線形振動とは何ですか？

線形振動：システム内のコンポーネントの弾力性はHookeの法則の対象となり、運動中に生成される減衰力は、一般化速度の最初の方程式（一般化座標の時間誘導体）に比例します。

コンセプト

線形システムは通常、実際のシステムの振動の抽象モデルです。線形振動システムは、入力x1の作用下でシステムの応答がy1、入力x2の作用下でy2がy1である場合、重ね合わせ原理を適用します。次に、入力x1およびx2の作用に基づくシステムの応答はy1+y2です。

重ね合わせの原理に基づいて、任意の入力は一連の無限のインパルスの合計に分解でき、システムの合計応答を取得できます。周期的な励起の高調波成分の合計は、定期的な励起の高調波成分の合計を拡大することができます。フーリエ変換による一連の高調波成分、およびシステムに対する各高調波成分の効果は、個別に調査できます。したがって、定数の線形システムの応答特性パラメーターは、インパルス応答または周波数応答によって説明できます。

インパルス応答とは、ユニットインパルスに対するシステムの応答を指します。これは、時間領域でのシステムの応答特性を特徴付けます。周波数応答は、ユニット高調波入力に対するシステムの応答特性を指します。フーリエ変換によって。

分類

線形振動は、単一度フリードームシステムの線形振動と、多級のフリードームシステムの線形振動に分割できます。

（1）単一級の線形振動は、一般化された座標によって位置を決定できる線形振動です。これは、多くの基本概念と振動の特性を導出できる最も単純な振動です。高調波振動、自由振動、減衰振動、強制振動。

単純な高調波振動：その変位に比例した回復力の作用下での正弦波法に従って、その平衡位置の近くにあるオブジェクトの往復運動。

減衰振動：振動が摩擦と誘電抵抗またはその他のエネルギー消費の存在によって継続的に減衰される振動。

強制振動：一定の励起下のシステムの振動。

（2）多級のフリードムシステムの線形振動は、N以上の自由度を持つ線形システムの振動です。N自由度のシステムには、N天然周波数とNの主要なモードがあります。システムの主要なモードの線形組み合わせとして表現できます。したがって、メインモードの重ね合わせ方法は、マルチドフシステムの動的応答分析で広く使用されています。システムの自然振動特性の測定と分析は、システムの動的設計のルーチンステップになります。マルチドフシステムの動的特性は、周波数特性によっても説明できます。各入力間に周波数特性関数があるためそして、出力、周波数特性マトリックスが構築されます。周波数特性とメインモードの間には明確な関係があります。多面的なシステムの振幅周波数特性曲線は、単一フリードームシステムのもの。

単一の自由度システムの線形振動

システムの位置を一般化された座標によって決定できる線形振動。 。

高調波振動

変位に比例した力を回復する作用の下で、オブジェクトはその平衡位置の近くに正弦波に往復します（図1）.xは変位を表し、tは時間を表します。この振動の数学的表現は次のとおりです。

（1）ここで、Aは変位xの最大値であり、振幅と呼ばれ、振動の強度を表します。オメガnは、角度周波数または円形周波数と呼ばれる秒あたりの振動の振幅角増分です。 f = n/2の項では初期段階と呼ばれます。秒あたりの振動数は周波数と呼ばれます。これの逆、t = 1/fは、 1つのサイクルを振動させ、それはピリオドの周期A、周波数f（または角周波数n）、単純な高調波振動3つの要素として知られる初期段階と呼ばれます。

イチジク。 1単純な高調波振動曲線

図に示すように。 2、単純な高調波発振器は、線形バネで接続された濃縮質量mによって形成されます。振動変位が平衡位置から計算される場合、振動方程式は次のとおりです。

上記の方程式の一般的な解は（1）.aであり、初期位置x0およびt = 0の初期速度によって決定できます。

しかし、オメガNは、追加の初期条件とは無関係に、システム自体MおよびKの特性によってのみ決定されるため、オメガNは固有周波数としても知られています。

イチジク。 2単一の自由度システム

単純な高調波発振器の場合、その運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの合計は一定です。つまり、システムの総機械エネルギーが保存されます。振動のプロセスでは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは常に互いに変換されます。

減衰振動

振幅が摩擦と誘電抵抗またはその他のエネルギー消費によって継続的に減衰される振動。微小振動の場合、速度は一般にそれほど大きくなく、中抵抗は最初の出力に速度に比例します。したがって、減衰係数。したがって、線形減衰による1つの自由度の振動方程式は、次のように記述できます。

（2）ここで、m = c/2mは減衰パラメーターと呼ばれ、式（2）の一般的なソリューションを書くことができます。

（3）オメガNとPIの数値関係は、次の3つのケースに分けることができます。

n>（小さな減衰の場合）粒子は減衰振動を生成し、振動方程式は次のとおりです。

図１にある点線に示されているように、その振幅は方程式に示されている指数則に従って時間とともに減少します。 3.第二に言えば、この振動は非周期的ですが、そのピークの頻度は次のように定義できます。

振幅削減速度と呼ばれ、ここで振動の期間です。振幅削減速度の自然対数は、対数マイナス（振幅）速度と呼ばれます。実験テストDeltaおよび、上記の式を使用すると計算できますc。

この時点で、式（2）の解を書くことができます。

初期速度の方向に加えて、図に示すように、3つの非振動性の場合に分割できます。 4。

n <（大きな減衰の場合）式（2）の解は式（3）に示されています。この点で、システムはもはや振動しません。

強制振動

一定の励起下にあるシステムの振動。振動分析は、主に励起に対するシステムの応答を調査します。周期的励起は典型的な励起です。なぜなら、定期的な励起は常に複数の調和励起の合計に分解できるからです。各調和の励起に対するシステムの応答が必要です。高調波励起の作用の下では、単一の自由度減衰システムの運動の微分方程式を書くことができます。

応答は2つの部分の合計です。一部の部分は、減衰振動の応答であり、時間とともに急速に減衰します。強制振動の別の部分の応答は、次のことができます。

イチジク。 3減衰振動曲線

イチジク。重大な減衰を伴う3つの初期条件の4曲線

を入力します

h /f0 = h（）は、励起振幅に対する定常応答振幅の比、振幅周波数特性の特徴、またはゲイン関数;定常状態応答および位相周波数特性の特性評価のためのビット。励起周波数を図に示します。 5および図6。

振幅周波数曲線（図5）からわかるように、小さな減衰の場合、振幅周波数曲線には単一のピークがあります。減衰が小さいほど、ピークが急勾配です。ピークに対応する周波数はです。システムの共振周波数と呼ばれます。小さな減衰の場合、共鳴周波数は固有周波数とそれほど変わりません。励起周波数が固有周波数に近い場合、振幅は急激に増加します。この現象は共鳴と呼ばれます。共鳴で、システムの増加は最大化されます。つまり、強制振動が最も強いです。したがって、一般的には、共鳴を使用して大規模な成果を達成するためにいくつかの機器や機器を使用しない限り、常に共鳴を避けようと努力しています。振動。

イチジク。 5振幅周波数曲線

減衰のサイズに関係なく、位相周波数曲線（図6）から見ることができます。オメガゼロ位相差bits = Pi / 2では、この特性は共鳴の測定に効果的に使用できます。

安定した励起に加えて、システムは不安定な励起に遭遇することがあります。それは2つのタイプに大まかに分割することができます。1つは突然の影響です。2つ目は、arbitrar性の永続的な効果です。

不安定な振動を分析するための強力なツールは、インパルス応答方法です。システムのユニットインパルス入力の過渡的な応答を伴うシステムの動的特性を説明します。ユニットインパルスは、デルタ関数として表現できます。関数はしばしば次のように定義されます：

ここで、0-は、左からゼロに近づくT軸上のポイントを表します。0プラスは、右から0になるポイントです。

イチジク。 6位相周波数曲線

イチジク。 7任意の入力は、一連のインパルス要素の合計と見なすことができます

システムは、t = 0で単位インパルスによって生成された応答h（t）に対応します。これは、インパルス応答関数と呼ばれます。これは、パルスの前にシステムが静止していることを仮定します。システムのインパルス応答関数、システムの任意の入力x（t）に対する応答を見つけることができます。この点で、x（t）を一連のインパルス要素の合計と考えることができます（図7）の。の応答システムは次のとおりです。

重ね合わせ原理に基づいて、x（t）に対応するシステムの合計応答は次のとおりです。

この積分は、畳み込み積分または重ね合わせ積分と呼ばれます。

複数度のフリードームシステムの線形振動

N以上の自由度を持つ線形システムの振動。

図8は、カップリングスプリングで接続された2つの単純な共鳴サブシステムを示しています。これは、2度のフリードムシステムであるため、その位置を決定するには2つの独立した座標が必要です。このシステムには2つの自然周波数があります。

各周波数は振動のモードに対応します。高調波発振器は同じ周波数の高調波振動を実行し、平衡位置を同期的に通過し、極端な位置に同期して通過します。オメガオメガ2、オメガオメガ1に対応する主な振動。主な振動では、変位各質量の比率は特定の関係を維持し、メインモードまたは自然モードと呼ばれる特定のモードを形成します。質量と剛性の直交性は、各振動の独立性を反映するメインモードの間に存在します。モードは、自由度システムの多度の固有の振動特性を表します。

イチジク。複数の自由度を持つ8システム

N度の自由度のシステムには、Nが自然周波数とNメインモードがあります。システムの振動構成は、主要なモードの線形組み合わせとして表すことができます。したがって、メインモードの重ね合わせ方法は、マルチの動的応答分析で広く使用されています。 -DOF Systems.このようにして、システムの自然振動特性の測定と分析は、システムの動的設計の日常的なステップになります。

マルチドフシステムの動的特性は、周波数特性によっても説明できます。各入力と出力の間に周波数特性関数があるため、周波数特性マトリックスが構築されます。マルチフリードームシステムの振幅周波数特性曲線は異なります。単一フリードムシステムのそれから。

エラストマーが振動します

上記の多度の自由システムは、エラストマーのおおよその機械的モデルです。エラストマーには無限の自由度があります。定量的な違いはありますが、2つの間に本質的な違いはありません。無限の数の対応するモード、および質量と剛性のモードの間に直交性があります。エラストマーの振動構成もできます主要モードの線形重ね合わせとして表現されます。したがって、エラストマーの動的な応答分析のために、メインモードの重ね合わせ方法はまだ適用可能です（エラストマーの線形振動を参照）。

文字列の振動をしてください。一枚あたりの長さの薄い一連の質量m、長いlは両端に張力がかかり、張力はt.atです。方程式：

f = na/2l（n = 1,2,3…）。

ここで、弦の方向に沿った横波の伝播速度は、弦の天然周波数がたまたま2Lを超える基本周波数の倍数であることがあります。エラストマーの自然周波数間のそのような整数の複数の関係。

張力文字列の最初の3つのモードを図に示します。 9.メインモード曲線にいくつかのノードがあります。メインの振動では、ノードは振動しません。 10は、円と直径で構成されるいくつかの結節線を備えた円周方向にサポートされている円形プレートのいくつかの典型的なモードを示しています。

エラストマー振動問題の正確な定式化は、部分微分方程式の境界値の問題として結論付けることができます。振動の問題。さまざまな近似ソリューションの本質は、無限を有限に変えること、つまり、手足のない多度の自由システムを離散化することです。 （連続システム）フリーダムシステム（離散システム）の有限の多級へ。エンジニアリング分析で広く使用されている2種類の離散化方法：有限要素法とモーダル合成法があります。

イチジク。 9文字列モード

イチジク。 10円形プレートのモード

有限要素法は、複雑な構造を有限数の要素に抽象化し、有限数のノードでそれらを接続する複合構造です。各要素の分布パラメーターは、特定の形式で各ノードに濃縮され、離散システムの機械モデルが取得されます。

モーダル合成とは、複雑な構造がいくつかのより単純な下部構造に分解することです。各下部構造の振動特性を理解することで、界面の配位条件に応じて下部構造に合成され、一般的な一般的な構造に合成されます。構造は、各下部構造の振動形態を使用して得られます。

2つの方法は異なり、関連しており、参照として使用できます。モーダル合成方法は、実験測定と効果的に組み合わせて、大規模システムの振動のための理論的および実験分析方法を形成することもできます。