ارتعاش خطی چیست؟

ارتعاش خطی: کشش اجزای سیستم تابع قانون هوک است و نیروی میرایی ایجاد شده در حین حرکت با اولین معادله سرعت تعمیم یافته (مشتق زمانی مختصات تعمیم یافته) متناسب است.

مفهوم

سیستم خطی معمولاً یک مدل انتزاعی از ارتعاش سیستم واقعی است. سیستم ارتعاش خطی اصل برهم نهی را اعمال می کند، یعنی اگر پاسخ سیستم تحت عمل ورودی x1 y1 و تحت عمل ورودی x2 y2 باشد، سپس پاسخ سیستم تحت عمل ورودی x1 و x2 y1+y2 است.

بر اساس اصل برهم نهی، یک ورودی دلخواه را می توان به مجموع یک سری تکانه های بی نهایت کوچک تجزیه کرد و سپس پاسخ کل سیستم را به دست آورد. مجموعه ای از مولفه های هارمونیک توسط تبدیل فوریه، و اثر هر جزء هارمونیک بر روی سیستم را می توان به طور جداگانه بررسی کرد. بنابراین، ویژگی های پاسخ سیستم های خطی با پارامترهای ثابت را می توان با پاسخ ضربه یا پاسخ فرکانسی توصیف کرد.

پاسخ ضربه ای به پاسخ سیستم به تکانه واحد اشاره دارد که ویژگی های پاسخ سیستم را در حوزه زمان مشخص می کند. پاسخ فرکانس به مشخصه پاسخ سیستم به ورودی هارمونیک واحد اشاره دارد. مطابقت بین این دو مشخص می شود. توسط تبدیل فوریه

طبقه بندی

ارتعاش خطی را می توان به ارتعاش خطی سیستم تک درجه آزادی و ارتعاش خطی سیستم چند درجه آزادی تقسیم کرد.

(1) ارتعاش خطی یک سیستم تک درجه آزادی یک ارتعاش خطی است که موقعیت آن را می توان با یک مختصات تعمیم یافته تعیین کرد. این ساده ترین ارتعاش است که بسیاری از مفاهیم و ویژگی های اساسی ارتعاش را می توان از آن استخراج کرد. ارتعاش هارمونیک، ارتعاش آزاد، ارتعاش تضعیف و ارتعاش اجباری.

ارتعاش هارمونیک ساده: حرکت رفت و برگشتی یک جسم در مجاورت موقعیت تعادلش طبق یک قانون سینوسی تحت اثر نیروی بازگرداننده متناسب با جابجایی آن.

ارتعاش میرایی: ارتعاشی که دامنه آن به طور مداوم با وجود اصطکاک و مقاومت دی الکتریک یا سایر مصرف انرژی کاهش می یابد.

ارتعاش اجباری: ارتعاش یک سیستم تحت تحریک ثابت.

(2) ارتعاش خطی سیستم چند درجه آزادی ارتعاش سیستم خطی با n≥2 درجه آزادی است. سیستمی با n درجه آزادی دارای n فرکانس طبیعی و n حالت اصلی است. هر پیکربندی ارتعاشی سیستم را می توان به صورت ترکیبی خطی از حالت های اصلی نشان داد. بنابراین، روش برهم نهی حالت اصلی به طور گسترده در تحلیل پاسخ دینامیکی سیستم های چند داف استفاده می شود. به این ترتیب، اندازه گیری و تجزیه و تحلیل ویژگی های ارتعاش طبیعی سیستم به یک مرحله معمول در طراحی دینامیکی سیستم تبدیل می شود. ویژگی های دینامیکی سیستم های چند داف را می توان با ویژگی های فرکانس نیز توصیف کرد. از آنجایی که یک تابع مشخصه فرکانس بین هر ورودی و خروجی وجود دارد، یک ماتریس مشخصه فرکانس ساخته می شود. یک رابطه مشخص بین مشخصه فرکانس و حالت اصلی است. منحنی مشخصه دامنه فرکانس سیستم چند آزادی با سیستم تک آزادی متفاوت است.

ارتعاش خطی سیستم تک درجه آزادی

یک ارتعاش خطی که در آن موقعیت یک سیستم را می توان با یک مختصات تعمیم یافته تعیین کرد. این ارتعاش ساده ترین و اساسی ترین ارتعاش است که بسیاری از مفاهیم و ویژگی های اساسی ارتعاش را می توان از آن استخراج کرد. این ارتعاش شامل ارتعاش هارمونیک ساده، ارتعاش میرا و ارتعاش اجباری است. .

ارتعاش هارمونیک

تحت عمل بازگرداندن نیروی متناسب با جابجایی، جسم به صورت سینوسی نزدیک به موقعیت تعادل خود رفت و آمد می کند (شکل 1). X نشان دهنده جابجایی و t نشان دهنده زمان است. بیان ریاضی این ارتعاش عبارت است از:

(1)جایی که A حداکثر مقدار جابجایی x است که دامنه نامیده می شود و نشان دهنده شدت ارتعاش است؛ امگا n دامنه افزایش زاویه ارتعاش در ثانیه است که به آن فرکانس زاویه ای یا فرکانس دایره ای می گویند. فاز اولیه نامیده می شود. بر حسب f= n/2، تعداد نوسانات در ثانیه را فرکانس می گویند؛ معکوس آن، T=1/f، زمانی است که برای نوسان یک سیکل طول می کشد، و به آن می گویند. دوره. دامنه A، فرکانس f (یا فرکانس زاویه ای N)، فاز اولیه، شناخته شده به عنوان ارتعاش هارمونیک ساده سه عنصر.

شکل 1 منحنی ارتعاش هارمونیک ساده

همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2، یک نوسان ساز هارمونیک ساده توسط جرم متمرکز m که توسط یک فنر خطی به هم متصل است تشکیل می شود. هنگامی که جابجایی ارتعاش از موقعیت تعادل محاسبه می شود، معادله ارتعاش به صورت زیر است:

سفتی فنر کجاست. جواب کلی معادله بالا (1).A است و می توان آن را با موقعیت اولیه x0 و سرعت اولیه در t=0 تعیین کرد:

اما امگا n تنها با ویژگی های خود سیستم m و k، مستقل از شرایط اولیه اضافی تعیین می شود، بنابراین امگا n به عنوان فرکانس طبیعی نیز شناخته می شود.

شکل 2 سیستم تک درجه آزادی

برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده، مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل آن ثابت است، یعنی کل انرژی مکانیکی سیستم حفظ می شود. در فرآیند ارتعاش، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل به طور مداوم به یکدیگر تبدیل می شوند.

لرزش میرایی

ارتعاشی که دامنه آن به طور مداوم توسط اصطکاک و مقاومت دی الکتریک یا سایر مصرف انرژی کاهش می یابد. برای ارتعاشات میکرو، سرعت معمولاً خیلی زیاد نیست و مقاومت متوسط ​​متناسب با سرعت به توان اول است که می توان آن را به صورت c نوشت: ضریب میرایی. بنابراین، معادله ارتعاش یک درجه آزادی با میرایی خطی را می توان به صورت زیر نوشت:

(2)جایی که m =c/2m پارامتر میرایی نامیده می شود و جواب کلی فرمول (2) را می توان نوشت:

(3)رابطه عددی بین امگا n و PI را می توان به سه مورد زیر تقسیم کرد:

N > (در مورد میرایی کوچک) ذره ارتعاش تضعیف تولید شده، معادله ارتعاش است:

دامنه آن طبق قانون نمایی نشان داده شده در معادله، همانطور که در خط نقطه چین در شکل نشان داده شده است، با زمان کاهش می یابد. 3. به بیان دقیق، این ارتعاش غیر دوره ای است، اما فرکانس پیک آن را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

نرخ کاهش دامنه نامیده می شود، که در آن دوره ارتعاش است. لگاریتم طبیعی نرخ کاهش دامنه، نرخ لگاریتم منهای (دامنه) نامیده می شود. بدیهی است، =، در این مورد، برابر است با 2/1. مستقیماً از طریق آزمایش آزمایشی دلتا و با استفاده از فرمول فوق می توان c.

در این زمان، حل معادله (2) را می توان نوشت:

همانطور که در شکل نشان داده شده است، همراه با جهت سرعت اولیه، می توان آن را به سه حالت بدون لرزش تقسیم کرد. 4.

N < (در مورد میرایی بزرگ)، جواب معادله (2) در رابطه (3) نشان داده شده است. در این مرحله، سیستم دیگر ارتعاش ندارد.

لرزش اجباری

ارتعاش یک سیستم تحت تحریک ثابت. تجزیه و تحلیل ارتعاش عمدتاً پاسخ سیستم به تحریک را بررسی می کند. تحریک دوره ای یک تحریک معمولی معمولی است. از آنجایی که تحریک دوره ای همیشه می تواند به مجموع چندین تحریک هارمونیک تجزیه شود، طبق اصل برهم نهی، فقط پاسخ سیستم به هر تحریک هارمونیک مورد نیاز است. تحت عمل تحریک هارمونیک، معادله دیفرانسیل حرکت یک سیستم میرایی منفرد درجه آزادی را می توان نوشت:

پاسخ حاصل از مجموع دو بخش است. یک بخش پاسخ ارتعاش میرایی است که با گذشت زمان به سرعت از بین می رود. پاسخ بخش دیگری از ارتعاش اجباری را می توان نوشت:

شکل 3 منحنی ارتعاش میرا

شکل 4 منحنی از سه حالت اولیه با میرایی بحرانی

را تایپ کنید

H /F0 = h ()، نسبت دامنه پاسخ پایدار به دامنه تحریک است، مشخصه‌های دامنه فرکانس یا تابع بهره است؛ بیت‌ها برای پاسخ حالت پایدار و انگیزه فاز، مشخص کردن ویژگی‌های فرکانس فاز. رابطه بین آنها و فرکانس تحریک در شکل نشان داده شده است. 5 و شکل. 6.

همانطور که از منحنی فرکانس دامنه (شکل 5) مشاهده می شود، در مورد میرایی کوچک، منحنی دامنه فرکانس دارای یک پیک منفرد است. فرکانس تشدید سیستم نامیده می شود. در مورد میرایی کوچک، فرکانس تشدید تفاوت زیادی با فرکانس طبیعی ندارد. هنگامی که فرکانس تحریک به فرکانس طبیعی نزدیک است، دامنه به شدت افزایش می یابد. این پدیده تشدید نامیده می شود. در تشدید، بهره سیستم به حداکثر می رسد، یعنی ارتعاش اجباری شدیدترین است. بنابراین، به طور کلی، همیشه سعی کنید از تشدید اجتناب کنید، مگر اینکه برخی از ابزارها و تجهیزات برای دستیابی به رزونانس بزرگ از رزونانس استفاده کنند. ارتعاش

شکل منحنی فرکانس 5 دامنه

می توان از منحنی فرکانس فاز (شکل 6) مشاهده کرد، صرف نظر از اندازه میرایی، در بیت های اختلاف فاز امگا صفر = PI / 2، این مشخصه می تواند به طور موثر در اندازه گیری رزونانس استفاده شود.

علاوه بر برانگیختگی ثابت، گاهی اوقات سیستم‌ها با تحریک ناپایدار مواجه می‌شوند. تقریباً می‌توان آن را به دو نوع تقسیم کرد: یکی ضربه ناگهانی است. دومی اثر پایدار خودسری است. تحت تحریک ناپایدار، پاسخ سیستم نیز ناپایدار است.

یک ابزار قدرتمند برای تجزیه و تحلیل ارتعاشات ناپایدار، روش پاسخ ضربه است. این روش ویژگی های دینامیکی سیستم را با پاسخ گذرای واحد ضربه ورودی سیستم توصیف می کند. تکانه واحد را می توان به صورت تابع دلتا بیان کرد. در مهندسی، دلتا تابع اغلب به صورت زیر تعریف می شود:

جایی که 0- نقطه ای از محور t را نشان می دهد که از سمت چپ به صفر نزدیک می شود؛ به علاوه 0 نقطه ای است که از سمت راست به 0 می رود.

شکل منحنی فرکانس 6 فاز

شکل 7 هر ورودی را می توان به عنوان مجموع یک سری عناصر ضربه ای در نظر گرفت

سیستم مربوط به پاسخ h(t) تولید شده توسط واحد ضربه در t=0 است که تابع پاسخ ضربه نامیده می شود. با فرض اینکه سیستم قبل از پالس ساکن است، h(t)=0 برای t<0. دانستن تابع پاسخ ضربه ای سیستم، ما می توانیم پاسخ سیستم را به هر ورودی x(t) پیدا کنیم. در این مرحله، می توانید x(t) را به عنوان مجموع یک سری عناصر ضربه ای در نظر بگیرید (شکل 7). .پاسخ سیستم این است:

بر اساس اصل برهم نهی، پاسخ کل سیستم مربوط به x(t) است:

این انتگرال را انتگرال کانولوشن یا انتگرال برهم نهی می نامند.

ارتعاش خطی یک سیستم چند درجه آزادی

ارتعاش یک سیستم خطی با n≥2 درجه آزادی.

شکل 8 دو زیرسیستم رزونانس ساده را نشان می دهد که توسط یک فنر جفت کننده به هم متصل شده اند. از آنجایی که این سیستم یک سیستم دو درجه آزادی است، برای تعیین موقعیت آن به دو مختصات مستقل نیاز است. در این سیستم دو فرکانس طبیعی وجود دارد:

هر فرکانس مربوط به حالتی از ارتعاش است. نوسان سازهای هارمونیک نوسانات هارمونیک با همان فرکانس را انجام می دهند، به طور همزمان از موقعیت تعادل عبور می کنند و به طور همزمان به موقعیت شدید می رسند. در ارتعاش اصلی مربوط به امگا یک، x1 برابر است با x2؛ در ارتعاش اصلی مربوط به امگا امگا دو، امگا امگا یک است. در ارتعاش اصلی، نسبت جابجایی هر جرم یک رابطه مشخص را حفظ می کند و حالت خاصی را تشکیل می دهد که به آن حالت اصلی یا حالت طبیعی می گویند. متعامد بودن جرم و سفتی در میان حالت‌های اصلی وجود دارد که نشان‌دهنده استقلال هر ارتعاش است. فرکانس طبیعی و حالت اصلی ویژگی‌های ارتعاش ذاتی سیستم چند درجه آزادی را نشان می‌دهند.

شکل سیستم 8 با درجه آزادی چندگانه

یک سیستم با n درجه آزادی دارای n فرکانس طبیعی و n حالت اصلی است. هر پیکربندی ارتعاشی سیستم را می توان به صورت ترکیبی خطی از حالت های اصلی نشان داد. بنابراین، روش برهم نهی حالت اصلی به طور گسترده در تحلیل پاسخ دینامیکی چند استفاده می شود. سیستم‌های dof. به این ترتیب، اندازه‌گیری و تجزیه و تحلیل ویژگی‌های ارتعاش طبیعی سیستم به یک گام معمولی در طراحی دینامیکی سیستم تبدیل می‌شود.

ویژگی های دینامیکی سیستم های چند داف را می توان با ویژگی های فرکانس نیز توصیف کرد. از آنجایی که یک تابع مشخصه فرکانس بین هر ورودی و خروجی وجود دارد، یک ماتریس مشخصه فرکانس ساخته می شود. منحنی مشخصه دامنه-فرکانس سیستم چند آزادی متفاوت است. از سیستم آزادی واحد.

الاستومر مرتعش می شود

سیستم چند درجه آزادی فوق یک مدل مکانیکی تقریبی الاستومر است. یک الاستومر دارای بی نهایت درجه آزادی است. تفاوت کمی وجود دارد اما تفاوت اساسی بین این دو وجود ندارد. هر الاستومری دارای تعداد بی نهایت فرکانس طبیعی است. تعداد نامتناهی مدهای متناظر، و بین حالت‌های جرم و سفتی متعامد وجود دارد. هر پیکربندی ارتعاشی الاستومر را می‌توان به‌عنوان برهم‌نهی خطی مدهای اصلی نشان داد. بنابراین، برای تحلیل پاسخ دینامیکی الاستومر، روش برهم‌نهی حالت اصلی هنوز قابل استفاده است (ارتعاش خطی الاستومر را ببینید).

ارتعاش یک ریسمان را در نظر بگیرید. بیایید بگوییم که یک رشته نازک به جرم m در واحد طول، طول l، در هر دو انتها کشیده شده است و کشش T است. در این زمان، فرکانس طبیعی رشته با موارد زیر تعیین می شود. معادله:

F = na/2l (n= 1،2،3…).

سرعت انتشار موج عرضی در امتداد جهت ریسمان کجاست. فرکانس‌های طبیعی رشته‌ها مضربی از فرکانس اصلی بیش از 2 لیتر هستند. این تعدد اعداد صحیح منجر به یک ساختار هارمونیک دلپذیر می‌شود. به طور کلی، هیچ وجود ندارد. چنین رابطه چند عدد صحیح بین فرکانس های طبیعی الاستومر.

سه حالت اول رشته تنش شده در شکل نشان داده شده است. 9. چند گره روی منحنی حالت اصلی وجود دارد. در ارتعاش اصلی، گره ها ارتعاش نمی کنند. شکل. شکل 10 چندین حالت معمولی از صفحه دایره ای با حمایت محیطی را با خطوط گره ای متشکل از دایره ها و قطرها نشان می دهد.

فرمول دقیق مسئله ارتعاش الاستومر را می توان به عنوان مسئله ارزش مرزی معادلات دیفرانسیل جزئی نتیجه گیری کرد. با این حال، راه حل دقیق فقط در برخی از ساده ترین موارد یافت می شود، بنابراین باید به راه حل تقریبی برای الاستومر پیچیده متوسل شویم. مسئله ارتعاش. ماهیت راه حل های تقریبی مختلف تغییر نامتناهی به متناهی است، یعنی گسسته کردن سیستم چند درجه آزادی بدون اندام (نظام پیوسته) به یک سیستم چند درجه آزادی محدود (نظام گسسته) دو نوع روش گسسته سازی به طور گسترده در تحلیل مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد: روش اجزای محدود و روش سنتز مودال.

شکل 9 حالت رشته

شکل 10 حالت صفحه دایره ای

روش اجزای محدود یک ساختار ترکیبی است که یک ساختار پیچیده را به تعداد محدودی از عناصر انتزاع می کند و آنها را در تعداد محدودی گره به هم متصل می کند. هر واحد یک الاستومر است؛ تغییر مکان توزیع عنصر با تابع درونیابی جابجایی گره بیان می شود. پارامترهای توزیع هر عنصر در هر گره در قالب خاصی متمرکز شده و مدل مکانیکی سیستم گسسته به دست می آید.

سنتز مودال تجزیه یک ساختار پیچیده به چندین زیرساخت ساده‌تر است. بر اساس درک ویژگی‌های ارتعاش هر زیرساخت، زیرساخت با توجه به شرایط هماهنگی روی سطح مشترک و مورفولوژی ارتعاش عمومی به یک ساختار کلی سنتز می‌شود. ساختار با استفاده از مورفولوژی ارتعاش هر زیرساخت به دست می آید.

این دو روش متفاوت و مرتبط هستند و می توانند به عنوان مرجع مورد استفاده قرار گیرند. روش سنتز مودال همچنین می تواند به طور موثر با اندازه گیری تجربی ترکیب شود تا یک روش تجزیه و تحلیل تئوری و تجربی برای ارتعاش سیستم های بزرگ تشکیل دهد.