Que é a vibración lineal?

Vibración lineal: a elasticidade dos compoñentes do sistema está suxeita á lei de Hooke, e a forza de amortecemento xerada durante o movemento é proporcional á primeira ecuación da velocidade xeneralizada (derivada do tempo das coordenadas xeneralizadas).

concepto

O sistema lineal adoita ser un modelo abstracto da vibración do sistema real. O sistema de vibración lineal aplica o principio de superposición, é dicir, se a resposta do sistema é y1 baixo a acción da entrada x1 e y2 baixo a acción da entrada x2, entón a resposta do sistema baixo a acción da entrada x1 e x2 é y1+y2.

Sobre a base do principio de superposición, unha entrada arbitraria pódese descompoñer na suma dunha serie de impulsos infinitesimais, e entón pódese obter a resposta total do sistema. A suma dos compoñentes harmónicos dunha excitación periódica pódese expandir nun serie de compoñentes harmónicos por transformada de Fourier, e o efecto de cada compoñente harmónico no sistema pódese investigar por separado. Polo tanto, as características de resposta dos sistemas lineais con parámetros constantes pódense describir mediante resposta ao impulso ou resposta en frecuencia.

A resposta de impulso refírese á resposta do sistema ao impulso unitario, que caracteriza as características de resposta do sistema no dominio do tempo. A resposta en frecuencia refírese á característica de resposta do sistema á entrada harmónica unitaria. Determínase a correspondencia entre ambos. pola transformada de Fourier.

clasificación

A vibración lineal pódese dividir en vibración lineal do sistema dun único grao de liberdade e vibración lineal do sistema de varios graos de liberdade.

(1) A vibración lineal dun sistema dun só grao de liberdade é unha vibración lineal cuxa posición pode determinarse mediante unha coordenada xeneralizada. É a vibración máis sinxela da que se poden derivar moitos conceptos e características básicas de vibración. Inclúe vibración harmónica, vibración libre, vibración de atenuación e vibración forzada.

Vibración harmónica simple: o movemento alternativo dun obxecto nas proximidades da súa posición de equilibrio segundo unha lei sinusoidal baixo a acción dunha forza restauradora proporcional ao seu desprazamento.

Vibración amortiguada: vibración cuxa amplitude está continuamente atenuada pola presenza de rozamento e resistencia dieléctrica ou outro consumo de enerxía.

Vibración forzada: vibración dun sistema baixo excitación constante.

(2) a vibración lineal do sistema de varios graos de liberdade é a vibración do sistema lineal con n≥2 graos de liberdade. Un sistema de n graos de liberdade ten n frecuencias naturais e n modos principais. Calquera configuración de vibración do sistema pódese representar como unha combinación lineal dos modos principais. Polo tanto, o método de superposición do modo principal úsase amplamente na análise de resposta dinámica de sistemas multidof. Deste xeito, a medición e análise das características de vibración naturais do sistema. O sistema convértese nun paso rutinario no deseño dinámico do sistema. As características dinámicas dos sistemas multidof tamén se poden describir mediante características de frecuencia. Dado que hai unha función característica de frecuencia entre cada entrada e saída, constrúese unha matriz de características de frecuencia. é unha relación definida entre a característica de frecuencia e o modo principal. A curva característica de amplitude-frecuencia do sistema multiliberdade é diferente da do sistema de liberdade única.

Vibración lineal dun único sistema de grao de liberdade

Unha vibración lineal na que a posición dun sistema pode determinarse mediante unha coordenada xeneralizada. É a vibración máis sinxela e fundamental da que se poden derivar moitos conceptos e características básicas da vibración. Inclúe a vibración harmónica simple, a vibración amortiguada e a vibración forzada. .

Vibración harmónica

Baixo a acción de restaurar a forza proporcional ao desprazamento, o obxecto fai un vaivén sinusoidal preto da súa posición de equilibrio (FIG. 1).X representa o desprazamento e t representa o tempo. A expresión matemática desta vibración é:

(1)Onde A é o valor máximo do desprazamento x, que se denomina amplitude e representa a intensidade da vibración; Omega n é o incremento do ángulo de amplitude da vibración por segundo, que se denomina frecuencia angular ou frecuencia circular; chámase fase inicial. En termos de f= n/2, o número de oscilacións por segundo chámase frecuencia; a inversa desta, T=1/f, é o tempo que tarda en oscilar un ciclo, e iso chámase o período.A amplitude A, frecuencia f (ou frecuencia angular n), a fase inicial, coñecida como vibración harmónica simple tres elementos.

FIG. 1 curva de vibración harmónica simple

Como se mostra na FIG. 2, un oscilador harmónico simple está formado pola masa concentrada m conectada por un resorte lineal. Cando o desprazamento da vibración se calcula a partir da posición de equilibrio, a ecuación da vibración é:

Onde está a rixidez do resorte.A solución xeral da ecuación anterior é (1).A e pódese determinar pola posición inicial x0 e a velocidade inicial en t=0:

Pero o omega n só está determinado polas características do propio sistema m e k, independentemente das condicións iniciais adicionais, polo que o omega n tamén se coñece como frecuencia natural.

FIG. 2 Sistema de grao único de liberdade

Para un oscilador harmónico simple, a suma da súa enerxía cinética e enerxía potencial é constante, é dicir, a enerxía mecánica total do sistema consérvase.No proceso de vibración, a enerxía cinética e a enerxía potencial transfórmanse constantemente entre si.

A vibración amortiguadora

Unha vibración cuxa amplitude é continuamente atenuada pola fricción e a resistencia dieléctrica ou outro consumo de enerxía. Para as microvibracións, a velocidade xeralmente non é moi grande e a resistencia media é proporcional á velocidade á primeira potencia, que se pode escribir como c é o coeficiente de amortiguamento. Polo tanto, a ecuación de vibración dun grao de liberdade con amortiguamento lineal pódese escribir como:

(2)Onde, m =c/2m chámase parámetro de amortecemento, e. A solución xeral da fórmula (2) pódese escribir:

(3)A relación numérica entre omega n e PI pódese dividir nos seguintes tres casos:

N > (no caso de atenuación pequena) a vibración de atenuación producida por partículas, a ecuación de vibración é:

A súa amplitude diminúe co tempo segundo a lei exponencial mostrada na ecuación, como se mostra na liña de puntos da FIG. 3. En rigor, esta vibración é aperiódica, pero a frecuencia do seu pico pódese definir como:

Chámase taxa de redución de amplitude, onde é o período de vibración. O logaritmo natural da taxa de redución de amplitude chámase taxa de logaritmo menos (amplitude). Obviamente, =, neste caso, é igual a 2/1. Directamente a través do proba experimental delta e, utilizando a fórmula anterior pódese calcular c.

Neste momento, a solución da ecuación (2) pódese escribir:

Xunto coa dirección da velocidade inicial, pódese dividir en tres casos sen vibración, como se mostra na FIG. 4.

N < (no caso de gran amortiguamento), a solución da ecuación (2) móstrase na ecuación (3). Neste punto, o sistema xa non vibra.

Vibración forzada

Vibración dun sistema baixo excitación constante. A análise das vibracións investiga principalmente a resposta do sistema á excitación. A excitación periódica é unha excitación regular típica. Dado que a excitación periódica sempre pode descompoñerse na suma de varias excitacións harmónicas, segundo o principio de superposición, só requírese a resposta do sistema a cada excitación harmónica. Baixo a acción da excitación harmónica, a ecuación diferencial de movemento dun sistema amortecido en grao único de liberdade pódese escribir:

A resposta é a suma de dúas partes. Unha parte é a resposta da vibración amortiguada, que decae rapidamente co tempo. A resposta doutra parte da vibración forzada pódese escribir:

FIG. 3 curva de vibración amortiguada

FIG. 4 curvas de tres condicións iniciais con amortecemento crítico

Escriba o

H /F0= h (), é a relación entre a amplitude de resposta constante e a amplitude de excitación, que caracteriza as características amplitude-frecuencia ou función de ganancia; Bits para a resposta en estado estacionario e o incentivo de fase, caracterización das características de frecuencia de fase. A relación entre eles e a frecuencia de excitación móstrase na FIG. 5 e FIG. 6.

Como se pode ver na curva amplitude-frecuencia (FIG. 5), no caso de amortiguamento pequeno, a curva amplitude-frecuencia ten un único pico. Canto menor é o amortiguamento, máis pronunciado é o pico; a frecuencia correspondente ao pico é chamada frecuencia de resonancia do sistema. No caso de amortiguamento pequeno, a frecuencia de resonancia non é moi diferente da frecuencia natural. Cando a frecuencia de excitación está próxima á frecuencia natural, a amplitude aumenta drasticamente. Este fenómeno chámase resonancia. Na resonancia, a ganancia do sistema é maximizada, é dicir, a vibración forzada é a máis intensa. Polo tanto, en xeral, sempre se esforza por evitar a resonancia, a non ser que algúns instrumentos e equipos utilicen resonancia para conseguir grandes vibración.

FIG. Curva de frecuencia de amplitude 5

Pódese ver a partir da curva de frecuencia de fase (figura 6), independentemente do tamaño da amortiguación, en bits de diferenza de fase cero omega = PI / 2, esta característica pódese usar eficazmente para medir a resonancia.

Ademais da excitación constante, os sistemas ás veces atopan excitación inestable. Pódese dividir aproximadamente en dous tipos: un é o impacto súbito. O segundo é o efecto duradeiro da arbitrariedade. Baixo a excitación inestable, a resposta do sistema tamén é inestable.

Unha poderosa ferramenta para analizar a vibración inestable é o método de resposta ao impulso. Describe as características dinámicas do sistema coa resposta transitoria da entrada de impulso unitario do sistema. O impulso unitario pódese expresar como unha función delta. En enxeñaría, o delta A función defínese a miúdo como:

Onde 0- representa o punto do eixe t que se achega a cero pola esquerda; 0 máis é o punto que vai a 0 dende a dereita.

FIG. Curva de frecuencia de 6 fases

FIG. 7 calquera entrada pode considerarse como a suma dunha serie de elementos impulsivos

O sistema correspóndese coa resposta h(t) xerada polo impulso unitario en t=0, que se denomina función de resposta ao impulso. Asumindo que o sistema está estacionario antes do pulso, h(t)=0 para t<0.Sabendo A función de resposta ao impulso do sistema, podemos atopar a resposta do sistema a calquera entrada x(t). Neste punto, podes pensar en x(t) como a suma dunha serie de elementos de impulso (FIGURA 7) .A resposta do sistema é:

Baseándose no principio de superposición, a resposta total do sistema correspondente a x(t) é:

Esta integral chámase integral de convolución ou integral de superposición.

Vibración lineal dun sistema de varios graos de liberdade

Vibración dun sistema lineal con n≥2 graos de liberdade.

A figura 8 mostra dous subsistemas resonantes sinxelos conectados por un resorte de acoplamento. Como é un sistema de dous graos de liberdade, son necesarias dúas coordenadas independentes para determinar a súa posición. Neste sistema hai dúas frecuencias naturais:

Cada frecuencia corresponde a un modo de vibración.Os osciladores harmónicos realizan oscilacións harmónicas da mesma frecuencia, pasando sincrónicamente pola posición de equilibrio e chegando de forma sincronizada á posición extrema.Na vibración principal correspondente ao omega un, x1 é igual a x2;In a vibración principal correspondente ao omega omega dous, omega omega un. Na vibración principal, a relación de desprazamento de cada masa mantén unha determinada relación e forma un determinado modo, que se denomina modo principal ou modo natural. A ortogonalidade da masa e a rixidez existe entre os modos principais, o que reflicte a independencia de cada vibración. A frecuencia natural e o modo principal representan as características de vibración inherentes ao sistema de varios graos de liberdade.

FIG. Sistema 8 con varios graos de liberdade

Un sistema de n graos de liberdade ten n frecuencias naturais e n modos principais. Calquera configuración de vibración do sistema pode representarse como unha combinación lineal dos modos principais. Polo tanto, o método de superposición do modo principal úsase amplamente na análise de resposta dinámica de múltiples -dof systems.Deste xeito, a medición e análise das características de vibración naturais do sistema convértese nun paso rutinario no deseño dinámico do sistema.

As características dinámicas dos sistemas multidof tamén se poden describir mediante características de frecuencia. Dado que hai unha función característica de frecuencia entre cada entrada e saída, constrúese unha matriz de características de frecuencia. A curva característica amplitude-frecuencia do sistema multiliberdade é diferente. do sistema de liberdade única.

O elastómero vibra

O sistema de varios graos de liberdade anterior é un modelo mecánico aproximado de elastómero. Un elastómero ten un número infinito de graos de liberdade. Hai unha diferenza cuantitativa pero ningunha diferenza esencial entre ambos. Calquera elastómero ten un número infinito de frecuencias naturais e un número infinito de modos correspondentes, e hai ortogonalidade entre os modos de masa e rixidez. Calquera configuración vibratoria do elastómero tamén se pode representar como unha superposición lineal dos modos principais. Polo tanto, para a análise de resposta dinámica do elastómero, o método de superposición do modo principal aínda é aplicable (ver vibración lineal do elastómero).

Tome a vibración dunha corda.Digamos que unha corda delgada de masa m por unidade de lonxitude, longa l, está tensada nos dous extremos, e a tensión é T.Neste momento, a frecuencia natural da corda está determinada polo seguinte ecuación:

F =na/2l (n= 1,2,3...).

Onde é a velocidade de propagación da onda transversal ao longo da dirección da corda. As frecuencias naturais das cordas son múltiplos da frecuencia fundamental por encima de 2 l. Esta multiplicidade enteira leva a unha estrutura harmónica agradable. En xeral, non hai tal relación múltiple enteira entre as frecuencias naturais do elastómero.

Os tres primeiros modos da corda tensada móstranse na FIG. 9. Hai algúns nodos na curva do modo principal.Na vibración principal, os nodos non vibran.FIG. A figura 10 mostra varios modos típicos da placa circular apoiada circunferencialmente con algunhas liñas nodais compostas por círculos e diámetros.

A formulación exacta do problema da vibración do elastómero pódese concluír como o problema do valor límite das ecuacións diferenciais parciais. Non obstante, a solución exacta só se pode atopar nalgúns dos casos máis sinxelos, polo que temos que recorrer á solución aproximada para o elastómero complexo. problema de vibración. A esencia de varias solucións aproximadas é cambiar o infinito ao finito, é dicir, discretizar o sistema de varios graos de liberdade sen extremidades (sistema continuo) nun sistema finito de varios graos de liberdade (sistema discreto). .Hai dous tipos de métodos de discretización moi utilizados na análise de enxeñaría: método de elementos finitos e método de síntese modal.

FIG. 9 modo de corda

FIG. 10 modos de placa circular

O método de elementos finitos é unha estrutura composta que abstrae unha estrutura complexa nun número finito de elementos e conéctaos nun número finito de nodos. Cada unidade é un elastómero; o desprazamento da distribución do elemento exprésase mediante a función de interpolación do desprazamento dos nodos. os parámetros de distribución de cada elemento concéntranse a cada nodo nun determinado formato e obtense o modelo mecánico do sistema discreto.

A síntese modal é a descomposición dunha estrutura complexa en varias subestruturas máis sinxelas. A partir da comprensión das características de vibración de cada subestrutura, a subestrutura sintetízase nunha estrutura xeral segundo as condicións de coordinación da interface e a morfoloxía da vibración xeral. a estrutura obtense utilizando a morfoloxía de vibración de cada subestrutura.

Os dous métodos son diferentes e relacionados, e pódense usar como referencia. O método de síntese modal tamén se pode combinar eficazmente coa medición experimental para formar un método de análise teórico e experimental para a vibración de grandes sistemas.