מהי רטט ליניארי?

רטט ליניארי: האלסטיות של רכיבים במערכת כפופה לחוק הוו, וכוח השיכוך שנוצר במהלך התנועה הוא פרופורציונלי למשוואה הראשונה של המהירות המוכללת (נגזרת זמן של הקואורדינטות המוכללות).

מוּשָׂג

מערכת לינארית היא בדרך כלל מודל מופשט של הרטט של מערכת אמיתית. מערכת הרטט הליניארית מיישמת את עקרון הסופרפוזיציה, כלומר, אם התגובה של המערכת היא y1 בפעולת הקלט x1, ו-y2 בפעולת הקלט x2, אז התגובה של המערכת בפעולת הקלט x1 ו-x2 היא y1+y2.

על בסיס עקרון הסופרפוזיציה, ניתן לפרק קלט שרירותי לסכום של סדרה של דחפים אינפיניטסימליים, ולאחר מכן ניתן לקבל את התגובה הכוללת של המערכת. ניתן להרחיב את סכום הרכיבים ההרמוניים של עירור מחזורי ל- סדרה של רכיבים הרמוניים על ידי טרנספורמציה פורייה, וההשפעה של כל רכיב הרמוני על המערכת ניתן לחקור בנפרד. לכן, מאפייני התגובה של מערכות ליניאריות עם קבועים ניתן לתאר פרמטרים על ידי תגובת דחף או תגובת תדר.

תגובת דחף מתייחסת לתגובת המערכת לדחף היחידה, המאפיינת את מאפייני התגובה של המערכת בתחום הזמן. תגובת תדר מתייחסת לתגובה האופיינית למערכת לקלט ההרמוני של היחידה. ההתאמה בין השניים נקבעת על ידי טרנספורמציה פורייה.

מִיוּן

ניתן לחלק רטט ליניארי לרטט ליניארי של מערכת דרגת חופש בודדת ורטט ליניארי של מערכת מרובת דרגות חופש.

(1) רטט ליניארי של מערכת של דרגת חופש אחת הוא רטט ליניארי שניתן לקבוע את מיקומו על ידי קואורדינטה כללית. זהו הרטט הפשוט ביותר שממנו ניתן להפיק מושגים ומאפיינים בסיסיים רבים של רטט. הוא כולל פשוט רטט הרמוני, רטט חופשי, רטט הנחתה ורטט מאולץ.

רטט הרמוני פשוט: תנועה הדדית של אובייקט בקרבת מיקומו בשיווי המשקל על פי חוק סינוסואידי בפעולת כוח מחזיר פרופורציונלי לתזוזה שלו.

רטט דחוס: רטט שהמשרעת שלה מוחלשת ללא הרף על ידי נוכחות של חיכוך והתנגדות דיאלקטרית או צריכת אנרגיה אחרת.

רטט מאולץ: רטט של מערכת תחת עירור מתמיד.

(2) הרטט הליניארי של המערכת מרובת דרגות החופש הוא הרטט של המערכת הליניארית עם n≥2 דרגות חופש. למערכת של n דרגות חופש יש n תדרים טבעיים ו-n מצבים עיקריים. כל תצורת רטט של המערכת יכולה להיות מיוצגת כשילוב ליניארי של המצבים העיקריים. לפיכך, שיטת הסופרפוזיציה הראשית נמצאת בשימוש נרחב בניתוח תגובה דינמית של מערכות מולטי-דוף. בדרך זו, המדידה והניתוח של מאפייני הרטט הטבעיים של המערכת הופכים לשלב שגרתי בתכנון הדינמי של המערכת. ניתן לתאר את המאפיינים הדינמיים של מערכות מולטי-דוף גם על ידי מאפייני תדר.מאז ישנה פונקציה מאפיינת תדר בין כל קלט ופלט, נבנית מטריצה ​​מאפיינת תדר. קיים קשר מוגדר בין מאפיין התדר למצב הראשי. עקומת האמפליטודה-תדר האופיינית של מערכת רב-חופש שונה מזו של מערכת החירות הבודדת.

רטט ליניארי של מערכת דרגת חופש אחת

רטט ליניארי שבו ניתן לקבוע את מיקומה של מערכת על ידי קואורדינטה כללית. זהו הרטט הפשוט והבסיסי ביותר שממנו ניתן להפיק מושגים ומאפיינים בסיסיים רבים של רטט. הוא כולל רטט הרמוני פשוט, רטט מעוכב ורטט מאולץ .

רטט הרמוני

בפעולה של החזרת כוח פרופורציונלי לתזוזה, העצם חוזר בצורה סינוסואידלית בסמוך למיקום שיווי המשקל שלו (איור 1). X מייצג את התזוזה ו-t מייצג את הזמן. הביטוי המתמטי של רטט זה הוא:

(1)כאשר A הוא הערך המרבי של תזוזה x, הנקראת המשרעת, ומייצגת את עוצמת הרטט; אומגה n היא תוספת הזווית המשרעת של הרטט לשנייה, הנקראת התדר הזוויתי, או התדר המעגלי; נקרא השלב ההתחלתי. במונחים של f= n/2, מספר התנודות בשנייה נקרא התדר; ההיפוך של זה, T=1/f, הוא הזמן שלוקח להתנדנד מחזור אחד, וזה נקרא התקופה. משרעת A, תדר f (או תדר זוויתי n), השלב הראשוני, המכונה רטט הרמוני פשוט שלושה אלמנטים.

תְאֵנָה. עקומת רטט הרמונית פשוטה אחת

כפי שמוצג באיור. 2, מתנד הרמוני פשוט נוצר על ידי המסה המרוכזת m המחוברת בקפיץ ליניארי. כאשר תזוזה הרטט מחושבת ממיקום שיווי המשקל, משוואת הרטט היא:

היכן קשיחות הקפיץ. הפתרון הכללי למשוואה לעיל הוא (1).A וניתן לקבוע אותו לפי המיקום ההתחלתי x0 ומהירות התחלתית ב-t=0:

אבל אומגה n נקבעת רק לפי המאפיינים של המערכת עצמה m ו-k, ללא תלות בתנאים ההתחלתיים הנוספים, ולכן אומגה n ידועה גם בתור התדר הטבעי.

תְאֵנָה. מערכת 2 דרגות חופש בודדות

עבור מתנד הרמוני פשוט, סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית שלו הוא קבוע, כלומר, האנרגיה המכנית הכוללת של המערכת נשמרת. בתהליך הרטט, האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית הופכים זה לזה כל הזמן.

הרטט המדכא

רטט שהמשרעת שלה מוחלשת ללא הרף על ידי חיכוך והתנגדות דיאלקטרית או צריכת אנרגיה אחרת. עבור מיקרו רטט, המהירות בדרך כלל לא גדולה במיוחד, וההתנגדות הבינונית פרופורציונלית למהירות בהספק הראשון, שניתן לכתוב כ- c הוא מקדם השיכוך.לכן, ניתן לכתוב את משוואת הרטט של דרגת חופש אחת עם שיכוך ליניארי כך:

(2)כאשר, m =c/2m נקרא פרמטר השיכוך, ו.ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של הנוסחה (2):

(3)ניתן לחלק את הקשר המספרי בין אומגה n ל-PI לשלושת המקרים הבאים:

N > (במקרה של שיכוך קטן) חלקיקים יצרו רטט הנחתה, משוואת הרטט היא:

המשרעת שלו יורדת עם הזמן בהתאם לחוק המעריכי המוצג במשוואה, כפי שמוצג בקו המקווקו באיור. 3. באופן קפדני, רטט זה הוא א-מחזורי, אך ניתן להגדיר את תדירות השיא שלו כך:

נקרא קצב הפחתת המשרעת, היכן היא תקופת הרטט. הלוגריתם הטבעי של קצב הפחתת המשרעת נקרא קצב הלוגריתם מינוס (משרעת). ברור, =, במקרה זה, שווה ל-2/1. ישירות דרך דלתא מבחן ניסיוני ו, באמצעות הנוסחה לעיל ניתן לחשב ג.

בשלב זה, ניתן לכתוב את פתרון המשוואה (2):

יחד עם כיוון המהירות ההתחלתית, ניתן לחלק אותה לשלושה מקרים ללא רטט כפי שמוצג באיור. 4.

N < (במקרה של שיכוך גדול), הפתרון למשוואה (2) מוצג במשוואה (3). בשלב זה, המערכת כבר לא רוטטת.

רטט מאולץ

רטט של מערכת תחת עירור מתמיד. ניתוח רטט חוקר בעיקר את תגובת המערכת לעירור. עירור תקופתי הוא עירור רגיל אופייני. מאחר שעירור מחזורי תמיד יכול להתפרק לסכום של מספר עירור הרמוני, לפי עקרון הסופרפוזיציה, רק נדרשת התגובה של המערכת לכל עירור הרמוני. תחת הפעולה של עירור הרמוני, משוואת התנועה הדיפרנציאלית של מערכת דחוסה בדרגת חופש אחת ניתן לכתוב:

התגובה היא סכום של שני חלקים. חלק אחד הוא התגובה של רטט מעוכב, שמתפוגג במהירות עם הזמן. ניתן לכתוב את התגובה של חלק אחר של רטט מאולץ:

תְאֵנָה. 3 עקומת רטט מעוותת

תְאֵנָה. 4 עקומות של שלושה מצבים ראשוניים עם שיכוך קריטי

הקלד את

H /F0= h (), הוא היחס בין משרעת תגובה קבועה לאמפליטודת עירור, המאפיינת מאפייני משרעת-תדר, או פונקציית רווח; ביטים לתגובת מצב יציב ותמריץ של פאזה, אפיון מאפייני תדר פאזה. הקשר ביניהם לבין תדר עירור מוצג באיור. 5 ואיור. 6.

כפי שניתן לראות מעקומת המשרעת-תדר (איור 5), במקרה של שיכוך קטן, לעקומת המשרעת-תדר יש שיא יחיד. ככל שהשיכוך קטן יותר, כך השיא תלול יותר; התדר המקביל לשיא הוא נקראת תדר התהודה של המערכת. במקרה של שיכוך קטן, תדר התהודה אינו שונה בהרבה מהטבעי תדר.כאשר תדר העירור קרוב לתדר הטבעי, המשרעת גדלה בחדות. תופעה זו נקראת תהודה.בתהודה, הרווח של המערכת הוא מקסימלי, כלומר הרטט הכפוי הוא האינטנסיבי ביותר.לכן, באופן כללי, תמיד שואפים למנוע תהודה, אלא אם כן כמה מכשירים וציוד להשתמש בתהודה כדי להשיג תהודה גדולה. רֶטֶט.

תְאֵנָה. עקומת תדר 5 משרעת

ניתן לראות מעקומת תדר הפאזה (איור 6), ללא קשר לגודל השיכוך, בסיביות הבדלי פאזה אומגה אפס = PI/2, ניתן להשתמש במאפיין זה ביעילות למדידת תהודה.

בנוסף לעירור יציב, מערכות נתקלות לפעמים בגירוי לא יציב. ניתן לחלק אותה באופן גס לשני סוגים: האחד הוא ההשפעה הפתאומית. השני הוא ההשפעה המתמשכת של שרירותיות. תחת עירור לא יציב, גם תגובת המערכת אינה יציבה.

כלי רב עוצמה לניתוח רטט לא יציב הוא שיטת תגובת הדחף. היא מתארת ​​את המאפיינים הדינמיים של המערכת עם התגובה החולפת של קלט הדחף היחידה של המערכת. דחף היחידה יכול לבוא לידי ביטוי כפונקציית דלתא. בהנדסה, הדלתא פונקציה מוגדרת לעתים קרובות כ:

כאשר 0- מייצג את הנקודה בציר ה-t שמתקרבת לאפס משמאל; 0 פלוס היא הנקודה שהולכת ל-0 מימין.

תְאֵנָה. עקומת תדר 6 פאזית

תְאֵנָה. 7 כל קלט יכול להיחשב כסכום של סדרה של אלמנטים דחפים

המערכת מתאימה לתגובה h(t) שנוצרת ע"י דחף היחידה ב-t=0, הנקראת פונקציית תגובת הדחף. בהנחה שהמערכת נייחת לפני הדופק, h(t)=0 עבור t<0. ידיעה את פונקציית תגובת הדחף של המערכת, נוכל למצוא את תגובת המערכת לכל קלט x(t).בנקודה זו, ניתן לחשוב על x(t) כסכום של סדרה של אלמנטים דחפים (איור 7). תגובת המערכת היא:

בהתבסס על עקרון הסופרפוזיציה, התגובה הכוללת של המערכת התואמת ל-x(t) היא:

אינטגרל זה נקרא אינטגרל קונבולציה או אינטגרל סופרפוזיציה.

רטט ליניארי של מערכת מרובת דרגות חופש

רטט של מערכת ליניארית עם n≥2 דרגות חופש.

איור 8 מציג שתי תתי מערכות תהודה פשוטות המחוברות על ידי קפיץ צימוד. מכיוון שזו מערכת של שתי דרגות חופש, יש צורך בשתי קואורדינטות עצמאיות כדי לקבוע את מיקומה. יש שני תדרים טבעיים במערכת זו:

כל תדר מתאים למצב של רטט. המתנדים ההרמוניים מבצעים תנודות הרמוניות מאותו תדר, עוברים באופן סינכרוני דרך מיקום שיווי המשקל ומגיעים באופן סינכרוני למצב הקיצוני. ברטט הראשי המתאים לאומגה 1, x1 שווה ל-x2;In הרטט העיקרי המתאים לאומגה אומגה 2, אומגה אומגה 1. ברטט הראשי, יחס העקירה של כל מסה שומרת על קשר מסוים ויוצרת מצב מסוים, הנקרא המצב הראשי או המצב הטבעי. האורתוגונליות של מסה וקשיחות קיימת בין המצבים הראשיים, מה שמשקף את העצמאות של כל רטט. התדר הטבעי והמצב הראשי מייצגים מאפייני הרטט המובנים של מערכת החופש הרב-דרגות.

תְאֵנָה. מערכת 8 עם מספר דרגות חופש

למערכת של n דרגות חופש יש n תדרים טבעיים ו-n מצבים עיקריים. כל תצורת רטט של המערכת יכולה להיות מיוצגת כשילוב ליניארי של המצבים העיקריים. לפיכך, שיטת הסופרפוזיציה הראשית נמצאת בשימוש נרחב בניתוח תגובה דינמית של ריבוי -dof systems.באופן זה, המדידה והניתוח של מאפייני הרטט הטבעיים של המערכת הופכים לשלב שגרתי בתכנון הדינמי של המערכת.

ניתן לתאר את המאפיינים הדינמיים של מערכות מולטי-דוף גם על ידי מאפייני תדר. היות וקיימת פונקציה מאפיינת תדר בין כל קלט ופלט, נבנית מטריצה ​​מאפיינת תדר. עקומת המאפיין משרעת-תדר של מערכת רב-חופש שונה מזו של מערכת החירות היחידה.

האלסטומר רוטט

מערכת רב-דרגות החופש הנ"ל היא דגם מכני משוער של אלסטומר. לאלסטומר יש מספר אינסופי של דרגות חופש. יש הבדל כמותי אבל אין הבדל מהותי בין השניים. לכל אלסטומר יש מספר אינסופי של תדרים טבעיים ו מספר אינסופי של מצבים תואמים, וקיימת אורתוגונליות בין מצבי המסה והקשיחות. כל תצורת רטט של אלסטומר יכול להיות מיוצג גם כסופרפוזיציה ליניארית של המצבים העיקריים. לכן, לניתוח תגובה דינמית של אלסטומר, שיטת הסופרפוזיציה של המצב הראשי עדיין ישימה (ראה רטט ליניארי של אלסטומר).

קח את הרטט של מיתר. נניח שמיתר דק במסה מ' ליחידת אורך, ארוך l, מתוח בשני הקצוות, והמתח הוא T.בזמן זה, התדר הטבעי של המיתר נקבע על ידי הדברים הבאים משוואה:

F =na/2l (n=1,2,3...).

היכן, היא מהירות ההתפשטות של הגל הרוחבי לאורך כיוון המיתר. התדרים הטבעיים של המיתרים הם במקרה כפולות של התדר הבסיסי מעל 2l. ריבוי מספר שלם זה מוביל למבנה הרמוני נעים. באופן כללי, אין יחס מרובים כזה בין התדרים הטבעיים של האלסטומר.

שלושת המצבים הראשונים של המיתר המתוח מוצגים באיור. 9. ישנם כמה צמתים על עקומת המצב הראשי. ברטט הראשי, הצמתים אינם רוטטים. איור. 10 מציג מספר מצבים אופייניים של הלוח העגול הנתמך בהיקפי עם כמה קווים צמתים המורכבים מעיגולים וקטרים.

ניתן להסיק את הניסוח המדויק של בעיית רטט האלסטומר כבעיית ערך הגבול של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. עם זאת, ניתן למצוא את הפתרון המדויק רק בחלק מהמקרים הפשוטים ביותר, ולכן עלינו לפנות לפתרון המשוער עבור האלסטומר המורכב. בעיית רטט. המהות של פתרונות משוערים שונים היא לשנות את האינסופי לסופי, כלומר להבדיל את מערכת החופש מרובה דרגות חסרת האיברים. (מערכת רציפה) למערכת סופית של מספר דרגות חופש (מערכת בדיד). ישנם שני סוגים של שיטות דיסקרטיזציה בשימוש נרחב בניתוח הנדסי: שיטת אלמנטים סופיים ושיטת סינתזה מודאלית.

תְאֵנָה. 9 מצבי מיתר

תְאֵנָה. 10 מצבים של צלחת עגולה

שיטת אלמנטים סופיים היא מבנה מורכב אשר מפשט מבנה מורכב למספר סופי של אלמנטים ומחבר אותם במספר סופי של צמתים. כל יחידה היא אלסטומר; עקירת ההתפלגות של אלמנט מתבטאת בפונקציית אינטרפולציה של תזוזה של הצומת. פרמטרי הפצה של כל אלמנט מרוכזים לכל צומת בפורמט מסוים, ומתקבל המודל המכני של המערכת הבדידה.

סינתזה מודאלית היא פירוק של מבנה מורכב למספר תתי-מבנים פשוטים יותר. על בסיס הבנת מאפייני הרטט של כל תת-מבנה, התשתית מסונתזת למבנה כללי בהתאם לתנאי התיאום על הממשק, ומורפולוגיית הרטט של המבנה הכללי. המבנה מתקבל על ידי שימוש במורפולוגיית הרטט של כל תת-מבנה.

שתי השיטות שונות וקשורות, ויכולות לשמש כעיון. ניתן לשלב ביעילות את שיטת הסינתזה המודאלית עם המדידה הניסיונית כדי ליצור שיטת ניתוח תיאורטית וניסיונית לרטט של מערכות גדולות.