מה זה רטט לינארי?

רטט לינארי: גמישות הרכיבים במערכת כפופה לחוקו של הוק, וכוח הדיכוי שנוצר במהלך ההצעה הוא פרופורציונאלי למשוואה הראשונה של המהירות הכללית (נגזרת זמן של הקואורדינטות הכלליות).

מוּשָׂג

מערכת ליניארית היא בדרך כלל מודל מופשט של הרטט של מערכת אמיתית. מערכת הרטט הליניארית מיישמת את עקרון SuperPosition, כלומר אם התגובה של המערכת היא y1 בפעולה של קלט X1, ו- Y2 בפעולה של קלט x2, ואז התגובה של המערכת בפעולה של קלט X1 ו- X2 היא Y1+Y2.

על בסיס עקרון Superposition, ניתן לפרק קלט שרירותי לסכום של סדרה של דחפים אינסופיים, ואז ניתן להשיג את התגובה הכוללת של המערכת. ניתן להרחיב את סכום המרכיבים ההרמוניים של עירור תקופתי למאמצי סדרת רכיבים הרמוניים על ידי טרנספורמציה של פורייה, ואת ההשפעה של כל רכיב הרמוני על המערכת ניתן לחקור בנפרד. לכן, מאפייני התגובה של מערכות ליניאריות עם קבוע ניתן לתאר פרמטרים על ידי תגובת דחף או תגובת תדר.

תגובת הדחף מתייחסת לתגובת המערכת לדחף היחידה, המאפיינת את מאפייני התגובה של המערכת בתחום הזמן. תגובת התדר מתייחסת לתגובה האופיינית למערכת ליחידה הקלט ההרמוני. ההתאמה בין השניים נקבעת על ידי טרנספורמציה של פורייה.

מִיוּן

ניתן לחלק את הרטט לינארי לרטט ליניארי של מערכת יחידה של חלבון ויחיד לליניארי של מערכת רב-מעלות-חופשית.

(1) רטט ליניארי של מערכת מדרגה יחידה של החופש הוא רטט ליניארי שאת מיקומו ניתן לקבוע על ידי קואורדינטה כללית. זה הרטט הפשוט ביותר שממנה ניתן לגזור מושגים בסיסיים ותכונות של רטט. הוא כולל פשוט רטט הרמוני, רטט חופשי, רטט הנחתה ורטט מאולץ.

רטט הרמוני פשוט: תנועת הדדיות של אובייקט בסביבת עמדת שיווי המשקל שלו על פי חוק סינוסואידי בפעולה של כוח שחזור ביחס לעקירתו.

רטט רטוב: רטט שמשרעתו נחלשת ללא הרף על ידי נוכחות חיכוך והתנגדות דיאלקטרית או צריכת אנרגיה אחרת.

רטט מאולץ: רטט של מערכת תחת עירור מתמיד.

(2) הרטט הליניארי של מערכת הרב-חלבון המולטי-תואר הוא הרטט של המערכת הליניארית עם N≥2 מעלות חופש. מערכת של דרגות חירות N יש תדרים טבעיים ומצבים עיקריים. כל תצורת רעידות ניתן לייצג את המערכת כשילוב ליניארי של המצבים העיקריים. לכן, שיטת SuperPosition המצב העיקרית נמצאת בשימוש נרחב בניתוח תגובה דינאמית של מערכות רב-DOF. בדרך זו, מדידה וניתוח של מאפייני הרטט הטבעי של המערכת הופכים לצעד שגרתי בתכנון הדינאמי של המערכת. ניתן לתאר את המאפיינים הדינמיים של מערכות רב-DOF פלט, מטריצה ​​מאפיינית תדר נבנית. יש קשר מוגדר בין מאפיין התדר למצב העיקרי. שונה מזו של מערכת החלבון היחיד.

רטט לינארי של מערכת חירות יחידה

רטט ליניארי בו ניתן לקבוע את מיקום המערכת על ידי קואורדינטה כללית. זה הרטט הפשוט והבסיסי ביותר שממנה ניתן לגזור מושגים בסיסיים ותכונות של רטט. הוא כולל רטט הרמוני פשוט, רטט רטט ורטט מאולץ ו

רטט הרמוני

בפעולה של שחזור הכוח פרופורציונלי לעקירה, האובייקט מדדי באופן הדדי באופן סינוסואידי בסמוך למיקום שיווי המשקל שלו (איור 1) .x מייצג את העקירה ו- T מייצג את הזמן. הביטוי המתמטי של רטט זה הוא:

(1)כאשר A הוא הערך המרבי של העקירה x, הנקרא המשרעת, ומייצג את עוצמת הרטט; אומגה n היא תוספת זווית המשרעת של הרטט לשנייה, הנקראת התדר הזוויתי, או התדר המעגלי; זה נקרא השלב הראשוני. במונחים של f = n/2, מספר התנודות בשנייה נקרא התדר; ההפוך של זה, t = 1/f, הוא הזמן שלוקח מתנדנד מחזור אחד, וזה נקרא התקופה. AMPLITUDE A, תדר F (או תדר זוויתי N), השלב הראשוני, המכונה רטט הרמוני פשוט שלושה אלמנטים.

תְאֵנָה. 1 עקומת רטט הרמונית פשוטה

כפי שמוצג באיור. 2, מתנד הרמוני פשוט נוצר על ידי המסה המרוכזת M המחוברת על ידי מעיין ליניארי. כאשר תזוזת הרטט מחושבת ממיקום שיווי המשקל, משוואת הרטט היא:

היכן הקשיחות של הקפיץ. הפיתרון הכללי למשוואה לעיל הוא (1) .A וניתן לקבוע אותו על ידי המיקום הראשוני x0 ומהירות ראשונית ב- t = 0:

אולם אומגה n נקבעת רק על ידי מאפייני המערכת עצמה M ו- K, ללא תלות בתנאים הראשוניים הנוספים, כך שאומגה n ידועה גם בשם התדר הטבעי.

תְאֵנָה. 2 מדרגה יחידה של מערכת חופש

עבור מתנד הרמוני פשוט, סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית שלו הוא קבוע, כלומר האנרגיה המכנית הכוללת של המערכת נשמרת. בתהליך הרטט, אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית הופכים כל הזמן זה לזה.

רטט הדעיכה

רטט שמשרעתו מוחלשת ללא הרף על ידי חיכוך והתנגדות דיאלקטרית או צריכת אנרגיה אחרת. לצורך רטט מיקרו, המהירות בדרך כלל אינה גדולה במיוחד, וההתנגדות הבינונית היא פרופורציונלית למהירות לכוח הראשון, שניתן לכתוב כ- c היא c מקדם הדעיכה. לכן ניתן לכתוב את משוואת הרטט של דרגה אחת של חופש עם דעיכה ליניארית כ:

(2)איפה, M = C/2M נקרא פרמטר הדיכוי, וניתן לכתוב את הפיתרון הכללי של הנוסחה (2):

(3)ניתן לחלק את הקשר המספרי בין אומגה N ל- PI לשלושת המקרים הבאים:

N> (במקרה של דעיכה קטנה) חלקיקים ייצרו רטט הנחתה, משוואת הרטט היא:

המשרעת שלו פוחתת עם הזמן בהתאם לחוק האקספוננציאלי המוצג במשוואה, כפי שמוצג בקו המנוקד באיור. 3. באופן דיבור, הרטט הזה הוא אפריודי, אך ניתן להגדיר את תדירות שיאו כ:

נקרא קצב הפחתת המשרעת, היכן נקרא תקופת הרטט. הלוגריתם הטבעי של קצב הפחתת המשרעת נקרא לוגריתם מינוס (משרעת). ניתן לחשב דלתא בדיקת ניסוי, באמצעות הנוסחה לעיל ג.

בשלב זה ניתן לכתוב את פיתרון המשוואה (2):

יחד עם כיוון המהירות הראשונית, ניתן לחלק אותו לשלושה מקרים שאינם מתווכחים כפי שמוצג באיור. 4.

N <(במקרה של דעיכה גדולה), הפיתרון למשוואה (2) מוצג במשוואה (3). בנקודה זו, המערכת כבר לא רוטטת.

רטט מאולץ

רטט של מערכת תחת עירור מתמיד. ניתוח כיבוי בוחן בעיקר את תגובת המערכת לעירור. עירור פרדיק הוא עירור רגיל טיפוסי. תמיד ניתן להתפרק עירור תקופתי לסכום של מספר עירור הרמוני, על פי עקרון הסופרפוזיציה, רק יש צורך בתגובת המערכת לכל עירור הרמוני. תחת פעולת עירור הרמוני, ניתן לכתוב את המשוואה הדיפרנציאלית של תנועה של דרגה יחידה של מערכת חופש לחופש:

התגובה היא סכום של שני חלקים. חלק אחד הוא תגובת הרטט הרטוב, המתפרק במהירות עם הזמן. ניתן לכתוב את התגובה של חלק אחר של רטט מאולץ:

תְאֵנָה. 3 עקומת רטט רטובה

תְאֵנָה. 4 עקומות של שלושה תנאים ראשוניים עם דעיכה קריטית

הקלד ב

H /f0 = h (), הוא היחס בין משרעת תגובה קבועה למשרעת עירור, מאפיין מאפייני תדר משרעת, או פונקציה להשיג; קטעים לתגובה במצב קבוע ותמריץ לשלב, אפיון מאפייני תדר הפאזה. הקשר ביניהם לבין תדר עירור מוצג באיור. 5 ואיור. 6.

כפי שניתן לראות מעקומת תדר המשרעת (איור 5), במקרה של דעיכה קטנה, עקומת תדר המשרעת היא בעלת שיא יחיד נקרא תדירות התהודה של המערכת. במקרה של דעיכה קטנה, תדר התהודה אינו שונה בהרבה מהתדר הטבעי. כאשר תדר העירור קרוב לטבעי התדר, המשרעת עולה בחדות. תופעה זו נקראת תהודה. בתהודה, הרווח של המערכת ממקסם, כלומר הרטט הכפוי הוא האינטנסיבי ביותר. לכן, באופן כללי, תמיד שואפים להימנע מתהודה, אלא אם כן מכשירים וציוד לשימוש בתהודה כדי להשיג גדול רֶטֶט.

תְאֵנָה. עקומת תדר משרעת 5

ניתן לראות מעקומת תדר הפאזה (איור 6), ללא קשר לגודל הדיכוי, בהפרש שלב אומגה אפס ביטים = PI / 2, ניתן להשתמש ביעילות במאפיין זה למדידת תהודה.

בנוסף לעירור קבוע, מערכות לפעמים נתקלות בעירור לא יציב. ניתן לחלק בערך לשני סוגים: האחת היא ההשפעה הפתאומית. השנייה היא ההשפעה המתמשכת של שרירותיות. תחת עירור לא יציב, התגובה של המערכת אינה יציבה.

כלי רב עוצמה לניתוח רטט לא יציב הוא שיטת תגובת הדחף. הוא מתאר את המאפיינים הדינמיים של המערכת עם התגובה החולפת של כניסת הדחף של היחידה של המערכת. הדחף של היחידה יכול לבוא לידי ביטוי כפונקציה של דלתא. בהנדסה, הדלתא הפונקציה מוגדרת לרוב כ:

כאשר 0- מייצג את הנקודה בציר ה- T שמתקרב לאפס משמאל; 0 פלוס הוא הנקודה שהולכת ל 0 מימין.

תְאֵנָה. 6 עקומת תדר שלב

תְאֵנָה. 7 כל קלט יכול להיחשב כסכום של סדרת אלמנטים של דחף

המערכת תואמת את התגובה h (t) שנוצרת על ידי דחף היחידה ב- t = 0, המכונה פונקציית תגובת הדחף. הינה שהמערכת נייחת לפני הדופק, h (t) = 0 עבור t <0. היכרות פונקציית התגובה לדחף של המערכת, אנו יכולים למצוא את התגובה של המערכת לכל קלט x (t). בנקודה זו, אתה יכול לחשוב על x (t) כסכום של סדרה של אלמנטים של דחף (איור 7) . התגובה של המערכת היא:

בהתבסס על עקרון SuperPosition, התגובה הכוללת של המערכת המתאימה ל- X (T) היא:

אינטגרל זה נקרא אינטגרל של התפתחות או אינטגרל של SuperPosition.

רטט לינארי של מערכת מרובה-מעלות-פירום

רטט של מערכת ליניארית עם N≥2 מעלות חופש.

איור 8 מציג שתי מערכות משנה מהדהדות פשוטות המחוברות על ידי קפיץ צימוד. מכיוון שמדובר במערכת של שתי מעלות-פרדום, יש צורך בשני קואורדינטות עצמאיות כדי לקבוע את מיקומה. יש שני תדרים טבעיים במערכת זו:

כל תדר תואם למצב של רטט. המתנדים ההרמוניים מבצעים תנודות הרמוניות באותה תדר, ועוברים באופן סינכרוני במיקום שיווי המשקל ומגיעים באופן סינכרוני למיקום הקיצוני. ברטט העיקרי המתאים לאומגה אחת, x1 שווה ל- x2; ב- in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in ב- הרטט העיקרי המתאים לאומגה אומגה שתיים, אומגה אומגה אחת. ברטט העיקרי, העקירה היחס בין כל מסה שומר על קשר מסוים ויוצר מצב מסוים, המכונה המצב העיקרי או המצב הטבעי. האורתוגונליות של המסה והנוקשות קיימת בין המצבים העיקריים, המשקפת את העצמאות של כל רטט. התדר הטבעי והעיקר מצב מייצג את מאפייני הרטט המובנים של מערכת הרב-מעלות של מערכת החופש.

תְאֵנָה. 8 מערכת עם מספר דרגות חופש

למערכת של דרגות חופש N יש תדרים טבעיים N ו- N מצבים עיקריים. כל תצורת רטט של המערכת יכולה להיות מיוצגת כשילוב ליניארי של המצבים העיקריים. לכן, שיטת Superposition המצב העיקרית נמצאת בשימוש נרחב בניתוח תגובה דינאמית של רב -dof systems. בדרך זו, המדידה והניתוח של מאפייני הרטט הטבעיים של המערכת הופכים לצעד שגרתי בתכנון הדינאמי של המערכת.

ניתן לתאר את המאפיינים הדינמיים של מערכות רב-DOF גם על ידי מאפייני תדר. מכיוון שיש פונקציה אופיינית לתדר בין כל קלט לתפוקה, נבנית מטריצה ​​אופיינית לתדר. מזה של מערכת החלבון היחיד.

האלסטומר רוטט

מדרגת המערכת הרב -מרבית של החופש היא מודל מכני משוער של אלסטומר. לאלסטומר יש מספר אינסופי של דרגות חופש. יש הבדל כמותי, אך אין הבדל מהותי בין השניים. לכל אלסטומר יש מספר אינסופי של תדרים טבעיים וכיוון מספר אינסופי של מצבים תואמים, ויש אורתוגונליות בין מצבי המסה והנוקשות. ניתן לייצג גם תצורה רטטית של האלסטומר. כסופר -סופרפוזיציה ליניארית של המצבים העיקריים. לכן, לניתוח תגובה דינאמית של אלסטומר, שיטת SuperPosition של המצב הראשי עדיין חלה (ראו רטט ליניארי של אלסטומר).

קח את הרטט של מחרוזת. משוואה:

F = na/2l (n = 1,2,3 ...).

היכן, היא מהירות ההתפשטות של הגל הרוחבי לאורך כיוון המיתר. התדרים הטבעיים של המיתרים הם מכפילים של התדר הבסיסי מעל 2l. ריבוי שלם זה מוביל למבנה הרמוני נעים. בכללי, אין קשר מרובה שלם כזה בין התדרים הטבעיים של האלסטומר.

שלושת המצבים הראשונים של המיתר המתוח מוצגים באיור. 9. ישנם כמה צמתים בעקומת המצב הראשי. ברטט העיקרי, הצמתים אינם רוטטים. 10 מציג מספר מצבים אופייניים של הצלחת המעגלית הנתמכת באופן היקפי עם כמה קווי נודלים המורכבים מעגלים וקוטרים.

ניתן להסיק את הניסוח המדויק של בעיית הרטט האלסטומר כבעיית ערך הגבול של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. עם זאת, ניתן למצוא את הפיתרון המדויק רק בכמה מהמקרים הפשוטים ביותר, ולכן עלינו לפנות לפיתרון המשוער לאלסטומר המורכב בעיית רטט. מהותם של פתרונות משוערים שונים היא לשנות את האינסופי לסופי, כלומר להתייחס למערכת הרב-מעלות חסרת הגפיים (רציפה (רציפה מערכת) למערכת ריבוי סופית של מערכת חופש (מערכת דיסקרטית). ישנם שני סוגים של שיטות דיסקרטיזציה הנמצאות בשימוש נרחב בניתוח הנדסי: שיטת אלמנט סופי ושיטת סינתזה מודאלית.

תְאֵנָה. 9 מצב מחרוזת

תְאֵנָה. 10 מצב של צלחת מעגלית

שיטת אלמנטים סופית היא מבנה מורכב המפשט מבנה מורכב למספר סופי של אלמנטים ומחבר אותם במספר סופי של צמתים. יחידה כלשהי היא אלסטומר; תזוזת ההפצה של האלמנט באה לידי ביטוי על ידי פונקציית האינטרפולציה של תזוזת הצומת. פרמטרי ההפצה של כל אלמנט מרוכזים לכל צומת בפורמט מסוים, והמודל המכני של המערכת הדיסקרטית מתקבל.

סינתזה מודאלית היא הפירוק של מבנה מורכב למספר מבנים פשוטים יותר. על בסיס הבנת מאפייני הרטט של כל תת -מבנה, הסינתזה של תת -הבנייה למבנה כללי בהתאם לתנאי התיאום בממשק, ומורפולוגיית הרטט של הכלל מבנה מתקבל באמצעות מורפולוגיית הרטט של כל תת -מבנה.

שתי השיטות שונות וקשורות, ויכולות לשמש כהפניה. ניתן לשלב ביעילות את שיטת הסינתזה המודאלית עם המדידה הניסיונית ליצירת שיטת ניתוח תיאורטית וניסיונית לרטט של מערכות גדולות.