Que é a vibración lineal?

Vibración lineal: A elasticidade dos compoñentes do sistema está suxeita á lei de Hooke, e a forza de amortecemento xerada durante a moción é proporcional á primeira ecuación da velocidade xeralizada (derivado do tempo das coordenadas xeneralizadas).

concepto

O sistema lineal adoita ser un modelo abstracto da vibración do sistema real. O sistema de vibración lineal aplica o principio de superposición, é dicir, se a resposta do sistema é Y1 baixo a acción de entrada X1 e Y2 baixo a acción de entrada x2, A continuación, a resposta do sistema baixo a acción de entrada X1 e X2 é Y1+Y2.

En base ao principio de superposición, pódese descompoñer unha entrada arbitraria na suma dunha serie de impulsos infinitesimais e, a continuación, pódese obter a resposta total do sistema. A suma dos compoñentes harmónicos dunha excitación periódica pódese ampliar nun Serie de compoñentes harmónicos por Transformación de Fourier, e o efecto de cada compoñente harmónico no sistema pódese investigar por separado. Por iso, as características de resposta dos sistemas lineais con parámetros constantes pódese describir mediante resposta de impulso ou resposta de frecuencia.

A resposta de impulso refírese á resposta do sistema ao impulso da unidade, que caracteriza as características de resposta do sistema no dominio horario. pola transformación de Fourier.

Clasificación

A vibración lineal pódese dividir en vibracións lineal do sistema dun só grao de liberdade e vibración lineal do sistema de varios graos de liberdade.

(1) A vibración lineal dun sistema dun só grao de liberdade é unha vibración lineal cuxa posición pode ser determinada por unha coordenada xeneralizada. Vibración armónica, vibración libre, vibración de atenuación e vibración forzada.

Vibración harmónica sinxela: o movemento recíproco dun obxecto nas proximidades da súa posición de equilibrio segundo unha lei sinusoidal baixo a acción dunha forza de restauración proporcional ao seu desprazamento.

Vibración amortecida: vibración cuxa amplitude está continuamente atenuada pola presenza de fricción e resistencia dieléctrica ou outro consumo de enerxía.

Vibración forzada: vibración dun sistema baixo excitación constante.

(2) A vibración lineal do sistema de varios graos de liberdade é a vibración do sistema lineal con n≥2 graos de liberdade. Un sistema de n graos de liberdade ten n frecuencias naturais e n modos principais. do sistema pódese representar como unha combinación lineal dos modos principais. Por iso, o método de superposición do modo principal é amplamente utilizado na análise de resposta dinámica de sistemas multi-do. xeito, a medición e análise das características de vibración naturais do sistema convértese nun paso rutineiro no deseño dinámico do sistema. As características dinámicas dos sistemas multi-do tamén se poden describir por características de frecuencia. Cada entrada e saída, constrúese unha matriz característica de frecuencia. Hai unha relación definitiva entre a característica de frecuencia e o modo principal. A curva característica de frecuencia de amplitude da O sistema multi-liberdade é diferente do do sistema de un só liberdade.

Vibración lineal dun único grao de sistema de liberdade

Unha vibración lineal na que a posición dun sistema pode ser determinada por unha coordenada xeneralizada. É a vibración máis sinxela e fundamental das que se poden derivar moitos conceptos e características básicas da vibración. .

Vibración armónica

Baixo a acción de restaurar a forza proporcional ao desprazamento, o obxecto recíproca de forma sinusoidal preto da súa posición de equilibrio (Fig. 1) .x representa o desprazamento e T representa o tempo. A expresión matemática desta vibración é:

(1)Onde A é o valor máximo de desprazamento x, que se denomina amplitude, e representa a intensidade da vibración; o omega n é o aumento do ángulo de amplitude da vibración por segundo, que se denomina frecuencia angular ou a frecuencia circular; isto; chámase fase inicial.in termos de f = n/2, o número de oscilacións por segundo chámase frecuencia; o inverso disto, t = 1/f, é o tempo que leva a Oscilan un ciclo, e iso chámase período. Amplitude A, frecuencia f (ou frecuencia angular n), a fase inicial, coñecida como vibración harmónica simple tres elementos.

Fig. 1 simple curva de vibración armónica

Como se mostra na fig. 2, un oscilador harmónico sinxelo está formado pola masa concentrada m conectada por un resorte lineal. Cando o desprazamento de vibracións calcúlase desde a posición de equilibrio, a ecuación de vibración é:

Onde está a rixidez da primavera. A solución xeral á ecuación anterior é (1) .A e pode ser determinada pola posición inicial X0 e a velocidade inicial en t = 0:

Pero o omega n só está determinado polas características do propio sistema m e k, independentemente das condicións iniciais adicionais, polo que o omega n tamén se coñece como frecuencia natural.

Fig. 2 Sistema único de liberdade

Para un simple oscilador armónico, a suma da súa enerxía cinética e a enerxía potencial é constante, é dicir, a enerxía mecánica total do sistema consérvase. No proceso de vibración, a enerxía cinética e a enerxía potencial transfórmanse constantemente entre si.

A vibración de amortecemento

Unha vibración cuxa amplitude está continuamente atenuada pola fricción e a resistencia dieléctrica ou outro consumo de enerxía. Para as micro vibracións, a velocidade normalmente non é moi grande, e a resistencia media é proporcional á velocidade á primeira potencia, que se pode escribir como c is is is O coeficiente de amortecemento. Por iso, a ecuación de vibración dun grao de liberdade con amortecemento lineal pódese escribir como:

(2)Onde, M = C/2M chámase parámetro de amortecemento e pódese escribir a solución xeral da fórmula (2):

(3)A relación numérica entre omega n e pi pódese dividir nos seguintes tres casos:

N> (no caso de pequena amortecemento) partícula producida vibración de atenuación, a ecuación de vibración é:

A súa amplitude diminúe co tempo segundo a lei exponencial mostrada na ecuación, como se mostra na liña de puntos na fig. 3.Pallar, esta vibración é aperiodica, pero a frecuencia do seu pico pódese definir como:

Chámase taxa de redución de amplitude, onde é o período de vibración. O logaritmo natural da taxa de redución de amplitude chámase Logaritmo menos (amplitude). Pódese calcular c.

Neste momento pódese escribir a solución da ecuación (2):

Xunto coa dirección da velocidade inicial, pódese dividir en tres casos de non vibración como se mostra na fig. 4.

N <(no caso de gran amortecemento), a solución á ecuación (2) móstrase na ecuación (3). A este punto, o sistema xa non vibra.

Vibración forzada

Vibración dun sistema baixo excitación constante. A análise de vibracións investiga principalmente a resposta do sistema a excitación. A excitación periódica é unha excitación típica regular. Desde a excitación periódica sempre se pode descompoñer na suma de varias excitación armónica, segundo o principio de superposición, só, só É necesaria a resposta do sistema a cada excitación harmónica. A acción da excitación harmónica, pode ser a ecuación diferencial do movemento dun só grao de liberdade amortecida Escrito:

A resposta é a suma de dúas partes. Unha parte é a resposta de vibracións amortecidas, que decae rapidamente co tempo. A resposta doutra parte da vibración forzada pódese escribir:

Fig. 3 curva de vibración amortecida

Fig. 4 curvas de tres condicións iniciais con amortecemento crítico

Escriba o

H /f0 = h (), é a relación de amplitude de resposta constante á amplitude de excitación, caracterizando as características de frecuencia de amplitude ou a función de ganancia; bits para a resposta do estado constante e o incentivo da fase, a caracterización das características da frecuencia de fase. A relación entre elas e A frecuencia de excitación móstrase na fig. 5 e fig. 6.

Como se pode ver na curva de frecuencia de amplitude (Fig. 5), no caso de pequena amortiguación, a curva de frecuencia de amplitude ten un único pico. chamado frecuencia resonante do sistema. No caso do pequeno amortecemento, a frecuencia de resonancia non é moi diferente da frecuencia natural. Cando a frecuencia de excitación é próxima ao natural Frecuencia, a amplitude aumenta drasticamente. Este fenómeno chámase resonancia. A resonancia, a ganancia do sistema maximízase, é dicir, a vibración forzada é a máis intensa. Por iso, en xeral, sempre se esforzan por evitar a resonancia, a non ser que algúns instrumentos e equipos utilicen resonancia para lograr grandes vibración.

Fig. 5 curva de frecuencia de amplitude

Pódese ver a partir da curva de frecuencia de fase (Figura 6), independentemente do tamaño de amortiguación, en bits de diferenza de fase omega cero = pi / 2, esta característica pode usarse eficazmente para medir a resonancia.

Ademais da excitación constante, os sistemas ás veces atopan unha excitación inestable. Pódese dividir aproximadamente en dous tipos: un é o impacto repentino. O segundo é o efecto duradeiro da arbitrariedade. Segundo a excitación inestable, a resposta do sistema tamén é inestable.

Unha poderosa ferramenta para analizar a vibración inestable é o método de resposta de impulso. a función adoita definirse como:

Onde 0- representa o punto do eixe t que se achega a cero da esquerda; 0 Plus é o punto que vai a 0 desde a dereita.

Fig. 6 curva de frecuencia de fase

Fig. 7 Calquera entrada pode considerarse como a suma dunha serie de elementos de impulso

O sistema corresponde á resposta h (t) xerada polo impulso da unidade en t = 0, que se denomina función de resposta de impulso. Asumindo que o sistema está estacionario antes do pulso, h (t) = 0 para t <0.Knowing A función de resposta de impulso do sistema, podemos atopar a resposta do sistema a calquera entrada x (t). A este punto, podes pensar en x (t) como a suma dunha serie de elementos de impulso (fig. 7). A resposta do sistema é:

Con base no principio de superposición, a resposta total do sistema correspondente a x (t) é:

Esta integral chámase integral de convolución ou integral de superposición.

Vibración lineal dun sistema de varios graos de liberdade

Vibración dun sistema lineal con n≥2 graos de liberdade.

A figura 8 mostra dous subsistemas de resonancia sinxelos conectados por un resorte de acoplamiento. Porque é un sistema de dous graos de liberdade, son necesarias dúas coordenadas independentes para determinar a súa posición. Hai dúas frecuencias naturais neste sistema:

Cada frecuencia corresponde a un modo de vibración. Os osciladores harmónicos realizan oscilacións armónicas da mesma frecuencia, pasando de xeito sincrónico pola posición de equilibrio e acadando sincrónicamente a posición extrema. Na vibración principal correspondente a Omega One, X1 é igual a x2; A principal vibración correspondente a Omega Omega Two, Omega Omega One.No principal vibración, a relación de desprazamento de cada masa mantén unha certa relación e forma un modo determinado, que se chama o modo principal ou o modo natural. A ortogonalidade da masa e da rixidez existe entre os modos principais, que reflicte a independencia de cada vibración. A frecuencia natural e o modo principal representan as características de vibración inherentes do sistema multi-grao da liberdade.

Fig. 8 Sistema con múltiples graos de liberdade

Un sistema de n graos de liberdade ten n frecuencias naturais e n modos principais. Calquera configuración de vibración do sistema pode representar -Dof Systems. Neste xeito, a medición e análise das características de vibración naturais do sistema convértese nun paso rutineiro no deseño dinámico do sistema.

As características dinámicas dos sistemas multi-DOF tamén se poden describir por características de frecuencia. Desde que hai unha función característica de frecuencia entre cada entrada e saída, constrúese unha matriz característica de frecuencia. A curva característica de frecuencia de amplitude do sistema multi-freedom é diferente do sistema de un só liberdade.

O elastómero vibra

O sistema multi -grao de liberdade anteriormente é un modelo mecánico aproximado de elastómero. Un elastómero ten un número infinito de graos de liberdade. Hai unha diferenza cuantitativa pero ningunha diferenza esencial entre os dous. Calquera elastómero ten un número infinito de frecuencias naturais e un número infinito de modos correspondentes e hai ortogonalidade entre os modos de masa e rixidez. Calquera configuración vibracional do elastómero tamén pode ser Representado como unha superposición lineal dos principais modos. Por iso, para a análise de resposta dinámica do elastómero, o método de superposición do modo principal aínda é aplicable (ver vibración lineal do elastómero).

Tome a vibración dunha cadea. Diga que unha fina cadea de masa m por unidade de lonxitude, longa l, está tensada nos dous extremos e a tensión é esta vez, a frecuencia natural da cadea está determinada polo seguinte ecuación:

F = Na/2L (n = 1,2,3 ...).

Onde, é a velocidade de propagación da onda transversal ao longo da dirección da corda. As frecuencias naturais das cadeas son múltiplos da frecuencia fundamental en 2L. Esta multiplicidade enteira leva a unha agradable estrutura harmónica. Tal relación enteira múltiple entre as frecuencias naturais do elastómero.

Os tres primeiros modos da cadea tensada móstranse na fig. 9. Hai algúns nodos na curva do modo principal. Na vibración principal, os nodos non vibran.fig. 10 mostra varios modos típicos da placa circular apoiada circunferencialmente con algunhas liñas nodais compostas por círculos e diámetros.

A formulación exacta do problema de vibración do elastómero pódese concluír como o problema do valor límite das ecuacións diferenciais parciais. Non obstante, a solución exacta só se pode atopar nalgúns dos casos máis sinxelos, polo que temos que recorrer á solución aproximada para o complexo elastómero Problema de vibración. A esencia de diversas solucións aproximadas é cambiar o infinito ao finito, é dicir, discretizar o sistema de liberdade sen extremidades sen extremidades (Sistema continuo) nun sistema finito de varios graos de liberdade (sistema discreto). Hai dous tipos de métodos de discretización moi utilizados na análise de enxeñería: método de elemento finito e método de síntese modal.

Fig. 9 Modo de corda

Fig. 10 Modo de placa circular

O método de elemento finito é unha estrutura composta que abstrae unha estrutura complexa nun número finito de elementos e os conecta a un número finito de nodos. Os parámetros de distribución de cada elemento concéntranse a cada nodo nun determinado formato e obtense o modelo mecánico do sistema discreto.

A síntese modal é a descomposición dunha estrutura complexa en varias subestruturas máis sinxelas. Na base de comprender as características de vibración de cada subestrutura, a subestrutura sintetízase nunha estrutura xeral segundo as condicións de coordinación da interface e a morfoloxía de vibración do xeral A estrutura obtense empregando a morfoloxía de vibración de cada subestrutura.

Os dous métodos son diferentes e relacionados e pódense usar como referencia. O método de síntese modal tamén se pode combinar efectivamente coa medida experimental para formar un método de análise teórico e experimental para a vibración de grandes sistemas.