Mis on lineaarne vibratsioon?

Lineaarne vibratsioon: süsteemi komponentide elastsus allub hooke'i seadusele ja liikumisel tekkiv summutusjõud on võrdeline üldistatud kiiruse esimese võrrandiga (üldistatud koordinaatide ajatuletis).

kontseptsioon

Lineaarne süsteem on tavaliselt reaalse süsteemi vibratsiooni abstraktne mudel. Lineaarne vibratsioonisüsteem rakendab superpositsiooni põhimõtet, st kui süsteemi reaktsioon on y1 sisendi x1 toimel ja y2 sisendi x2 toimel, siis süsteemi reaktsioon sisendite x1 ja x2 toimel on y1+y2.

Superpositsiooniprintsiibi alusel saab suvalise sisendi lagundada lõpmata väikeste impulsside jada summaks ja seejärel saada süsteemi kogureaktsiooni. Perioodilise ergastuse harmooniliste komponentide summat saab laiendada harmooniliste komponentide seeriat Fourier' teisendusega ja iga harmoonilise komponendi mõju süsteemile saab uurida eraldi. Seetõttu saab konstantsete parameetritega lineaarsete süsteemide reaktsioonikarakteristikuid kirjeldada impulssreaktsiooni või sagedusreaktsiooniga.

Impulssreaktsioon viitab süsteemi reaktsioonile ühikimpulsile, mis iseloomustab süsteemi reaktsioonikarakteristikuid ajapiirkonnas. Sagedusreaktsioon viitab süsteemi reaktsioonikarakteristikule ühiku harmoonilisele sisendile. Määratakse nende kahe vaheline vastavus. Fourier' teisenduse abil.

klassifikatsioon

Lineaarse vibratsiooni saab jagada ühe vabadusastmega süsteemi lineaarseks vibratsiooniks ja mitme vabadusastmega süsteemi lineaarseks vibratsiooniks.

(1) Ühe vabadusastmega süsteemi lineaarne vibratsioon on lineaarne vibratsioon, mille asukohta saab määrata üldistatud koordinaadiga. See on kõige lihtsam vibratsioon, millest saab tuletada palju vibratsiooni põhimõisteid ja omadusi. See hõlmab lihtsaid harmooniline vibratsioon, vaba vibratsioon, summutusvibratsioon ja sundvibratsioon.

Lihtne harmooniline vibratsioon: objekti edasi-tagasi liikumine tasakaaluasendi läheduses vastavalt sinusoidaalsele seadusele tema nihkega võrdelise taastava jõu toimel.

Summutatud vibratsioon: vibratsioon, mille amplituudi pidevalt nõrgendab hõõrdumine ja dielektriline takistus või muu energiakulu.

Sundvibratsioon: süsteemi vibratsioon pideva ergastusega.

(2) mitme vabadusastmega süsteemi lineaarne vibratsioon on n≥2 vabadusastmega lineaarsüsteemi vibratsioon.N vabadusastmega süsteemil on n omasagedust ja n põhirežiimi. Igasugune vibratsioonikonfiguratsioon süsteemi saab kujutada peamiste režiimide lineaarse kombinatsioonina.Seetõttu kasutatakse põhirežiimi superpositsiooni meetodit laialdaselt mitmekordsete süsteemide dünaamilise reaktsiooni analüüsis. süsteemi loomulike vibratsioonikarakteristikute mõõtmine ja analüüs muutub süsteemi dünaamilise kavandamise rutiinseks sammuks.Multi-dof-süsteemide dünaamilisi omadusi saab kirjeldada ka sageduskarakteristikutega.Kuna vahel on sageduskarakteristiku funktsioon iga sisendi ja väljundi jaoks koostatakse sageduskarakteristiku maatriks. Sageduskarakteristiku ja põhirežiimi vahel on kindel seos. Mitme vabadusega süsteemi amplituud-sageduskarakteristiku kõver erineb sellest ühe vabaduse süsteemist.

Ühe vabadusastme süsteemi lineaarne vibratsioon

Lineaarne vibratsioon, milles süsteemi asukohta saab määrata üldistatud koordinaadiga. See on kõige lihtsam ja põhilisem vibratsioon, millest saab tuletada palju vibratsiooni põhimõisteid ja omadusi. See hõlmab lihtsat harmoonilist vibratsiooni, summutatud vibratsiooni ja sundvibratsiooni .

Harmooniline vibratsioon

Nihkega võrdelise jõu taastamise toimel liigub objekt sinusoidaalselt oma tasakaaluasendi lähedal (joonis 1). X tähistab nihet ja t tähistab aega. Selle vibratsiooni matemaatiline väljendus on järgmine:

(1)kus A on nihke x maksimaalne väärtus, mida nimetatakse amplituudiks ja mis tähistab vibratsiooni intensiivsust; Omega n on vibratsiooni amplituudi nurga juurdekasv sekundis, mida nimetatakse nurksageduseks või ringsageduseks; nimetatakse algfaasiks. Seoses f= n/2 nimetatakse võnkumiste arvu sekundis sageduseks; Selle pöördväärtus T=1/f on aeg, mis kulub ühe tsükli võnkumiseks, ja seda nimetatakse perioodiks.Amplituud A, sagedus f (või nurksagedus n), algfaas, mida tuntakse lihtsa harmoonilise vibratsioonina, kolm elementi.

joonisel fig. 1 lihtne harmooniline vibratsioonikõver

Nagu on näidatud joonisel fig. 2, lihtne harmooniline ostsillaator moodustatakse kontsentreeritud massist m, mis on ühendatud lineaarse vedruga. Kui vibratsiooni nihe arvutatakse tasakaaluasendist, on vibratsiooni võrrand:

Kus on vedru jäikus. Ülaltoodud võrrandi üldlahend on (1).A ja seda saab määrata algasendi x0 ja algkiirusega t=0:

Kuid oomega n määravad ainult süsteemi enda omadused m ja k, sõltumata täiendavatest algtingimustest, seega on oomega n tuntud ka kui omasagedus.

joonisel fig. 2 ühe vabadusastme süsteem

Lihtsa harmoonilise ostsillaatori puhul on selle kineetilise energia ja potentsiaalse energia summa konstantne, st süsteemi kogu mehaaniline energia säilib. Vibratsiooni käigus muunduvad kineetiline energia ja potentsiaalne energia pidevalt üksteiseks.

Summutav vibratsioon

Vibratsioon, mille amplituudi nõrgestab pidevalt hõõrdumine ja dielektriline takistus või muu energiatarbimine. Mikrovibratsiooni puhul ei ole kiirus üldiselt väga suur ja keskmine takistus on võrdeline kiirusega esimese astmeni, mille saab kirjutada kui c on sumbumiskoefitsient. Seetõttu võib ühe vabadusastme vibratsioonivõrrandi lineaarse summutusega kirjutada järgmiselt:

(2)Kus m =c/2m nimetatakse summutusparameetriks ja. Valemi (2) üldlahenduse saab kirjutada:

(3)Omega n ja PI vahelise arvulise seose võib jagada kolmeks järgmiseks juhtumiks:

N > (väikese summutuse korral) osakeste tekitatud summutusvibratsioon, vibratsioonivõrrand on järgmine:

Selle amplituud väheneb aja jooksul vastavalt võrrandis näidatud eksponentsiaalseadusele, nagu on näidatud punktiirjoonel joonisel fig. 3. Rangelt võttes on see vibratsioon perioodiline, kuid selle tipu sagedust saab määratleda järgmiselt:

Seda nimetatakse amplituudi vähendamise määraks, kus on vibratsiooni periood.Amplituudi vähenemise kiiruse loomulikku logaritmi nimetatakse logaritmi miinus (amplituudi) kiiruseks. Ilmselgelt = on antud juhul võrdne 2/1. Otse läbi eksperimentaalse testi delta ja ülaltoodud valemi abil saab arvutada c.

Sel ajal saab võrrandi (2) lahendi kirjutada:

Koos algkiiruse suunaga saab selle jagada kolmeks mittevibratsiooniks, nagu on näidatud joonisel fig. 4.

N < (suure summutuse korral) on võrrandi (2) lahendus näidatud võrrandis (3). Sel hetkel süsteem enam ei vibreeri.

Sunnitud vibratsioon

Süsteemi vibratsioon pidevas ergastuses. Vibratsioonianalüüs uurib peamiselt süsteemi reaktsiooni ergutusele. Perioodiline ergutus on tüüpiline regulaarne ergutus. Kuna perioodilist ergastust saab alati lagundada mitme harmoonilise ergastuse summaks, saab superpositsiooni põhimõtte kohaselt ainult süsteemi reaktsioon igale harmoonilisele ergutusele on vajalik. Harmoonilise ergastuse toimel diferentsiaal ühe vabadusastmega summutatud süsteemi liikumisvõrrandi saab kirjutada:

Vastus on kahe osa summa. Üks osa on summutatud vibratsiooni reaktsioon, mis aja jooksul kiiresti vaibub. Teise osa sundvibratsiooni reaktsiooni saab kirjutada:

joonisel fig. 3 summutatud vibratsioonikõver

joonisel fig. 4 kõverat kolmest algseisundist koos kriitilise summutusega

Sisestage

H /F0= h (), on püsivastuse amplituudi ja ergastuse amplituudi suhe, mis iseloomustab amplituud-sageduskarakteristikuid või võimendusfunktsiooni; Püsiseisundi reaktsiooni ja faasi stimuleerimise bitid, faasi sageduskarakteristikute iseloomustus. ergastussagedus on näidatud joonisel fig. 5 ja fig. 6.

Nagu on näha amplituud-sageduskõveralt (joonis 5), on väikese summutuse korral amplituud-sageduskõveral üks tipp.Mida väiksem on sumbumine, seda järsem on tipp; Tipule vastav sagedus on mida nimetatakse süsteemi resonantssageduseks.Väikese summutuse korral ei erine resonantssagedus palju omasagedusest.Kui ergastussagedus on lähedane omasagedusele, amplituud suureneb järsult. Seda nähtust nimetatakse resonantsiks. Resonantsil on süsteemi võimendus maksimaalne, see tähendab, et sundvibratsioon on kõige intensiivsem. Seetõttu püüdke üldiselt alati resonantsi vältida, välja arvatud juhul, kui mõned instrumendid ja seadmed kasutavad resonantsi, et saavutada suurt vibratsioon.

joonisel fig. 5 amplituudi sageduskõver

Seda on näha faasisageduse kõveralt (joonis 6), sõltumata summutuse suurusest, oomega null faasierinevus bittides = PI / 2, saab seda karakteristikut tõhusalt kasutada resonantsi mõõtmisel.

Lisaks ühtlasele ergutusele kogevad süsteemid mõnikord ebastabiilset erutust.Selle võib jämedalt jagada kahte tüüpi: üks on äkiline löök.Teine on meelevaldsuse püsiv mõju.Ebastabiilse ergastuse korral on ka süsteemi reaktsioon ebastabiilne.

Võimas vahend ebastabiilse vibratsiooni analüüsimiseks on impulssreaktsiooni meetod.See kirjeldab süsteemi dünaamilisi omadusi süsteemi ühikulise impulsi sisendi mööduva reaktsiooniga.Ühikuimpulsi saab väljendada deltafunktsioonina.Tehnistikus on delta. funktsiooni määratletakse sageli järgmiselt:

Kus 0- tähistab punkti t-teljel, mis läheneb vasakult nullile; 0 pluss on punkt, mis läheb paremalt nulli.

joonisel fig. 6 faasi sageduskõver

joonisel fig. 7 mis tahes sisendit võib pidada impulsielementide jada summaks

Süsteem vastab ühikimpulsi tekitatud vastusele h(t) t=0 juures, mida nimetatakse impulssreaktsiooni funktsiooniks.Eeldusel, et süsteem on enne impulsi paigal, siis h(t)=0, kui t<0.Teades süsteemi impulssreaktsiooni funktsiooni abil saame leida süsteemi vastuse mis tahes sisendile x(t). Siinkohal võib x(t) mõelda kui impulsielementide jada summat (joonis 1). 7) Süsteemi vastus on:

Superpositsiooni põhimõttel on x(t)-le vastava süsteemi kogureaktsioon:

Seda integraali nimetatakse konvolutsiooniintegraaliks või superpositsiooniintegraaliks.

Mitme vabadusastmega süsteemi lineaarne vibratsioon

n≥2 vabadusastmega lineaarse süsteemi vibratsioon.

Joonisel 8 on kujutatud kahte lihtsat resonantsset alamsüsteemi, mis on ühendatud ühendusvedruga.Kuna tegemist on kahe vabadusastme süsteemiga, on selle asukoha määramiseks vaja kahte sõltumatut koordinaati.Selles süsteemis on kaks omasagedust:

Iga sagedus vastab vibratsioonirežiimile. Harmoonilised ostsillaatorid teostavad sama sagedusega harmoonilisi võnkumisi, läbides sünkroonselt tasakaaluasendit ja jõudes sünkroonselt äärmusse. Põhivibratsioonis, mis vastab oomega ühele, on x1 võrdne x2-ga; põhivibratsioon, mis vastab oomega omega kahele, oomega omega üks. Põhivibratsioonis hoiab iga massi nihke suhe teatud seose ja moodustab teatud režiimi, mida nimetatakse põhirežiimiks või loomulikuks režiimiks.Põhirežiimide hulgas on massi ja jäikuse ortogonaalsus, mis peegeldab iga vibratsiooni sõltumatust.Omalik sagedus ja põhirežiim esindavad vibratsiooni olemuslikke omadusi mitme vabadusastme süsteemist.

joonisel fig. 8 süsteem mitme vabadusastmega

N vabadusastmega süsteemil on n omasagedust ja n põhirežiimi. Süsteemi mis tahes vibratsioonikonfiguratsiooni saab kujutada peamiste režiimide lineaarse kombinatsioonina. Seetõttu kasutatakse põhirežiimi superpositsioonimeetodit laialdaselt mitme dünaamilise reaktsiooni analüüsis. -dof süsteemid. Sel viisil muutub süsteemi loomulike vibratsiooniomaduste mõõtmine ja analüüs süsteemi dünaamilise disaini rutiinseks sammuks.

Multi-dof süsteemide dünaamilisi omadusi saab kirjeldada ka sageduskarakteristikutega. Kuna iga sisendi ja väljundi vahel on sageduskarakteristiku funktsioon, koostatakse sageduskarakteristiku maatriks. Mitme vabadusega süsteemi amplituud-sageduskarakteristiku kõver on erinev ühe vabaduse süsteemi omast.

Elastomeer vibreerib

Ülaltoodud mitme vabadusastme süsteem on elastomeeri ligikaudne mehaaniline mudel. Elastomeeril on lõpmatu arv vabadusastmeid. Nende kahe vahel on kvantitatiivne erinevus, kuid sisulist erinevust pole. Igal elastomeeril on lõpmatu arv omasagedusi ja lõpmatu arv vastavaid režiime ning massi ja jäikuse režiimide vahel on ortogonaalsus. Elastomeeri mis tahes vibratsioonikonfiguratsiooni võib esitada ka kui peamiste režiimide lineaarne superpositsioon. Seetõttu on elastomeeri dünaamilise reaktsiooni analüüsiks endiselt kasutatav põhirežiimi superpositsiooni meetod (vt elastomeeri lineaarne vibratsioon).

Võtame stringi vibratsiooni.Oletame, et õhuke nöör massiga m pikkuse ühiku kohta, pikk l, on mõlemast otsast pinges ja pinge on T. Sel ajal määratakse stringi loomulik sagedus järgmiselt. võrrand:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Kus on ristlaine levimiskiirus piki stringi suunda. Stringide omasagedused on põhisageduse kordsed üle 2l. See täisarvuline kordsus viib meeldiva harmoonilise struktuurini. Üldiselt ei ole selline täisarvuline kordussuhe elastomeeri omasageduste vahel.

Pingutatud stringi kolm esimest režiimi on näidatud joonisel fig. 9. Põhirežiimi kõveral on mõned sõlmed.Põhivibratsioonis sõlmed ei vibreeri.JOON. 10 kujutab mitut tüüpilist ringikujulise plaadi tüüpilist režiimi, millel on mõned ringidest ja läbimõõtudest koosnevad sõlmjooned.

Elastomeeri vibratsiooniprobleemi täpse sõnastuse võib järeldada osadiferentsiaalvõrrandite piirväärtuse probleemina. Täpse lahenduse saab siiski leida vaid mõnel kõige lihtsamal juhul, seega peame kasutama keeruka elastomeeri ligikaudset lahendust. vibratsiooniprobleem. Erinevate ligikaudsete lahenduste olemus on muuta lõpmatu lõplikuks, st diskretiseerida jäsemeteta mitme vabadusastmega süsteem (pidev süsteem) lõplikuks mitme vabadusastmega süsteemiks (diskreetseks süsteemiks). Tehnilises analüüsis kasutatakse laialdaselt kahte tüüpi diskretiseerimismeetodeid: lõplike elementide meetod ja modaalse sünteesi meetod.

joonisel fig. 9 stringi režiim

joonisel fig. 10 ringikujulise plaadi režiim

Lõplike elementide meetod on liitstruktuur, mis abstraheerib keeruka struktuuri lõplikuks arvuks elementideks ja ühendab need lõpliku arvu sõlmedega.Iga üksus on elastomeer;Elemendi jaotusnihet väljendatakse sõlme nihke interpolatsioonifunktsiooniga. iga elemendi jaotusparameetrid koondatakse igale sõlmele kindlas formaadis ja saadakse diskreetse süsteemi mehaaniline mudel.

Modaalsüntees on keeruka struktuuri jaotamine mitmeks lihtsamaks alamstruktuuriks. Iga alamstruktuuri vibratsioonikarakteristikute mõistmise alusel sünteesitakse alusstruktuur üldiseks struktuuriks vastavalt liidese koordinatsioonitingimustele ja üldise vibratsioonimorfoloogiale. struktuur saadakse iga alamstruktuuri vibratsioonimorfoloogia abil.

Need kaks meetodit on erinevad ja omavahel seotud ning neid saab kasutada võrdlusena. Modaalse sünteesi meetodit saab tõhusalt kombineerida ka eksperimentaalse mõõtmisega, et moodustada teoreetiline ja eksperimentaalne analüüsimeetod suurte süsteemide vibratsiooni jaoks.