Mikä on lineaarinen värähtely?

Lineaarinen värähtely: Komponenttien joustavuus järjestelmässä sovelletaan Hooken lain, ja liikkeen aikana syntynyt vaimennusvoima on verrannollinen yleisen nopeuden ensimmäiseen yhtälöön (yleistettyjen koordinaattien aikajohdannainen).

käsite

Lineaarinen järjestelmä on yleensä abstrakti malli todellisen järjestelmän värähtelystä. Lineaarinen tärinäjärjestelmä soveltaa superpositioperiaatetta, ts. Jos järjestelmän vaste on y1 syötteen X1 ja Y2: n puitteissa syöttö x2: n toiminnassa, Sitten järjestelmän vaste tuloksi X1 ja X2 on Y1+Y2.

Superpositioperiaatteen perusteella mielivaltainen panos voidaan hajottaa äärettömien impulssien sarjan summaan, ja sitten järjestelmän kokonaisvaste voidaan saada. Määräaikaisen virityksen harmonisten komponenttien summa voidaan laajentaa A: ksi Harmonisten komponenttien sarja Fourier -muunnoksella ja kunkin harmonisen komponentin vaikutusta järjestelmään voidaan tutkia erikseen. Siksi vakioparametrien lineaaristen järjestelmien vasteominaisuudet voivat kuvataan impulssivasteella tai taajuusvasteella.

Impulssivaste viittaa järjestelmän vasteeseen yksikkö impulssiin, joka kuvaa järjestelmän vastausominaisuuksia aika -alueella Fourier -muunnos.

luokitus

Lineaarinen värähtely voidaan jakaa yhden freedom-järjestelmän lineaariseen värähtelyyn ja monitasoisen freedom-järjestelmän lineaariseen värähtelyyn.

(1) Yhden asteen freedom-järjestelmän lineaarinen värähtely on lineaarinen tärinä, jonka sijainti voidaan määrittää yleistetyllä koordinaatilla. Se on yksinkertaisin tärinä, josta voidaan johtaa monia peruskäsitteitä ja värähtelyn ominaisuuksia. Se sisältää yksinkertaista Harmoninen värähtely, vapaa värähtely, vaimennus värähtely ja pakotettu värähtely.

Yksinkertainen harmoninen värähtely: esineen edestakainen liike sen tasapaino -aseman läheisyydessä sinimuotoisen lain mukaan palautusvoiman mukaisesti sen siirtymiseen verrannollinen.

Vaimennettu värähtely: Värähtely, jonka amplitudi heikenee jatkuvasti kitkan ja dielektrisen vastus tai muun energiankulutuksen läsnäolo.

Pakotettu värähtely: Järjestelmän värähtely jatkuvalla virityksellä.

(2) Freedom-järjestelmän monen asteen lineaarinen värähtely on lineaarisen järjestelmän tärinän, jolla on n≥2 vapausastetta. Järjestelmästä voidaan esitellä tärkeimpien moodien lineaarisena yhdistelmänä. Siksi päätilan superpositiomenetelmää käytetään laajasti moni-DOF-järjestelmien dynaamisessa vasteanalyysissä. Tällä tavalla mittaus ja Järjestelmän luonnollisten värähtelyominaisuuksien analyysi tulee rutiininomainen askel järjestelmän dynaamisessa suunnittelussa. Multi-DOF-järjestelmien dynaamiset ominaisuudet voidaan myös kuvata taajuusominaisuuksilla. Kunkin tulon ja lähtöjen välillä on taajuusominaisuusfunktio. Taajuusominaisuuden matriisi on rakennettu. Taajuusominaisuuden ja päätilan välillä on selvä suhde. Monen freedom-järjestelmän amplitudi-taajuusominaisuuskäyrä on erilainen Yhden reunan järjestelmän perusteella.

Yhden vapausjärjestelmän lineaarinen tärinä

Lineaarinen värähtely, jossa järjestelmän sijainti voidaan määrittää yleistetyllä koordinaatilla. Se on yksinkertaisin ja perustavanlaatuisin värähtely, josta voidaan johtaa monia peruskäsitteitä ja värähtelyn ominaisuuksia. Se sisältää yksinkertaisen harmonisen värähtelyn, vaimennetun värähtelyn ja pakotetun värähtelyn .

Harmoninen värähtely

Palauttamisvoiman yhteydessä, joka on verrannollinen siirtymiseen, esine edustaa sinimuotoisella tavalla lähellä tasapainoa (kuva 1) .x edustaa siirtymistä ja t edustaa aikaa. Tämän värähtelyn matemaattinen ilmaisu on:

(1)Missä A on siirtymän X maksimiarvo, jota kutsutaan amplitudiksi, ja edustaa värähtelyn voimakkuutta; omega n on värähtelyn amplitudikulman lisäys sekunnissa, jota kutsutaan kulmataajuudeksi tai ympyrätaajuudeksi; tämä; kutsutaan alkuvaiheeksi. F = n/2: n termejä, värähtelyjen lukumäärää sekunnissa kutsutaan taajuudeksi; tämän käänteinen, t = 1/f, on aika, jonka se vie vie Välistä yksi sykli, ja sitä kutsutaan ajanjaksoksi.amplitudi a, taajuus F (tai kulmataajuus n), alkuvaihe, joka tunnetaan yksinkertaisena harmonisena värähtelynä kolme elementtiä.

KUVA. 1 Yksinkertainen harmoninen värähtelykäyrä

Kuten kuviossa 1 esitetään 2, yksinkertainen harmoninen oskillaattori muodostuu lineaarisella jousilla kytketyllä väkevöityllä massalla. Kun värähtelyn siirtymä lasketaan tasapainon asennosta, värähtelyyhtälö on:

Missä on jousen jäykkyys. Yleinen liuos yllä olevaan yhtälöön on (1) .A ja se voidaan määrittää alkuperäisen sijainnin x0 ja alkuperäisen nopeuden avulla t = 0:

Mutta omega n määritetään vain itse järjestelmän M ja K ominaisuuksien perusteella, riippumatta ylimääräisistä alkuolosuhteista, joten omega n tunnetaan myös luonnollinen taajuus.

KUVA. 2 yksittäinen vapausjärjestelmä

Yksinkertaiselle harmoniselle oskillaattorille sen kineettisen energian ja potentiaalienergian summa on vakio, toisin sanoen järjestelmän kokonaismekaaninen energia säilyy. Tärinän, kineettinen energia ja potentiaalienergia muuttuu jatkuvasti toisiinsa.

Vaimennusvärähtely

Värähtely, jonka amplitudi heikentyy jatkuvasti kitkalla ja dielektrisellä vastustuskestävyydellä tai muulla energiankulutuksella. Mikrovärinän vuoksi nopeus ei yleensä ole kovin suuri, ja keskipitkän vastus on verrannollinen ensimmäiseen tehon nopeuteen, joka voidaan kirjoittaa kuten C on Vaimennuskerroin. Siksi yhden vapausasteen värähtelyyhtälö lineaarisella vaimennuksella voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(2)Missä, m = c/2m kutsutaan vaimennusparametriksi, ja kaavan (2) yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa:

(3)Omega N: n ja PI: n välinen numeerinen suhde voidaan jakaa seuraaviin kolmeen tapaukseen:

N> (pienen vaimennuksen tapauksessa) hiukkasen aiheutti vaimennusvärinää, värähtelyyhtälö on:

Sen amplitudi vähenee ajan myötä yhtälössä esitetyn eksponentiaalisen lain mukaan, kuten kuviossa 1. 3. Striktictly ottaen tämä värähtely on aperiodista, mutta sen piikin esiintymistiheys voidaan määritellä seuraavasti:

Kutsutaan amplitudin vähentämisnopeudeksi, missä on värähtelyjakso. Amplitudin vähentämisnopeuden luonnollista logaritmia kutsutaan logaritmiksi miinus (amplitudi) -nopeus. Onneksi =, tässä tapauksessa on yhtä suuri kuin 2/1. Suoraan Kokeellinen testi delta ja yllä olevalla kaavalla voidaan laskea c.

Tällä hetkellä yhtälön (2) ratkaisu voidaan kirjoittaa:

Ensimmäisen nopeuden suunnan ohella se voidaan jakaa kolmeen ei-värähtelytapaukseen, kuten kuviossa 1 esitetään. 4.

N <(suuren vaimennuksen tapauksessa) liuos yhtälöön (2) on esitetty yhtälössä (3). Tässä pisteessä järjestelmä ei enää värisevä.

Pakkovärinen

Järjestelmän värähtely jatkuvaa viritystä. VIBRAATION -analyysi tutkii pääasiassa järjestelmän vastetta viritykseen. Peruskodinen viritys on tyypillinen säännöllinen viritys. Sillä, että jaksollinen viritys voidaan aina hajota useiden harmonisten viritysten summaan, vain superpositioperiaatteen mukaan, vain vain vain superpositioperiaate, vain vain Järjestelmän reaktio jokaiselle harmoniselle viritykselle vaaditaan. Harmonisen virityksen vaikutuksen mukaan voidaan kirjoittaa yhden vapauden asteen erilainen liikeyhtälö:

Vastaus on kahden osan summa. Yksi osa on vaimennetun värähtelyn vaste, joka hajoaa nopeasti ajan myötä. Pakotetun värähtelyn toisen osan vaste voidaan kirjoittaa:

KUVA. 3 vaimennettua värähtelykäyrää

KUVA. 4 käyrä kolmen alkuolosuhteen kanssa kriittisellä vaimennuksella

Kirjoittaa

H /F0 = H () on tasaisen vasteen amplitudin suhde viritysamplitudiin, karakterisoimalla amplitudi-taajuusominaisuuksia tai vahvistusfunktiota; bittiä vakaan tilan vasteeseen ja vaiheen kannustimeen, vaihetaajuusominaisuuksien karakterisointi. Niiden ja niiden välinen suhde Virhetaajuus on esitetty kuviossa 1. 5 ja kuva. 6.

Kuten amplituditaajuuskäyrästä voidaan nähdä (kuva 5), ​​pienen vaimennuksen tapauksessa amplitudi-taajuuskäyrällä on yksi piikki. Pienemmä Järjestelmän resonanssitaajuudeksi. Pienen vaimennuksen tapauksessa resonanssitaajuus ei ole paljon erilainen kuin luonnollinen taajuus. Kun viritystaajuus on lähellä luonnollista Taajuus, amplitudi kasvaa voimakkaasti. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssiksi. Resonanssi, järjestelmän vahvistus on maksimoitu, toisin sanoen pakotettu tärinä on voimakkain. Siksi yleensä pyrki aina välttämään resonanssia, ellei joitain instrumentteja ja laitteita resonanssin käyttämiseksi suuren saavuttamiseksi suuren saavuttamiseksi suuren saavuttamiseksi suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi, suuren saavuttamiseksi suuren saavuttamiseksi suuren saavuttamiseksi aina suuren saavuttamiseksi aina suuren saavuttamiseksi saavuttamaan suuren saavuttamiseksi suuren saavuttamiseksi aina suuren saavuttamiseksi. tärinä.

KUVA. 5 Amplituditaajuuskäyrä

Voidaan nähdä vaihetaajuuskäyrästä (kuva 6) vaimennuksen koosta riippumatta, omega nollafaasierotbitteissä = pi / 2, tätä ominaisuutta voidaan käyttää tehokkaasti resonanssin mittaamisessa.

Tasaisen virityksen lisäksi järjestelmät kohtaavat toisinaan epävakaan viritystä. Se voidaan jakaa karkeasti kahteen tyyppiin: yksi on äkillinen vaikutus. Toinen on mielivaltaisuuden kestävä vaikutus. Epävakaa viritys, järjestelmän vaste on myös epävakaa.

Tehokas työkalu epävakaan värähtelyn analysointiin on impulssivastemenetelmä. Se kuvaa järjestelmän dynaamisia ominaisuuksia järjestelmän yksikön impulssitulon ohimenevällä vasteella. Yksikön impulssi voidaan ilmaista delta -funktiona. Toiminto määritellään usein seuraavasti:

Missä 0- edustaa pistettä T-akselissa, joka lähestyy nollaa vasemmalta; 0 Plus on piste, joka menee arvoon oikealta.

KUVA. 6 vaihetaajuuskäyrä

KUVA. 7 Mitä tahansa tuloa voidaan pitää impulssielementtien sarjan summana

Järjestelmä vastaa vastetta H (t), jonka yksikkö impulssi on t = 0, jota kutsutaan impulssivastefunktioksi. Oletetaan, että järjestelmä on paikallaan ennen pulssia, h (t) = 0 t <0. Järjestelmän impulssivastefunktio, löydämme järjestelmän vasteen mihin tahansa syöttöön X (t). Tässä pisteessä voit ajatella x (t) impulssielementtien sarjan summaa (kuva 7) . Vastaus järjestelmästä on:

Superpositioperiaatteen perusteella x (t) vastaavan järjestelmän kokonaisvaste on:

Tätä integraalia kutsutaan konvoluutio -integraaliksi tai superpositio -integraaliksi.

Monitasoisen vapaa-asteen lineaarinen värähtely

Lineaarisen järjestelmän tärinä, jolla on N≥2 vapausastetta.

Kuvio 8 esittää kahta yksinkertaista resonanssia alajärjestelmää kytkentäjousella, koska se on kahden asteen vapaa-asteen järjestelmä, sen sijainnin määrittämiseksi tarvitaan kaksi riippumatonta koordinaattia. Tässä järjestelmässä on kaksi luonnollista taajuutta:

Jokainen taajuus vastaa värähtelymuotoa. Harmoniset oskillaattorit suorittavat saman taajuuden harmoniset värähtelyt, jotka kulkevat synkronisesti tasapainon asennon läpi ja saavuttaen synkronisesti äärimmäisen asennon. Omega yksittäisen päähenkilöstöllä X1 on yhtä suuri kuin x2; Tärkein värähtely, joka vastaa omega omega kaksi, omega omega yksi. Kunkin massan siirtymäsuhde pitää tietyn suhteen ja muodostaa tietyn tilan, jota kutsutaan päämoodiksi tai luonnolliseksi moodiksi. Massan ja jäykkyyden ortogonaalisuus on päämoodien keskuudessa, mikä heijastaa kunkin tärinän riippumattomuutta. Luonnollinen taajuus ja Päätila edustaa vapausjärjestelmän monikokoisen värähtelyominaisuuksia.

KUVA. 8 järjestelmä, jolla on useita vapausasteita

N -vapausasteen järjestelmällä on N luonnolliset taajuudet ja N -päämoodit. Järjestelmän kaikki värähtelykonfiguraatiot voidaan esittää päämoodien lineaarisena yhdistelmänä. Siksi päätilan superpositiomenetelmää käytetään laajasti monen dynaamisessa vasteanalyysissä analyysissä monen dynaamisessa vasteanalyysissä -DOF Systems. Tällä tavalla järjestelmän luonnollisten tärinäominaisuuksien mittauksesta ja analysoinnista tulee rutiini vaihe järjestelmän dynaamisessa suunnittelussa.

Multi-DOF-järjestelmien dynaamiset ominaisuudet voidaan kuvata myös taajuusominaisuuksilla. Kunkin tulojen ja lähdön välillä on taajuusominaisuusfunktio, taajuusominaisuuksien matriisi on rakennettu. Monetrahoitusjärjestelmän amplitudi-taajuusominaisuuskäyrä on erilainen Yhden reunan järjestelmän perusteella.

Elastomeeri värähtelee

Edellä mainitussa moni - vapausjärjestelmän aste on likimääräinen mekaaninen malli elastomeerille. Elastomeerillä on ääretön määrä vapausastetta. On kvantitatiivinen ero, mutta kahden välinen ero. Elastomeerilla on ääretön määrä luonnontaajuuksia ja ääretön määrä vastaavia tiloja, ja massa- ja jäykkyysmoodien välillä on ortogonaalisuutta. Elastomeerin värähtelykonfiguraatio voidaan myös esittää Päämoodien lineaarinen superpositio. Siksi elastomeerin dynaamiseen vasteanalyysiin päämoodin superpositiomenetelmä on edelleen sovellettavissa (katso elastomeerin lineaarinen värähtely).

Ota merkkijonon värähtely yhtälö:

F = Na/2L (n = 1,2,3…).

Missä, on poikittaisen aallon etenemisnopeus merkkijonon suuntaa pitkin. Jousien luonnolliset taajuudet sattuvat olemaan perustaajuuden monikerroksia yli 2L: n. Tämä kokonaisluku monimuotoisuus johtaa miellyttävään harmoniseen rakenteeseen. Yleistä ei ole, sitä ei ole Tällainen kokonaisluku monisuhde elastomeerin luonnollisilla taajuuksilla.

Kiristeisen merkkijonon kolme ensimmäistä moodia on esitetty kuviossa 1. 9. Päätilan käyrällä on joitain solmuja. Solmut eivät värähtele. Kuvio. 10 esittää useita tyypillisiä kehysten tuettujen pyöreiden levyjen tyypillisiä tiloja, joissa on joitain ympyröistä ja halkaisijoista koostuvia solmujohtoja.

Elastomeerin värähtelyongelman tarkka formulaatio voidaan päätellä osittaisten differentiaaliyhtälöiden raja -arvoongelmana. Kuitenkin tarkka ratkaisu löytyy vain joistakin yksinkertaisimmista tapauksista, joten meidän on turvauduttava likimääräiseen ratkaisuun monimutkaiselle elastomeerille Tärinäongelma. Eri likimääräisten ratkaisujen ydin on muuttaa äärettömän äärettömänä, ts. Raajojen vapausjärjestelmän (jatkuva järjestelmä) diskreisointi Rajoitetun monen asteen vapausjärjestelmän (erillinen järjestelmä). Siellä on kahden tyyppisiä diskreisointimenetelmiä, joita käytetään laajasti tekniikan analyysissä: äärellisen elementin menetelmä ja modaalinen synteesimenetelmä.

KUVA. 9 merkkijono

KUVA. 10 pyöreän levyn tapa

Reaformelementin menetelmä on komposiittirakenne, joka abstrakoi monimutkaisen rakenteen äärelliseen määrään elementtejä ja yhdistää ne äärellisellä määrällä solmuja.Ach -yksikkö on elastomeeri; elementin jakautumissiirto ilmaistaan ​​interpolointifunktiolla. Kunkin elementin jakautumisparametrit keskittyvät jokaiseen solmuun tietyssä muodossa, ja diskreetin järjestelmän mekaaninen malli saadaan.

Modaalinen synteesi on monimutkaisen rakenteen hajoaminen useisiin yksinkertaisempiin alarakenteisiin. Kunkin alarakenteen tärinäominaisuuksien ymmärtämisen perustana, alarakenne syntetisoidaan yleiseen rakenteeseen rajapinnan koordinaatioolosuhteiden mukaan ja yleisen värähtelyn morfologia Rakenne saadaan kunkin alarakenteen värähtelyn morfologialla.

Nämä kaksi menetelmää ovat erilaisia ​​ja niihin liittyviä, ja niitä voidaan käyttää referenssinä. Modaalisynteesimenetelmä voidaan myös yhdistää tehokkaasti kokeelliseen mittaukseen teoreettisen ja kokeellisen analyysimenetelmän muodostamiseksi suurten järjestelmien värähtelyyn.