Ի՞նչ է գծային թրթռումը:

Գծային թրթռումՀամակարգի բաղադրիչների առաձգականությունը ենթարկվում է Հուկի օրենքին, իսկ շարժման ընթացքում առաջացող ամորտիզացիոն ուժը համաչափ է ընդհանրացված արագության առաջին հավասարմանը (ընդհանրացված կոորդինատների ժամանակի ածանցյալ):

հայեցակարգ

Գծային համակարգը սովորաբար իրական համակարգի թրթռումների վերացական մոդելն է: Գծային թրթռման համակարգը կիրառում է սուպերպոզիցիայի սկզբունքը, այսինքն, եթե համակարգի պատասխանը y1 է x1 մուտքի ազդեցության տակ, իսկ y2 մուտքի x2 գործողության ներքո, ապա համակարգի պատասխանը x1 և x2 մուտքագրման ազդեցության տակ y1+y2 է:

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հիման վրա կամայական մուտքը կարող է տարրալուծվել մի շարք անվերջ փոքր իմպուլսների գումարի մեջ, այնուհետև կարելի է ստանալ համակարգի ընդհանուր պատասխանը: Պարբերական գրգռման ներդաշնակ բաղադրիչների գումարը կարող է ընդլայնվել. Ֆուրիեի փոխակերպմամբ ներդաշնակ բաղադրիչների շարքը և յուրաքանչյուր ներդաշնակ բաղադրիչի ազդեցությունը համակարգի վրա կարելի է առանձին ուսումնասիրել: Հետևաբար, հաստատուն պարամետրերով գծային համակարգերի արձագանքման բնութագրերը կարելի է նկարագրել իմպուլսային արձագանքով կամ հաճախականության արձագանքով։

Իմպուլսային արձագանքը վերաբերում է համակարգի արձագանքին միավորի իմպուլսին, որը բնութագրում է համակարգի արձագանքման բնութագրերը ժամանակի տիրույթում: Հաճախականության արձագանքը վերաբերում է համակարգի արձագանքման բնութագրին միավորի ներդաշնակ մուտքին: Որոշվում է երկուսի միջև համապատասխանությունը: Ֆուրիեի փոխակերպմամբ։

դասակարգում

Գծային թրթռումը կարելի է բաժանել ազատության մեկ աստիճանի համակարգի գծային թրթռումների և ազատության բազմաստիճան համակարգի գծային թրթռումների:

(1) Ազատության մեկ աստիճանի համակարգի գծային թրթռումը գծային թրթռում է, որի դիրքը կարող է որոշվել ընդհանրացված կոորդինատով: Դա ամենապարզ թրթռումն է, որից կարելի է բխել թրթռման շատ հիմնական հասկացություններ և բնութագրեր: Այն ներառում է պարզ ներդաշնակ թրթռում, ազատ թրթռում, թուլացման թրթռում և հարկադիր թրթռում:

Պարզ ներդաշնակ թրթռում. առարկայի փոխադարձ շարժումն իր հավասարակշռության դիրքի մոտակայքում՝ սինուսոիդային օրենքի համաձայն՝ նրա տեղաշարժին համաչափ վերականգնող ուժի ազդեցության տակ։

Խոնավ թրթռում. թրթռում, որի ամպլիտուդը շարունակաբար թուլանում է շփման և դիէլեկտրական դիմադրության կամ էներգիայի այլ սպառման առկայության պատճառով:

Հարկադիր թրթռում. համակարգի թրթռում մշտական ​​գրգռման տակ:

(2) Ազատության բազմաստիճան համակարգի գծային թրթռումը n≥2 աստիճանի ազատության գծային համակարգի թրթռումն է։ Համակարգը կարող է ներկայացվել որպես հիմնական ռեժիմների գծային համակցություն: Հետևաբար, հիմնական ռեժիմի սուպերպոզիցիայի մեթոդը լայնորեն օգտագործվում է դինամիկ արձագանքման վերլուծության մեջ: բազմաֆունկցիոնալ համակարգեր: Այսպիսով, համակարգի բնական թրթռման բնութագրերի չափումն ու վերլուծությունը դառնում է սովորական քայլ համակարգի դինամիկ նախագծման մեջ: Մուլտի-դոֆ համակարգերի դինամիկ բնութագրերը կարող են նկարագրվել նաև հաճախականության բնութագրերով: Քանի որ Յուրաքանչյուր մուտքի և ելքի միջև կա հաճախականության բնութագրիչ ֆունկցիա, կառուցվում է հաճախականության բնութագրիչի մատրիցա: Հաճախականության բնութագրիչի և հիմնական ռեժիմի միջև կա որոշակի կապ: Ամպլիտուդ-հաճախականության բնութագիրը Բազմազատության համակարգի կորը տարբերվում է միազատության համակարգի կորից:

Ազատության մեկ աստիճանի համակարգի գծային թրթռում

Գծային թրթռում, որի դեպքում համակարգի դիրքը կարող է որոշվել ընդհանրացված կոորդինատով: Սա ամենապարզ և հիմնարար թրթռումն է, որից կարելի է բխել թրթռման շատ հիմնական հասկացություններ և բնութագրեր: Այն ներառում է պարզ ներդաշնակ թրթռում, խամրված թրթռում և հարկադիր թրթռում: .

Հարմոնիկ թրթռում

Տեղաշարժին համաչափ վերականգնող ուժի գործողության ներքո առարկան իր հավասարակշռության դիրքի մոտ սինուսոիդ ձևով փոխադարձ է կատարում (Նկար 1): X-ը ներկայացնում է տեղաշարժը, իսկ t-ը ներկայացնում է ժամանակը: Այս թրթիռի մաթեմատիկական արտահայտությունը հետևյալն է.

(1)Որտեղ A-ն x-ի տեղաշարժի առավելագույն արժեքն է, որը կոչվում է ամպլիտուդ և ներկայացնում է թրթռման ինտենսիվությունը; Օմեգա n-ն ամպլիտուդիա է թրթռման անկյան աճը վայրկյանում, որը կոչվում է անկյունային հաճախականություն կամ շրջանաձև հաճախականություն. կոչվում է սկզբնական փուլ: f= n/2-ի դեպքում տատանումների թիվը վայրկյանում կոչվում է հաճախականություն; Սրա հակադարձ, T=1/f, այն ժամանակն է, որն անհրաժեշտ է մեկ ցիկլը տատանելու համար, և դա կոչվում է ժամանակաշրջան: A ամպլիտուդ, հաճախականություն f (կամ անկյունային հաճախականություն n), սկզբնական փուլ, որը հայտնի է որպես պարզ ներդաշնակ թրթռում երեք տարր:

ՆԿԱՐ. 1 պարզ ներդաշնակ թրթռման կոր

Ինչպես ցույց է տրված ՆԿ. 2, պարզ ներդաշնակ տատանվողը ձևավորվում է կենտրոնացված m զանգվածից, որը միացված է գծային զսպանակով: Երբ թրթռման տեղաշարժը հաշվարկվում է հավասարակշռության դիրքից, թրթռման հավասարումը հետևյալն է.

Որտե՞ղ է զսպանակի կոշտությունը: Վերոնշյալ հավասարման ընդհանուր լուծումը (1) է և կարող է որոշվել x0 սկզբնական դիրքով և սկզբնական արագությամբ t=0-ում:

Բայց օմեգա n-ը որոշվում է միայն ինքնին համակարգի բնութագրերով m և k՝ անկախ լրացուցիչ սկզբնական պայմաններից, ուստի օմեգա n-ը նաև հայտնի է որպես բնական հաճախականություն։

ՆԿԱՐ. 2 միասնական աստիճանի ազատության համակարգ

Պարզ ներդաշնակ տատանվողի համար նրա կինետիկ էներգիայի և պոտենցիալ էներգիայի գումարը հաստատուն է, այսինքն՝ պահպանվում է համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան: Թրթռման գործընթացում կինետիկ էներգիան և պոտենցիալ էներգիան անընդհատ փոխակերպվում են միմյանց:

Խոնավեցնող թրթռում

Թրթռում, որի ամպլիտուդը շարունակաբար թուլանում է շփման և դիէլեկտրական դիմադրության կամ էներգիայի այլ սպառման պատճառով: Միկրո թրթռման դեպքում արագությունը սովորաբար շատ մեծ չէ, իսկ միջին դիմադրությունը համաչափ է առաջին հզորության արագությանը, որը կարելի է գրել որպես c թուլացման գործակիցը: Հետևաբար, ազատության մեկ աստիճանի թրթռման հավասարումը գծային մեղմացումով կարող է գրվել հետևյալ կերպ.

(2)Այնտեղ, որտեղ m =c/2m կոչվում է խոնավացման պարամետր, և (2) բանաձևի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել.

(3)Օմեգա n-ի և PI-ի միջև թվային հարաբերությունները կարելի է բաժանել հետևյալ երեք դեպքերի.

N > (փոքր թուլացման դեպքում) արտադրված մասնիկի թուլացման թրթռումը, թրթռման հավասարումը հետևյալն է.

Դրա ամպլիտուդը ժամանակի հետ նվազում է, համաձայն հավասարման մեջ ցուցադրված էքսպոնենցիալ օրենքի, ինչպես ցույց է տրված ՆԿ-ի կետավոր գծում: 3. Խստորեն ասած, այս թրթռումը պարբերական է, բայց դրա գագաթնակետի հաճախականությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.

Կոչվում է ամպլիտուդի կրճատման արագություն, որտեղ է թրթռման ժամանակաշրջանը: Ամպլիտուդի կրճատման արագության բնական լոգարիթմը կոչվում է լոգարիթմի մինուս (ամպլիտուդի) արագություն: Ակնհայտորեն, =, այս դեպքում, հավասար է 2/1-ի: Անմիջապես փորձարարական փորձարկման դելտա և, օգտագործելով վերը նշված բանաձևը, կարելի է հաշվարկել ք.

Այս պահին (2) հավասարման լուծումը կարելի է գրել.

Սկզբնական արագության ուղղության հետ մեկտեղ այն կարելի է բաժանել երեք ոչ թրթռումային դեպքերի, ինչպես ցույց է տրված ՆԿ. 4.

N < (մեծ խոնավացման դեպքում) (2) հավասարման լուծումը ցույց է տրված (3) հավասարման մեջ: Այս պահին համակարգն այլևս չի թրթռում:

Հարկադիր թրթռում

Համակարգի թրթռում մշտական ​​գրգռման տակ: Թրթռումների վերլուծությունը հիմնականում ուսումնասիրում է համակարգի արձագանքը գրգռմանը: Պարբերական գրգռումը տիպիկ կանոնավոր գրգռում է: Քանի որ պարբերական գրգռումը միշտ կարող է քայքայվել մի քանի ներդաշնակ գրգռման գումարի, ըստ սուպերպոզիցիայի սկզբունքի, միայն Համակարգի արձագանքը յուրաքանչյուր ներդաշնակ գրգռմանը պահանջվում է: Ներդաշնակ գրգռման գործողության ներքո մեկ շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը Ազատության աստիճանի խամրած համակարգը կարելի է գրել.

Պատասխանը երկու մասի գումար է. Մի մասը խոնավացած թրթռման արձագանքն է, որը ժամանակի ընթացքում արագ քայքայվում է: Հարկադիր թրթիռի մեկ այլ մասի պատասխանը կարելի է գրել.

ՆԿԱՐ. 3 թուլացած թրթռման կոր

ՆԿԱՐ. Երեք սկզբնական պայմանների 4 կորեր՝ կրիտիկական խոնավացումով

Մուտքագրեք

H /F0= h (), կայուն արձագանքման ամպլիտուդի և գրգռման ամպլիտուդի հարաբերակցությունն է, որը բնութագրում է ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրերը կամ ստացման ֆունկցիան; կայուն վիճակի արձագանքման և փուլի խթանման բիթերը, փուլային հաճախականության բնութագրերի բնութագրումը: Նրանց միջև կապը և գրգռման հաճախականությունը ցույց է տրված ՆԿ. 5 և ՆԿ. 6.

Ինչպես երևում է ամպլիտուդ-հաճախականության կորից (Նկար 5), փոքր խոնավացման դեպքում ամպլիտուդա-հաճախականության կորն ունի մեկ գագաթ: Որքան փոքր է ամպլիտուդը, այնքան ավելի կտրուկ է գագաթը; Պիկին համապատասխան հաճախականությունը կոչվում է համակարգի ռեզոնանսային հաճախականություն: Փոքր խոնավացման դեպքում ռեզոնանսային հաճախականությունը շատ չի տարբերվում բնական հաճախականությունից: Երբ գրգռման հաճախականությունը մոտ է բնական հաճախականության նկատմամբ ամպլիտուդան կտրուկ մեծանում է։ Այս երևույթը կոչվում է ռեզոնանս: Ռեզոնանսում համակարգի հզորությունը առավելագույնի է հասցվում, այսինքն՝ հարկադիր թրթռումն ամենաուժեղն է: Հետևաբար, ընդհանուր առմամբ, միշտ ձգտեք խուսափել ռեզոնանսից, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ որոշ գործիքներ և սարքավորումներ օգտագործեն ռեզոնանս՝ մեծ չափերի հասնելու համար: թրթռում.

ՆԿԱՐ. 5 ամպլիտուդի հաճախականության կոր

Կարելի է տեսնել փուլային հաճախականության կորից (նկար 6), անկախ խոնավացման չափից, օմեգա զրոյական փուլային տարբերության բիթերում = PI / 2, այս հատկանիշը կարող է արդյունավետորեն օգտագործվել ռեզոնանսի չափման մեջ:

Ի հավելումն կայուն գրգռման, համակարգերը երբեմն հանդիպում են անկայուն գրգռման: Այն կարելի է մոտավորապես բաժանել երկու տեսակի. մեկը հանկարծակի ազդեցությունն է: Երկրորդը կամայականության տեւական ազդեցությունն է: Անկայուն գրգռման դեպքում համակարգի արձագանքը նույնպես անկայուն է:

Անկայուն թրթռումը վերլուծելու հզոր գործիք է իմպուլսային արձագանքման մեթոդը: Այն նկարագրում է համակարգի դինամիկ բնութագրերը համակարգի միավորի իմպուլսի մուտքագրման անցողիկ արձագանքով: Միավորի իմպուլսը կարող է արտահայտվել որպես դելտա ֆունկցիա: Ճարտարագիտության մեջ դելտան ֆունկցիան հաճախ սահմանվում է որպես.

Որտեղ 0-ը ներկայացնում է t առանցքի այն կետը, որը ձախից մոտենում է զրոյին, 0 գումարած այն կետն է, որը գնում է 0-ի աջից:

ՆԿԱՐ. 6 փուլ հաճախականության կոր

ՆԿԱՐ. 7 ցանկացած մուտքագրում կարելի է համարել որպես իմպուլսային տարրերի շարքի գումար

Համակարգը համապատասխանում է h(t) արձագանքին, որը առաջանում է միավորի իմպուլսի կողմից t=0, որը կոչվում է իմպուլսային արձագանքման ֆունկցիա։ համակարգի իմպուլսային արձագանքման ֆունկցիան, մենք կարող ենք գտնել համակարգի արձագանքը ցանկացած մուտքագրման x(t): Այս պահին դուք կարող եք պատկերացնել x(t) որպես իմպուլսային տարրերի շարքի գումար: (Նկար 7): Համակարգի արձագանքը հետևյալն է.

Ելնելով սուպերպոզիցիայի սկզբունքից՝ x(t)-ին համապատասխան համակարգի ընդհանուր պատասխանը հետևյալն է.

Այս ինտեգրալը կոչվում է կոնվուլյացիոն ինտեգրալ կամ սուպերպոզիցիոն ինտեգրալ։

Ազատության բազմաստիճան համակարգի գծային թրթռում

n≥2 աստիճան ազատության գծային համակարգի թրթռում:

Նկար 8-ը ցույց է տալիս երկու պարզ ռեզոնանսային ենթահամակարգեր, որոնք միացված են միացման զսպանակով: Քանի որ այն երկու աստիճանի ազատության համակարգ է, դրա դիրքը որոշելու համար անհրաժեշտ են երկու անկախ կոորդինատներ: Այս համակարգում կան երկու բնական հաճախականություններ.

Յուրաքանչյուր հաճախականություն համապատասխանում է թրթռման ռեժիմին: Հարմոնիկ տատանումները կատարում են նույն հաճախականության ներդաշնակ տատանումներ՝ համաժամանակյա անցնելով հավասարակշռության դիրքով և համաժամանակյա հասնելով ծայրահեղ դիրքի: Օմեգա մեկին համապատասխանող հիմնական թրթիռում x1-ը հավասար է x2-ի: հիմնական թրթռումը, որը համապատասխանում է օմեգա օմեգա երկուսին, օմեգա օմեգա մեկին: Հիմնական թրթռման մեջ, Յուրաքանչյուր զանգվածի տեղաշարժի հարաբերակցությունը պահպանում է որոշակի հարաբերություն և ձևավորում է որոշակի ռեժիմ, որը կոչվում է հիմնական ռեժիմ կամ բնական ռեժիմ: Զանգվածի և կոշտության ուղղանկյունությունը գոյություն ունի հիմնական եղանակների մեջ, որն արտացոլում է յուրաքանչյուր թրթիռի անկախությունը: Բնական հաճախականությունը և հիմնական ռեժիմը ներկայացնում է ազատության բազմաստիճան համակարգի բնորոշ թրթռման բնութագրերը:

ՆԿԱՐ. 8 համակարգ՝ ազատության բազմաթիվ աստիճաններով

Ազատության n աստիճանի համակարգն ունի n բնական հաճախականություն և n հիմնական ռեժիմ: Համակարգի ցանկացած թրթռումային կոնֆիգուրացիա կարող է ներկայացվել որպես հիմնական ռեժիմների գծային համակցություն: Հետևաբար, հիմնական ռեժիմի սուպերպոզիցիայի մեթոդը լայնորեն օգտագործվում է բազմակի դինամիկ արձագանքման վերլուծության մեջ: -dof համակարգեր: Այսպիսով, համակարգի բնական թրթռման բնութագրերի չափումն ու վերլուծությունը դառնում է սովորական քայլ համակարգի դինամիկ նախագծման մեջ:

Multi-dof համակարգերի դինամիկ բնութագրերը կարող են նկարագրվել նաև հաճախականության բնութագրերով: Քանի որ յուրաքանչյուր մուտքի և ելքի միջև կա հաճախականության բնութագրիչ ֆունկցիա, կառուցվում է հաճախականության բնութագրիչ մատրիցա: Բազմազատության համակարգի ամպլիտուդա-հաճախականության բնութագրիչ կորը տարբեր է: մեկ ազատության համակարգից։

Էլաստոմերը թրթռում է

Ազատության բազմաստիճան համակարգը էլաստոմերի մոտավոր մեխանիկական մոդելն է: Էլաստոմերն ունի անսահման թվով ազատության աստիճաններ: Երկուսի միջև կա քանակական տարբերություն, բայց ոչ էական: Ցանկացած էլաստոմեր ունի անսահման թվով բնական հաճախություններ և անսահման թվով համապատասխան ռեժիմներ, և կա ուղղանկյունություն զանգվածի և կոշտության ռեժիմների միջև: Ցանկացած թրթռում Էլաստոմերի կոնֆիգուրացիան կարող է ներկայացվել նաև որպես հիմնական ռեժիմների գծային սուպերպոզիցիա: Հետևաբար, էլաստոմերի դինամիկ արձագանքման վերլուծության համար հիմնական ռեժիմի սուպերպոզիցիայի մեթոդը դեռևս կիրառելի է (տես էլաստոմերի գծային թրթռումը):

Վերցնենք պարանի թրթռումը: Եկեք ասենք, որ բարակ մ զանգվածի շարանը մեկ միավորի երկարության վրա, երկար l, ձգվում է երկու ծայրերում, և լարվածությունը T է: Այս պահին լարերի բնական հաճախականությունը որոշվում է հետևյալով. հավասարում:

F =na/2l (n= 1,2,3…):

Որտե՞ղ է լայնակի ալիքի տարածման արագությունը լարային ուղղության երկայնքով: Լարերի բնական հաճախականությունները 2 լ-ից ավելի հիմնական հաճախականության բազմապատիկ են: Այս ամբողջ թվային բազմապատկությունը հանգեցնում է հաճելի ներդաշնակ կառուցվածքի: Ընդհանուր առմամբ, չկա այդպիսի ամբողջ թվային բազմակի կապ էլաստոմերի բնական հաճախականությունների միջև։

Լարված պարանի առաջին երեք ռեժիմները ներկայացված են ՆԿ. 9. Հիմնական ռեժիմի կորի վրա կան որոշ հանգույցներ: Հիմնական թրթռման դեպքում հանգույցները չեն թրթռում: ՆԿ. 10-ը ցույց է տալիս շրջագծով հենվող շրջանաձև թիթեղների մի քանի տիպիկ եղանակներ՝ շրջանակներից և տրամագծերից կազմված որոշ հանգույցային գծերով:

Էլաստոմերի թրթռման խնդրի ճշգրիտ ձևակերպումը կարելի է եզրակացնել որպես մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների սահմանային արժեքի խնդիր: Այնուամենայնիվ, ճշգրիտ լուծումը կարելի է գտնել միայն որոշ ամենապարզ դեպքերում, ուստի մենք պետք է դիմենք բարդ էլաստոմերի մոտավոր լուծմանը: թրթռման խնդիր: Տարբեր մոտավոր լուծումների էությունը անսահմանը վերջնականի փոխելն է, այսինքն՝ դիսկրետիզացնելը վերջույթների պակաս բազմաստիճան ազատության համակարգ (շարունակական համակարգ) վերածվում է վերջավոր բազմաստիճան ազատության համակարգի (դիսկրետ համակարգ): Ինժեներական վերլուծության մեջ լայնորեն օգտագործվում են երկու տեսակի դիսկրետացման մեթոդներ՝ վերջավոր տարրերի մեթոդ և մոդալ սինթեզի մեթոդ:

ՆԿԱՐ. 9 ռեժիմ լարային

ՆԿԱՐ. Շրջանաձև ափսեի 10 ռեժիմ

Վերջավոր տարրերի մեթոդը կոմպոզիտային կառուցվածք է, որը վերացում է բարդ կառուցվածքը վերջավոր թվով տարրերի և դրանք միացնում է վերջավոր թվով հանգույցների մեջ: Յուրաքանչյուր միավոր էլաստոմեր է: Տարրի բաշխման տեղաշարժը արտահայտվում է հանգույցի տեղաշարժի ինտերպոլացիոն ֆունկցիայով: Այնուհետև Յուրաքանչյուր տարրի բաշխման պարամետրերը կենտրոնացվում են յուրաքանչյուր հանգույցի վրա որոշակի ձևաչափով, և ստացվում է դիսկրետ համակարգի մեխանիկական մոդելը:

Մոդալ սինթեզը բարդ կառուցվածքի տարրալուծումն է մի քանի ավելի պարզ ենթակառուցվածքների: Յուրաքանչյուր ենթակառուցվածքի թրթռման բնութագրերը հասկանալու հիման վրա ենթակառուցվածքը սինթեզվում է ընդհանուր կառուցվածքի` համաձայն միջերեսի կոորդինացման պայմանների և ընդհանուրի թրթռման մորֆոլոգիայի: կառուցվածքը ստացվում է՝ օգտագործելով յուրաքանչյուր ենթակառուցվածքի թրթռման մորֆոլոգիան:

Երկու մեթոդները տարբեր են և փոխկապակցված և կարող են օգտագործվել որպես հղում: Մոդալ սինթեզի մեթոդը կարող է նաև արդյունավետորեն զուգակցվել փորձարարական չափումների հետ՝ ձևավորելու տեսական և փորձարարական վերլուծության մեթոդ մեծ համակարգերի թրթռումների համար: