لرزش خطی چیست؟

لرزش خطی: خاصیت ارتجاعی اجزای موجود در سیستم مشمول قانون هوک است ، و نیروی میرایی تولید شده در طول حرکت متناسب با اولین معادله سرعت عمومی (مشتق زمان مختصات عمومی) است.

مفهوم

سیستم خطی معمولاً یک مدل انتزاعی از لرزش سیستم واقعی است. سیستم ارتعاش خطی اصل ابر را اعمال می کند ، یعنی اگر پاسخ سیستم تحت عمل ورودی X1 و Y2 تحت عمل ورودی X2 باشد ، Y1 است. سپس پاسخ سیستم تحت عمل ورودی X1 و X2 Y1+Y2 است.

بر اساس اصل ابرپرسیون ، یک ورودی دلخواه را می توان به جمع یک سری از تکانه های بی نهایت تجزیه کرد ، و سپس می توان پاسخ کل سیستم را بدست آورد. مجموعه ای از مؤلفه های هارمونیک توسط تبدیل فوریه ، و تأثیر هر مؤلفه هارمونیک بر روی سیستم می تواند به طور جداگانه بررسی شود. بنابراین ، ویژگی های پاسخ سیستم های خطی با پارامترهای ثابت می توان با پاسخ ضربه یا پاسخ فرکانس توصیف کرد.

پاسخ Impulse به پاسخ سیستم به تکانه واحد اشاره دارد ، که خصوصیات پاسخ سیستم در دامنه زمان را مشخص می کند. پاسخ فرکانس به ویژگی پاسخ سیستم به ورودی هارمونیک واحد اشاره دارد. مکاتبات بین این دو تعیین می شود با تبدیل فوریه.

طبقه بندی

لرزش خطی را می توان به لرزش خطی از سیستم تک درجه فرید و لرزش خطی سیستم چند درجه آزادی تقسیم کرد.

(1) لرزش خطی از یک سیستم تک درجه از آزادی ، لرزش خطی است که موقعیت آن را می توان با یک مختصات عمومی تعیین کرد. این ساده ترین لرزش است که از آن بسیاری از مفاهیم و ویژگی های اساسی لرزش می توان به دست آورد. لرزش هارمونیک ، لرزش رایگان ، لرزش میرایی و لرزش اجباری.

ارتعاش هارمونیک ساده: حرکت متقابل یک شی در مجاورت موقعیت تعادل آن با توجه به یک قانون سینوسی تحت عمل یک نیروی ترمیم متناسب با جابجایی آن.

لرزش مرطوب: لرزش که دامنه آن به طور مداوم با وجود اصطکاک و مقاومت دی الکتریک یا مصرف انرژی دیگر ضعیف می شود.

لرزش اجباری: لرزش یک سیستم تحت تحریک مداوم.

(2) لرزش خطی سیستم چند درجه از آزادی ، لرزش سیستم خطی با درجه 2 درجه آزادی است. سیستم N درجه آزادی دارای فرکانس های طبیعی و n حالت های اصلی است. از این سیستم می توان به عنوان یک ترکیب خطی از حالت های اصلی نمایش داده شد. بنابراین ، روش اصلی فوق العاده حالت به طور گسترده ای در تجزیه و تحلیل پاسخ پویا از سیستم های چند DOF استفاده می شود. در این روش ، اندازه گیری و تجزیه و تحلیل ویژگی های ارتعاش طبیعی سیستم به یک گام روتین در طراحی پویا سیستم تبدیل می شود. ویژگی های پویا سیستم های چند DOF نیز می تواند با ویژگی های فرکانس توصیف شود. از آنجا خروجی ، یک ماتریس مشخصه فرکانس ساخته شده است. یک رابطه قطعی بین ویژگی فرکانس و حالت اصلی وجود دارد. منحنی مشخصه دامنه-فرکانس سیستم چند آزادی متفاوت است سیستم تک آزادی.

لرزش خطی یک درجه از سیستم آزادی

لرزش خطی که در آن می توان موقعیت یک سیستم را با یک مختصات عمومی تعیین کرد. این ساده ترین و اساسی ترین لرزش است که از آن می توان بسیاری از مفاهیم و ویژگی های اساسی لرزش را بدست آورد. این شامل لرزش هارمونیک ساده ، لرزش مرطوب و لرزش اجباری است بشر

لرزش هارمونیک

تحت عمل بازگرداندن نیروی متناسب با جابجایی ، شیء به صورت سینوسی در نزدیکی موقعیت تعادل خود متقابل می شود (شکل 1) .x نشان دهنده جابجایی است و T نشان دهنده زمان است. بیان ریاضی این لرزش:

(1)در جایی که A حداکثر مقدار جابجایی x است که دامنه آن نامیده می شود و شدت لرزش را نشان می دهد ؛ امگا N افزایش زاویه دامنه لرزش در ثانیه است که به آن فرکانس زاویه ای یا فرکانس دایره ای گفته می شود. فاز اولیه نامیده می شود. در شرایط f = n/2 ، تعداد نوسانات در ثانیه فرکانس نامیده می شود ؛ معکوس این ، t = 1/f ، زمانی است که برای نوسان یک چرخه لازم است ، و این است به نام دوره. دامنه A ، فرکانس f (یا فرکانس زاویه ای n) ، مرحله اولیه ، که به عنوان لرزش هارمونیک ساده سه عنصر شناخته می شود.

شکل 1 منحنی ارتعاش هارمونیک ساده

همانطور که در شکل نشان داده شده است. 2 ، یک اسیلاتور هارمونیک ساده توسط جرم متمرکز M متصل شده توسط یک چشمه خطی تشکیل می شود. هنگامی که جابجایی لرزش از موقعیت تعادل محاسبه می شود ، معادله لرزش:

سختی بهار کجاست. راه حل کلی برای معادله فوق (1) است.

اما امگا N فقط با ویژگی های سیستم خود M و K ، مستقل از شرایط اولیه اضافی تعیین می شود ، بنابراین امگا N همچنین به عنوان فرکانس طبیعی شناخته می شود.

شکل 2 درجه واحد آزادی

برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده ، مجموع انرژی جنبشی و انرژی بالقوه آن ثابت است ، یعنی انرژی مکانیکی کل سیستم حفظ می شود. در فرآیند لرزش ، انرژی جنبشی و انرژی بالقوه دائماً به یکدیگر تبدیل می شوند.

لرزش میرایی

لرزشی که دامنه آن به طور مداوم توسط اصطکاک و مقاومت دی الکتریک یا سایر مصرف انرژی ضعیف می شود. برای لرزش میکرو ، سرعت به طور کلی بسیار بزرگ نیست ، و مقاومت متوسط ​​متناسب با سرعت با قدرت اول است ، که می تواند به عنوان C نوشته شود. ضریب میرایی. از این رو ، معادله لرزش یک درجه آزادی با میرایی خطی را می توان به این صورت نوشت:

(2)که در آن ، m = c/2m پارامتر میرایی نامیده می شود ، و. راه حل کلی فرمول (2) را می توان نوشت:

(3)رابطه عددی بین امگا N و PI را می توان به سه مورد زیر تقسیم کرد:

n> (در مورد میرایی کوچک) ذرات ایجاد لرزش میرایی ، معادله لرزش:

دامنه آن با توجه به قانون نمایی که در معادله نشان داده شده است ، کاهش می یابد ، همانطور که در خط نقطه در شکل نشان داده شده است. به طور کلی ، این لرزش آپریودیک است ، اما فرکانس اوج آن را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

نرخ کاهش دامنه نامیده می شود ، که در آن دوره لرزش وجود دارد. لگاریتم طبیعی نرخ کاهش دامنه به نام لگاریتم منهای (دامنه) می نامند تست آزمایشی دلتا و با استفاده از فرمول فوق می تواند c محاسبه شود.

در این زمان ، راه حل معادله (2) را می توان نوشت:

همراه با جهت سرعت اولیه ، می توان آن را به سه مورد غیر لرزش تقسیم کرد همانطور که در شکل نشان داده شده است. 4

n <(در مورد میرایی بزرگ) ، راه حل معادله (2) در معادله (3) نشان داده شده است. در این نقطه ، سیستم دیگر لرزان نیست.

لرزش اجباری

لرزش یک سیستم تحت تحریک مداوم. تجزیه و تحلیل vibration به طور عمده پاسخ سیستم به تحریک را بررسی می کند. تحریک دوره ای یک تحریک منظم معمولی است. از آنجا که تحریک دوره ای همیشه می تواند به جمع چندین تحریک هارمونیک تجزیه شود ، فقط طبق اصل ساده پاسخ سیستم به هر تحریک هارمونیک مورد نیاز است. تحت عمل تحریک هارمونیک ، معادله دیفرانسیل حرکت یک درجه واحد از سیستم مرطوب شده آزادی را می توان نوشت:

پاسخ مجموع دو بخش است. یک قسمت پاسخ لرزش مرطوب است که به سرعت با زمان پوسیده می شود. پاسخ بخش دیگری از لرزش اجباری را می توان نوشت:

شکل 3 منحنی لرزش مرطوب

شکل 4 منحنی از سه شرایط اولیه با میرایی بحرانی

در

H /F0 = H () ، نسبت دامنه پاسخ پایدار به دامنه تحریک ، توصیف خصوصیات فرکانس دامنه یا عملکرد افزایش ؛ بیت برای پاسخ حالت پایدار و انگیزه فاز ، خصوصیات فرکانس فاز. رابطه بین آنها و فرکانس تحریک در شکل نشان داده شده است. 5 و شکل. 6

همانطور که از منحنی فرکانس دامنه (شکل 5) مشاهده می شود ، در مورد میرایی کوچک ، منحنی فرکانس دامنه دارای یک قله واحد است. میرایی کوچکتر ، قله را شیب دار تر می کند ؛ فرکانس مربوط به اوج است فرکانس رزونانس سیستم نامیده می شود. در مورد میرایی کوچک ، فرکانس رزونانس با فرکانس طبیعی تفاوت چندانی ندارد. وقتی فرکانس تحریک نزدیک به فرکانس طبیعی است ، دامنه افزایش می یابد به شدت این پدیده طنین انداز خوانده می شود. در طنین انداز ، افزایش سیستم به حداکثر می رسد ، یعنی لرزش اجباری شدیدترین است. بنابراین ، به طور کلی ، همیشه سعی در جلوگیری از طنین انداز دارید ، مگر اینکه برخی از ابزارها و تجهیزات برای استفاده از رزونانس برای دستیابی به بزرگ استفاده کنند. لرزش

شکل منحنی فرکانس 5 دامنه

از منحنی فرکانس فاز (شکل 6) ، صرف نظر از اندازه میرایی ، در بیت های اختلاف فاز صفر امگا = PI / 2 مشاهده می شود ، این ویژگی را می توان به طور مؤثر در اندازه گیری رزونانس استفاده کرد.

علاوه بر تحریک پایدار ، سیستم هایی که گاهی اوقات با تحریک ناپایدار روبرو می شوند. تقریباً به دو نوع تقسیم می شود: یکی تأثیر ناگهانی است. دومین اثر ماندگار از خودآگاهی است.

یک ابزار قدرتمند برای تجزیه و تحلیل لرزش ناپایدار ، روش پاسخ Impulse است. این ویژگی های پویا سیستم را با پاسخ گذرا از ورودی تکانه واحد سیستم توصیف می کند. ضربه واحد می تواند به عنوان یک عملکرد دلتا بیان شود. مهندسی ، دلتا. عملکرد اغلب به صورت زیر تعریف می شود:

جایی که 0- نشان دهنده نقطه در محور t است که از سمت چپ صفر می شود ؛ 0 به علاوه نقطه ای است که از سمت راست به 0 می رود.

شکل منحنی فرکانس 6 فاز

شکل 7 هر ورودی را می توان به عنوان مجموعه ای از عناصر ضربه ای در نظر گرفت

این سیستم با پاسخ H (t) تولید شده توسط تکانه واحد در t = 0 مطابقت دارد ، که عملکرد پاسخ Impulse نامیده می شود. عملکرد پاسخ ضربه ای از سیستم ، می توانیم پاسخ سیستم را به هر ورودی x (t) پیدا کنیم. در این نکته ، شما می توانید به عنوان مجموعه یک سری از عناصر ضربه ای فکر کنید (شکل 7) پاسخ از سیستم:

بر اساس اصل فوق العاده ، پاسخ کل سیستم مربوط به x (t):

این انتگرال یک انتگرال Convolution یا یک انتگرال فوق العاده نامیده می شود.

لرزش خطی یک سیستم چند درجه آزادی

ارتعاش یک سیستم خطی با درجه 2 درجه آزادی.

شکل 8 دو زیر سیستم رزونانس ساده را نشان می دهد که توسط یک بهار جفت متصل شده است. از آنجا که این یک سیستم دو درجه آزادی است ، برای تعیین موقعیت آن به دو مختصات مستقل مورد نیاز است. دو فرکانس طبیعی در این سیستم وجود دارد:

هر فرکانس با یک حالت ارتعاش مطابقت دارد. نوسان سازها هارمونیک نوسانات هارمونیکی با همان فرکانس را انجام می دهند ، به طور همزمان از موقعیت تعادل عبور می کنند و همزمان به موقعیت شدید می رسند. در لرزش اصلی مربوط به امگا یک ، x1 برابر با x2 است. ارتعاش اصلی مربوط به امگا امگا دو ، امگا امگا یک. در لرزش اصلی ، نسبت جابجایی هر جرم رابطه خاصی را حفظ می کند و حالت خاصی را تشکیل می دهد ، که به آن حالت اصلی یا حالت طبیعی گفته می شود. ارتوگونی بودن جرم و سختی در بین حالت های اصلی وجود دارد ، که نشان دهنده استقلال هر لرزش است. -دوری سیستم آزادی.

شکل 8 سیستم با چند درجه آزادی

یک سیستم N درجه آزادی دارای فرکانس های طبیعی و n حالت های اصلی است. هر پیکربندی لرزش سیستم می تواند به عنوان ترکیبی خطی از حالت های اصلی ارائه شود. بنابراین ، روش اصلی حالت اصلی به طور گسترده ای در تجزیه و تحلیل پاسخ پویا از Multi استفاده می شود -dof systems.in این روش ، اندازه گیری و تجزیه و تحلیل ویژگی های لرزش طبیعی سیستم به یک گام روتین در طراحی پویا سیستم تبدیل می شود.

ویژگی های پویا سیستم های چند DOF نیز می تواند با ویژگی های فرکانس توصیف شود. از آنجا که یک عملکرد مشخصه فرکانس بین هر ورودی و خروجی وجود دارد ، یک ماتریس مشخصه فرکانس ساخته شده است. از سیستم تک آزادی.

الاستومر ارتعاش می کند

چند درجه از سیستم آزادی فوق یک مدل مکانیکی تقریبی الاستومر است. یک الاستومر دارای تعداد نامحدودی از درجه آزادی است. تفاوت کمی وجود دارد اما تفاوت اساسی بین این دو وجود ندارد. تعداد نامتناهی از حالتهای مربوطه ، و بین حالتهای جرم و سفتی ارتوگونی وجود دارد. هر پیکربندی ارتعاش الاستومر نیز می تواند به عنوان نمایش داده شود یک ترکیب خطی از حالتهای اصلی. از این رو ، برای تجزیه و تحلیل پاسخ پویا الاستومر ، روش ابرندسازی حالت اصلی هنوز هم کاربرد دارد (به لرزش خطی الاستومر مراجعه کنید).

لرزش یک رشته را بگیرید. می گویند که یک رشته نازک از جرم m در هر واحد طول ، طولانی L ، در هر دو انتها تنش می یابد ، و تنش T.AT این بار است ، فرکانس طبیعی رشته توسط موارد زیر تعیین می شود معادله:

f = na/2l (n = 1،2،3…).

جایی که ، سرعت انتشار موج عرضی در امتداد جهت رشته است. فرکانسهای طبیعی رشته ها چند برابر از فرکانس اساسی بیش از 2L است. این تعدد عدد صحیح منجر به ساختار هارمونیک دلپذیر می شود. چنین رابطه چندگانه ای بین فرکانسهای طبیعی الاستومر.

سه حالت اول رشته تنش یافته در شکل نشان داده شده است. 9. چند گره در منحنی حالت اصلی وجود دارد. در لرزش اصلی ، گره ها لرزش نمی کنند. 10 چندین حالت معمولی از صفحه دایره ای پشتیبانی شده دور با برخی از خطوط گره ای متشکل از دایره ها و قطر را نشان می دهد.

فرمولاسیون دقیق مسئله لرزش الاستومر می تواند به عنوان مشکل ارزش مرزی معادلات دیفرانسیل جزئی نتیجه گیری شود. هرچند ، راه حل دقیق فقط در برخی از ساده ترین موارد قابل یافت است ، بنابراین ما باید به راه حل تقریبی الاستومر پیچیده متوسل شویم مشکل ارتعاش. جوهر راه حل های تقریبی مختلف تغییر نامحدود به محدود ، یعنی گسسته کردن سیستم چند درجه ای کمتر از اندام (سیستم مداوم) به یک سیستم چند منظوره محدود از سیستم آزادی (سیستم گسسته). دو نوع روش گسسته سازی وجود دارد که به طور گسترده در تجزیه و تحلیل مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد: روش عنصر محدود و روش سنتز معین.

شکل 9 حالت رشته

شکل 10 حالت صفحه دایره ای

روش عنصر محدود یک ساختار کامپوزیت است که یک ساختار پیچیده را به تعداد محدودی از عناصر انتزاع می کند و آنها را به تعداد محدود گره ها متصل می کند. واحد هر یک الاستومر است ؛ جابجایی توزیع عنصر با عملکرد درون یابی جابجایی گره بیان می شود. پارامترهای توزیع هر عنصر در یک قالب خاص به هر گره متمرکز می شوند و مدل مکانیکی سیستم گسسته به دست می آید.

سنتز معین تجزیه یک ساختار پیچیده به چندین زیر ساختار ساده تر است. در اساس درک ویژگی های ارتعاش هر زیر ساخت ، زیر ساختار با توجه به شرایط هماهنگی در رابط و مورفولوژی لرزش عمومی به یک ساختار کلی سنتز می شود ساختار با استفاده از مورفولوژی لرزش هر زیر ساخت به دست می آید.

این دو روش متفاوت و مرتبط هستند و می توانند به عنوان مرجع مورد استفاده قرار گیرند. روش سنتز معین همچنین می تواند به طور مؤثر با اندازه گیری آزمایشی ترکیب شود تا یک روش تجزیه و تحلیل نظری و تجربی برای ارتعاش سیستم های بزرگ تشکیل شود.