresponde a un modo de vibración. Los osciladores armónicos realizan oscilaciones armónicas de la misma frecuencia, pasando sincrónicamente por la posición de equilibrio y alcanzando sincrónicamente la posición extrema. En la vibración principal correspondiente a omega uno, x1 es igual a x2; la vibración principal corresponde a omega omega dos, omega omega uno. En la vibración principal, la relación de desplazamiento de cada masa mantiene una cierta relación y forma un cierto modo, que se llama modo principal o modo natural. La ortogonalidad de existe masa y rigidez entre los modos principales, lo que refleja la independencia de cada vibración. La frecuencia natural y el modo principal representan las características de vibración inherentes del sistema de múltiples grados de libertad.

HIGO. 8 sistemas con múltiples grados de libertad

Un sistema de n grados de libertad tiene n frecuencias naturales y n modos principales. Cualquier configuración de vibración del sistema se puede representar como una combinación lineal de los modos principales. Por lo tanto, el método de superposición de modos principales se usa ampliamente en el análisis de respuesta dinámica de múltiples -dof sistemas. De esta manera, la medición y análisis de las características de vibración natural del sistema se convierte en un paso rutinario en el diseño dinámico del sistema.

Las características dinámicas de los sistemas multi-dof también se pueden describir mediante características de frecuencia. Dado que existe una función característica de frecuencia entre cada entrada y salida, se construye una matriz característica de frecuencia. La curva característica amplitud-frecuencia del sistema multi-libertad es diferente del sistema de libertad única.

El elastómero vibra

El sistema de múltiples grados de libertad anterior es un modelo mecánico aproximado de elastómero. Un elastómero tiene un número infinito de grados de libertad. Existe una diferencia cuantitativa pero no esencial entre los dos. Cualquier elastómero tiene un número infinito de frecuencias naturales y un número infinito de modos correspondientes, y existe ortogonalidad entre los modos de masa y rigidez. Cualquier configuración vibratoria del elastómero también se puede representar como una superposición lineal de los modos principales. Por lo tanto, para el análisis de respuesta dinámica del elastómero, el El método de superposición del modo principal sigue siendo aplicable (ver vibración lineal del elastómero).

Tomemos la vibración de una cuerda. Digamos que una cuerda delgada de masa m por unidad de longitud, larga l, está tensada en ambos extremos y la tensión es T. En este momento, la frecuencia natural de la cuerda está determinada por lo siguiente ecuación:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Donde, es la velocidad de propagación de la onda transversal a lo largo de la dirección de la cuerda. Las frecuencias naturales de las cuerdas resultan ser múltiplos de la frecuencia fundamental sobre 2l. Esta multiplicidad entera conduce a una estructura armónica agradable. En general, no hay dicha relación múltiple entera entre las frecuencias naturales del elastómero.

Los primeros tres modos de la cuerda tensada se muestran en la FIG. 9. Hay algunos nodos en la curva del modo principal. En la vibración principal, los nodos no vibran.FIG. 10 muestra varios modos típicos de la placa circular soportada circunferencialmente con algunas líneas nodales compuestas de círculos y diámetros.

La formulación exacta del problema de vibración de elastómeros se puede concluir como el problema de valores límite de ecuaciones diferenciales parciales. Sin embargo, la solución exacta sólo se puede encontrar en algunos de los casos más simples, por lo que tenemos que recurrir a la solución aproximada para el elastómero complejo. problema de vibración.La esencia de varias soluciones aproximadas es cambiar lo infinito a finito, es decir, discretizar el sistema de múltiples grados de libertad sin extremidades (sistema continuo) en un sistema finito de múltiples grados de libertad (sistema discreto) .Hay dos tipos de métodos de discretización ampliamente utilizados en el análisis de ingeniería: método de elementos finitos y método de síntesis modal.

HIGO. 9 modos de cuerda

HIGO. 10 modos de placa circular

El método de elementos finitos es una estructura compuesta que abstrae una estructura compleja en un número finito de elementos y los conecta en un número finito de nodos. Cada unidad es un elastómero; el desplazamiento de distribución del elemento se expresa mediante la función de interpolación del desplazamiento de nodos. Los parámetros de distribución de cada elemento se concentran en cada nodo en un formato determinado y se obtiene el modelo mecánico del sistema discreto.

La síntesis modal es la descomposición de una estructura compleja en varias subestructuras más simples. Sobre la base de comprender las características de vibración de cada subestructura, la subestructura se sintetiza en una estructura general de acuerdo con las condiciones de coordinación en la interfaz y la morfología de vibración del general. La estructura se obtiene utilizando la morfología de vibración de cada subestructura.

Los dos métodos son diferentes y están relacionados, y pueden usarse como referencia. El método de síntesis modal también se puede combinar efectivamente con la medición experimental para formar un método de análisis teórico y experimental para la vibración de sistemas grandes.