Vibration linéaire: L'élasticité des composants dans le système est soumise à la loi de Hooke, et la force d'amortissement générée pendant le mouvement est proportionnelle à la première équation de la vitesse généralisée (dérivé temporel des coordonnées généralisées).
concept
Le système linéaire est généralement un modèle abstrait de la vibration du système réel. Le système de vibration linéaire applique le principe de superposition, c'est-à-dire si la réponse du système est Y1 sous l'action de l'entrée x1 et y2 sous l'action de l'entrée x2, Ensuite, la réponse du système sous l'action de l'entrée x1 et x2 est Y1 + Y2.
Sur la base du principe de superposition, une contribution arbitraire peut être décomposée dans la somme d'une série d'impulsions infinitésimales, puis la réponse totale du système peut être obtenue. La somme des composantes harmoniques d'une excitation périodique peut être étendue en un Une série de composants harmoniques par transformée de Fourier, et l'effet de chaque composant harmonique sur le système peut être étudié séparément. Par conséquent, les caractéristiques de réponse des systèmes linéaires avec constante Les paramètres peuvent être décrits par réponse impulsive ou réponse en fréquence.
La réponse à l'impulsion fait référence à la réponse du système à l'impulsion unitaire, qui caractérise les caractéristiques de réponse du système dans le domaine temporel. par la transformée de Fourier.
classification
La vibration linéaire peut être divisée en vibration linéaire du système à un degré de liberté et vibration linéaire du système multi-degré de liberté.
(1) La vibration linéaire d'un système à un degré de liberté est une vibration linéaire dont la position peut être déterminée par une coordonnée généralisée. C'est la vibration la plus simple à partir de laquelle de nombreux concepts de base et caractéristiques de la vibration peuvent être dérivés. Vibration harmonique, vibration libre, vibration d'atténuation et vibration forcée.
Vibration harmonique simple: le mouvement alternatif d'un objet à proximité de sa position d'équilibre selon une loi sinusoïdale sous l'action d'une force de restauration proportionnelle à son déplacement.
Vibration amorti: vibration dont l'amplitude est continuellement atténuée par la présence de frottement et de résistance diélectrique ou autre consommation d'énergie.
Vibration forcée: vibration d'un système sous excitation constante.
(2) La vibration linéaire du système multi-degré de liberté est la vibration du système linéaire avec n≥2 degrés de liberté. Un système de n degrés de liberté a n fréquences naturelles et n modes principaux. Toute configuration de vibration du système peut être représenté comme une combinaison linéaire des principaux modes. La mesure et l'analyse des caractéristiques des vibrations naturelles du système deviennent une étape de routine dans la conception dynamique du système. Les caractéristiques dynamiques des systèmes multi-DOF peuvent également être décrites par des caractéristiques de fréquence. Il existe une fonction de caractéristique de fréquence entre chaque entrée et la sortie, une matrice de caractéristique de fréquence est construite. Il y a une relation définie entre la caractéristique de fréquence et le mode principal. Le système est différent de celui du système unique.
Vibration linéaire d'un seul degré de système de liberté
Une vibration linéaire dans laquelle la position d'un système peut être déterminée par une coordonnée généralisée. C'est la vibration la plus simple et la plus fondamentale à partir de laquelle de nombreux concepts de base et caractéristiques de la vibration peuvent être dérivés. .
Vibration harmonique
Sous l'action de restauration de la force proportionnelle au déplacement, l'objet se rendit compte de manière sinusoïdale près de sa position d'équilibre (Fig. 1) .x représente le déplacement et T représente le temps. L'expression mathématique de cette vibration est:
(1)Où a est la valeur maximale du déplacement x, qui est appelé amplitude, et représente l'intensité de la vibration; l'oméga n est l'incrément d'angle d'amplitude de la vibration par seconde, qui est appelée fréquence angulaire, ou la fréquence circulaire; cette est appelé la phase initiale. En termes de f = n / 2, le nombre d'oscillations par seconde est appelé la fréquence; l'inverse Prend pour osciller un cycle, et cela s'appelle la période.Amplitude A, fréquence f (ou fréquence angulaire n), la phase initiale, connue sous le nom de vibration harmonique simple trois éléments.
FIGUE. 1 courbe de vibration harmonique simple
Comme le montre la Fig. 2, un oscillateur harmonique simple est formé par la masse concentrée m connectée par un ressort linéaire. Lorsque le déplacement de vibration est calculé à partir de la position d'équilibre, l'équation de vibration est:
Où est la rigidité du ressort. La solution générale à l'équation ci-dessus est (1) .A et peut être déterminée par la position initiale x0 et la vitesse initiale à t = 0:
Mais l'oméga n n'est déterminée que par les caractéristiques du système lui-même et K, indépendamment des conditions initiales supplémentaires, de sorte que l'oméga n est également connue sous le nom de fréquence naturelle.
FIGUE. 2 degré de liberté unique
Pour un oscillateur harmonique simple, la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle est constante, c'est-à-dire que l'énergie mécanique totale du système est conservée.
La vibration d'amortissement
Une vibration dont l'amplitude est continuellement atténuée par la frottement et la résistance diélectrique ou toute autre consommation d'énergie. le coefficient d'amortissement.
(2)Où, m = c / 2m est appelé le paramètre d'amortissement, et. La solution générale de la formule (2) peut être écrite:
(3)La relation numérique entre oméga N et Pi peut être divisée en trois cas suivants:
N> (dans le cas d'un petit amortissement) des particules produites par des particules, l'équation de vibration est:
Son amplitude diminue avec le temps selon la loi exponentielle montrée dans l'équation, comme le montre la ligne pointillée de la Fig. 3.Et parlant, cette vibration est apériodique, mais la fréquence de son pic peut être définie comme:
Est appelé le taux de réduction de l'amplitude, où est la période de vibration. Le logarithme naturel du taux de réduction d'amplitude est appelé le logus moins (amplitude). Vieusement, =, dans ce cas, est égal à 2 / 1. à travers le correctement à travers le Delta de test expérimental et, en utilisant la formule ci-dessus, peut être calculé c.
À l'heure actuelle, la solution de l'équation (2) peut être écrite:
Avec la direction de la vitesse initiale, il peut être divisé en trois cas de non-vibration comme le montre la Fig. 4
N <(dans le cas d'un grand amortissement), la solution à l'équation (2) est indiquée dans l'équation (3). À ce stade, le système ne vibre plus.
Vibration forcée
Vibration d'un système sous excitation constante. L'analyse de la vibration étudie principalement la réponse du système à l'excitation. L'excitation périodique est une excitation régulière typique. La procédure périodique peut toujours être décomposée en la somme de plusieurs excitation harmonique, selon le principe de superposition, uniquement La réponse du système à chaque excitation harmonique est requise. Sous l'action de l'excitation harmonique, l'équation différentielle du mouvement d'un seul degré de système amorti la liberté peut être écrite:
La réponse est la somme de deux parties. Une partie est la réponse d'une vibration amortie, qui se désintègre rapidement avec le temps. La réponse d'une autre partie de la vibration forcée peut être écrite:
FIGUE. 3 courbe de vibration amortie
FIGUE. 4 courbes de trois conditions initiales avec un amortissement critique
Tapez le
H / f0 = h (), est le rapport de l'amplitude constante de la réponse à l'amplitude d'excitation, caractérisant les caractéristiques de la fréquence d'amplitude, ou la fonction de gain; bits pour la réponse à l'état d'équilibre et incitatif de phase, caractérisation des caractéristiques de la fréquence de phase. La fréquence d'excitation est représentée sur la Fig. 5 et Fig. 6.
Comme on peut le voir dans la courbe d'amplitude-fréquence (Fig. 5), dans le cas d'un petit amortissement, la courbe d'amplitude-fréquence a un seul pic.Les l'amortissement plus petit, plus le pic; la fréquence correspondant au pic est appelé la fréquence de résonance du système. L'amplitude augmente fortement. Ce phénomène est appelé résonance. vibration.
FIGUE. 5 courbe de fréquence d'amplitude
Peut être vu à partir de la courbe de fréquence de phase (figure 6), quelle que soit la taille de l'amortissement, dans les bits de différence de phase oméga zéro = PI / 2, cette caractéristique peut être utilisé efficacement dans la mesure de la résonance.
En plus d'une excitation régulière, les systèmes rencontrent parfois une excitation instable.
Un outil puissant pour analyser les vibrations instables est la méthode de réponse à l'impulsion. La fonction est souvent définie comme:
Où 0- représente le point sur l'axe t qui s'approche de zéro de la gauche; 0 Plus est le point qui va à 0 à partir de la droite.
FIGUE. Courbe de fréquence à 6 phases
FIGUE. 7 Toute entrée peut être considérée comme la somme d'une série d'éléments impulsifs
Le système correspond à la réponse h (t) générée par l'impulsion unitaire à t = 0, qui est appelée fonction de réponse impulsive. Assumant que le système est stationnaire avant l'impulsion, h (t) = 0 pour t <0. La fonction de réponse impulsive du système, nous pouvons trouver la réponse du système à toute entrée x (t). .La réponse du système est:
Sur la base du principe de superposition, la réponse totale du système correspondant à x (t) est:
Cette intégrale est appelée une intégrale de convolution ou une intégrale de superposition.
Vibration linéaire d'un système multi-degré de liberté
Vibration d'un système linéaire avec n ≥ 2 degrés de liberté.
La figure 8 montre deux sous-systèmes résonnants simples connectés par un ressort de couplage. Parce qu'il s'agit d'un système à deux degrés de liberté, deux coordonnées indépendantes sont nécessaires pour déterminer sa position. Il y a deux fréquences naturelles dans ce système:
Chaque fréquence correspond à un mode de vibration. Les oscillateurs harmoniques effectuent des oscillations harmoniques de la même fréquence, passant de manière synchrone à travers la position d'équilibre et atteignant de manière synchrone la position extrême. Dans la vibration principale correspondant à Omega, x1 est égal à x2; la vibration principale correspondant à oméga oméga deux, oméga oméga un. Dans la vibration principale, le Le rapport de déplacement de chaque masse maintient une certaine relation et forme un certain mode, qui est appelé mode principal ou mode naturel. L'orthogonalité de la masse et de la rigidité existe parmi les modes principaux, ce qui reflète l'indépendance de chaque vibration. La fréquence naturelle et Le mode principal représente les caractéristiques de vibration inhérentes du système multi-degrés de liberté.
FIGUE. 8 Système avec plusieurs degrés de liberté
Un système de n degrés de liberté a n fréquences naturelles et n modes principaux. Toute configuration de vibration du système peut être représentée comme une combinaison linéaire des principaux modes. -DOF Systèmes.
Les caractéristiques dynamiques des systèmes multi-DOF peuvent également être décrites par des caractéristiques de fréquence. Parfois, il existe une fonction caractéristique de fréquence entre chaque entrée et sortie, une matrice caractéristique de fréquence est construite. à partir de celui du système à liberté unique.
L'élastomère vibre
Le système multi-multi-liberté ci-dessus est un modèle mécanique approximatif de l'élastomère. Un élastomère a un nombre infini de degrés de liberté. Il y a une différence quantitative mais aucune différence essentielle entre les deux. Tout élastomère a un nombre infini de fréquences naturelles et Un nombre infini de modes correspondants, et il existe une orthogonalité entre les modes de masse et de rigidité. Toute configuration vibrationnelle de l'élastomère peut également être représenté comme une superposition linéaire des principaux modes.
Prenez la vibration d'une chaîne. Disons qu'une fine chaîne de masse m par unité de longueur, longue L, est tendu aux deux extrémités, et la tension est cette fois, la fréquence naturelle de la chaîne est déterminée par ce qui suit équation:
F = na / 2l (n = 1,2,3…).
Où, est la vitesse de propagation de l'onde transversale le long de la direction de la chaîne. Les fréquences naturelles des cordes se trouvent être des multiples de la fréquence fondamentale sur 2L.Cet la multiplicité entière conduit à une structure harmonique agréable. En général, il n'y a pas Une telle relation multiple entière entre les fréquences naturelles de l'élastomère.
Les trois premiers modes de la chaîne tendue sont représentés sur la Fig. 9. Il y a des nœuds sur la courbe du mode principal. Dans la vibration principale, les nœuds ne vibrent pas.fig. 10 montre plusieurs modes typiques de la plaque circulaire supportée circonférentielle avec quelques lignes nodales composées de cercles et de diamètres.
La formulation exacte du problème de vibration des élastomères peut être conclue comme le problème de la valeur limite des équations différentielles partielles. Cependant, la solution exacte ne peut être trouvée que dans certains des cas les plus simples, nous devons donc recourir à la solution approximative pour les élastoméromètres complexes Problème de vibration. L'essence de diverses solutions approximatives est de changer l'infini en fini, c'est-à-dire de discrétiser le système multi-degré sans degré sans membre (Système continu) dans un système fini multi-degré de système de liberté (système discret). Il existe deux types de méthodes de discrétisation largement utilisées dans l'analyse d'ingénierie: méthode d'éléments finis et méthode de synthèse modale.
FIGUE. 9 mode de chaîne
FIGUE. 10 mode de plaque circulaire
La méthode d'éléments finis est une structure composite qui résume une structure complexe en un nombre fini d'éléments et les relie à un nombre fini de nœuds. Eense l'unité est un élastomère; le déplacement de distribution de l'élément est exprimé par la fonction d'interpolation du déplacement du nœud. Puis le déplacement de la distribution. Les paramètres de distribution de chaque élément sont concentrés sur chaque nœud dans un certain format, et le modèle mécanique du système discret est obtenu.
La synthèse modale est la décomposition d'une structure complexe en plusieurs sous-structures plus simples. Sur la base de la compréhension des caractéristiques de vibration de chaque sous-structure, la sous-structure est synthétisée dans une structure générale en fonction des conditions de coordination de l'interface et de la morphologie des vibrations du général La structure est obtenue en utilisant la morphologie des vibrations de chaque sous-structure.
Les deux méthodes sont différentes et liées, et peuvent être utilisées comme référence. La méthode de synthèse modale peut également être efficacement combinée avec la mesure expérimentale pour former une méthode d'analyse théorique et expérimentale pour la vibration des grands systèmes.
Heure du poste: APR-03-2020
