Mitä on lineaarinen värähtely?

Lineaarinen värähtely: järjestelmän komponenttien elastisuus on koukun lain alainen, ja liikkeen aikana muodostuva vaimennusvoima on verrannollinen yleistetyn nopeuden ensimmäiseen yhtälöön (yleistettyjen koordinaattien aikaderivaata).

käsite

Lineaarinen järjestelmä on yleensä abstrakti malli todellisen järjestelmän värähtelystä. Lineaarinen värähtelyjärjestelmä soveltaa superpositioperiaatetta, eli jos järjestelmän vaste on y1 syötteen x1 vaikutuksesta ja y2 tulon x2 vaikutuksesta, silloin järjestelmän vaste syötteiden x1 ja x2 vaikutuksesta on y1+y2.

Superpositioperiaatteen perusteella mielivaltainen syöte voidaan jakaa äärettömän pienten impulssien sarjan summaksi ja saada sitten järjestelmän kokonaisvaste. Jaksottaisen herätteen harmonisten komponenttien summa voidaan laajentaa sarja harmonisia komponentteja Fourier-muunnoksen avulla, ja kunkin harmonisen komponentin vaikutusta järjestelmään voidaan tutkia erikseen. Näin ollen vakioparametreilla varustettujen lineaaristen järjestelmien vasteominaisuudet voivat voidaan kuvata impulssivasteella tai taajuusvasteella.

Impulssivaste tarkoittaa järjestelmän vastetta yksikköimpulssiin, joka kuvaa järjestelmän vasteominaisuuksia aika-alueella. Taajuusvaste tarkoittaa järjestelmän vasteominaisuutta yksikköharmoniseen tuloon. Näiden kahden välinen vastaavuus määritetään. Fourier-muunnoksen avulla.

luokitus

Lineaarinen värähtely voidaan jakaa yhden vapausasteen järjestelmän lineaarivärähtelyyn ja usean vapausasteen järjestelmän lineaarivärähtelyyn.

(1) Yhden vapausasteen järjestelmän lineaarinen värähtely on lineaarivärähtelyä, jonka sijainti voidaan määrittää yleistetyllä koordinaatilla. Se on yksinkertaisin värähtely, josta voidaan johtaa monia värähtelyn peruskäsitteitä ja ominaisuuksia. Se sisältää yksinkertaisia harmoninen värähtely, vapaa värähtely, vaimennusvärinä ja pakotettu tärinä.

Yksinkertainen harmoninen värähtely: esineen edestakainen liike tasapainoasemansa läheisyydessä sinimuotoisen lain mukaan sen siirtymään verrannollisen palautusvoiman vaikutuksesta.

Vaimennettu tärinä: värähtely, jonka amplitudia jatkuvasti vaimentaa kitka ja dielektrinen vastus tai muu energiankulutus.

Pakotettu tärinä: järjestelmän värähtely jatkuvassa virityksessä.

(2) usean vapausasteen järjestelmän lineaarinen värähtely on lineaarisen järjestelmän värähtelyä, jonka vapausaste on n≥2.N vapausasteen järjestelmässä on n luonnollista taajuutta ja n päämoodia. Mikä tahansa värähtelykonfiguraatio järjestelmä voidaan esittää lineaarisena yhdistelmänä tärkeimmistä tiloista.Siksi päämoodin superpositiomenetelmää käytetään laajalti monitoimijärjestelmien dynaamisessa vasteanalyysissä. järjestelmän luonnollisten värähtelyominaisuuksien mittaamisesta ja analysoinnista tulee rutiinivaihe järjestelmän dynaamisessa suunnittelussa. Multi-dof-järjestelmien dynaamisia ominaisuuksia voidaan kuvata myös taajuusominaisuuksilla.Koska välillä on taajuusominaisuusfunktio jokaiseen tuloon ja ulostuloon muodostetaan taajuusominaisuusmatriisi. Taajuuskäyrän ja päämoodin välillä on selvä suhde. Monivapausjärjestelmän amplitudi-taajuuskäyrä on erilainen kuin yhden vapauden järjestelmästä.

Yhden vapausasteen järjestelmän lineaarinen värähtely

Lineaarinen värähtely, jossa järjestelmän sijainti voidaan määrittää yleisellä koordinaatilla. Se on yksinkertaisin ja perustavin värähtely, josta voidaan johtaa monia värähtelyn peruskäsitteitä ja ominaisuuksia. Se sisältää yksinkertaisen harmonisen värähtelyn, vaimennetun värähtelyn ja pakotetun värähtelyn. .

Harmoninen värähtely

Siirtymään verrannollisen voiman palautuksen vaikutuksesta kohde liikkuu edestakaisin sinimuotoisesti lähellä tasapainoasemaansa (kuvio 1). X edustaa siirtymää ja t on aikaa. Tämän värähtelyn matemaattinen ilmaus on:

(1)jossa A on siirtymän x maksimiarvo, jota kutsutaan amplitudiksi ja joka edustaa värähtelyn intensiteettiä; Omega n on värähtelyn amplitudikulman lisäys sekunnissa, jota kutsutaan kulmataajuudeksi tai ympyrätaajuudeksi; kutsutaan alkuvaiheeksi. Kun f= n/2, värähtelyjen lukumäärää sekunnissa kutsutaan taajuudeksi; tämän käänteinen, T=1/f, on aika, joka kuluu yhden syklin värähtelyyn, ja sitä kutsutaan jaksoksi. Amplitudi A, taajuus f (tai kulmataajuus n), alkuvaihe, joka tunnetaan yksinkertaisena harmonisena värähtelynä kolme elementtiä.

KUVA. 1 yksinkertainen harmoninen värähtelykäyrä

Kuten kuviossa 1 on esitetty. 2, yksinkertainen harmoninen oskillaattori muodostuu keskitetystä massasta m, joka on yhdistetty lineaarijousella. Kun värähtelysiirtymä lasketaan tasapainoasennosta, värähtelyyhtälö on:

Missä on jousen jäykkyys. Yleinen ratkaisu yllä olevaan yhtälöön on (1).A ja se voidaan määrittää alkuasennosta x0 ja alkunopeudesta, kun t=0:

Mutta omega n:n määräävät vain itse järjestelmän ominaisuudet m ja k, riippumatta lisäalkuehdoista, joten omega n tunnetaan myös luonnollisena taajuutena.

KUVA. 2 yhden vapausasteen järjestelmä

Yksinkertaisella harmonisella oskillaattorilla sen kineettisen energian ja potentiaalienergian summa on vakio, eli järjestelmän mekaaninen kokonaisenergia säilyy. Värähtelyprosessissa liike- ja potentiaalienergia muuttuvat jatkuvasti toisikseen.

Vaimentava tärinä

Värähtely, jonka amplitudia jatkuvasti vaimentaa kitka ja dielektrinen vastus tai muu energiankulutus. Mikrovärähtelyssä nopeus ei yleensä ole kovin suuri, ja keskivastus on verrannollinen nopeuteen ensimmäiseen potenssiin, joka voidaan kirjoittaa muodossa c on vaimennuskerroin. Siksi yhden vapausasteen värähtelyyhtälö lineaarisen vaimennuksen kanssa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(2)Missä m =c/2m kutsutaan vaimennusparametriksi ja. Kaavan (2) yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa:

(3)Omega n:n ja PI:n välinen numeerinen suhde voidaan jakaa seuraaviin kolmeen tapaukseen:

N > (pienen vaimennuksen tapauksessa) hiukkasten tuottaman vaimennusvärähtelyn värähtelyyhtälö on:

Sen amplitudi pienenee ajan myötä yhtälössä esitetyn eksponentiaalisen lain mukaisesti, kuten kuviossa 1 on esitetty katkoviivalla. 3. Tarkkaan ottaen tämä värähtely on jaksollista, mutta sen huipun taajuus voidaan määritellä seuraavasti:

Kutsutaan amplitudin vähennysnopeudeksi, jossa on värähtelyn jakso. Amplitudin pienenemisnopeuden luonnollista logaritmia kutsutaan logaritmi miinus (amplitudi) -nopeudeksi. On selvää, että = tässä tapauksessa on 2/1. Suoraan kokeellinen delta ja yllä olevaa kaavaa käyttämällä voidaan laskea c.

Tällä hetkellä yhtälön (2) ratkaisu voidaan kirjoittaa:

Alkunopeuden suunnan ohella se voidaan jakaa kolmeen tärinättömään tapaukseen, kuten kuviossa 1 on esitetty. 4.

N < (suuren vaimennuksen tapauksessa), yhtälön (2) ratkaisu esitetään yhtälössä (3). Tässä vaiheessa järjestelmä ei enää värähtele.

Pakotettu tärinä

Järjestelmän värähtely jatkuvassa virityksessä. Värähtelyanalyysi tutkii pääasiassa järjestelmän vastetta herätteeseen. Jaksottainen heräte on tyypillinen säännöllinen heräte. Koska jaksollinen heräte voidaan aina jakaa useiden harmonisten viritteiden summaksi superpositioperiaatteen mukaisesti, vain järjestelmän vaste jokaiseen harmoniseen herätteeseen vaaditaan. Harmonisen herätteen vaikutuksesta differentiaali yhden vapausasteen vaimennetun järjestelmän liikeyhtälö voidaan kirjoittaa:

Vastaus on kahden osan summa. Yksi osa on vaimennetun värähtelyn vaste, joka vaimenee nopeasti ajan myötä. Pakkovärähtelyn toisen osan vaste voidaan kirjoittaa:

KUVA. 3 vaimennettu tärinäkäyrä

KUVA. 4 käyrää kolmesta alkutilanteesta kriittisellä vaimennuksena

Kirjoita

H /F0= h (), on tasaisen vasteen amplitudin suhde viritysamplitudiin, joka kuvaa amplitudi-taajuusominaisuuksia tai vahvistusfunktiota; Bitit vakaan tilan vastetta ja vaiheen stimulointia varten, vaihetaajuusominaisuuksien karakterisointi. Niiden välinen suhde ja herätetaajuus on esitetty kuviossa 1. 5 ja KUVA 5 6.

Kuten amplitudi-taajuuskäyrästä (KUVA 5) voidaan nähdä, pienen vaimennuksen tapauksessa amplitudi-taajuuskäyrällä on yksi huippu. Mitä pienempi vaimennus, sitä jyrkempi huippu; Huippua vastaava taajuus on jota kutsutaan järjestelmän resonanssitaajuudeksi.Pienen vaimennuksen tapauksessa resonanssitaajuus ei juurikaan eroa luonnollisesta taajuudesta.Kun herätetaajuus on lähellä luonnollista taajuutta, amplitudi kasvaa jyrkästi. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssiksi. Resonanssissa järjestelmän vahvistus on maksimoitu, eli pakotettu värähtely on voimakkain. Siksi yleensä pyrittävä aina välttämään resonanssia, ellei jotkin instrumentit ja laitteet käyttävät resonanssia suuren tärinää.

KUVA. 5 amplitudin taajuuskäyrä

Näkyy vaihetaajuuskäyrästä (kuva 6), vaimennuksen koosta riippumatta, omega nolla -vaihe-erobiteissä = PI / 2, tätä ominaisuutta voidaan käyttää tehokkaasti resonanssin mittauksessa.

Tasaisen virityksen lisäksi järjestelmät kohtaavat joskus epävakaa viritystä.Se voidaan karkeasti jakaa kahteen tyyppiin: yksi on äkillinen isku.Toinen on mielivaltaisuuden pysyvä vaikutus. Epävakaassa virityksessä järjestelmän vaste on myös epävakaa.

Tehokas työkalu epävakaan tärinän analysointiin on impulssivastemenetelmä. Se kuvaa järjestelmän dynaamisia ominaisuuksia järjestelmän yksikköimpulssitulon transienttivasteella. Yksikköimpulssi voidaan ilmaista delta-funktiona. Suunnittelussa delta toiminto määritellään usein seuraavasti:

Missä 0- edustaa pistettä t-akselilla, joka lähestyy nollaa vasemmalta; 0 plus on piste, joka menee 0:aan oikealta.

KUVA. 6-vaiheinen taajuuskäyrä

KUVA. 7 mitä tahansa tuloa voidaan pitää impulssielementtien sarjan summana

Järjestelmä vastaa yksikköimpulssin generoimaa vastetta h(t), kun t=0, jota kutsutaan impulssivastefunktioksi. Olettaen, että järjestelmä on paikallaan ennen pulssia, h(t)=0, kun t<0. järjestelmän impulssivastefunktio, voimme löytää järjestelmän vasteen mihin tahansa tuloon x(t). Tässä vaiheessa voit ajatella x(t):n impulssielementtien sarjan summana (KUVA 2). 7). Järjestelmän vastaus on:

Superpositioperiaatteen perusteella x(t):tä vastaavan järjestelmän kokonaisvaste on:

Tätä integraalia kutsutaan konvoluutiointegraaliksi tai superpositiointegraaliksi.

Usean vapausasteen järjestelmän lineaarinen värähtely

Lineaarisen järjestelmän värähtely, jossa on n≥2 vapausastetta.

Kuvassa 8 on kaksi yksinkertaista resonanssialajärjestelmää, jotka on yhdistetty kytkentäjousella. Koska kyseessä on kahden vapausasteen järjestelmä, sen sijainnin määrittämiseen tarvitaan kaksi riippumatonta koordinaattia. Tässä järjestelmässä on kaksi luonnollista taajuutta:

Jokainen taajuus vastaa värähtelytapaa. Harmoniset oskillaattorit suorittavat samalla taajuudella harmonisia värähtelyjä, jotka kulkevat synkronisesti tasapainoasennon läpi ja saavuttavat synkronisesti ääriasennon. Omega one:ta vastaavassa päävärähtelyssä x1 on yhtä kuin x2;In päävärähtely vastaa omega omega 2:ta, omega omega ykköstä. Päävärähtelyssä kunkin massan siirtymäsuhde pysyy tietyn suhteen ja muodostaa tietyn muodon, jota kutsutaan päämoodiksi tai luonnolliseksi moodiksi. Päämoodien joukossa on massan ja jäykkyyden ortogonaalisuus, mikä heijastaa kunkin värähtelyn riippumattomuutta. Ominaistaajuus ja päämoodi edustavat värähtelyn luontaisia ​​ominaisuuksia. monen vapausasteen järjestelmästä.

KUVA. 8 järjestelmä, jossa on useita vapausasteita

N vapausasteen järjestelmässä on n luonnollista taajuutta ja n päämoodia. Mikä tahansa järjestelmän värähtelykonfiguraatio voidaan esittää päämoodien lineaarisena yhdistelmänä. Tästä syystä päämoodin superpositiomenetelmää käytetään laajasti monien dynaamisten vasteiden analysoinnissa. -dof-järjestelmät.Tällä tavalla järjestelmän luonnollisten värähtelyominaisuuksien mittaamisesta ja analysoinnista tulee rutiinivaihe järjestelmän dynaamisessa suunnittelussa.

Multi-dof-järjestelmien dynaamisia ominaisuuksia voidaan kuvata myös taajuusominaisuuksilla. Koska kunkin tulon ja lähdön välillä on taajuusominaisuusfunktio, muodostetaan taajuusominaisuusmatriisi. Monivapausjärjestelmän amplitudi-taajuuskäyrä on erilainen. yhden vapauden järjestelmästä.

Elastomeeri tärisee

Yllä oleva monivapausastejärjestelmä on likimääräinen elastomeerin mekaaninen malli. Elastomeerillä on ääretön määrä vapausasteita. Näiden kahden välillä on määrällinen ero, mutta ei oleellista eroa. Jokaisella elastomeerillä on ääretön määrä luonnollisia taajuuksia ja ääretön määrä vastaavia moodeja, ja massa- ja jäykkyysmuotojen välillä on ortogonaalisuutta. Mikä tahansa elastomeerin värähtelykonfiguraatio voidaan myös esittää päämoodien lineaarinen superpositio. Sen vuoksi elastomeerin dynaamisen vasteanalyysiin päämoodin superpositiomenetelmä on edelleen käyttökelpoinen (katso elastomeerin lineaarinen värähtely).

Otetaan kielen värähtely. Sanotaan, että ohut nauha, jonka massa on m yksikköpituutta kohden, pitkä l, on jännitetty molemmista päistä ja jännitys on T. Tällä hetkellä nauhan luonnollinen taajuus määräytyy seuraavalla yhtälö:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Missä on poikittaisen aallon etenemisnopeus merkkijonon suunnassa. Jousien luonnolliset taajuudet sattuvat olemaan perustaajuuden kerrannaisia ​​yli 2l. Tämä kokonaislukukerroin johtaa miellyttävään harmoniseen rakenteeseen.Yleensä ei ole olemassa tällainen kokonaislukumonikertasuhde elastomeerin luonnollisten taajuuksien välillä.

Jännitetyn nauhan kolme ensimmäistä tilaa on esitetty kuviossa 1. 9. Päämoodikäyrällä on joitakin solmuja. Päävärähtelyssä solmut eivät värise. Kuvio 10 esittää useita tyypillisiä kehätuetun pyöreän levyn muotoja, joissa on ympyröistä ja halkaisijasta koostuvia solmuviivoja.

Elastomeerin värähtelyongelman tarkka muotoilu voidaan päätellä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden raja-arvoongelmaksi. Tarkka ratkaisu löytyy kuitenkin vain joissakin yksinkertaisimmissa tapauksissa, joten joudumme turvautumaan likimääräiseen ratkaisuun kompleksisen elastomeerin osalta. värähtelyongelma. Erilaisten likimääräisten ratkaisujen ydin on muuttaa ääretön äärelliseksi, eli diskretisoida raajaton monivapausastejärjestelmä (jatkuva järjestelmä) äärelliseksi monivapausasteiseksi järjestelmäksi (diskreetti järjestelmä). Teknisessä analyysissä on laajalti käytössä kahdenlaisia ​​diskretisointimenetelmiä: elementtimenetelmä ja modaalinen synteesimenetelmä.

KUVA. 9 merkkijonomuoto

KUVA. 10 pyöreän levyn tila

Elementtimenetelmä on yhdistelmärakenne, joka abstraktoi monimutkaisen rakenteen äärelliseksi määräksi elementtejä ja yhdistää ne äärelliseen määrään solmuja. Jokainen yksikkö on elastomeeri; Elementin jakautumissiirtymä ilmaistaan ​​solmun siirtymän interpolaatiofunktiona. kunkin elementin jakeluparametrit keskitetään kuhunkin solmuun tietyssä muodossa ja saadaan diskreetin järjestelmän mekaaninen malli.

Modaalinen synteesi on monimutkaisen rakenteen hajottamista useiksi yksinkertaisemmiksi alirakenteiksi. Kunkin alirakenteen värähtelyominaisuuksien ymmärtämisen perusteella alirakenne syntetisoidaan yleisrakenteeksi rajapinnan koordinaatioolosuhteiden ja yleisen värähtelymorfologian mukaisesti. rakenne saadaan käyttämällä kunkin alirakenteen värähtelymorfologiaa.

Nämä kaksi menetelmää ovat erilaisia ​​ja liittyvät toisiinsa, ja niitä voidaan käyttää referenssinä. Modaalinen synteesimenetelmä voidaan myös tehokkaasti yhdistää kokeelliseen mittaukseen muodostaen teoreettisen ja kokeellisen analyysimenetelmän suurten järjestelmien värähtelylle.