Cos'è la vibrazione lineare?

Vibrazione lineare: l'elasticità dei componenti del sistema è soggetta alla legge di Hooke, e la forza di smorzamento generata durante il movimento è proporzionale alla prima equazione della velocità generalizzata (derivata temporale delle coordinate generalizzate).

concetto

Il sistema lineare è solitamente un modello astratto della vibrazione del sistema reale. Il sistema di vibrazione lineare applica il principio di sovrapposizione, ovvero se la risposta del sistema è y1 sotto l'azione dell'input x1 e y2 sotto l'azione dell'input x2, allora la risposta del sistema sotto l'azione degli ingressi x1 e x2 è y1+y2.

In base al principio di sovrapposizione, un ingresso arbitrario può essere scomposto nella somma di una serie di impulsi infinitesimi, e quindi si può ottenere la risposta totale del sistema. La somma delle componenti armoniche di un'eccitazione periodica può essere espansa in un serie di componenti armoniche mediante trasformata di Fourier e l'effetto di ciascuna componente armonica sul sistema può essere studiato separatamente. Pertanto, le caratteristiche di risposta dei sistemi lineari con parametri costanti possono essere descritte dalla risposta all'impulso o dalla risposta in frequenza.

La risposta all'impulso si riferisce alla risposta del sistema all'impulso unitario, che caratterizza le caratteristiche di risposta del sistema nel dominio del tempo. La risposta in frequenza si riferisce alla caratteristica di risposta del sistema all'ingresso armonico dell'unità. La corrispondenza tra i due è determinata dalla trasformata di Fourier.

classificazione

La vibrazione lineare può essere suddivisa in vibrazione lineare del sistema a un grado di libertà e vibrazione lineare del sistema a più gradi di libertà.

(1) la vibrazione lineare di un sistema ad un grado di libertà è una vibrazione lineare la cui posizione può essere determinata da una coordinata generalizzata. È la vibrazione più semplice da cui si possono derivare molti concetti e caratteristiche di base della vibrazione. Include semplici vibrazione armonica, vibrazione libera, vibrazione di attenuazione e vibrazione forzata.

Vibrazione armonica semplice: movimento alternativo di un oggetto in prossimità della sua posizione di equilibrio secondo una legge sinusoidale sotto l'azione di una forza di richiamo proporzionale al suo spostamento.

Vibrazione smorzata: vibrazione la cui ampiezza è continuamente attenuata dalla presenza di attrito e resistenza dielettrica o da altri consumi energetici.

Vibrazione forzata: vibrazione di un sistema costantemente eccitato.

(2) la vibrazione lineare del sistema a più gradi di libertà è la vibrazione del sistema lineare con n≥2 gradi di libertà. Un sistema di n gradi di libertà ha n frequenze naturali e n modi principali. Qualsiasi configurazione di vibrazione del sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare dei modi principali. Pertanto, il metodo di sovrapposizione dei modi principali è ampiamente utilizzato nell'analisi della risposta dinamica dei sistemi multi-dof. In questo modo, la misurazione e l'analisi delle caratteristiche di vibrazione naturale del diventa un passaggio di routine nella progettazione dinamica del sistema. Le caratteristiche dinamiche dei sistemi multi-dof possono anche essere descritte dalle caratteristiche di frequenza. Poiché esiste una funzione caratteristica di frequenza tra ciascun ingresso e uscita, viene costruita una matrice delle caratteristiche di frequenza. è una relazione definita tra la caratteristica di frequenza e la modalità principale. La curva caratteristica di ampiezza-frequenza del sistema multi-libertà è diversa da quella del sistema a libertà singola.

Vibrazione lineare di un sistema ad un grado di libertà

Una vibrazione lineare in cui la posizione di un sistema può essere determinata da una coordinata generalizzata. È la vibrazione più semplice e fondamentale da cui si possono derivare molti concetti e caratteristiche di base della vibrazione. Comprende la vibrazione armonica semplice, la vibrazione smorzata e la vibrazione forzata .

Vibrazione armonica

Sotto l'azione di ripristino della forza proporzionale allo spostamento, l'oggetto si muove alternativamente in modo sinusoidale vicino alla sua posizione di equilibrio (FIG. 1). X rappresenta lo spostamento e t rappresenta il tempo. L’espressione matematica di questa vibrazione è:

(1)Dove A è il valore massimo dello spostamento x, che è chiamato ampiezza, e rappresenta l'intensità della vibrazione; Omega n è l'ampiezza Incremento angolare della vibrazione al secondo, che è chiamata frequenza angolare, o frequenza circolare; Questo è chiamata fase iniziale. In termini di f= n/2, il numero di oscillazioni al secondo è chiamato frequenza; L'inverso di questo, T=1/f, è il tempo necessario per oscillare un ciclo, e questo è chiamato il periodo.L'ampiezza A, la frequenza f (o frequenza angolare n), la fase iniziale, nota come vibrazione armonica semplice di tre elementi.

FICO. 1 curva di vibrazione armonica semplice

Come mostrato nella FIG. 2, un oscillatore armonico semplice è formato dalla massa concentrata m collegata da una molla lineare. Quando lo spostamento della vibrazione viene calcolato dalla posizione di equilibrio, l'equazione della vibrazione è:

Dov'è la rigidezza della molla. La soluzione generale all'equazione di cui sopra è (1).A e può essere determinata dalla posizione iniziale x0 e dalla velocità iniziale a t=0:

Ma omega n è determinato solo dalle caratteristiche del sistema stesso m e k, indipendentemente dalle condizioni iniziali aggiuntive, quindi omega n è noto anche come frequenza naturale.

FICO. 2 sistema a singolo grado di libertà

Per un semplice oscillatore armonico, la somma della sua energia cinetica e dell'energia potenziale è costante, cioè l'energia meccanica totale del sistema viene conservata. Nel processo di vibrazione, l'energia cinetica e l'energia potenziale vengono costantemente trasformate l'una nell'altra.

Lo smorzamento delle vibrazioni

Una vibrazione la cui ampiezza è continuamente attenuata dall'attrito e dalla resistenza dielettrica o da altro consumo di energia. Per la microvibrazione, la velocità generalmente non è molto grande e la resistenza media è proporzionale alla velocità alla prima potenza, che può essere scritta come c è il coefficiente di smorzamento. Pertanto, l’equazione della vibrazione ad un grado di libertà con smorzamento lineare può essere scritta come:

(2)Dove m =c/2m è chiamato parametro di smorzamento e. La soluzione generale della formula (2) può essere scritta:

(3)La relazione numerica tra omega n e PI può essere suddivisa nei seguenti tre casi:

N > (nel caso di piccolo smorzamento) la particella ha prodotto la vibrazione di attenuazione, l'equazione della vibrazione è:

La sua ampiezza diminuisce con il tempo secondo la legge esponenziale mostrata nell'equazione, come mostrato nella linea tratteggiata in FIG. 3. In senso stretto questa vibrazione è aperiodica, ma la frequenza del suo picco può essere definita come:

Si chiama tasso di riduzione dell'ampiezza, dove è il periodo di vibrazione. Il logaritmo naturale del tasso di riduzione dell'ampiezza è chiamato logaritmo meno tasso (ampiezza). Ovviamente, =, in questo caso, è uguale a 2/1. Direttamente attraverso il prova sperimentale delta e, utilizzando la formula sopra può essere calcolato c.

A questo punto, la soluzione dell'equazione (2) può essere scritta:

Insieme alla direzione della velocità iniziale, può essere divisa in tre casi senza vibrazione, come mostrato in FIG. 4.

N < (nel caso di grande smorzamento), la soluzione dell'equazione (2) è mostrata nell'equazione (3). A questo punto il sistema non vibra più.

Vibrazione forzata

Vibrazione di un sistema sotto eccitazione costante.L'analisi delle vibrazioni indaga principalmente la risposta del sistema all'eccitazione.L'eccitazione periodica è una tipica eccitazione regolare.Poiché l'eccitazione periodica può sempre essere scomposta nella somma di più eccitazioni armoniche, secondo il principio di sovrapposizione, solo è richiesta la risposta del sistema ad ogni eccitazione armonica. Sotto l'azione dell'eccitazione armonica, l'equazione differenziale del moto di un sistema smorzato ad un grado di libertà può essere scritta:

La risposta è la somma di due parti. Una parte è la risposta della vibrazione smorzata, che decade rapidamente nel tempo. La risposta di un'altra parte della vibrazione forzata può essere scritta:

FICO. 3 curve di vibrazione smorzate

FICO. 4 curve di tre condizioni iniziali con smorzamento critico

Digita il

H /F0= h (), è il rapporto tra l'ampiezza della risposta stazionaria e l'ampiezza di eccitazione, che caratterizza le caratteristiche di ampiezza-frequenza o la funzione di guadagno; Bit per la risposta allo stato stazionario e l'incentivo della fase, caratterizzazione delle caratteristiche di frequenza di fase. La relazione tra loro e la frequenza di eccitazione è mostrata in FIG. 5 e FIG. 6.

Come si può vedere dalla curva ampiezza-frequenza (FIG. 5), nel caso di piccolo smorzamento, la curva ampiezza-frequenza ha un unico picco. Minore è lo smorzamento, più ripido è il picco; La frequenza corrispondente al picco è chiamata frequenza di risonanza del sistema. Nel caso di un piccolo smorzamento, la frequenza di risonanza non è molto diversa dalla frequenza naturale. Quando la frequenza di eccitazione è vicina alla frequenza naturale, l'ampiezza aumenta bruscamente. Questo fenomeno è chiamato risonanza. Alla risonanza, il guadagno del sistema è massimizzato, cioè la vibrazione forzata è la più intensa. Pertanto, in generale, cercare sempre di evitare la risonanza, a meno che alcuni strumenti e apparecchiature non utilizzino la risonanza per ottenere grandi vibrazione.

FICO. Curva di frequenza a 5 ampiezze

Può essere visto dalla curva della frequenza di fase (figura 6), indipendentemente dalla dimensione dello smorzamento, in bit di differenza di fase zero omega = PI / 2, questa caratteristica può essere utilizzata efficacemente nella misurazione della risonanza.

Oltre all'eccitazione costante, i sistemi a volte incontrano un'eccitazione instabile. Può essere approssimativamente divisa in due tipi: uno è l'impatto improvviso. Il secondo è l'effetto duraturo dell'arbitrarietà. In condizioni di eccitazione instabile, anche la risposta del sistema è instabile.

Un potente strumento per analizzare le vibrazioni instabili è il metodo della risposta all'impulso. Descrive le caratteristiche dinamiche del sistema con la risposta transitoria dell'ingresso dell'impulso unitario del sistema. L'impulso unitario può essere espresso come una funzione delta. In ingegneria, il delta la funzione è spesso definita come:

Dove 0- rappresenta il punto sull'asse t che si avvicina allo zero da sinistra; 0 più è il punto che va allo 0 da destra.

FICO. Curva di frequenza a 6 fasi

FICO. 7 qualsiasi input può essere considerato come la somma di una serie di elementi impulsivi

Il sistema corrisponde alla risposta h(t) generata dall'impulso unitario a t=0, chiamata funzione di risposta all'impulso. Supponendo che il sistema sia stazionario prima dell'impulso, h(t)=0 per t<0.Conoscere la funzione di risposta all'impulso del sistema, possiamo trovare la risposta del sistema a qualsiasi ingresso x(t). A questo punto, possiamo pensare a x(t) come alla somma di una serie di elementi impulsivi (FIG. 7) .La risposta del sistema è:

In base al principio di sovrapposizione, la risposta totale del sistema corrispondente a x(t) è:

Questo integrale è chiamato integrale di convoluzione o integrale di sovrapposizione.

Vibrazioni lineari di un sistema a più gradi di libertà

Vibrazioni di un sistema lineare con n≥2 gradi di libertà.

La Figura 8 mostra due semplici sottosistemi risonanti collegati da una molla di accoppiamento. Poiché si tratta di un sistema a due gradi di libertà, sono necessarie due coordinate indipendenti per determinarne la posizione. Esistono due frequenze naturali in questo sistema:

Ad ogni frequenza corrisponde un modo di vibrazione. Gli oscillatori armonici effettuano oscillazioni armoniche della stessa frequenza, passando in modo sincrono per la posizione di equilibrio e raggiungendo in modo sincrono la posizione estrema. Nella vibrazione principale corrispondente ad omega uno, x1 è uguale a x2;In la vibrazione principale corrispondente a omega omega due, omega omega uno. Nella vibrazione principale, il rapporto di spostamento di ciascuna massa mantiene una certa relazione e forma un certo modo, chiamato modo principale o modo naturale. L'ortogonalità della massa e tra i modi principali esiste una rigidità che riflette l'indipendenza di ciascuna vibrazione. La frequenza naturale e il modo principale rappresentano le caratteristiche di vibrazione intrinseche del sistema a più gradi di libertà.

FICO. 8 sistema a più gradi di libertà

Un sistema di n gradi di libertà ha n frequenze naturali e n modi principali. Qualsiasi configurazione di vibrazione del sistema può essere rappresentata come una combinazione lineare dei modi principali. Pertanto, il metodo di sovrapposizione dei modi principali è ampiamente utilizzato nell'analisi della risposta dinamica di multi Sistemi -dof. In questo modo, la misurazione e l'analisi delle caratteristiche di vibrazione naturale del sistema diventano un passaggio di routine nella progettazione dinamica del sistema.

Le caratteristiche dinamiche dei sistemi multi-dof possono anche essere descritte dalle caratteristiche di frequenza. Poiché esiste una funzione caratteristica di frequenza tra ciascun ingresso e uscita, viene costruita una matrice caratteristica di frequenza. La curva caratteristica di ampiezza-frequenza del sistema multi-libertà è diversa da quello del sistema della libertà unica.

L'elastomero vibra

Il sistema multi-grado di libertà di cui sopra è un modello meccanico approssimativo dell'elastomero. Un elastomero ha un numero infinito di gradi di libertà. Esiste una differenza quantitativa ma nessuna differenza essenziale tra i due. Qualsiasi elastomero ha un numero infinito di frequenze naturali e un numero infinito di modi corrispondenti ed esiste ortogonalità tra i modi di massa e rigidezza. Qualsiasi configurazione vibrazionale dell'elastomero può anche essere rappresentata come una sovrapposizione lineare dei modi principali. Pertanto, per l'analisi della risposta dinamica dell'elastomero, il metodo di sovrapposizione della modalità principale è ancora applicabile (vedi vibrazione lineare dell'elastomero).

Prendiamo la vibrazione di una corda. Diciamo che una corda sottile di massa m per unità di lunghezza, lunga l, è tesa ad entrambe le estremità e la tensione è T. In questo momento, la frequenza naturale della corda è determinata dalla seguente equazione:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Dove, è la velocità di propagazione dell'onda trasversale lungo la direzione della corda. Le frequenze naturali delle corde sono multipli della frequenza fondamentale su 2l. Questa molteplicità intera porta ad una piacevole struttura armonica. In generale, non esiste tale relazione multipla intera tra le frequenze proprie dell'elastomero.

Le prime tre modalità della corda tesa sono mostrate in FIG. 9. Ci sono alcuni nodi sulla curva della modalità principale. Nella vibrazione principale, i nodi non vibrano.FIG. 10 mostra alcune modalità tipiche della piastra circolare supportata circonferenzialmente con alcune linee nodali composte da cerchi e diametri.

La formulazione esatta del problema delle vibrazioni dell'elastomero può essere conclusa come il problema ai limiti delle equazioni alle derivate parziali. Tuttavia, la soluzione esatta può essere trovata solo in alcuni dei casi più semplici, quindi dobbiamo ricorrere alla soluzione approssimata per l'elastomero complesso problema delle vibrazioni.L'essenza di varie soluzioni approssimate è cambiare l'infinito in finito, cioè discretizzare il sistema a più gradi di libertà senza arti (sistema continuo) in un sistema finito a più gradi di libertà (sistema discreto) .Esistono due tipi di metodi di discretizzazione ampiamente utilizzati nell'analisi ingegneristica: il metodo degli elementi finiti e il metodo della sintesi modale.

FICO. 9 modalità di stringa

FICO. 10 modalità di piastra circolare

Il metodo degli elementi finiti è una struttura composita che astrae una struttura complessa in un numero finito di elementi e li collega a un numero finito di nodi. Ogni unità è un elastomero; lo spostamento di distribuzione dell'elemento è espresso dalla funzione di interpolazione dello spostamento del nodo. Quindi il i parametri di distribuzione di ciascun elemento sono concentrati su ciascun nodo in un determinato formato e si ottiene il modello meccanico del sistema discreto.

La sintesi modale è la scomposizione di una struttura complessa in diverse sottostrutture più semplici. Sulla base della comprensione delle caratteristiche di vibrazione di ciascuna sottostruttura, la sottostruttura viene sintetizzata in una struttura generale in base alle condizioni di coordinazione sull'interfaccia e alla morfologia delle vibrazioni del generale la struttura è ottenuta utilizzando la morfologia delle vibrazioni di ciascuna sottostruttura.

I due metodi sono diversi e correlati e possono essere utilizzati come riferimento. Il metodo di sintesi modale può anche essere efficacemente combinato con la misurazione sperimentale per formare un metodo di analisi teorico e sperimentale per la vibrazione di grandi sistemi.