રેખીય કંપન શું છે?

રેખીય કંપન: સિસ્ટમમાં ઘટકોની સ્થિતિસ્થાપકતા હૂકના કાયદાને આધીન છે, અને ગતિ દરમિયાન ઉત્પન્ન થયેલ ભીનાશ બળ સામાન્યકૃત વેગ (સામાન્યકૃત કોઓર્ડિનેટ્સનો સમય વ્યુત્પન્ન) ના પ્રથમ સમીકરણના પ્રમાણસર છે.

ખ્યાલ

લીનિયર સિસ્ટમ એ સામાન્ય રીતે વાસ્તવિક સિસ્ટમના કંપનનું અમૂર્ત મોડેલ છે. રેખીય કંપન સિસ્ટમ સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંતને લાગુ કરે છે, એટલે કે, જો સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ ઇનપુટ x1 ની ક્રિયા હેઠળ y1 અને ઇનપુટ x2 ની ક્રિયા હેઠળ y2 હોય, તો પછી ઇનપુટ x1 અને x2 ની ક્રિયા હેઠળ સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ y1+y2 છે.

સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંતના આધારે, એક મનસ્વી ઇનપુટને અનંત આવેગની શ્રેણીના સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાય છે, અને પછી સિસ્ટમનો કુલ પ્રતિભાવ મેળવી શકાય છે. સામયિક ઉત્તેજનાના હાર્મોનિક ઘટકોનો સરવાળો વિસ્તરણ કરી શકાય છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા હાર્મોનિક ઘટકોની શ્રેણી, અને સિસ્ટમ પરના દરેક હાર્મોનિક ઘટકની અસરની અલગથી તપાસ કરી શકાય છે. તેથી, સતત પરિમાણો સાથે રેખીય સિસ્ટમોની પ્રતિભાવ લાક્ષણિકતાઓને આવેગ પ્રતિભાવ અથવા આવર્તન પ્રતિભાવ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ એ એકમ ઇમ્પલ્સને સિસ્ટમના પ્રતિભાવનો સંદર્ભ આપે છે, જે સમયના ડોમેનમાં સિસ્ટમની પ્રતિભાવ લાક્ષણિકતાઓને દર્શાવે છે. ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ એકમ હાર્મોનિક ઇનપુટને સિસ્ટમની પ્રતિભાવ લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. બંને વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર નક્કી થાય છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા.

વર્ગીકરણ

લીનિયર વાઇબ્રેશનને સિંગલ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમના રેખીય કંપન અને મલ્ટિ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમના રેખીય કંપનમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

(1) સિંગલ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનું રેખીય કંપન એ એક રેખીય કંપન છે જેની સ્થિતિ સામાન્ય સંકલન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. તે સૌથી સરળ કંપન છે જેમાંથી સ્પંદનની ઘણી મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને લાક્ષણિકતાઓ મેળવી શકાય છે. તેમાં સરળ સમાવેશ થાય છે. હાર્મોનિક વાઇબ્રેશન, ફ્રી વાઇબ્રેશન, એટેન્યુએશન વાઇબ્રેશન અને ફોર્સ્ડ વાઇબ્રેશન.

સરળ હાર્મોનિક સ્પંદન: તેના વિસ્થાપનના પ્રમાણસર પુનઃસ્થાપિત બળની ક્રિયા હેઠળ સાઇનસૉઇડલ કાયદા અનુસાર તેની સંતુલન સ્થિતિની નજીકમાં ઑબ્જેક્ટની પરસ્પર ગતિ.

ભીના સ્પંદન: કંપન કે જેનું કંપનવિસ્તાર ઘર્ષણ અને ડાઇલેક્ટ્રિક પ્રતિકાર અથવા અન્ય ઊર્જા વપરાશની હાજરી દ્વારા સતત ક્ષીણ થાય છે.

ફરજિયાત કંપન: સતત ઉત્તેજના હેઠળ સિસ્ટમનું કંપન.

(2) મલ્ટિ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનું રેખીય કંપન એ n≥2 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે રેખીય સિસ્ટમનું સ્પંદન છે. સ્વતંત્રતાની n ડિગ્રીની સિસ્ટમમાં n કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ અને n મુખ્ય મોડ્સ છે. કોઈપણ કંપન ગોઠવણી સિસ્ટમના મુખ્ય મોડ્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, મલ્ટિ-ડોફ સિસ્ટમ્સના ગતિશીલ પ્રતિભાવ વિશ્લેષણમાં મુખ્ય મોડ સુપરપોઝિશન પદ્ધતિનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ રીતે, કુદરતી કંપન લાક્ષણિકતાઓનું માપન અને વિશ્લેષણ સિસ્ટમની ગતિશીલ રચનામાં સિસ્ટમ એક નિયમિત પગલું બની જાય છે. મલ્ટિ-ડોફ સિસ્ટમ્સની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓને આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા પણ વર્ણવી શકાય છે. દરેક ઇનપુટ અને આઉટપુટ વચ્ચે આવર્તન લાક્ષણિકતા કાર્ય હોવાથી, એક આવર્તન લાક્ષણિકતા મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે છે. આવર્તન લાક્ષણિકતા અને મુખ્ય સ્થિતિ વચ્ચેનો ચોક્કસ સંબંધ છે. બહુ-સ્વતંત્રતા પ્રણાલીનો કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિક વળાંક સિંગલ-ફ્રીડમ સિસ્ટમ કરતા અલગ છે.

સ્વતંત્રતા પ્રણાલીની એક ડિગ્રીનું રેખીય કંપન

એક રેખીય સ્પંદન જેમાં સિસ્ટમની સ્થિતિ સામાન્ય સંકલન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. તે સૌથી સરળ અને સૌથી મૂળભૂત કંપન છે જેમાંથી સ્પંદનની ઘણી મૂળભૂત વિભાવનાઓ અને લાક્ષણિકતાઓ મેળવી શકાય છે. તેમાં સરળ હાર્મોનિક સ્પંદન, ભીના સ્પંદન અને ફરજિયાત કંપનનો સમાવેશ થાય છે. .

હાર્મોનિક સ્પંદન

વિસ્થાપનના પ્રમાણસર બળને પુનઃસ્થાપિત કરવાની ક્રિયા હેઠળ, પદાર્થ તેની સંતુલન સ્થિતિ (FIG. 1) ની નજીક સિનુસોઇડલ રીતે વળતર આપે છે. X વિસ્થાપનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને t સમયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ કંપનની ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ છે:

(1)જ્યાં A એ વિસ્થાપન x નું મહત્તમ મૂલ્ય છે, જેને કંપનવિસ્તાર કહેવામાં આવે છે, અને સ્પંદનની તીવ્રતા રજૂ કરે છે; ઓમેગા n એ પ્રતિ સેકન્ડ સ્પંદનનો કંપનવિસ્તાર કોણ વધારો છે, જેને કોણીય આવર્તન અથવા પરિપત્ર આવર્તન કહેવામાં આવે છે; આ તેને પ્રારંભિક તબક્કો કહેવામાં આવે છે. f= n/2 ની દ્રષ્ટિએ, પ્રતિ સેકન્ડના ઓસિલેશનની સંખ્યાને આવર્તન કહેવામાં આવે છે; આનો વ્યસ્ત, T=1/f, તે એક ચક્રને ઓસીલેટ કરવામાં જે સમય લે છે તે છે, અને તેને કહેવામાં આવે છે સમયગાળો. કંપનવિસ્તાર A, આવર્તન f (અથવા કોણીય આવર્તન n), પ્રારંભિક તબક્કો, જે સરળ હાર્મોનિક સ્પંદન ત્રણ તત્વો તરીકે ઓળખાય છે.

અંજીર. 1 સરળ હાર્મોનિક વાઇબ્રેશન વળાંક

FIG માં બતાવ્યા પ્રમાણે. 2, એક સરળ હાર્મોનિક ઓસિલેટર એક રેખીય સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા કેન્દ્રિત સમૂહ m દ્વારા રચાય છે. જ્યારે સ્પંદન વિસ્થાપનની સંતુલન સ્થિતિ પરથી ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે કંપન સમીકરણ છે:

સ્પ્રિંગની જડતા ક્યાં છે. ઉપરોક્ત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (1).A છે અને પ્રારંભિક સ્થિતિ x0 અને t=0 પર પ્રારંભિક વેગ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે:

પરંતુ ઓમેગા n એ માત્ર m અને k સિસ્ટમની વિશેષતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે વધારાની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે, તેથી ઓમેગા n ને કુદરતી આવર્તન તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

અંજીર. સ્વતંત્રતા પ્રણાલીની 2 સિંગલ ડિગ્રી

સાદા હાર્મોનિક ઓસિલેટર માટે, તેની ગતિ ઊર્જા અને સંભવિત ઊર્જાનો સરવાળો સ્થિર છે, એટલે કે, સિસ્ટમની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત છે. કંપનની પ્રક્રિયામાં, ગતિ ઊર્જા અને સંભવિત ઊર્જા સતત એકબીજામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

ભીનાશ કંપન

એક કંપન જેનું કંપનવિસ્તાર ઘર્ષણ અને ડાઇલેક્ટ્રિક પ્રતિકાર અથવા અન્ય ઊર્જા વપરાશ દ્વારા સતત ઘટતું રહે છે. સૂક્ષ્મ કંપન માટે, વેગ સામાન્ય રીતે બહુ મોટો હોતો નથી, અને મધ્યમ પ્રતિકાર પ્રથમ શક્તિના વેગના પ્રમાણસર હોય છે, જેને c તરીકે લખી શકાય છે. ભીનાશ ગુણાંક. તેથી, રેખીય ભીનાશ સાથે સ્વતંત્રતાના એક ડિગ્રીના કંપન સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય છે:

(2)જ્યાં, m =c/2m ને ડેમ્પિંગ પેરામીટર કહેવામાં આવે છે, અને. ફોર્મ્યુલા (2) નો સામાન્ય ઉકેલ લખી શકાય છે:

(3)ઓમેગા એન અને પીઆઈ વચ્ચેના આંકડાકીય સંબંધને નીચેના ત્રણ કેસોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

N > (નાના ભીના થવાના કિસ્સામાં) કણ એટેન્યુએશન વાઇબ્રેશન ઉત્પન્ન કરે છે, કંપન સમીકરણ છે:

તેનું કંપનવિસ્તાર સમીકરણમાં દર્શાવેલ ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર સમય સાથે ઘટે છે, જેમ કે FIG માં ડોટેડ લાઇનમાં બતાવેલ છે. 3.સખત રીતે કહીએ તો, આ કંપન એપિરિયોડિક છે, પરંતુ તેની ટોચની આવર્તન આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

કંપનવિસ્તાર ઘટાડો દર કહેવાય છે, કંપનનો સમયગાળો ક્યાં છે. કંપનવિસ્તાર ઘટાડાના દરના કુદરતી લઘુગણકને લઘુગણક ઓછા (કંપનવિસ્તાર) દર કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, =, આ કિસ્સામાં, 2/1 બરાબર છે. સીધા પ્રાયોગિક ટેસ્ટ ડેલ્ટા અને, ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે c.

આ સમયે, સમીકરણ (2) નો ઉકેલ લખી શકાય છે:

પ્રારંભિક વેગની દિશા સાથે, તેને FIG માં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ બિન-સ્પંદન કેસોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. 4.

N < (મોટા ભીનાશના કિસ્સામાં), સમીકરણ (2) નો ઉકેલ સમીકરણ (3) માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ બિંદુએ, સિસ્ટમ હવે વાઇબ્રેટ થતી નથી.

દબાણયુક્ત કંપન

સતત ઉત્તેજના હેઠળ સિસ્ટમનું કંપન. કંપન વિશ્લેષણ મુખ્યત્વે ઉત્તેજના માટે સિસ્ટમના પ્રતિભાવની તપાસ કરે છે. સામયિક ઉત્તેજના એ એક લાક્ષણિક નિયમિત ઉત્તેજના છે. કારણ કે સામયિક ઉત્તેજના હંમેશા અનેક હાર્મોનિક ઉત્તેજનાના સરવાળામાં વિઘટિત થઈ શકે છે, સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત અનુસાર, માત્ર દરેક હાર્મોનિક ઉત્તેજના માટે સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ જરૂરી છે. હાર્મોનિક ઉત્તેજનાની ક્રિયા હેઠળ, સ્વતંત્રતા ભીના સિસ્ટમની એક ડિગ્રીની ગતિના વિભેદક સમીકરણને લખી શકાય છે:

પ્રતિભાવ એ બે ભાગોનો સરવાળો છે. એક ભાગ ભીના કંપનનો પ્રતિભાવ છે, જે સમયની સાથે ઝડપથી ક્ષીણ થાય છે. દબાણયુક્ત કંપનના બીજા ભાગનો પ્રતિભાવ લખી શકાય છે:

અંજીર. 3 ભીના વાઇબ્રેશન વળાંક

અંજીર. જટિલ ભીનાશ સાથે ત્રણ પ્રારંભિક સ્થિતિઓના 4 વળાંક

માં લખો

H /F0= h (), એ ઉત્તેજના કંપનવિસ્તાર માટે સ્થિર પ્રતિભાવ કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર છે, કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતાઓને પાત્ર બનાવે છે, અથવા કાર્ય પ્રાપ્ત કરે છે; સ્થિર સ્થિતિ પ્રતિભાવ અને તબક્કાના પ્રોત્સાહન માટેના બિટ્સ, તબક્કાની આવર્તન લાક્ષણિકતાઓનું લક્ષણ. તેમની વચ્ચેનો સંબંધ અને ઉત્તેજના આવર્તન FIG માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. 5 અને અંજીર. 6.

કંપનવિસ્તાર-આવર્તન વળાંક (FIG. 5) પરથી જોઈ શકાય છે, નાના ભીનાશના કિસ્સામાં, કંપનવિસ્તાર-આવર્તન વળાંકમાં એક જ શિખર હોય છે. ભીનાશ જેટલી નાની હોય છે, શિખર વધારે હોય છે; શિખરને અનુરૂપ આવર્તન હોય છે. સિસ્ટમની રેઝોનન્ટ આવર્તન કહેવાય છે. નાના ભીનાશના કિસ્સામાં, રેઝોનન્સ આવર્તન કુદરતી આવર્તનથી ઘણી અલગ નથી. જ્યારે ઉત્તેજના આવર્તન કુદરતી આવર્તનની નજીક હોય છે, ત્યારે કંપનવિસ્તાર તીવ્રપણે વધે છે. આ ઘટનાને રેઝોનન્સ કહેવામાં આવે છે. રેઝોનન્સ વખતે, સિસ્ટમનો ફાયદો મહત્તમ થાય છે, એટલે કે, ફરજિયાત કંપન સૌથી વધુ તીવ્ર હોય છે. તેથી, સામાન્ય રીતે, હંમેશા પ્રતિધ્વનિ ટાળવા માટે પ્રયત્નશીલ રહે છે, સિવાય કે કેટલાક સાધનો અને સાધનો મોટા પ્રમાણમાં પ્રાપ્ત કરવા માટે રેઝોનન્સનો ઉપયોગ કરે છે. કંપન

અંજીર. 5 કંપનવિસ્તાર આવર્તન વળાંક

ફેઝ ફ્રીક્વન્સી કર્વ (આકૃતિ 6) પરથી જોઈ શકાય છે, ભીનાશના કદને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ઓમેગા શૂન્ય તબક્કાના તફાવત બિટ્સ = PI/2 માં, આ લાક્ષણિકતા રેઝોનન્સને માપવામાં અસરકારક રીતે ઉપયોગમાં લઈ શકાય છે.

સ્થિર ઉત્તેજના ઉપરાંત, સિસ્ટમો ક્યારેક અસ્થિર ઉત્તેજનાનો સામનો કરે છે. તેને લગભગ બે પ્રકારમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક અચાનક અસર. બીજી મનસ્વીતાની કાયમી અસર છે. અસ્થિર ઉત્તેજના હેઠળ, સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ પણ અસ્થિર હોય છે.

અસ્થિર કંપનનું વિશ્લેષણ કરવા માટેનું એક શક્તિશાળી સાધન એ આવેગ પ્રતિભાવ પદ્ધતિ છે. તે સિસ્ટમના એકમ આવેગ ઇનપુટના ક્ષણિક પ્રતિભાવ સાથે સિસ્ટમની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન કરે છે. એકમ આવેગને ડેલ્ટા કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. એન્જિનિયરિંગમાં, ડેલ્ટા કાર્યને ઘણીવાર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

જ્યાં 0- ટી-અક્ષ પરના બિંદુને રજૂ કરે છે જે ડાબેથી શૂન્યની નજીક આવે છે; 0 વત્તા એ બિંદુ છે જે જમણી બાજુથી 0 પર જાય છે.

અંજીર. 6 તબક્કાની આવર્તન વળાંક

અંજીર. 7 કોઈપણ ઇનપુટને આવેગ તત્વોની શ્રેણીના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય

સિસ્ટમ t=0 પર એકમ આવેગ દ્વારા પેદા થતા પ્રતિભાવ h(t) ને અનુરૂપ છે, જેને આવેગ પ્રતિભાવ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. એમ ધારી રહ્યા છીએ કે સિસ્ટમ પલ્સ પહેલાં સ્થિર છે, h(t)=0 માટે t<0. જાણવું સિસ્ટમના આવેગ પ્રતિભાવ કાર્ય, અમે કોઈપણ ઇનપુટ x(t) માટે સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ શોધી શકીએ છીએ. આ સમયે, તમે x(t) ને આવેગ તત્વોની શ્રેણીના સરવાળા તરીકે વિચારી શકો છો (FIG. 7) .સિસ્ટમનો જવાબ છે:

સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંતના આધારે, x(t) ને અનુરૂપ સિસ્ટમનો કુલ પ્રતિભાવ છે:

આ ઇન્ટિગ્રલને કન્વોલ્યુશન ઇન્ટિગ્રલ અથવા સુપરપોઝિશન ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે.

મલ્ટિ-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમનું રેખીય કંપન

સ્વતંત્રતાના n≥2 ડિગ્રી સાથે રેખીય સિસ્ટમનું કંપન.

આકૃતિ 8 કપ્લીંગ સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલ બે સરળ રેઝોનન્ટ સબસિસ્ટમ દર્શાવે છે. કારણ કે તે બે-ડિગ્રી-ઓફ-ફ્રીડમ સિસ્ટમ છે, તેની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે બે સ્વતંત્ર કોઓર્ડિનેટ્સ જરૂરી છે. આ સિસ્ટમમાં બે કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ છે:

દરેક આવર્તન કંપનના મોડને અનુરૂપ છે. હાર્મોનિક ઓસિલેટર સમાન આવર્તનના હાર્મોનિક ઓસિલેશન કરે છે, સમકાલીન રીતે સંતુલન સ્થિતિમાંથી પસાર થાય છે અને સિંક્રનસ રીતે આત્યંતિક સ્થિતિ સુધી પહોંચે છે. ઓમેગા વનને અનુરૂપ મુખ્ય સ્પંદનમાં, x1 બરાબર x2 છે; ઓમેગા ઓમેગા ટુ, ઓમેગા ઓમેગા વનને અનુરૂપ મુખ્ય સ્પંદન. મુખ્ય સ્પંદનમાં, દરેક સમૂહનું વિસ્થાપન ગુણોત્તર ચોક્કસ સંબંધ રાખે છે અને ચોક્કસ મોડ બનાવે છે, જેને મુખ્ય મોડ અથવા કુદરતી મોડ કહેવામાં આવે છે. દળની ઓર્થોગોનાલિટી અને મુખ્ય સ્થિતિઓમાં જડતા અસ્તિત્વમાં છે, જે દરેક કંપનની સ્વતંત્રતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. કુદરતી આવર્તન અને મુખ્ય સ્થિતિ સ્વતંત્રતા પ્રણાલીની બહુ-ડિગ્રીની અંતર્ગત કંપન લાક્ષણિકતાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

અંજીર. સ્વતંત્રતાના બહુવિધ ડિગ્રી સાથે 8 સિસ્ટમ

સ્વતંત્રતાની n ડિગ્રીની સિસ્ટમમાં n કુદરતી ફ્રીક્વન્સીઝ અને n મુખ્ય મોડ્સ હોય છે. સિસ્ટમના કોઈપણ સ્પંદન રૂપરેખાંકનને મુખ્ય મોડ્સના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, મુખ્ય મોડ સુપરપોઝિશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ બહુવિધના ગતિશીલ પ્રતિભાવ વિશ્લેષણમાં વ્યાપકપણે થાય છે. -dof સિસ્ટમો. આ રીતે, સિસ્ટમની કુદરતી કંપન લાક્ષણિકતાઓનું માપન અને વિશ્લેષણ એ સિસ્ટમની ગતિશીલ ડિઝાઇનમાં એક નિયમિત પગલું બની જાય છે.

મલ્ટિ-ડોફ સિસ્ટમ્સની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓને આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા પણ વર્ણવી શકાય છે. દરેક ઇનપુટ અને આઉટપુટ વચ્ચે આવર્તન લાક્ષણિકતા કાર્ય હોવાથી, એક આવર્તન લાક્ષણિકતા મેટ્રિક્સ બનાવવામાં આવે છે. મલ્ટિ-ફ્રીડમ સિસ્ટમની કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતા વળાંક અલગ છે. સિંગલ-ફ્રીડમ સિસ્ટમમાંથી.

ઇલાસ્ટોમર વાઇબ્રેટ કરે છે

ઉપરોક્ત મલ્ટિ-ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સિસ્ટમ એ ઇલાસ્ટોમરનું અંદાજિત યાંત્રિક મોડલ છે. એક ઇલાસ્ટોમરમાં સ્વતંત્રતાની અનંત સંખ્યાની ડિગ્રી હોય છે. ત્યાં એક માત્રાત્મક તફાવત છે પરંતુ બંને વચ્ચે કોઈ આવશ્યક તફાવત નથી. કોઈપણ ઇલાસ્ટોમરમાં અનંત સંખ્યામાં કુદરતી ફ્રીક્વન્સી હોય છે અને અનુરૂપ સ્થિતિઓની અનંત સંખ્યા, અને દળ અને જડતાની સ્થિતિઓ વચ્ચે ઓર્થોગોનાલિટી છે. ઇલાસ્ટોમરના કોઈપણ કંપનશીલ રૂપરેખાંકનને મુખ્ય સ્થિતિઓના રેખીય સુપરપોઝિશન તરીકે પણ રજૂ કરી શકાય છે. તેથી, ઇલાસ્ટોમરના ગતિશીલ પ્રતિભાવ વિશ્લેષણ માટે, સુપરપોઝિશન પદ્ધતિ મુખ્ય મોડ હજુ પણ લાગુ છે (ઇલાસ્ટોમરનું રેખીય કંપન જુઓ).

શબ્દમાળાનું સ્પંદન લો. ચાલો કહીએ કે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ m ની પાતળી તાર, લાંબી l, બંને છેડે તણાવયુક્ત છે, અને તણાવ T છે. આ સમયે, તારની કુદરતી આવર્તન નીચેના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સમીકરણ

F =na/2l (n= 1,2,3…).

જ્યાં, શબ્દમાળાની દિશા સાથે ટ્રાંસવર્સ વેવનો પ્રચાર વેગ છે. સ્ટ્રિંગની કુદરતી આવર્તન 2l કરતાં વધુ મૂળભૂત આવર્તનના ગુણાંકમાં હોય છે. આ પૂર્ણાંક ગુણાકાર સુખદ હાર્મોનિક માળખું તરફ દોરી જાય છે. સામાન્ય રીતે, ત્યાં કોઈ નથી. ઇલાસ્ટોમરની કુદરતી ફ્રીક્વન્સી વચ્ચે આવા પૂર્ણાંક બહુવિધ સંબંધ.

તણાવયુક્ત શબ્દમાળાના પ્રથમ ત્રણ મોડ FIG માં બતાવવામાં આવ્યા છે. 9. મુખ્ય મોડ વળાંક પર કેટલાક ગાંઠો છે. મુખ્ય કંપનમાં, ગાંઠો વાઇબ્રેટ થતા નથી. FIG. 10 વર્તુળો અને વ્યાસની બનેલી કેટલીક નોડલ રેખાઓ સાથે પરિઘ આધારીત ગોળ પ્લેટના કેટલાક લાક્ષણિક મોડ્સ દર્શાવે છે.

ઇલાસ્ટોમર સ્પંદન સમસ્યાની ચોક્કસ રચના આંશિક વિભેદક સમીકરણોની સીમા મૂલ્યની સમસ્યા તરીકે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે. જો કે, ચોક્કસ ઉકેલ ફક્ત કેટલાક સરળ કિસ્સાઓમાં જ શોધી શકાય છે, તેથી આપણે જટિલ ઇલાસ્ટોમર માટે અંદાજિત ઉકેલનો આશરો લેવો પડશે. કંપન સમસ્યા.વિવિધ અંદાજિત ઉકેલોનો સાર એ છે કે અનંતને મર્યાદિતમાં બદલવું, એટલે કે સ્વતંત્રતા પ્રણાલી (સતત સિસ્ટમ) ના અંગ-લેસ મલ્ટી-ડિગ્રીને સ્વતંત્રતા પ્રણાલીની મર્યાદિત મલ્ટિ-ડિગ્રી (સ્વતંત્ર સિસ્ટમ) માં અલગ કરવું. .એન્જિનિયરિંગ પૃથ્થકરણમાં બે પ્રકારની વિવેકીકરણ પદ્ધતિઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે: મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ અને મોડલ સંશ્લેષણ પદ્ધતિ.

અંજીર. શબ્દમાળાનો 9 મોડ

અંજીર. ગોળ પ્લેટનો 10 મોડ

મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિ એ એક સંયુક્ત માળખું છે જે એક જટિલ માળખાને ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યામાં અમૂર્ત કરે છે અને તેમને મર્યાદિત સંખ્યામાં ગાંઠો સાથે જોડે છે. દરેક એકમ એક ઇલાસ્ટોમર છે; તત્વનું વિતરણ વિસ્થાપન નોડ ડિસ્પ્લેસમેન્ટના પ્રક્ષેપ કાર્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. પછી દરેક તત્વના વિતરણ પરિમાણો ચોક્કસ ફોર્મેટમાં દરેક નોડ પર કેન્દ્રિત હોય છે, અને સ્વતંત્ર સિસ્ટમનું યાંત્રિક મોડેલ પ્રાપ્ત થાય છે.

મોડલ સિન્થેસિસ એ જટિલ માળખાનું અનેક સરળ સબસ્ટ્રક્ચરમાં વિઘટન છે. દરેક સબસ્ટ્રક્ચરની સ્પંદન લાક્ષણિકતાઓને સમજવાના આધારે, ઇન્ટરફેસ પરની સંકલન સ્થિતિઓ અનુસાર સબસ્ટ્રક્ચરને સામાન્ય માળખામાં સંશ્લેષણ કરવામાં આવે છે, અને સામાન્ય સ્પંદન મોર્ફોલોજી. દરેક સબસ્ટ્રક્ચરના વાઇબ્રેશન મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કરીને માળખું મેળવવામાં આવે છે.

બે પદ્ધતિઓ અલગ-અલગ અને સંબંધિત છે, અને તેનો સંદર્ભ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે. મોડલ સિન્થેસિસ પદ્ધતિને પણ અસરકારક રીતે પ્રાયોગિક માપ સાથે જોડી શકાય છે જેથી મોટી સિસ્ટમના કંપન માટે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક વિશ્લેષણ પદ્ધતિ બનાવવામાં આવે.