Cos'è la vibrazione lineare?

Vibrazione lineare: L'elasticità dei componenti nel sistema è soggetta alla legge di Hooke e la forza di smorzamento generata durante il movimento è proporzionale alla prima equazione della velocità generalizzata (derivata temporale delle coordinate generalizzate).

concetto

Il sistema lineare è di solito un modello astratto della vibrazione del sistema reale. Il sistema di vibrazione lineare applica il principio di sovrapposizione, cioè se la risposta del sistema è Y1 sotto l'azione di input X1 e Y2 sotto l'azione di input x2 Quindi la risposta del sistema sotto l'azione di input x1 e x2 è y1+y2.

Sulla base del principio di sovrapposizione, un input arbitrario può essere scomposto nella somma di una serie di impulsi infinite Serie di componenti armonici mediante trasformata di Fourier e l'effetto di ciascun componente armonico sul sistema può essere studiato separatamente. Pertanto, le caratteristiche di risposta dei sistemi lineari con costante I parametri possono essere descritti mediante risposta all'impulso o risposta in frequenza.

La risposta all'impulso si riferisce alla risposta del sistema all'impulso dell'unità, che caratterizza le caratteristiche di risposta del sistema nel dominio del tempo. La risposta di frequenza si riferisce alla risposta caratteristica del sistema all'unità armonica dell'unità. La corrispondenza tra i due è determinata dalla trasformata di Fourier.

classificazione

Le vibrazioni lineari possono essere divise in vibrazioni lineari del sistema a singolo grado di fresa e vibrazione lineare del sistema a più gradi di libertà.

(1) La vibrazione lineare di un sistema a singolo grado di fresa è una vibrazione lineare la cui posizione può essere determinata da una coordinata generalizzata. Vibrazione armonica, vibrazione libera, vibrazione di attenuazione e vibrazione forzata.

Semplice vibrazione armonica: il movimento alternativo di un oggetto in prossimità della sua posizione di equilibrio secondo una legge sinusoidale sotto l'azione di una forza di ripristino proporzionale al suo spostamento.

Vibrazione smorzata: vibrazione la cui ampiezza è continuamente attenuata dalla presenza di attrito e resistenza dielettrica o altro consumo di energia.

Vibrazione forzata: vibrazione di un sistema sotto costante eccitazione.

(2) La vibrazione lineare del sistema multi-gradi di foglie è la vibrazione del sistema lineare con n≥2 gradi di libertà. Un sistema di n gradi di libertà ha n frequenze naturali e n modalità principali. Qualsiasi configurazione di vibrazione del sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare delle modalità principali. Pertanto, il metodo di sovrapposizione della modalità principale è ampiamente utilizzato nell'analisi della risposta dinamica dei sistemi multi-DOF. La misurazione e l'analisi delle caratteristiche di vibrazione naturale del sistema diventa un passaggio di routine nella progettazione dinamica del sistema. Le caratteristiche dinamiche dei sistemi multi-DOF possono anche essere descritte dalle caratteristiche di frequenza. Dal momento che esiste una funzione caratteristica di frequenza tra ciascun input e output, viene costruita una matrice caratteristica di frequenza. Esiste una relazione definita tra la caratteristica della frequenza e la modalità principale. La curva caratteristica della frequenza di ampiezza del Il sistema multi-freedom è diverso da quello del sistema a tenuta singola.

Vibrazione lineare di un unico grado di libertà

Una vibrazione lineare in cui la posizione di un sistema può essere determinata da una coordinata generalizzata. .

Vibrazione armonica

Sotto l'azione del ripristino della forza proporzionale allo spostamento, l'oggetto ricomincia in modo sinusoidale vicino alla sua posizione di equilibrio (Fig. 1) .x rappresenta lo spostamento e T rappresenta il tempo. L'espressione matematica di questa vibrazione è:

(1)Dove a è il valore massimo dello spostamento x, che è chiamato ampiezza, e rappresenta l'intensità della vibrazione; omega n è l'incremento dell'angolo di ampiezza della vibrazione al secondo, che è chiamato frequenza angolare o la frequenza circolare; questo; questo è chiamato fase iniziale. In termini di f = n/2, il numero di oscillazioni al secondo è chiamato frequenza; l'inverso di questo, t = 1/f, è il tempo necessario per oscillare un ciclo, e questo è chiamato periodo. Astendibilità A, frequenza F (o frequenza angolare N), la fase iniziale, nota come semplice vibrazione armonica tre elementi.

FICO. 1 Curva di vibrazione armonica semplice

Come mostrato in Fig. 2, un semplice oscillatore armonico è formato dalla massa concentrata m collegata da una molla lineare. Quando lo spostamento della vibrazione viene calcolato dalla posizione di equilibrio, l'equazione di vibrazione è:

Dov'è la rigidità della molla. La soluzione generale all'equazione di cui sopra è (1) .a e può essere determinata dalla posizione iniziale x0 e dalla velocità iniziale a t = 0:

Ma l'omega N è determinato solo dalle caratteristiche del sistema stesso M e K, indipendentemente dalle condizioni iniziali aggiuntive, quindi l'omega N è anche noto come frequenza naturale.

FICO. 2 Sistema di libertà singolo

Per un semplice oscillatore armonico, la somma della sua energia cinetica e l'energia potenziale è costante, cioè l'energia meccanica totale del sistema viene conservata. Nel processo di vibrazione, energia cinetica e energia potenziale vengono costantemente trasformate l'una nell'altra.

La vibrazione di smorzamento

Una vibrazione la cui ampiezza viene continuamente attenuata dall'attrito e dalla resistenza dielettrica o da altro consumo di energia. Per le micro vibrazioni, la velocità non è generalmente molto grande e la resistenza media è proporzionale alla velocità alla prima potenza, che può essere scritta come C Il coefficiente di smorzamento. Pertanto, l'equazione di vibrazione di un grado di libertà con smorzamento lineare può essere scritta come:

(2)Dove, m = c/2m è chiamato parametro di smorzamento e la soluzione generale della formula (2) può essere scritta:

(3)La relazione numerica tra Omega N e Pi può essere divisa nei seguenti tre casi:

N> (nel caso di piccoli smorzamenti) particelle produtte vibrazioni di attenuazione, l'equazione di vibrazione è:

La sua ampiezza diminuisce con il tempo in base alla legge esponenziale mostrata nell'equazione, come mostrato nella linea tratteggiata in FIG. 3. Parking in modo stretto, questa vibrazione è aperiodica, ma la frequenza del suo picco può essere definita come:

È chiamato il tasso di riduzione dell'ampiezza, dove si trova il periodo di vibrazione. Il logaritmo naturale del tasso di riduzione dell'ampiezza è chiamato tasso logaritmo meno (ampiezza). Ottima, =, in questo caso, è uguale a 2/1. direttamente attraverso il Delta di prova sperimentale e, usando la formula sopra può essere calcolata c.

Al momento, la soluzione dell'equazione (2) può essere scritta:

Insieme alla direzione della velocità iniziale, può essere diviso in tre casi di non vibrazione, come mostrato in FIG. 4.

N <(nel caso di grandi smorzamenti), la soluzione all'equazione (2) è mostrata nell'equazione (3). In questo punto, il sistema non è più vibrante.

Vibrazione forzata

Vibrazione di un sistema sotto costante eccitazione. L'analisi della vibrazione indaga principalmente la risposta del sistema all'eccitazione. L'eccitazione periodica è una tipica eccitazione regolare. Dal momento che l'eccitazione periodica può sempre essere decomposta nella somma di diverse eccitazione armonica, secondo il principio di sovrapposizione, solo È richiesta la risposta del sistema a ciascuna eccitazione armonica. Secondo l'azione dell'eccitazione armonica, può essere scritta l'equazione differenziale del movimento di un singolo grado di smorzamento della libertà:

La risposta è la somma di due parti. Una parte è la risposta delle vibrazioni smorzate, che decade rapidamente con il tempo. È possibile scrivere la risposta di un'altra parte delle vibrazioni forzate:

FICO. 3 curva di vibrazione smorzata

FICO. 4 curve di tre condizioni iniziali con smorzamento critico

Digitare in

H /f0 = h (), è il rapporto tra ampiezza di risposta costante e ampiezza di eccitazione, caratterizzante caratteristiche di frequenza di ampiezza o funzione di guadagno; bit per la risposta allo stato stazionario e incentivo della fase, caratterizzazione delle caratteristiche della frequenza di fase. La relazione tra loro e La frequenza di eccitazione è mostrata in FIG. 5 e fig. 6.

Come si può vedere dalla curva di frequenza di ampiezza (Fig. 5), nel caso di piccoli smorzamenti, la curva di frequenza di ampiezza ha un singolo picco. Più piccolo lo smorzamento, più ripido è il picco; la frequenza corrispondente al picco è chiamata frequenza di risonanza del sistema. Nel caso di piccoli smorzamenti, la frequenza di risonanza non è molto diversa dalla frequenza naturale. Quando la frequenza di eccitazione è vicina al naturale Frequenza, l'ampiezza aumenta bruscamente. Questo fenomeno si chiama risonanza. Acconendo la risonanza, il guadagno del sistema è massimizzato, cioè la vibrazione forzata è la più intensa. Pertanto, in generale, si sforzano sempre di evitare la risonanza, a meno che alcuni strumenti e attrezzature per utilizzare la risonanza per ottenere grandi vibrazione.

FICO. 5 Curva di frequenza di ampiezza

Si può vedere dalla curva di frequenza di fase (Figura 6), indipendentemente dalla dimensione dello smorzamento, nei bit di differenza di fase zero omega = PI / 2, questa caratteristica può essere effettivamente utilizzata nella misurazione della risonanza.

Oltre all'eccitazione costante, i sistemi a volte incontrano eccitazione instabile. Può essere approssimativamente diviso in due tipi: uno è l'impatto improvviso. Il secondo è l'effetto duraturo dell'arbitrarietà. In seguito all'eccitazione instabile, anche la risposta del sistema è instabile.

Un potente strumento per l'analisi delle vibrazioni instabili è il metodo di risposta all'impulso. Descrive le caratteristiche dinamiche del sistema con la risposta transitoria dell'unità di impulso dell'unità del sistema. L'impulso unitario può essere espresso come funzione delta. Ingegneria, il delta La funzione è spesso definita come:

Dove 0- rappresenta il punto sull'asse T che si avvicina a zero da sinistra; 0 più è il punto che va a 0 da destra.

FICO. Curva di frequenza a 6 fasi

FICO. 7 Qualsiasi input può essere considerato come la somma di una serie di elementi di impulso

Il sistema corrisponde alla risposta h (t) generata dall'impulso dell'unità in t = 0, che è chiamata funzione di risposta all'impulso. La funzione di risposta all'impulso del sistema, possiamo trovare la risposta del sistema a qualsiasi input x (t). A questo punto, puoi pensare a x (t) come la somma di una serie di elementi di impulso (Fig. 7) .La risposta del sistema è:

Sulla base del principio di sovrapposizione, la risposta totale del sistema corrispondente a x (t) è:

Questo integrale è chiamato integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione.

Vibrazione lineare di un sistema a più gradi

Vibrazione di un sistema lineare con n≥2 gradi di libertà.

La Figura 8 mostra due semplici sottosistemi di risonanza collegati da una molla di accoppiamento. Perché è un sistema a due gradi di libertà, sono necessarie due coordinate indipendenti per determinarne la posizione. Ci sono due frequenze naturali in questo sistema:

Each frequency corresponds to a mode of vibration.The harmonic oscillators carry out harmonic oscillations of the same frequency, synchronously passing through the equilibrium position and synchronously reaching the extreme position.In the main vibration corresponding to omega one, x1 is equal to x2;In la vibrazione principale corrispondente a Omega Omega Two, Omega Omega One. Nella vibrazione principale, lo spostamento Il rapporto tra ogni massa mantiene una determinata relazione e forma una determinata modalità, che è chiamata modalità principale o modalità naturale. L'ortogonalità della massa e della rigidità esiste tra le modalità principali, che riflette l'indipendenza di ciascuna vibrazione. La frequenza naturale e la principale La modalità rappresenta le caratteristiche di vibrazione intrinseca del sistema a più gradi di libertà.

FICO. 8 sistema con più gradi di libertà

Un sistema di n gradi di libertà ha n frequenze naturali e n modalità principali. Qualsiasi configurazione di vibrazione del sistema può essere rappresentata come una combinazione lineare delle modalità principali. Pertanto, il metodo di sovrapposizione della modalità principale è ampiamente utilizzato nell'analisi della risposta dinamica di multi -Dof Systems.in In questo modo, la misurazione e l'analisi delle caratteristiche di vibrazione naturale del sistema diventano un passo di routine nella progettazione dinamica del sistema.

Le caratteristiche dinamiche dei sistemi multi-DOF possono anche essere descritte dalle caratteristiche di frequenza. Dal momento che esiste una funzione caratteristica di frequenza tra ciascun input e output, viene costruita una matrice caratteristica di frequenza. La curva caratteristica della frequenza di ampiezza del sistema multi-Freedom è diversa da quello del sistema a tenuta singolo.

L'elastomero vibra

Il sistema multi -grado di libertà sopra riportato è un modello meccanico approssimativo di elastomero. Un elastomero ha un numero infinito di gradi di libertà. C'è una differenza quantitativa ma nessuna differenza essenziale tra i due. Qualsiasi elastomero ha un numero infinito di frequenze naturali e un numero infinito di modalità corrispondenti e c'è ortogonalità tra le modalità di massa e rigidità. Qualsiasi configurazione vibrazionale dell'elastomero può anche essere rappresentata Come sovrapposizione lineare delle principali modalità. Pertanto, per l'analisi della risposta dinamica dell'elastomero, è ancora applicabile il metodo di sovrapposizione della modalità principale (vedere la vibrazione lineare dell'elastomero).

Prendi la vibrazione di una stringa. Si dice che una sottile stringa di massa M per unità di lunghezza, Long L, è tensione su entrambe le estremità e la tensione è t.at questa volta, la frequenza naturale della stringa è determinata da quanto segue equazione:

F = Na/2L (n = 1,2,3…).

Dove, è la velocità di propagazione dell'onda trasversale lungo la direzione della stringa. Le frequenze naturali delle corde sono multipli della frequenza fondamentale oltre il 2L. Questa molteplicità intera porta a una piacevole struttura armonica. In generale Tale relazione multipla intera tra le frequenze naturali dell'elastomero.

Le prime tre modalità della stringa tensione sono mostrate in Fig. 9. Ci sono alcuni nodi sulla curva della modalità principale. Nella vibrazione principale, i nodi non vibrano.fig. 10 mostra diverse modalità tipiche della piastra circolare supportata circonferenzialmente con alcune linee nodali composte da cerchi e diametri.

La formulazione esatta del problema delle vibrazioni dell'elastomero può essere conclusa come problema del valore limite delle equazioni differenziali parziali. Tuttavia, la soluzione esatta può essere trovata solo in alcuni dei casi più semplici, quindi dobbiamo ricorrere alla soluzione approssimativa per il complesso elastomero Problema di vibrazione. L'essenza di varie soluzioni approssimative è quella di cambiare l'infinito in finito, ovvero discretizzare il sistema di libertà senza arti (continuo Sistema) in un sistema multi-gradi finito di Sistema di libertà (sistema discreto). Ci sono due tipi di metodi di discretizzazione ampiamente utilizzati nell'analisi ingegneristica: metodo degli elementi finiti e metodo di sintesi modale.

FICO. 9 modalità di stringa

FICO. 10 modalità di piastra circolare

Il metodo degli elementi finiti è una struttura composita che estrae una struttura complessa in un numero finito di elementi e li collega a un numero finito di nodi. Ogni unità è un elastomero; lo spostamento di distribuzione dell'elemento è espresso dalla funzione di interpolazione dello spostamento del nodo. I parametri di distribuzione di ciascun elemento sono concentrati su ciascun nodo in un determinato formato e si ottiene il modello meccanico del sistema discreto.

La sintesi modale è la decomposizione di una struttura complessa in diverse sottostrutture più semplici. Sulla base della comprensione delle caratteristiche di vibrazione di ciascuna sottostruttura, la sottostruttura è sintetizzata in una struttura generale in base alle condizioni di coordinamento sull'interfaccia La struttura si ottiene utilizzando la morfologia delle vibrazioni di ciascuna sottostruttura.

I due metodi sono diversi e correlati e possono essere usati come riferimento. Il metodo di sintesi modale può anche essere efficacemente combinato con la misurazione sperimentale per formare un metodo di analisi teorico e sperimentale per la vibrazione di grandi sistemi.