Qu'est-ce que la vibration linéaire ?

Vibrations linéaires: l'élasticité des composants du système est soumise à la loi de Hooke, et la force d'amortissement générée lors du mouvement est proportionnelle à la première équation de la vitesse généralisée (dérivée temporelle des coordonnées généralisées).

concept

Le système linéaire est généralement un modèle abstrait de la vibration du système réel. Le système de vibration linéaire applique le principe de superposition, c'est-à-dire que si la réponse du système est y1 sous l'action de l'entrée x1 et y2 sous l'action de l'entrée x2, alors la réponse du système sous l'action des entrées x1 et x2 est y1+y2.

Sur la base du principe de superposition, une entrée arbitraire peut être décomposée en la somme d'une série d'impulsions infinitésimales, puis la réponse totale du système peut être obtenue. La somme des composantes harmoniques d'une excitation périodique peut être étendue en une série de composantes harmoniques par transformée de Fourier, et l'effet de chaque composante harmonique sur le système peut être étudié séparément. Par conséquent, les caractéristiques de réponse des systèmes linéaires avec des paramètres constants peuvent être décrites par réponse impulsionnelle ou réponse en fréquence.

La réponse impulsionnelle fait référence à la réponse du système à l'impulsion unitaire, qui caractérise les caractéristiques de réponse du système dans le domaine temporel. La réponse en fréquence fait référence à la caractéristique de réponse du système à l'entrée harmonique de l'unité. La correspondance entre les deux est déterminée par la transformée de Fourier.

classification

La vibration linéaire peut être divisée en vibration linéaire d’un système à un seul degré de liberté et en vibration linéaire d’un système à plusieurs degrés de liberté.

(1) la vibration linéaire d'un système à un seul degré de liberté est une vibration linéaire dont la position peut être déterminée par une coordonnée généralisée. Il s'agit de la vibration la plus simple à partir de laquelle de nombreux concepts et caractéristiques de base de la vibration peuvent être dérivés. Elle comprend des vibrations simples. vibration harmonique, vibration libre, vibration d'atténuation et vibration forcée.

Vibration harmonique simple : mouvement alternatif d'un objet au voisinage de sa position d'équilibre selon une loi sinusoïdale sous l'action d'une force de rappel proportionnelle à son déplacement.

Vibration amortie : vibration dont l'amplitude est continuellement atténuée par la présence de frottements et de résistances diélectriques ou d'autres consommations d'énergie.

Vibration forcée : vibration d’un système sous excitation constante.

(2) la vibration linéaire du système à plusieurs degrés de liberté est la vibration du système linéaire avec n≥2 degrés de liberté. Un système de n degrés de liberté a n fréquences naturelles et n modes principaux. Toute configuration de vibration du système peut être représenté comme une combinaison linéaire des modes principaux. Par conséquent, la méthode de superposition de modes principaux est largement utilisée dans l'analyse de la réponse dynamique des systèmes multi-dof. De cette manière, la mesure et l'analyse des caractéristiques de vibration naturelles du système devient une étape de routine dans la conception dynamique de le système. Les caractéristiques dynamiques des systèmes multi-dof peuvent également être décrites par des caractéristiques de fréquence. Puisqu'il existe une fonction caractéristique de fréquence entre chaque entrée et sortie, une matrice de caractéristiques de fréquence est construite. Il existe une relation définie entre la caractéristique de fréquence et la mode principal. La courbe caractéristique amplitude-fréquence du système multi-liberté est différente de celle du système mono-liberté.

Vibration linéaire d'un système à un seul degré de liberté

Vibration linéaire dans laquelle la position d'un système peut être déterminée par une coordonnée généralisée. Il s'agit de la vibration la plus simple et la plus fondamentale à partir de laquelle de nombreux concepts et caractéristiques de base de la vibration peuvent être dérivés. Elle comprend la vibration harmonique simple, la vibration amortie et la vibration forcée. .

Vibration harmonique

Sous l'action d'une force de rappel proportionnelle au déplacement, l'objet effectue un mouvement alternatif de manière sinusoïdale au voisinage de sa position d'équilibre (figure 1). X représente le déplacement et t représente le temps. L'expression mathématique de cette vibration est :

(1)Où A est la valeur maximale du déplacement x, appelée amplitude, et représente l'intensité de la vibration ; Omega n est l'incrément d'angle d'amplitude de la vibration par seconde, appelée fréquence angulaire ou fréquence circulaire ; est appelée la phase initiale. En termes de f = n/2, le nombre d'oscillations par seconde est appelé la fréquence ; l'inverse de ceci, T = 1/f, est le temps qu'il faut pour osciller un cycle, et cela s'appelle la période.Amplitude A, fréquence f (ou fréquence angulaire n), la phase initiale, dite vibration harmonique simple à trois éléments.

FIGUE. 1 courbe de vibration harmonique simple

Comme le montre la fig. 2, un oscillateur harmonique simple est formé par la masse concentrée m reliée par un ressort linéaire. Lorsque le déplacement vibratoire est calculé à partir de la position d'équilibre, l'équation de vibration est :

Où est la rigidité du ressort. La solution générale de l'équation ci-dessus est (1).A et peut être déterminée par la position initiale x0 et la vitesse initiale à t=0 :

Mais oméga n n'est déterminé que par les caractéristiques du système lui-même m et k, indépendamment des conditions initiales supplémentaires, donc oméga n est également connu sous le nom de fréquence naturelle.

FIGUE. Système à 2 degrés de liberté

Pour un oscillateur harmonique simple, la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle est constante, c'est-à-dire que l'énergie mécanique totale du système est conservée. Au cours du processus de vibration, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle se transforment constamment l'une dans l'autre.

L'amortissement des vibrations

Une vibration dont l'amplitude est continuellement atténuée par le frottement et la résistance diélectrique ou toute autre consommation d'énergie. Pour les micro-vibrations, la vitesse n'est généralement pas très grande et la résistance moyenne est proportionnelle à la vitesse à la première puissance, qui peut s'écrire sous la forme c le coefficient d'amortissement. Par conséquent, l'équation de vibration d'un degré de liberté avec amortissement linéaire peut s'écrire comme suit :

(2)Où m = c/2m est appelé paramètre d'amortissement, et. La solution générale de la formule (2) peut s'écrire :

(3)La relation numérique entre oméga n et PI peut être divisée dans les trois cas suivants :

N > (dans le cas d'un faible amortissement) les vibrations d'atténuation produites par les particules, l'équation de vibration est :

Son amplitude diminue avec le temps selon la loi exponentielle représentée dans l'équation, comme le montre la ligne pointillée de la figure 1. 3. À proprement parler, cette vibration est apériodique, mais la fréquence de son pic peut être définie comme :

Est appelé taux de réduction d'amplitude, où est la période de vibration. Le logarithme népérien du taux de réduction d'amplitude est appelé taux de logarithme moins (amplitude). Évidemment, =, dans ce cas, est égal à 2/1. Directement via le test expérimental delta et, en utilisant la formule ci-dessus peut être calculé c.

A ce moment, la solution de l’équation (2) peut s’écrire :

Outre la direction de la vitesse initiale, elle peut être divisée en trois cas de non-vibration, comme le montre la Fig. 4.

N < (dans le cas d'un amortissement important), la solution de l'équation (2) est présentée dans l'équation (3). À ce stade, le système ne vibre plus.

Vibration forcée

Vibration d'un système sous excitation constante. L'analyse des vibrations étudie principalement la réponse du système à l'excitation. L'excitation périodique est une excitation régulière typique. Puisque l'excitation périodique peut toujours être décomposée en la somme de plusieurs excitations harmoniques, selon le principe de superposition, seulement la réponse du système à chaque excitation harmonique est requise. Sous l’action de l’excitation harmonique, l’équation différentielle du mouvement d’un système amorti à un seul degré de liberté peut s’écrire :

La réponse est la somme de deux parties. Une partie est la réponse des vibrations amorties, qui décroît rapidement avec le temps. La réponse d’une autre partie des vibrations forcées peut s’écrire :

FIGUE. 3 courbes de vibrations amorties

FIGUE. 4 courbes de trois conditions initiales avec amortissement critique

Tapez le

H /F0= h (), est le rapport entre l'amplitude de réponse stable et l'amplitude d'excitation, caractérisant les caractéristiques amplitude-fréquence, ou fonction de gain ; Bits pour la réponse en régime permanent et l'incitation de phase, caractérisation des caractéristiques de fréquence de phase. La relation entre eux et la fréquence d'excitation est représentée sur la Fig. 5 et la fig. 6.

Comme le montre la courbe amplitude-fréquence (figure 5), en cas d'amortissement faible, la courbe amplitude-fréquence présente un seul pic. Plus l'amortissement est petit, plus le pic est raide ; appelée fréquence de résonance du système. Dans le cas d'un faible amortissement, la fréquence de résonance n'est pas très différente de la fréquence naturelle. Lorsque la fréquence d'excitation est proche de la fréquence naturelle, l'amplitude augmente fortement. Ce phénomène est appelé résonance. À la résonance, le gain du système est maximisé, c'est-à-dire que la vibration forcée est la plus intense. Par conséquent, en général, efforcez-vous toujours d'éviter la résonance, à moins que certains instruments et équipements n'utilisent la résonance pour obtenir une grande résonance. vibration.

FIGUE. Courbe de fréquence à 5 amplitudes

Comme le montre la courbe de fréquence de phase (figure 6), quelle que soit la taille de l'amortissement, en bits de différence de phase oméga zéro = PI / 2, cette caractéristique peut être utilisée efficacement pour mesurer la résonance.

En plus de l'excitation constante, les systèmes rencontrent parfois une excitation instable. Elle peut être grossièrement divisée en deux types : l'un est l'impact soudain. Le second est l'effet durable de l'arbitraire. Sous une excitation instable, la réponse du système est également instable.

La méthode de réponse impulsionnelle est un outil puissant pour analyser les vibrations instables. Elle décrit les caractéristiques dynamiques du système avec la réponse transitoire de l'entrée d'impulsion unitaire du système. L'impulsion unitaire peut être exprimée sous forme de fonction delta. En ingénierie, le delta la fonction est souvent définie comme :

Où 0- représente le point sur l'axe t qui s'approche de zéro depuis la gauche ; 0 plus est le point qui va à 0 depuis la droite.

FIGUE. Courbe de fréquence à 6 phases

FIGUE. 7 toute entrée peut être considérée comme la somme d'une série d'éléments d'impulsion

Le système correspond à la réponse h(t) générée par l'impulsion unitaire à t=0, appelée fonction de réponse impulsionnelle. En supposant que le système est stationnaire avant l'impulsion, h(t)=0 pour t<0.Sachant la fonction de réponse impulsionnelle du système, nous pouvons trouver la réponse du système à n'importe quelle entrée x(t). À ce stade, vous pouvez considérer x(t) comme la somme d'une série d'éléments impulsionnels (FIG. 7). .La réponse du système est :

Basée sur le principe de superposition, la réponse totale du système correspondant à x(t) est :

Cette intégrale est appelée intégrale de convolution ou intégrale de superposition.

Vibration linéaire d'un système à plusieurs degrés de liberté

Vibration d'un système linéaire à n≥2 degrés de liberté.

La figure 8 montre deux sous-systèmes résonants simples reliés par un ressort de couplage. Puisqu'il s'agit d'un système à deux degrés de liberté, deux coordonnées indépendantes sont nécessaires pour déterminer sa position. Il existe deux fréquences propres dans ce système :

Chaque fréquence correspond à un mode de vibration. Les oscillateurs harmoniques effectuent des oscillations harmoniques de même fréquence, passant de manière synchrone par la position d'équilibre et atteignant de manière synchrone la position extrême. Dans la vibration principale correspondant à oméga un, x1 est égal à x2 ; la vibration principale correspondant à oméga oméga deux, oméga oméga un. Dans la vibration principale, le rapport de déplacement de chaque masse conserve une certaine relation et forme un certain mode, appelé mode principal ou le mode naturel. L'orthogonalité de la masse et de la rigidité existe parmi les modes principaux, ce qui reflète l'indépendance de chaque vibration. La fréquence naturelle et le mode principal représentent les caractéristiques de vibration inhérentes au système à plusieurs degrés de liberté.

FIGUE. Système 8 avec plusieurs degrés de liberté

Un système de n degrés de liberté a n fréquences propres et n modes principaux. Toute configuration vibratoire du système peut être représentée comme une combinaison linéaire des modes majeurs. Par conséquent, la méthode de superposition de modes principaux est largement utilisée dans l'analyse de la réponse dynamique de plusieurs -systèmes ddl. De cette manière, la mesure et l'analyse des caractéristiques de vibration naturelle du système deviennent une étape de routine dans la conception dynamique du système.

Les caractéristiques dynamiques des systèmes multi-dof peuvent également être décrites par des caractéristiques de fréquence. Puisqu'il existe une fonction caractéristique de fréquence entre chaque entrée et sortie, une matrice de caractéristiques de fréquence est construite. La courbe caractéristique amplitude-fréquence du système multi-liberté est différente de celui du système de liberté unique.

L'élastomère vibre

Le système à plusieurs degrés de liberté ci-dessus est un modèle mécanique approximatif de l'élastomère. Un élastomère a un nombre infini de degrés de liberté. Il existe une différence quantitative mais aucune différence essentielle entre les deux. Tout élastomère a un nombre infini de fréquences naturelles et un nombre infini de modes correspondants, et il existe une orthogonalité entre les modes de masse et de rigidité. Toute configuration vibrationnelle de l'élastomère peut également être représentée comme une superposition linéaire des modes majeurs. pour l'analyse de la réponse dynamique de l'élastomère, la méthode de superposition du mode principal est toujours applicable (voir vibration linéaire de l'élastomère).

Prenons la vibration d'une corde. Disons qu'une fine corde de masse m par unité de longueur, de longueur l, est tendue aux deux extrémités et que la tension est T. À ce moment, la fréquence naturelle de la corde est déterminée par ce qui suit équation:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Où est la vitesse de propagation de l'onde transversale dans la direction de la corde. Les fréquences naturelles des cordes se trouvent être des multiples de la fréquence fondamentale sur 2l. Cette multiplicité entière conduit à une structure harmonique agréable. En général, il n'y a pas une telle relation multiple entière entre les fréquences naturelles de l'élastomère.

Les trois premiers modes de la corde tendue sont représentés sur la Fig. 9. Il y a quelques nœuds sur la courbe de mode principale. Dans la vibration principale, les nœuds ne vibrent pas. 10 montre plusieurs modes typiques de la plaque circulaire supportée circonférentiellement avec quelques lignes nodales composées de cercles et de diamètres.

La formulation exacte du problème de vibration de l'élastomère peut être considérée comme le problème des valeurs limites des équations aux dérivées partielles. Cependant, la solution exacte ne peut être trouvée que dans certains des cas les plus simples, nous devons donc recourir à la solution approchée pour le problème complexe de l'élastomère. problème de vibration. L'essence de diverses solutions approximatives est de changer l'infini en fini, c'est-à-dire de discrétiser le système à plusieurs degrés de liberté sans membres (système continu) en un système fini à plusieurs degrés de liberté (discret système).Il existe deux types de méthodes de discrétisation largement utilisées en analyse technique : la méthode des éléments finis et la méthode de synthèse modale.

FIGUE. 9 modes de chaîne

FIGUE. 10 modes de plaque circulaire

La méthode des éléments finis est une structure composite qui résume une structure complexe en un nombre fini d'éléments et les connecte à un nombre fini de nœuds. Chaque unité est un élastomère ; le déplacement de distribution de l'élément est exprimé par la fonction d'interpolation du déplacement des nœuds. Ensuite, le les paramètres de distribution de chaque élément sont concentrés sur chaque nœud dans un certain format et le modèle mécanique du système discret est obtenu.

La synthèse modale est la décomposition d'une structure complexe en plusieurs sous-structures plus simples. Sur la base de la compréhension des caractéristiques vibratoires de chaque sous-structure, la sous-structure est synthétisée en une structure générale en fonction des conditions de coordination sur l'interface et de la morphologie vibratoire de l'ensemble. La structure est obtenue en utilisant la morphologie vibratoire de chaque sous-structure.

Les deux méthodes sont différentes et liées et peuvent être utilisées comme référence. La méthode de synthèse modale peut également être efficacement combinée avec la mesure expérimentale pour former une méthode d'analyse théorique et expérimentale de la vibration des grands systèmes.