रैखिक कंपन क्या है?

रैखिक कंपन: सिस्टम में घटकों की लोच हुक के नियम के अधीन है, और गति के दौरान उत्पन्न भिगोना बल सामान्यीकृत वेग के पहले समीकरण (सामान्यीकृत निर्देशांक का समय व्युत्पन्न) के पहले समीकरण के लिए आनुपातिक है।

अवधारणा

रैखिक प्रणाली आमतौर पर वास्तविक प्रणाली के कंपन का एक अमूर्त मॉडल है। रैखिक कंपन प्रणाली सुपरपोजिशन सिद्धांत को लागू करती है, अर्थात, यदि सिस्टम की प्रतिक्रिया इनपुट X1 की कार्रवाई के तहत Y1 है, और Y2 इनपुट x2 की कार्रवाई के तहत, फिर इनपुट X1 और X2 की कार्रवाई के तहत सिस्टम की प्रतिक्रिया Y1+Y2 है।

सुपरपोज़िशन सिद्धांत के आधार पर, एक मनमाना इनपुट को अनंत आवेगों की एक श्रृंखला के योग में विघटित किया जा सकता है, और फिर सिस्टम की कुल प्रतिक्रिया प्राप्त की जा सकती है। एक आवधिक उत्तेजना के हार्मोनिक घटकों का योग एक में विस्तारित किया जा सकता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा हार्मोनिक घटकों की श्रृंखला, और सिस्टम पर प्रत्येक हार्मोनिक घटक के प्रभाव की अलग -अलग जांच की जा सकती है। इसके अलावा, निरंतर मापदंडों के साथ रैखिक प्रणालियों की प्रतिक्रिया विशेषताओं की प्रतिक्रिया विशेषताओं हो सकती है आवेग प्रतिक्रिया या आवृत्ति प्रतिक्रिया द्वारा वर्णित।

आवेग प्रतिक्रिया इकाई आवेग के लिए सिस्टम की प्रतिक्रिया को संदर्भित करती है, जो समय डोमेन में सिस्टम की प्रतिक्रिया विशेषताओं की विशेषता है। फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा।

वर्गीकरण

रैखिक कंपन को एकल-डिग्री-ऑफ-फ्रीडम सिस्टम के रैखिक कंपन और मल्टी-डिग्री-ऑफ-फ़्रीडम सिस्टम के रैखिक कंपन में विभाजित किया जा सकता है।

(1) एक एकल-डिग्री-ऑफ-फ्रीडम सिस्टम का रैखिक कंपन एक रैखिक कंपन है जिसकी स्थिति एक सामान्यीकृत समन्वय द्वारा निर्धारित की जा सकती है। यह सबसे सरल कंपन है जिसमें से कई बुनियादी अवधारणाएं और कंपन की विशेषताएं प्राप्त की जा सकती हैं। हार्मोनिक कंपन, मुक्त कंपन, क्षीणन कंपन और मजबूर कंपन।

सरल हार्मोनिक कंपन: अपने विस्थापन के लिए आनुपातिक बल को पुनर्स्थापना बल की कार्रवाई के तहत एक साइनसोइडल कानून के अनुसार इसके संतुलन की स्थिति के आसपास के क्षेत्र में किसी वस्तु की पारस्परिक गति।

नम कंपन: कंपन जिसका आयाम लगातार घर्षण और ढांकता हुआ प्रतिरोध या अन्य ऊर्जा की खपत की उपस्थिति से देखा जाता है।

मजबूर कंपन: निरंतर उत्तेजना के तहत एक प्रणाली का कंपन।

(२) मल्टी-डिग्री-ऑफ-फ़्रीडोम सिस्टम का रैखिक कंपन स्वतंत्रता के n g2 डिग्री के साथ रैखिक प्रणाली का कंपन है। स्वतंत्रता की n डिग्री की प्रणाली में n प्राकृतिक आवृत्तियों और n मुख्य मोड हैं। वाइब्रेशन कॉन्फ़िगरेशन सिस्टम को प्रमुख मोड के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, मुख्य मोड सुपरपोज़िशन विधि का व्यापक रूप से मल्टी-डीओएफ सिस्टम के गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषण में उपयोग किया जाता है। इस तरह से, इस तरह से, सिस्टम की प्राकृतिक कंपन विशेषताओं का माप और विश्लेषण सिस्टम के गतिशील डिजाइन में एक नियमित कदम बन जाता है। मल्टी-डीओएफ सिस्टम की गतिशील विशेषताओं को आवृत्ति विशेषताओं द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। और आउटपुट, एक आवृत्ति विशेषता मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है। यह आवृत्ति विशेषता और मुख्य मोड के बीच एक निश्चित संबंध है। मल्टी-फ्रीडम सिस्टम सिंगल-फ्रीडम सिस्टम से अलग है।

स्वतंत्रता प्रणाली की एक ही डिग्री का रैखिक कंपन

एक रैखिक कंपन जिसमें एक प्रणाली की स्थिति को एक सामान्यीकृत समन्वय द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यह सबसे सरल और सबसे मौलिक कंपन है जिसमें से कई बुनियादी अवधारणाएं और कंपन की विशेषताओं को प्राप्त किया जा सकता है ।

हार्मोनिक कंपन

विस्थापन के लिए आनुपातिक बल को बहाल करने की कार्रवाई के तहत, ऑब्जेक्ट अपनी संतुलन स्थिति (छवि 1) के पास एक साइनसोइडल तरीके से पारस्परिक रूप से प्राप्त करता है। एक्स विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है और टी समय का प्रतिनिधित्व करता है। इस कंपन की गणितीय अभिव्यक्ति है:

(१)जहां विस्थापन X का अधिकतम मूल्य है, जिसे आयाम कहा जाता है, और कंपन की तीव्रता का प्रतिनिधित्व करता है; ओमेगा n प्रति सेकंड कंपन का आयाम कोण वृद्धि है, जिसे कोणीय आवृत्ति, या परिपत्र आवृत्ति कहा जाता है; प्रारंभिक चरण कहा जाता है। f = n/2 की शर्तों में, प्रति सेकंड दोलनों की संख्या को आवृत्ति कहा जाता है; इसका व्युत्क्रम, t = 1/f, वह समय है जो इसे लेता है एक चक्र को दोलन करें, और इसे अवधि कहा जाता है। Amplitude A, फ़्रीक्वेंसी F (या कोणीय आवृत्ति N), प्रारंभिक चरण, जिसे सरल हार्मोनिक कंपन तीन तत्वों के रूप में जाना जाता है।

अंजीर। 1 सरल हार्मोनिक कंपन वक्र

जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 2, एक साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर एक रैखिक वसंत द्वारा जुड़े केंद्रित द्रव्यमान एम द्वारा बनता है। जब कंपन विस्थापन की गणना संतुलन की स्थिति से की जाती है, तो कंपन समीकरण है:

वसंत की कठोरता कहाँ है। उपरोक्त समीकरण का सामान्य समाधान (1) है।

लेकिन ओमेगा एन केवल सिस्टम की विशेषताओं से निर्धारित होता है, जो कि अतिरिक्त प्रारंभिक स्थितियों से स्वतंत्र है, इसलिए ओमेगा एन को प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में भी जाना जाता है।

अंजीर। स्वतंत्र स्वतंत्रता प्रणाली की 2 एकल डिग्री

एक साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए, इसकी गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा का योग स्थिर है, अर्थात, सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण किया जाता है। कंपन की प्रक्रिया, गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा लगातार एक दूसरे में बदल जाती है।

भिगोना कंपन

एक कंपन जिसका आयाम लगातार घर्षण और ढांकता हुआ प्रतिरोध या अन्य ऊर्जा की खपत द्वारा देखा जाता है। सूक्ष्म कंपन के लिए, वेग आम तौर पर बहुत बड़ा नहीं होता है, और मध्यम प्रतिरोध पहली शक्ति के वेग के लिए आनुपातिक है, जिसे सी के रूप में लिखा जा सकता है भिगोना गुणांक। इसके अलावा, रैखिक भिगोना के साथ स्वतंत्रता की एक डिग्री का कंपन समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

(२)जहां, M = C/2M को डंपिंग पैरामीटर कहा जाता है, और फॉर्मूला का सामान्य समाधान (2) लिखा जा सकता है:

(३)ओमेगा एन और पीआई के बीच संख्यात्मक संबंध को निम्नलिखित तीन मामलों में विभाजित किया जा सकता है:

N> (छोटे भिगोना के मामले में) कण ने क्षीणन कंपन का उत्पादन किया, कंपन समीकरण है:

समीकरण में दिखाए गए घातीय कानून के अनुसार समय के साथ इसका आयाम कम हो जाता है, जैसा कि अंजीर में बिंदीदार रेखा में दिखाया गया है। 3. स्पष्ट रूप से, यह कंपन aperiodic है, लेकिन इसके शिखर की आवृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है:

आयाम में कमी दर कहा जाता है, जहां कंपन की अवधि है। आयाम में कमी दर के प्राकृतिक लघुगणक को लॉगरिदम माइनस (आयाम) दर कहा जाता है। इस मामले में, =, इस मामले में, 2/1. के बराबर है। प्रायोगिक परीक्षण डेल्टा और, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

इस समय, समीकरण (2) का समाधान लिखा जा सकता है:

प्रारंभिक वेग की दिशा के साथ, इसे अंजीर में दिखाए गए अनुसार तीन गैर-वाइब्रेशन मामलों में विभाजित किया जा सकता है। 4।

N <(बड़े भिगोना के मामले में), समीकरण (2) का समाधान समीकरण (3) में दिखाया गया है। इस बिंदु पर, सिस्टम अब कंपन नहीं है।

मजबूर कंपन

निरंतर उत्तेजना के तहत एक प्रणाली का कंपन ।Vibration विश्लेषण मुख्य रूप से उत्तेजना के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया की जांच करता है। व्यापक उत्तेजना एक विशिष्ट नियमित उत्तेजना है। आवधिक उत्तेजना को हमेशा कई हार्मोनिक उत्तेजना के योग में विघटित किया जा सकता है, केवल सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुसार, केवल। प्रत्येक हार्मोनिक उत्तेजना के लिए सिस्टम की प्रतिक्रिया की आवश्यकता होती है। हार्मोनिक उत्तेजना की कार्रवाई, स्वतंत्रता की एक ही डिग्री की गति के विभेदक समीकरण को लिखा जा सकता है:

प्रतिक्रिया दो भागों का योग है। एक हिस्सा नम कंपन की प्रतिक्रिया है, जो समय के साथ तेजी से घटता है। जबरन कंपन के दूसरे भाग की प्रतिक्रिया लिखी जा सकती है:

अंजीर। 3 नम कंपन वक्र

अंजीर। महत्वपूर्ण भिगोना के साथ तीन प्रारंभिक स्थितियों के 4 घटता

टाइप करें

H /f0 = h (), उत्तेजना आयाम के लिए स्थिर प्रतिक्रिया आयाम का अनुपात है, आयाम-आवृत्ति विशेषताओं, या लाभ समारोह की विशेषता है; स्थिर राज्य प्रतिक्रिया और चरण के प्रोत्साहन के लिए बिट्स, चरण आवृत्ति विशेषताओं का लक्षण। उत्तेजना आवृत्ति अंजीर में दिखाया गया है। 5 और अंजीर। 6।

जैसा कि आयाम-आवृत्ति वक्र (छवि 5) से देखा जा सकता है, छोटे भिगोना के मामले में, आयाम-आवृत्ति वक्र में एक एकल शिखर होता है। कम डंपिंग, स्टेटर द पीक; आवृत्ति शिखर के अनुरूप होती है। सिस्टम की गुंजयमान आवृत्ति कहा जाता है। छोटे भिगोना के मामले में, अनुनाद आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से बहुत अलग नहीं है। जब उत्तेजना आवृत्ति करीब होती है प्राकृतिक आवृत्ति, आयाम तेजी से बढ़ता है। इस घटना को अनुनाद कहा जाता है। अनुनाद, प्रणाली का लाभ अधिकतम किया जाता है, अर्थात, जबरन कंपन सबसे तीव्र है। सामान्य रूप से, हमेशा अनुनाद से बचने का प्रयास करते हैं, जब तक कि कुछ उपकरणों और उपकरणों को बड़े पैमाने पर प्राप्त करने के लिए अनुनाद का उपयोग करने के लिए उपकरण कंपन।

अंजीर। 5 आयाम आवृत्ति वक्र

चरण आवृत्ति वक्र (चित्रा 6) से देखा जा सकता है, भले ही डंपिंग के आकार की परवाह किए बिना, ओमेगा शून्य चरण अंतर बिट्स = पी / 2 में, इस विशेषता का उपयोग प्रभावी रूप से अनुनाद को मापने में किया जा सकता है।

स्थिर उत्तेजना के अलावा, सिस्टम कभी -कभी अस्थिर उत्तेजना का सामना करते हैं। इसे मोटे तौर पर दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: एक अचानक प्रभाव है। दूसरा मनमानी का स्थायी प्रभाव है। अस्थिर उत्तेजना के साथ, सिस्टम की प्रतिक्रिया भी अस्थिर है।

अस्थिर कंपन का विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण आवेग प्रतिक्रिया विधि है। यह सिस्टम की यूनिट आवेग इनपुट की क्षणिक प्रतिक्रिया के साथ सिस्टम की गतिशील विशेषताओं का वर्णन करता है। यूनिट आवेग को डेल्टा फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फ़ंक्शन को अक्सर परिभाषित किया जाता है:

जहां 0- टी-अक्ष पर बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जो बाईं ओर से शून्य पर पहुंचता है; 0 प्लस वह बिंदु है जो दाईं ओर से 0 तक जाता है।

अंजीर। 6 चरण आवृत्ति वक्र

अंजीर। 7 किसी भी इनपुट को आवेग तत्वों की एक श्रृंखला के योग के रूप में माना जा सकता है

सिस्टम टी = 0 पर यूनिट आवेग द्वारा उत्पन्न प्रतिक्रिया एच (टी) से मेल खाती है, जिसे आवेग प्रतिक्रिया फ़ंक्शन कहा जाता है। यह कहते हुए सिस्टम के आवेग प्रतिक्रिया फ़ंक्शन, हम किसी भी इनपुट x (t) के लिए सिस्टम की प्रतिक्रिया पा सकते हैं। इस बिंदु पर, आप X (t) के बारे में सोच सकते हैं (t) आवेग तत्वों की एक श्रृंखला के योग (चित्र 7) । प्रतिक्रिया सिस्टम का है:

सुपरपोज़िशन सिद्धांत के आधार पर, एक्स (टी) के अनुरूप प्रणाली की कुल प्रतिक्रिया है:

इस अभिन्न को एक कन्वेशन इंटीग्रल या एक सुपरपोजिशन इंटीग्रल कहा जाता है।

एक मल्टी-डिग्री-ऑफ-फ्रीडम सिस्टम का रैखिक कंपन

स्वतंत्रता के N−2 डिग्री के साथ एक रैखिक प्रणाली का कंपन।

चित्रा 8 एक युग्मन वसंत से जुड़े दो सरल गुंजयमान उप-प्रणालियों को दर्शाता है।

प्रत्येक आवृत्ति कंपन के एक मोड से मेल खाती है। हार्मोनिक ऑसिलेटर एक ही आवृत्ति के हार्मोनिक दोलनों को बाहर ले जाते हैं, समकालिक रूप से संतुलन की स्थिति से गुजरते हैं और सिंक्रोनस रूप से चरम स्थिति तक पहुंचते हैं। ओमेगा वन के अनुरूप मुख्य कंपन, एक्स 1 x2 के बराबर है; ओमेगा ओमेगा दो, ओमेगा ओमेगा एक के अनुरूप मुख्य कंपन। मुख्य कंपन, विस्थापन अनुपात प्रत्येक द्रव्यमान एक निश्चित संबंध रखता है और एक निश्चित मोड बनाता है, जिसे मुख्य मोड या प्राकृतिक मोड कहा जाता है। मुख्य मोड के बीच द्रव्यमान और कठोरता की ऑर्थोगोनलिटी मौजूद है, जो प्रत्येक कंपन की स्वतंत्रता को दर्शाता है। प्राकृतिक आवृत्ति और मुख्य मोड प्रतिनिधित्व करता है स्वतंत्रता प्रणाली के बहु-डिग्री की अंतर्निहित कंपन विशेषताएं।

अंजीर। स्वतंत्रता के कई डिग्री के साथ 8 प्रणाली

स्वतंत्रता की n डिग्री की एक प्रणाली में n प्राकृतिक आवृत्तियों और n मुख्य मोड हैं। सिस्टम के कंपन कॉन्फ़िगरेशन को प्रमुख मोड के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, मुख्य मोड सुपरपोज़िशन विधि का व्यापक रूप से बहु के गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषण में उपयोग किया जाता है। -DOF Systems.in इस तरह से, सिस्टम की प्राकृतिक कंपन विशेषताओं का माप और विश्लेषण सिस्टम के गतिशील डिजाइन में एक नियमित कदम बन जाता है।

मल्टी-डीओएफ सिस्टम की गतिशील विशेषताओं को आवृत्ति विशेषताओं द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। जब प्रत्येक इनपुट और आउटपुट के बीच एक आवृत्ति विशेषता कार्य है, एक आवृत्ति विशेषता मैट्रिक्स का निर्माण किया जाता है। मल्टी-फ्रीडम सिस्टम के आयाम-आवृत्ति विशेषता वक्र अलग है एकल-फ्रीडम सिस्टम से।

इलास्टोमर कंपन करता है

स्वतंत्रता प्रणाली की उपरोक्त बहु -डिग्री इलास्टोमर का एक अनुमानित यांत्रिक मॉडल है। इलास्टोमर में स्वतंत्रता की डिग्री की एक अनंत संख्या है। यह एक मात्रात्मक अंतर है, लेकिन दोनों के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है। इसी मोड की एक अनंत संख्या, और द्रव्यमान और कठोरता के मोड के बीच ऑर्थोगोनलिटी है। प्रमुख मोड के एक रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में। इलास्टोमर के गतिशील प्रतिक्रिया विश्लेषण के लिए, मुख्य मोड की सुपरपोज़िशन विधि अभी भी लागू है (इलास्टोमर का रैखिक कंपन देखें)।

एक स्ट्रिंग का कंपन लें। यह कहें कि प्रति यूनिट लंबाई में द्रव्यमान एम की एक पतली स्ट्रिंग, लंबी एल, दोनों छोरों पर तनावपूर्ण है, और तनाव इस बार t.at है, स्ट्रिंग की प्राकृतिक आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा निर्धारित की जाती है। समीकरण:

F = na/2l (n = 1,2,3…)।

जहां, स्ट्रिंग की दिशा के साथ अनुप्रस्थ तरंग का प्रसार वेग है। स्ट्रिंग्स की प्राकृतिक आवृत्तियों 2L से अधिक मौलिक आवृत्ति के गुणकों के रूप में होती है। यह पूर्णांक गुणक एक सुखद हार्मोनिक संरचना की ओर जाता है। इलास्टोमर की प्राकृतिक आवृत्तियों के बीच इस तरह के पूर्णांक कई संबंध।

तनावपूर्ण स्ट्रिंग के पहले तीन मोड अंजीर में दिखाए गए हैं। 9। मुख्य मोड वक्र पर कुछ नोड्स हैं। मुख्य कंपन में, नोड्स कंपन नहीं करते हैं। 10 सर्कल और व्यास से बनी कुछ नोडल लाइनों के साथ परिधि समर्थित परिपत्र प्लेट के कई विशिष्ट मोड दिखाता है।

इलास्टोमर कंपन समस्या का सटीक सूत्रीकरण आंशिक अंतर समीकरणों की सीमा मूल्य समस्या के रूप में समाप्त किया जा सकता है। हालांकि, सटीक समाधान केवल कुछ सरल मामलों में पाया जा सकता है, इसलिए हमें जटिल इलास्टोमर के लिए अनुमानित समाधान का सहारा लेना होगा कंपन समस्या। विभिन्न अनुमानित समाधानों का सार अनंत को परिमित में बदलना है, अर्थात्, स्वतंत्रता प्रणाली के अंग-कम बहु-डिग्री को विवेकाधीन करना (निरंतर प्रणाली) स्वतंत्रता प्रणाली (असतत प्रणाली) के एक परिमित बहु-डिग्री में। इंजीनियरिंग विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले दो प्रकार के विवेकाधीन विधियां हैं: परिमित तत्व विधि और मोडल संश्लेषण विधि।

अंजीर। स्ट्रिंग का 9 मोड

अंजीर। 10 परिपत्र प्लेट का मोड

परिमित तत्व विधि एक समग्र संरचना है जो एक जटिल संरचना को तत्वों की एक परिमित संख्या में अमूर्त करती है और उन्हें नोड्स की एक परिमित संख्या में जोड़ती है ।ech इकाई एक इलास्टोमर है; तत्व का वितरण विस्थापन नोड विस्थापन के प्रक्षेप कार्य द्वारा व्यक्त किया जाता है। प्रत्येक तत्व के वितरण पैरामीटर एक निश्चित प्रारूप में प्रत्येक नोड पर केंद्रित होते हैं, और असतत प्रणाली का यांत्रिक मॉडल प्राप्त होता है।

मोडल संश्लेषण कई सरल सबस्ट्रक्चर में एक जटिल संरचना का अपघटन है। संरचना प्रत्येक सबस्ट्रक्चर के कंपन आकृति विज्ञान का उपयोग करके प्राप्त की जाती है।

दो तरीके अलग -अलग और संबंधित हैं, और इसे संदर्भ के रूप में उपयोग किया जा सकता है। मोडल सिंथेसिस विधि को भी प्रभावी रूप से बड़े सिस्टम के कंपन के लिए एक सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक विश्लेषण विधि बनाने के लिए प्रयोगात्मक माप के साथ जोड़ा जा सकता है।