Apa itu getaran linier?

Getaran linier: Elastisitas komponen dalam sistem tunduk pada hukum Hooke, dan kekuatan redaman yang dihasilkan selama gerakan sebanding dengan persamaan pertama dari kecepatan umum (turunan waktu dari koordinat umum).

konsep

Sistem linier biasanya merupakan model abstrak getaran sistem nyata. Sistem getaran linier menerapkan prinsip superposisi, yaitu, jika respons sistem adalah Y1 di bawah aksi input x1, dan y2 di bawah aksi input x2, Kemudian respons sistem di bawah aksi input x1 dan x2 adalah y1+y2.

Atas dasar prinsip superposisi, input sewenang -wenang dapat didekomposisi menjadi jumlah serangkaian impuls yang sangat kecil, dan kemudian respons total sistem dapat diperoleh. Jumlah komponen harmonik dari eksitasi periodik dapat diperluas ke dalam Serangkaian komponen harmonik dengan transformasi Fourier, dan efek dari masing -masing komponen harmonik pada sistem dapat diselidiki secara terpisah. Oleh karena itu, karakteristik respons sistem linier dengan konstan Parameter dapat dijelaskan dengan respons impuls atau respons frekuensi.

Respon impuls mengacu pada respons sistem terhadap impuls unit, yang mencirikan karakteristik respons sistem dalam domain waktu. Respons frekuensi mengacu pada karakteristik respons sistem terhadap input harmonik unit. Korespondensi antara keduanya ditentukan oleh Fourier Transform.

klasifikasi

Getaran linier dapat dibagi menjadi getaran linier dari sistem kebebasan derajat tunggal dan getaran linier dari sistem multi-derajat-kebebasan.

(1) Getaran linier dari sistem kebebasan derajat tunggal adalah getaran linier yang posisinya dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ini adalah getaran paling sederhana dari mana banyak konsep dasar dan karakteristik getaran dapat diturunkan. Ini termasuk sederhana Getaran harmonik, getaran bebas, getaran atenuasi dan getaran paksa.

Getaran harmonik sederhana: Gerakan bolak -balik dari suatu objek di sekitar posisi keseimbangannya menurut hukum sinusoidal di bawah aksi kekuatan pemulihan yang sebanding dengan perpindahannya.

Getaran Damped: Getaran yang amplitudo terus dilemahkan oleh adanya gesekan dan resistensi dielektrik atau konsumsi energi lainnya.

Getaran paksa: Getaran sistem di bawah eksitasi konstan.

(2) Getaran linier dari sistem multi-derajat-kebebasan adalah getaran sistem linier dengan n≥2 derajat kebebasan. Sistem N derajat kebebasan memiliki frekuensi alami dan mode utama. sistem dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari mode utama. Oleh karena itu, metode superposisi mode utama banyak digunakan dalam analisis respons dinamis sistem multi-DOF. Dengan cara ini, the Pengukuran dan analisis karakteristik getaran alami dari sistem menjadi langkah rutin dalam desain dinamis sistem. Karakteristik dinamis sistem multi-DOF juga dapat dijelaskan dengan karakteristik frekuensi. Karena ada fungsi karakteristik frekuensi antara setiap input dan output, matriks karakteristik frekuensi dibangun. Ada hubungan yang pasti antara karakteristik frekuensi dan mode utama. Kurva karakteristik frekuensi amplitudo berbeda dari sistem kebebasan tunggal.

Getaran linier dari satu tingkat sistem kebebasan

Getaran linier di mana posisi suatu sistem dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ini adalah getaran paling sederhana dan paling mendasar dari mana banyak konsep dasar dan karakteristik getaran dapat diturunkan. Ini termasuk getaran harmonik sederhana, getaran teredam dan getaran paksa paksa paksa paksa paksa. .

Getaran harmonik

Di bawah aksi memulihkan kekuatan yang sebanding dengan perpindahan, objek membalas dengan cara sinusoidal di dekat posisi keseimbangannya (Gbr. 1) .x mewakili perpindahan dan t mewakili waktu. Ekspresi matematika dari getaran ini adalah:

(1)Di mana a adalah nilai maksimum perpindahan x, yang disebut amplitudo, dan mewakili intensitas getaran; omega n adalah kenaikan sudut amplitudo dari getaran per detik, yang disebut frekuensi sudut, atau frekuensi melingkar; ini disebut fase awal. osilasi satu siklus, dan itu disebut periode. Samplitudo A, frekuensi f (atau frekuensi sudut n), fase awal, yang dikenal sebagai getaran harmonik sederhana tiga elemen.

ARA. 1 kurva getaran harmonik sederhana

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2, osilator harmonik sederhana dibentuk oleh massa terkonsentrasi M yang dihubungkan oleh pegas linier. Ketika perpindahan getaran dihitung dari posisi kesetimbangan, persamaan getarannya adalah:

Di mana kekakuan pegas. Solusi umum untuk persamaan di atas adalah (1) .a dan dapat ditentukan oleh posisi awal x0 dan kecepatan awal pada t = 0:

Tetapi omega hanya ditentukan oleh karakteristik sistem itu sendiri M dan K, terlepas dari kondisi awal tambahan, sehingga omega juga dikenal sebagai frekuensi alami.

ARA. 2 Tingkat Sistem Kebebasan Tunggal

Untuk osilator harmonik sederhana, jumlah energi kinetiknya dan energi potensial adalah konstan, yaitu, energi mekanik total sistem dilestarikan. Dalam proses getaran, energi kinetik dan energi potensial terus -menerus diubah satu sama lain.

Getaran redaman

Getaran yang amplitudo terus dilemahkan oleh gesekan dan resistensi dielektrik atau konsumsi energi lainnya. Untuk getaran mikro, kecepatannya umumnya tidak terlalu besar, dan resistansi sedang sebanding dengan kecepatan terhadap kekuatan pertama, yang dapat ditulis sebagai C adalah C adalah C Is Is Is Is Is Is is is is is Is Is Is is is is is is is Is Is Is is is is is is is Is Is is is is is is is Is is Is is is is is is is Is is Is is is is is is Is is is is is is is Is is is is is is is Is is is is is is Koefisien redaman. Oleh karena itu, persamaan getaran satu derajat kebebasan dengan redaman linier dapat ditulis sebagai:

(2)Di mana, m = c/2m disebut parameter redaman, dan. Solusi umum formula (2) dapat ditulis:

(3)Hubungan numerik antara omega n dan pi dapat dibagi menjadi tiga kasus berikut:

N> (dalam kasus redaman kecil) Partikel yang diproduksi getaran atenuasi, persamaan getarannya adalah:

Amplitudinya berkurang dengan waktu sesuai dengan hukum eksponensial yang ditunjukkan dalam persamaan, seperti yang ditunjukkan pada garis putus -putus pada Gambar. 3. Berbicara, getaran ini aperiodik, tetapi frekuensi puncaknya dapat didefinisikan sebagai:

Disebut laju reduksi amplitudo, di mana periode getaran. Logaritma alami dari laju pengurangan amplitudo disebut laju logaritma minus (amplitudo). Delta uji eksperimental dan, menggunakan rumus di atas dapat dihitung c.

Pada saat ini, solusi persamaan (2) dapat ditulis:

Seiring dengan arah kecepatan awal, dapat dibagi menjadi tiga kasus non-getaran seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4.

N <(dalam kasus redaman besar), solusi untuk persamaan (2) ditunjukkan dalam persamaan (3). Pada titik ini, sistem tidak lagi bergetar.

Getaran paksa

Getaran suatu sistem di bawah eksitasi konstan. Analisis vibrasi terutama menyelidiki respons sistem terhadap eksitasi. Eksitasi periodik adalah eksitasi biasa yang khas. Karena eksitasi berkala selalu dapat diuraikan menjadi jumlah beberapa eksitasi harmonik, hanya menurut prinsip superposisi, hanya prinsip superposisi, hanya superposisi, hanya superposisi, hanya superposisi. Diperlukan respons sistem untuk setiap eksitasi harmonik. Di bawah aksi eksitasi harmonik, persamaan diferensial gerak satu derajat kebebasan sistem teredam dapat ditulis:

Responsnya adalah jumlah dari dua bagian. Salah satunya adalah respons dari getaran teredam, yang meluruh dengan cepat seiring waktu. Respons dari bagian lain dari getaran paksa dapat ditulis:

ARA. 3 kurva getaran teredam

ARA. 4 kurva dari tiga kondisi awal dengan redaman kritis

Ketik di

H /f0 = h (), adalah rasio amplitudo respons yang stabil terhadap amplitudo eksitasi, mengkarakterisasi karakteristik frekuensi amplitudo, atau fungsi penguatan; bit untuk respons stabil dan insentif fase, karakterisasi karakteristik frekuensi fase. Hubungan di antara mereka dan Frekuensi eksitasi ditunjukkan pada Gambar. 5 dan gbr. 6.

Seperti yang dapat dilihat dari kurva frekuensi amplitudo (Gbr. 5), dalam kasus redaman kecil, kurva frekuensi amplitudo memiliki puncak tunggal. Semakin kecil redaman, semakin curam puncak; frekuensi yang sesuai dengan puncaknya disebut frekuensi resonansi sistem. Dalam kasus redaman kecil, frekuensi resonansi tidak jauh berbeda dari frekuensi alami. Ketika frekuensi eksitasi dekat dengan frekuensi alami, amplitudo meningkat tajam. Fenomena ini disebut resonansi. Pada resonansi, gain sistem dimaksimalkan, yaitu, getaran paksa adalah yang paling intens. Oleh karena itu, secara umum, selalu berusaha untuk menghindari resonansi, kecuali beberapa instrumen dan peralatan untuk menggunakan resonansi untuk mencapai besar getaran.

ARA. 5 kurva frekuensi amplitudo

Dapat dilihat dari kurva frekuensi fase (Gambar 6), terlepas dari ukuran redaman, dalam bit perbedaan fase nol omega = PI / 2, karakteristik ini dapat secara efektif digunakan dalam mengukur resonansi.

Selain eksitasi yang stabil, sistem kadang -kadang mengalami eksitasi yang tidak stabil. Ini dapat dibagi secara kasar menjadi dua jenis: satu adalah dampak mendadak. Yang kedua adalah efek abadi dari kesewenang -wenangan. Di bawah eksitasi yang tidak stabil, respons sistem juga tidak stabil.

Alat yang ampuh untuk menganalisis getaran yang tidak stabil adalah metode respons impuls. Ini menjelaskan karakteristik dinamis sistem dengan respons sementara dari input impuls unit dari sistem. Impuls unit dapat dinyatakan sebagai fungsi delta. Dalam rekayasa, delta Fungsi sering didefinisikan sebagai:

Di mana 0- mewakili titik pada sumbu T yang mendekati nol dari kiri; 0 plus adalah titik yang menuju 0 dari kanan.

ARA. Kurva frekuensi 6 fase

ARA. 7 Input apa pun dapat dianggap sebagai jumlah dari serangkaian elemen impuls

Sistem sesuai dengan respons h (t) yang dihasilkan oleh unit impuls pada t = 0, yang disebut fungsi respons impuls. Fungsi respons impuls dari sistem, kita dapat menemukan respons sistem terhadap input x (t). Di titik ini, Anda dapat menganggap x (t) sebagai jumlah serangkaian elemen impuls (Gbr. 7) .Itu Respons sistem adalah:

Berdasarkan prinsip superposisi, respons total sistem yang sesuai dengan x (t) adalah:

Integral ini disebut integral konvolusi atau integral superposisi.

Getaran linier sistem multi-derajat-kebebasan

Getaran sistem linier dengan n≥2 derajat kebebasan.

Gambar 8 menunjukkan dua subsistem resonansi sederhana yang dihubungkan oleh pegas kopling. Karena itu adalah sistem kebebasan dua derajat, dua koordinat independen diperlukan untuk menentukan posisinya. Ada dua frekuensi alami dalam sistem ini:

Setiap frekuensi sesuai dengan mode getaran. Osilator harmonik melakukan osilasi harmonik dari frekuensi yang sama, secara serempak melewati posisi kesetimbangan dan secara serentak mencapai posisi ekstrem. Dalam getaran utama yang sesuai dengan Omega, X1 sama dengan x2; dalam pada x2; dalam X2; Getaran utama yang sesuai dengan omega omega dua, omega omega satu. Pada getaran utama, rasio perpindahan masing -masing massa menjaga hubungan tertentu dan membentuk mode tertentu, yang disebut mode utama atau mode alami. Orthogonality massa dan kekakuan ada di antara mode utama, yang mencerminkan independensi setiap getaran. Frekuensi alami dan mode utama mewakili yang melekat Karakteristik getaran sistem kebebasan multi-derajat.

ARA. 8 sistem dengan banyak derajat kebebasan

Sistem N derajat kebebasan memiliki frekuensi N alami dan mode utama N. -DOF Systems. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis karakteristik getaran alami sistem menjadi langkah rutin dalam desain dinamis sistem.

Karakteristik dinamis dari sistem multi-DOF juga dapat dijelaskan oleh karakteristik frekuensi. Karena ada fungsi karakteristik frekuensi antara setiap input dan output, matriks karakteristik frekuensi dibangun. dari sistem kebebasan tunggal.

Elastomer bergetar

Sistem multi -tingkat kebebasan di atas adalah model mekanis perkiraan elastomer. Sebuah elastomer memiliki jumlah tingkat kebebasan yang tak terbatas. Sejumlah tak terbatas mode yang sesuai, dan ada ortogonalitas antara mode massa dan kekakuan. Konfigurasi getaran elastomer juga bisa diwakili sebagai superposisi linier dari mode utama. Oleh karena itu, untuk analisis respons dinamis elastomer, metode superposisi mode utama masih berlaku (lihat getaran linier elastomer).

Ambil getaran string. Mari kita katakan bahwa serangkaian massa yang tipis per satuan panjang, panjang L, dikencangkan di kedua ujungnya, dan ketegangannya adalah T.At kali ini, frekuensi alami string ditentukan oleh berikut ini persamaan:

F = na/2l (n = 1,2,3 ...).

Di mana, adalah kecepatan propagasi gelombang transversal di sepanjang arah string. Frekuensi alami dari string kebetulan merupakan kelipatan dari frekuensi fundamental lebih dari 2L. Multiplisitas integer ini mengarah pada struktur harmonik yang menyenangkan. Pada umumnya, tidak ada Hubungan multipel integer seperti itu di antara frekuensi alami elastomer.

Tiga mode pertama dari string tensioned ditunjukkan pada Gambar. 9. Ada beberapa node pada kurva mode utama. Dalam getaran utama, node tidak bergetar. 10 menunjukkan beberapa mode khas dari pelat melingkar yang didukung secara melingkar dengan beberapa garis nodal yang terdiri dari lingkaran dan diameter.

Formulasi yang tepat dari masalah getaran elastomer dapat disimpulkan sebagai masalah nilai batas persamaan diferensial parsial. Namun, solusi yang tepat hanya dapat ditemukan dalam beberapa kasus paling sederhana, jadi kita harus menggunakan solusi perkiraan untuk elastomer kompleks yang kompleks untuk kompleks kompleks Masalah getaran. Inti dari berbagai solusi perkiraan adalah mengubah yang tak terbatas menjadi terbatas, yaitu, untuk mendiskritisasi sistem kebebasan multi-derajat yang kurang (kontinu sistem) menjadi multi-derajat sistem kebebasan yang terbatas (sistem diskrit). Ada dua jenis metode diskritisasi yang banyak digunakan dalam analisis teknik: metode elemen hingga dan metode sintesis modal.

ARA. 9 Mode string

ARA. 10 mode pelat melingkar

Metode elemen hingga adalah struktur komposit yang mengabstraksi struktur kompleks ke dalam sejumlah elemen yang terbatas dan menghubungkannya pada jumlah yang terbatas dari node. Unit masing -masing adalah elastomer; perpindahan distribusi elemen diekspresikan oleh fungsi interpolasi perpindahan node. Parameter distribusi masing -masing elemen terkonsentrasi pada setiap node dalam format tertentu, dan model mekanis sistem diskrit diperoleh.

Sintesis modal adalah dekomposisi struktur kompleks ke dalam beberapa substruktur yang lebih sederhana. Pada dasar pemahaman karakteristik getaran dari setiap substruktur, substruktur disintesis ke dalam struktur umum sesuai dengan kondisi koordinasi pada antarmuka, dan morfologi getaran umum Struktur diperoleh dengan menggunakan morfologi getaran dari setiap substruktur.

Kedua metode ini berbeda dan terkait, dan dapat digunakan sebagai referensi. Metode sintesis modal juga dapat secara efektif dikombinasikan dengan pengukuran eksperimental untuk membentuk metode analisis teoritis dan eksperimental untuk getaran sistem besar.