Getaran linear: elastisitas komponen ing sistem tundhuk karo hukum hooke, lan gaya damping sing diasilake sajrone gerakan kasebut sebanding karo persamaan pisanan saka kecepatan umum (turunan wektu saka koordinat umum).
konsep
Sistem linear biasane model abstrak saka geter sistem nyata.Sistem getaran linear ditrapake prinsip superposition, sing, yen respon sistem punika y1 ing tumindak input x1, lan y2 ing tumindak input x2, banjur respon saka sistem ing tumindak input x1 lan x2 punika y1 + y2.
Ing basis saka prinsip superposition, input sembarang bisa decomposed menyang jumlah saka seri impulses infinitesimal, lan banjur total respon saka sistem bisa dijupuk. seri komponen harmonik dening transformasi Fourier, lan efek saben komponen harmonik ing sistem bisa diselidiki kapisah.Mulane, karakteristik respon sistem linear karo paramèter konstan bisa diterangake dening respon impuls utawa respon frekuensi.
Respon impuls nuduhake respon sistem kanggo impuls unit, sing menehi ciri karakteristik respon sistem ing domain wektu.Tanggepan frekuensi nuduhake karakteristik respon sistem kanggo input harmonik unit.Korespondensi antarane loro ditemtokake dening transformasi Fourier.
klasifikasi
Getaran linear bisa dipérang dadi getaran linear sistem siji-degree-of-free lan getaran linear sistem multi-degree-of-freedom.
(1) getaran linear saka sistem siji-degree-of-freedom yaiku getaran linier sing posisine bisa ditemtokake dening koordinat umum. getaran harmonik, getaran bebas, getaran atenuasi lan getaran paksa.
Getaran harmonik prasaja: gerakan bolak-balik obyek ing sacedhake posisi keseimbangn miturut hukum sinusoidal miturut tumindak gaya pemulih sing sebanding karo pamindahane.
Getaran damped: geter sing amplitudo terus dikurangi kanthi anané gesekan lan resistensi dielektrik utawa konsumsi energi liyane.
Geter paksa: getaran sistem kanthi eksitasi konstan.
(2) geter linear sistem multi-degree-of-freedom yaiku geter sistem linear kanthi n≥2 derajat kebebasan. Sistem n derajat kebebasan nduweni n frekuensi alami lan n mode utama. saka sistem bisa dituduhake minangka kombinasi linear saka mode utama.Mulane, metode superposisi mode utama digunakake digunakake ing analisis respon dinamis sistem multi-dof. Kanthi cara iki, pangukuran lan analisis karakteristik getaran alam saka sistem dadi langkah rutin ing desain dinamis sistem.Karakteristik dinamis sistem multi-dof uga bisa diterangake dening karakteristik frekuensi.Amarga ana fungsi karakteristik frekuensi antarane saben input lan output, matriks karakteristik frekuensi dibangun. minangka hubungan tartamtu antarane karakteristik frekuensi lan mode utama. Kurva karakteristik amplitudo-frekuensi saka sistem multi-kabebasan beda karo sistem siji-kabebasan.
Getaran linear saka sistem derajat kebebasan tunggal
Getaran linier ing ngendi posisi sistem bisa ditemtokake kanthi koordinat umum. Iki minangka getaran sing paling gampang lan paling dhasar saka ngendi akeh konsep dhasar lan karakteristik getaran bisa diturunake. Iki kalebu getaran harmonik sing prasaja, getaran damped lan getaran paksa .
Getaran harmonis
Ing tumindak mulihake pasukan proporsional kanggo pamindahan, obyek reciprocates ing cara sinusoidal cedhak posisi keseimbangn sawijining (FIG. 1). X nggantosi pamindahan lan t nggantosi wektu. Ekspresi matematika saka getaran iki yaiku:
(1)Where A punika Nilai maksimum pamindahan x, kang disebut amplitudo, lan nggantosi kakiyatan saka geter; Omega n punika amplitudo Angle increment saka geter per detik, kang disebut frekuensi sudut, utawa frekuensi bunder; Ing istilah f = n / 2, jumlah osilasi per detik diarani frekuensi; Invers saka iki, T = 1 / f, yaiku wektu sing dibutuhake kanggo osilasi siji siklus, lan kasebut diarani fase awal. periode.Amplitudo A, frekuensi f (utawa frekuensi sudut n), phase dhisikan, dikenal minangka prasaja harmonic geter telung unsur.
Gbr. 1 kurva geter harmonik prasaja
Kaya sing dituduhake ing FIG. 2, osilator harmonik prasaja kawangun dening massa klempakan m disambungake dening spring linear. Nalika pamindahan geter diwilang saka posisi keseimbangn, persamaan geter punika:
Ing endi kaku spring.Solusi umum kanggo persamaan ing ndhuwur yaiku (1).A lan bisa ditemtokake kanthi posisi awal x0 lan kecepatan awal ing t=0:
Nanging omega n mung ditemtokake dening karakteristik sistem dhewe m lan k, independen saka kondisi awal tambahan, supaya omega n uga dikenal minangka frekuensi alam.
Gbr. 2 sistem derajat kebebasan tunggal
Kanggo osilator harmonik sing prasaja, jumlah energi kinetik lan energi potensial iku konstan, yaiku, energi mekanik total sistem dikonservasi. Ing proses geter, energi kinetik lan energi potensial terus-terusan diowahi dadi siji liyane.
Getaran damping
Getaran sing amplitudo terus-terusan dikurangi kanthi gesekan lan resistensi dielektrik utawa konsumsi energi liyane. Kanggo getaran mikro, kecepatan umume ora gedhe banget, lan resistensi medium sebanding karo kecepatan menyang daya pisanan, sing bisa ditulis minangka c yaiku koefisien redaman.Mulane, persamaan getaran siji derajat kebebasan kanthi redaman linier bisa ditulis minangka:
(2)Ing endi, m =c/2m diarani parameter damping, lan.Solusi umum rumus (2) bisa ditulis:
(3)Hubungan numerik antarane omega n lan PI bisa dipérang dadi telung kasus ing ngisor iki:
N > (ing kasus redaman cilik) partikel ngasilake getaran atenuasi, persamaan getaran yaiku:
Amplitudo sawijining sudo karo wektu miturut hukum eksponensial ditampilake ing persamaan, minangka ditampilake ing garis burik ing FIG. 3.Strictly ngandika, geter iki aperiodic, nanging frekuensi saka puncak bisa ditetepake minangka:
Disebut tingkat reduksi amplitudo, ing endi periode geter.Logaritma alam saka tingkat reduksi amplitudo diarani tingkat logaritma minus (amplitudo). Temenan, =, ing kasus iki, padha karo 2/1. Langsung liwat delta test eksperimen lan, nggunakake rumus ndhuwur bisa diwilang c.
Ing wektu iki, solusi saka persamaan (2) bisa ditulis:
Bebarengan karo arah kecepatan awal, bisa dipérang dadi telung kasus non-getaran kaya sing dituduhake ing FIG. 4.
N < (ing kasus redaman gedhe), solusi kanggo persamaan (2) ditampilake ing persamaan (3). Ing titik iki, sistem ora kedher maneh.
Geter paksa
Getaran sistem ing eksitasi konstan.Analisis getaran utamane nyelidiki respon sistem kanggo eksitasi.Eksitasi périodik minangka eksitasi biasa sing khas.Amarga eksitasi periodik bisa diurai dadi jumlah sawetara eksitasi harmonik, miturut prinsip superposisi, mung tanggepan sistem kanggo saben eksitasi harmonik dibutuhake.Ing tumindak eksitasi harmonik, persamaan diferensial gerakan saka sistem damped siji derajat kebebasan bisa ditulis:
Tanggapan iku gunggunge rong perangan. Siji bagéan minangka respon saka geter damped, kang bosok kanthi cepet karo wektu.Tanggepan bagean liyane saka getaran dipeksa bisa ditulis:
Gbr. 3 kurva geter damped
Gbr. 4 kurva saka telung kondisi awal karo damping kritis
Ketik ing
H / F0 = h (), punika rasio amplitudo respon anteng kanggo amplitudo eksitasi, characterizing karakteristik amplitudo-frekuensi, utawa gain fungsi;Bit kanggo steady state respon lan insentif phase, karakterisasi karakteristik frekuensi phase. frekuensi eksitasi ditampilake ing FIG. 5 lan Gbr. 6.
Kaya sing bisa dideleng saka kurva amplitudo-frekuensi (Gambar 5), ing kasus redaman cilik, kurva frekuensi amplitudo nduweni puncak siji. disebut frekuensi resonansi saka sistem.Ing cilik damping, frekuensi resonansi ora akeh beda saka frekuensi alam.Nalika frekuensi eksitasi cedhak frekuensi alam, amplitudo mundhak banget. Fenomena iki diarani resonansi.Ing resonansi, gain sistem kasebut maksimal, yaiku, getaran sing dipeksa paling kuat.Mulane, ing umum, tansah ngupayakake supaya resonansi, kajaba sawetara instrumen lan peralatan nggunakake resonansi kanggo entuk gedhe. geter.
Gbr. 5 kurva frekuensi amplitudo
Bisa katon saka kurva frekuensi phase (tokoh 6), preduli saka ukuran damping, ing omega nul phase beda bit = PI / 2, karakteristik iki bisa èfèktif digunakake kanggo ngukur resonansi.
Saliyane eksitasi sing tetep, sistem kadhangkala nemoni eksitasi sing ora stabil. Bisa dipérang dadi rong jinis: siji yaiku impact dadakan. Sing kapindho yaiku efek sing terus-terusan saka arbitrariness. Ing eksitasi sing ora stabil, respon sistem uga ora stabil.
Alat sing kuat kanggo nganalisa getaran sing ora stabil yaiku metode respon impuls. Iki nggambarake karakteristik dinamis sistem kanthi respon transien saka input impuls unit sistem. Impuls unit bisa dituduhake minangka fungsi delta. Ing engineering, delta fungsi asring ditetepake minangka:
Ing endi 0- nuduhake titik ing sumbu t sing nyedhaki nol saka sisih kiwa; 0 plus minangka titik sing menyang 0 saka sisih tengen.
Gbr. kurva frekuensi 6 fase
Gbr. 7 sembarang input bisa dianggep minangka jumlah saka seri saka unsur impuls
Sistem kasebut cocog karo respon h (t) sing diasilake dening impuls unit ing t = 0, sing diarani fungsi respon impuls. Kanthi asumsi yen sistem kasebut stasioner sadurunge pulsa, h (t) = 0 kanggo t<0. Ngerti fungsi respon impuls sistem, kita bisa nemokake respon sistem kanggo sembarang input x (t). Ing titik iki, sampeyan bisa mikir x (t) minangka jumlah saka seri unsur impuls (Gambar 7). .Tanggapan saka sistem yaiku:
Adhedhasar prinsip superposisi, total respon sistem sing cocog karo x(t) yaiku:
Integral iki diarani integral konvolusi utawa integral superposisi.
Getaran linear saka sistem multi-degree-of-freedom
Getaran sistem linier kanthi n≥2 derajat kebebasan.
Gambar 8 nuduhake rong subsistem resonansi prasaja sing disambungake dening pegas kopling. Amarga sistem rong derajat kebebasan, rong koordinat independen dibutuhake kanggo nemtokake posisine. Ana rong frekuensi alami ing sistem iki:
Saben frekuensi cocog karo mode geter.Osilator harmonik nindakake osilasi harmonik kanthi frekuensi sing padha, kanthi sinkron ngliwati posisi keseimbangan lan kanthi cepet tekan posisi ekstrem. Ing getaran utama sing cocog karo omega siji, x1 padha karo x2; getaran utama sing cocog karo omega omega loro, omega omega siji.Ing getaran utama, rasio pamindahan saben massa njaga hubungan tartamtu lan mbentuk mode tartamtu, sing diarani mode utama utawa mode alam.Orthogonalitas massa lan kaku ana ing antarane mode utama, kang nuduhake kamardikan saben geter.Frekuensi alam lan mode utama makili ciri getaran gawan saka multi-degree saka sistem kamardikan.
Gbr. 8 sistem karo sawetara derajat saka kamardikan
Sistem n derajat kebebasan nduweni n frekuensi alami lan n mode utama.Sembarang konfigurasi geter sistem bisa dituduhake minangka kombinasi linear saka mode utama.Mulane, metode superposisi mode utama digunakake akeh ing analisis respon dinamis multi sistem -dof. Kanthi cara iki, pangukuran lan analisis karakteristik geter alami sistem dadi langkah rutin ing desain dinamis sistem.
Karakteristik dinamis sistem multi-dof uga bisa diterangake kanthi karakteristik frekuensi.Amarga ana fungsi karakteristik frekuensi antarane saben input lan output, matriks karakteristik frekuensi dibangun. Kurva karakteristik frekuensi amplitudo sistem multi-kabebasan beda saka sistem single-freedom.
Elastomer kedher
Sistem multi-derajat kebebasan ing ndhuwur minangka model mekanik elastomer. Elastomer nduweni derajat kebebasan tanpa wates. Ana prabédan kuantitatif nanging ora ana prabédan penting ing antarane loro. nomer tanpa wates saka mode sing cocog, lan ana orthogonality antarane mode massa lan kaku.Sembarang konfigurasi getaran saka elastomer uga bisa dituduhake minangka superposition linear saka mode utama.Mulane, kanggo analisis respon dinamis elastomer, cara superposition saka mode utama isih ditrapake (ndeleng getaran linear elastomer).
Njupuk geter saka senar.Ayo ngomong yen senar tipis massa m saben unit dawa, dawa l, tensioned ing loro ends, lan tension punika T. Ing wektu iki, frekuensi alam saka senar ditemtokake dening ing ngisor iki. persamaan:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Where, punika kacepetan panyebaran saka gelombang transversal ing sadawane arah senar. Frekuensi alam saka strings kelakon dadi kelipatan saka frekuensi dhasar liwat 2l. Multiplicity integer iki ndadékaké kanggo struktur harmonik penake. Umumé, ora ana. hubungan kaping integer kuwi antarane frekuensi alam saka elastomer ing.
Telung mode pisanan saka senar tensioned ditampilake ing FIG. 9. Ana sawetara kelenjar ing kurva mode utama. Ing geter utama, kelenjar ora kedher.FIG. 10 nuduhake sawetara mode khas saka piring bunder circumferentially didhukung karo sawetara garis nodal dumadi saka bunderan lan dhiameter.
Formulasi sing tepat saka masalah geter elastomer bisa disimpulake minangka masalah nilai wates saka persamaan diferensial parsial. masalah geter.Inti saka macem-macem solusi kira-kira kanggo ngganti tanpa wates menyang winates, yaiku, kanggo discretize sistem multi-derajat kebebasan anggota awak (sistem terus-terusan) dadi sistem multi-derajat kebebasan (sistem diskrit) .Ana rong jinis metode diskritisasi sing akeh digunakake ing analisis teknik: metode unsur terhingga lan metode sintesis modal.
Gbr. 9 mode string
Gbr. 10 mode piring bunder
Metode unsur winates minangka struktur gabungan sing abstrak struktur kompleks dadi sawetara unsur lan nyambungake ing nomer simpul sing winates. Saben unit minangka elastomer; paramèter distribusi saben unsur klempakan kanggo saben simpul ing format tartamtu, lan model mechanical saka sistem diskret dijupuk.
Sintesis modal yaiku dekomposisi struktur kompleks dadi sawetara substruktur sing luwih prasaja. Ing basis kanggo mangerteni karakteristik getaran saben substruktur, substruktur kasebut disintesis dadi struktur umum miturut kondisi koordinasi ing antarmuka, lan morfologi getaran saka umum. struktur dipikolehi kanthi nggunakake morfologi getaran saben substruktur.
Cara loro kasebut beda lan ana hubungane, lan bisa digunakake minangka referensi.Cara sintesis modal uga bisa digabungake kanthi efektif karo pangukuran eksperimen kanggo mbentuk metode analisis teoritis lan eksperimen kanggo getaran sistem gedhe.
Wektu kirim: Apr-03-2020
