Mi az a lineáris rezgés?

Lineáris rezgés: A rendszerben az alkatrészek rugalmasságát Hooke törvénye alá tartozik, és a mozgás során generált csillapító erő arányos az általános sebesség első egyenletével (az általános koordináták idő -származéka).

koncepció

A lineáris rendszer általában a valós rendszer rezgésének absztrakt modellje. A lineáris rezgési rendszer a szuperpozíció elvet alkalmazza, vagyis ha a rendszer válasza Y1 az X1 bemenet és Y2 működése alatt, az X2 bemenet hatása alatt, Ezután a rendszer válasza az X1 és X2 bemenet hatására Y1+Y2.

A szuperpozíció alapelve alapján egy önkényes bemenet bontható be a végtelen impulzusok sorozatának összegébe, majd a rendszer teljes válaszát el lehet kapni. A harmonikus komponensek sorozata Fourier -transzformációval, és az egyes harmonikus komponensek hatása a rendszerre külön -külön megvizsgálható. Ezért az állandó paraméterekkel rendelkező lineáris rendszerek válaszjellemzői leírható impulzusválasz vagy frekvenciaválasz segítségével.

Az impulzusválasz arra utal, hogy a rendszer az egység impulzusára reagál, amely jellemzi a rendszer válasz jellemzőit az időtartományban. A reakció válasz a rendszer válaszarányára utal az egység harmonikus bemenetére. a Fourier -transzformáció által.

osztályozás

A lineáris rezgést fel lehet osztani a szabadságfokozatú rendszer lineáris rezgéseire és a többfokú szabadságú rendszer lineáris rezgésére.

(1) A szabadságfokozatú rendszer lineáris rezgése egy lineáris rezgés, amelynek helyzetét egy általános koordinátával lehet meghatározni. Harmonikus rezgés, szabad rezgés, csillapítási rezgés és kényszerített rezgés.

Egyszerű harmonikus rezgés: Egy objektum viszonzó mozgása az egyensúlyi helyzetének közelében egy szinuszos törvény szerint, az elmozdulással arányos helyreállítási erő hatására.

Csillapított rezgés: A rezgés, amelynek amplitúdóját folyamatosan enyhíti a súrlódás és a dielektromos ellenállás vagy más energiafogyasztás jelenléte.

Kényszerített rezgés: A rendszer rezgése állandó gerjesztés alatt.

(2) A többfokú szabadságrendszer lineáris rezgése a lineáris rendszer rezgése n ≥2 szabadságfokú. Az N szabadságrendszeri rendszernek n természetes frekvenciája és n fő módja van. Bármelyik rezgéskonfiguráció a rendszert a fő módok lineáris kombinációjaként lehet ábrázolni. Ezért a fő mód szuperpozíciós módszerét széles körben használják a többdoff-rendszerek dinamikus válasz elemzésében. Ilyen módon a mérés és a mérés és A rendszer természetes rezgési jellemzőinek elemzése a rendszer dinamikus kialakításának rutin lépésévé válik. A frekvenciajellemző mátrix felépül. egyfaragó rendszer.

Egyetlen fokú szabadságrendszer lineáris rezgése

Egy lineáris rezgés, amelyben a rendszer helyzetét egy általános koordinátával lehet meghatározni. -

Harmonikus rezgés

Az elmozdulással arányos erő helyreállítása mellett az objektum szinuszos módon viszonozódik az egyensúlyi helyzet közelében (1. ábra) .x képviseli az elmozdulást, és t az időt képviseli. Ennek a rezgésnek a matematikai kifejezése:

(1)Ahol A az X elmozdulás maximális értéke, amelyet amplitúdónak neveznek, és a rezgés intenzitását képviseli; az omega n a rezgés amplitúdó -szögének növekedése másodpercenként, amelyet szögfrekvenciának vagy körkörös frekvenciának nevezünk; ez; a kezdeti fázisnak nevezzük. F = n/2 kifejezésekben a másodpercenkénti rezgések számát frekvenciának nevezzük; ennek inverzje, t = 1/f, az az idő, hogy egy ciklus oszcillálásához szükséges, és Ezt nevezzük az AMPLITE. AMPLICOLE, F frekvencia (vagy az N szögfrekvencia), a kezdeti fázis, az úgynevezett egyszerű harmonikus rezgés három elem.

FÜGE. 1 egyszerű harmonikus rezgési görbe

Amint az ábrán látható. A 2. ábrán egy egyszerű harmonikus oszcillátor képződik a lineáris rugóval összekötött koncentrált m tömeg. Ha a rezgés elmozdulását az egyensúlyi helyzetből számolják, a rezgési egyenlet:

Hol van a rugó merevsége. A fenti egyenlet általános megoldása (1) .A, és az X0 kezdeti pozícióval és a kezdeti sebességgel határozható meg t = 0 -nál:

Az Omega n -t azonban csak az M és K rendszer jellemzői határozzák meg, függetlenül a kiegészítő kezdeti feltételektől, tehát az omega n -t természetes frekvenciának is nevezik.

FÜGE. 2 egyetlen fokú szabadságrendszer

Egy egyszerű harmonikus oszcillátor esetében a kinetikus energia és a potenciális energia összege állandó, azaz a rendszer teljes mechanikai energiája megőrzi. A rezgés folyamatában a kinetikus energia és a potenciális energia folyamatosan átalakul egymáshoz.

A csillapító rezgés

Egy olyan rezgés, amelynek amplitúdóját folyamatosan enyhíti a súrlódás és dielektromos ellenállás vagy más energiafogyasztás. A mikro rezgés esetén a sebesség általában nem túl nagy, és a közepes ellenállás arányos az első teljesítmény sebességével, amelyet C -ként lehet megírni. A csillapítási együttható. Ezért az egyik szabadság rezgési egyenlete lineáris csillapítással írható:

(2)Ahol m = c/2m -et csillapítási paraméternek nevezzük, és a (2) képlet általános megoldása megírható:

(3)Az omega n és a pi közötti numerikus kapcsolat felosztható a következő három esetre:

N> (kis csillapítás esetén) részecskékkel előállított csillapítási rezgés, a rezgési egyenlet:

Amplitúdója az idővel az egyenletben bemutatott exponenciális törvény szerint csökken, amint azt a szaggatott vonal mutatja a 2. ábrán. 3.Asztrikus véve, ez a rezgés aperiodikus, de csúcsának frekvenciája meghatározható:

Az amplitúdócsökkentési sebességnek nevezzük, ahol a rezgés periódusa. Az amplitúdócsökkentési sebesség természetes logaritmust a logaritmusnak (amplitúdójú) aránynak nevezzük. Kísérleti teszt delta és a fenti képlet felhasználásával kiszámítható c.

Ebben az időben a (2) egyenlet megoldása megírható:

A kezdeti sebesség irányával együtt három nem rozmulációs esetre osztható, amint az az ábrán látható. 4.

N <(nagy csillapítás esetén) a (2) egyenlet megoldását a (3) egyenlet mutatja. Ebben a pontban a rendszer már nem rezeg.

Kényszerített rezgés

A rendszer rezgése állandó gerjesztés alatt. Vibrációs elemzés elsősorban a rendszer gerjesztésre adott válaszát vizsgálja. A periodikus gerjesztés egy tipikus rendszeres gerjesztés. A periódusos gerjesztés mindig a harmonikus gerjesztés összegébe bontható, a szuperpozíció elve szerint, csak Szükség van a rendszer reakciójára az egyes harmonikus gerjesztésre.

A válasz két rész összege. Az egyik rész a csillapított rezgés reakciója, amely az idő múlásával gyorsan csökken. A kényszerített rezgés egy másik részének válaszát meg lehet írni:

FÜGE. 3 csillapított rezgési görbe

FÜGE. 4 Kritikus csillapítással három kezdeti körülmény görbéje

Írja be a

H /F0 = H (), a folyamatos válasz amplitúdójának és a gerjesztési amplitúdónak a aránya, az amplitúdó-frekvencia jellemzői vagy a nyereségfüggvény; A gerjesztési gyakoriságot az ábra mutatja. 5. ábra 6.

Amint az amplitúdó-frekvenciájú görbéből látható (5. ábra), kis csillapítás esetén az amplitúdó-frekvencia görbe egyetlen csúcsa van. Minél kisebb a csillapítás, minél meredekebb a csúcsnak; a rendszer rezonáns frekvenciájának nevezik. A kis csillapítás esetén a rezonancia frekvencia nem különbözik a természetes frekvenciától. Ha a gerjesztési frekvencia a természetes frekvenciához közel van, az amplitúdó hirtelen növekszik. Ezt a jelenséget rezonanciának hívják. A rezonancia, a rendszer nyeresége maximalizálódik, azaz a kényszerített rezgés a legintenzívebb. Ezért általában mindig arra törekszenek, hogy elkerüljék a rezonanciát, kivéve, ha egyes eszközök és felszerelések rezonanciát használnak a nagy nagy eléréséhez. rezgés.

FÜGE. 5 amplitúdófrekvencia -görbe

Látható a fázisfrekvencia -görbén (6. ábra), függetlenül a csillapítás méretétől, az Omega nulla fáziskülönbség bitjeiben = pi / 2, ez a tulajdonság hatékonyan használható a rezonancia mérésére.

A folyamatos gerjesztés mellett a rendszerek néha bizonytalan gerjesztéssel találkoznak. Ez durván két típusra osztható: az egyik a hirtelen ütés. A második az önkényesség tartós hatása.

A nem stabil rezgés elemzésének hatékony eszköze az impulzusválasz módszer. A funkciót gyakran a következőként definiálják:

Ahol 0- jelöli a t-tengely pontját, amely balról nullát közelíti meg; 0 plusz az a pont, amely jobbról 0-ra megy.

FÜGE. 6 fázisfrekvencia -görbe

FÜGE. 7 Bármely bemenet az impulzus elemek sorozatának összegének tekinthető

A rendszer megfelel a H (t) válasznak, amelyet az egység impulzus t = 0 -nál generál, amelyet impulzusválasz funkciónak hívnak. A rendszer impulzusválaszfüggvénye, a rendszer válaszát bármilyen X (t) bemenetre találhatjuk. Ebben a pontban az X (T) -re gondolhatunk, mint egy impulzus elemek összegét (7. ábra) . A rendszer:

A szuperpozíció alapelve alapján az x (t) -nek megfelelő rendszer teljes válasza:

Ezt az integrált konvolúciós integrálnak vagy szuperpozíciós integrálnak nevezzük.

Több fokú szabadságrendszer lineáris rezgése

Egy n≥2 szabadságú lineáris rendszer rezgése.

A 8. ábra két egyszerű rezonáns alrendszert mutat be, amelyet egy tengelykapcsoló-rugó csatlakoztat. Mivel ez egy kétfokú szabadságrendszer, két független koordinátára van szükség annak helyzetének meghatározásához. Ebben a rendszerben két természetes frekvenciája van:

Minden frekvencia megfelel a rezgés módjának. A fő rezgés, amely megfelel az Omega Omega kettőnek, az Omega Omega -nak. A fő rezgés esetén az egyes tömegek elmozdulási aránya Bizonyos kapcsolatot tart fenn, és egy bizonyos módot alkot, amelyet fő módnak vagy természetes módnak hívnak. A szabadság több fokozatának rezgési jellemzői.

FÜGE. 8 rendszer többféle szabadságú

Az N szabadságrendszeri rendszernek n természetes frekvenciája és n fő módja van. A rendszer bármely rezgési konfigurációját a fő módok lineáris kombinációjaként lehet ábrázolni. Ezért a fő mód szuperpozíciós módszerét széles körben alkalmazzák a multi -multi -válasz elemzésében. -Dof rendszer. Ilyen módon a rendszer természetes rezgési jellemzőinek mérése és elemzése rutin lépés a rendszer dinamikus kialakításában.

A multi-DOF rendszerek dinamikus tulajdonságai a frekvenciajellemzők szerint is leírhatók. Ha az egyes bemenetek és a kimenetek között van egy frekvenciajellemző funkció, egy frekvenciajellemző mátrix épül. az egyfajta rendszeréből.

Az elasztomer rezeg

A fenti multi -fokú szabadságrendszer az elasztomer hozzávetőleges mechanikai modellje. Az Elastomer végtelen számú szabadságfokú. Végtelen számú megfelelő üzemmód, és a tömeg és a merevség módjai között ortogonalitás van. Az elasztomer minden rezgési konfigurációja is ábrázolható A fő módok lineáris szuperpozíciójaként. Ezért az elasztomer dinamikus válasz elemzéséhez a fő mód szuperpozíciós módszere továbbra is alkalmazható (lásd az elasztomer lineáris rezgését).

Vegye figyelembe a húr rezgését. Mondjuk, hogy az egység hosszúságánkénti m tömegű, hosszú L, mindkét végén feszültség van, és a feszültség T. Ezúttal a húr természetes frekvenciáját a következők határozzák meg egyenlet:

F = na/2L (n = 1,2,3…).

Hol van, a keresztirányú hullám terjedési sebessége a húr irányában. A húrok természetes frekvenciái az alapvető frekvencia többszöröse a 2L -nél. Ilyen egész számú többszörös kapcsolat az elasztomer természetes frekvenciái között.

A feszített karakterlánc első három módját az ábra mutatja. 9. Vannak néhány csomópont a fő mód görbéjén. A fő rezgésnél a csomópontok nem rezegnek.fig. A 10. helyen a kerületen tartott kör alakú lemez számos tipikus módját mutatja be, néhány csomópontos vonallal, körökből és átmérőből.

Az elasztomer rezgésprobléma pontos megfogalmazása a részleges differenciálegyenletek határérték -problémájaként fejezhető be. Mindazonáltal a pontos megoldás csak a legegyszerűbb esetekben található, tehát a komplex elasztomer hozzávetőleges megoldásához kell fordulnunk. Rezgésprobléma. A különféle hozzávetőleges megoldások lényege, hogy a végtelen végét, vagyis a végtag nélküli többszörös fokú szabadságrendszert diszkretizálják (folyamatos rendszer) a szabadságrendszer véges többfokozatává (diszkrét rendszer). Kétféle diszkretizációs módszer létezik, amelyeket széles körben használnak a mérnöki elemzésben: véges elem módszer és modális szintézis módszer.

FÜGE. 9 karakterlánc módja

FÜGE. 10 kör alakú lemez

A véges elem módszer egy összetett szerkezet, amely egy komplex szerkezetet véges számú elembe vonul be, és véges számú csomóponttal összeköti őket. Az egyes elemek eloszlási paramétereit az egyes csomópontokra egy bizonyos formátumban koncentráljuk, és a diszkrét rendszer mechanikai modelljét kapjuk.

A modális szintézis egy komplex szerkezet bontása több egyszerűbb alszerkezetre. A szerkezetet az egyes alszerkezetek rezgési morfológiájának felhasználásával kapjuk meg.

A két módszer eltérő és kapcsolódik, és referenciaként használható. A modális szintézis módszer hatékonyan kombinálható a kísérleti méréssel, hogy elméleti és kísérleti elemzési módszert képezzen a nagy rendszerek rezgéseire.