Сызықтық тербеліс дегеніміз не?

Сызықтық тербеліс: жүйедегі компоненттердің икемділігі Гук заңына бағынады, ал қозғалыс кезінде пайда болатын демпферлік күш жалпыланған жылдамдықтың бірінші теңдеуіне пропорционал (жалпыланған координаталардың уақыт бойынша туындысы).

тұжырымдамасы

Сызықтық жүйе әдетте нақты жүйе дірілінің дерексіз моделі болып табылады. Сызықтық діріл жүйесі суперпозиция принципін қолданады, яғни жүйенің жауабы x1 кірісінің әрекетінде y1 және x2 кірісінің әрекетінде y2 болса, онда x1 және x2 кірістерінің әрекетіндегі жүйенің жауабы у1+у2 болады.

Суперпозиция принципі негізінде ерікті кірісті шексіз аз импульстар қатарының қосындысына ыдыратуға болады, содан кейін жүйенің толық жауабын алуға болады. Периодты қозудың гармоникалық құрамдастарының қосындысын кеңейтуге болады. Гармоникалық компоненттер қатарын Фурье түрлендіруі арқылы және әрбір гармоникалық компоненттің жүйеге әсерін жеке зерттеуге болады. Сондықтан реакция Тұрақты параметрлері бар сызықтық жүйелердің сипаттамаларын импульстік жауап немесе жиілік реакциясы арқылы сипаттауға болады.

Импульстік жауап жүйенің уақыт доменіндегі жауап сипаттамаларын сипаттайтын бірлік импульсқа жүйенің жауабын білдіреді. Жиілік жауап жүйенің бірлік гармоникалық кірісіне жауап сипаттамасын білдіреді. Екеуінің арасындағы сәйкестік анықталады. Фурье түрлендіруі арқылы.

классификация

Сызықтық тербелісті бір дәрежелі еркіндік жүйесінің сызықтық дірілі және көп еркіндік дәрежелі жүйенің сызықтық тербелісі деп бөлуге болады.

(1) бір еркіндік дәрежелі жүйенің сызықтық дірілі – жалпыланған координатаның көмегімен орналасуын анықтауға болатын сызықтық діріл. Бұл тербелістің көптеген негізгі ұғымдары мен сипаттамаларын алуға болатын ең қарапайым тербеліс. Оған қарапайым кіреді. гармоникалық тербеліс, еркін діріл, әлсіреу тербелісі және еріксіз тербеліс.

Қарапайым гармоникалық тербеліс: заттың тепе-теңдік жағдайына жақын жерде оның орын ауыстыруына пропорционал қалпына келтіруші күштің әсерінен синусоидалы заң бойынша кері қозғалысы.

Өшірілген діріл: амплитудасы үйкеліс пен диэлектрлік кедергінің немесе басқа энергия шығынының болуына байланысты үнемі әлсірейтін діріл.

Мәжбүрлі діріл: тұрақты қозу кезіндегі жүйенің дірілі.

(2) көп дәрежелі еркіндік жүйесінің сызықтық дірілі n≥2 еркіндік дәрежесі бар сызықтық жүйенің дірілі болып табылады. n еркіндік дәрежесі бар жүйеде n табиғи жиілік және n негізгі режим бар. Кез келген діріл конфигурациясы жүйенің негізгі режимдерінің сызықтық комбинациясы ретінде ұсынылуы мүмкін. Сондықтан негізгі режимнің суперпозициясы әдісі динамикалық жауап талдауында кеңінен қолданылады. көп реттік жүйелер. Осылайша, жүйенің табиғи діріл сипаттамаларын өлшеу және талдау жүйені динамикалық жобалаудағы әдеттегі қадамға айналады. Көп реттік жүйелердің динамикалық сипаттамаларын жиілік сипаттамалары арқылы да сипаттауға болады. әрбір кіріс пен шығыс арасында жиілік сипаттамалық функция бар, жиілік сипаттамалық матрица құрылады. Жиілік сипаттамасы мен негізгі режим арасында белгілі бір байланыс бар. Амплитудалық-жиілік сипаттамасы көп еркіндік жүйесінің қисығы бір еркіндік жүйесінің қисығынан ерекшеленеді.

Бір дәрежелі еркіндік жүйесінің сызықтық тербелісі

Жүйенің орнын жалпылама координат арқылы анықтауға болатын сызықтық діріл. Бұл дірілдің көптеген негізгі ұғымдары мен сипаттамаларын алуға болатын ең қарапайым және ең іргелі діріл. Оған қарапайым гармоникалық тербеліс, әлсіреген діріл және мәжбүрлі тербеліс кіреді. .

Гармоникалық тербеліс

Орын ауыстыруға пропорционал қалпына келтіру күшінің әрекеті кезінде объект өзінің тепе-теңдік күйіне жақын жерде синусоидалы түрде кері қозғалыс жасайды (1-сурет).X орын ауыстыруды және t уақытты білдіреді. Бұл тербелістің математикалық өрнегі:

(1)Мұндағы A – амплитудасы деп аталатын және тербелістің қарқындылығын білдіретін x орын ауыстыруының ең үлкен мәні; Omega n – амплитудасының бір секундтағы тербелістің бұрыштық өсімі, ол бұрыштық жиілік немесе дөңгелек жиілік деп аталады; Бұл бастапқы фаза деп аталады. f= n/2 тұрғысынан секундына тербелістер саны жиілік деп аталады; Бұған кері, T=1/f, бір циклдің тербелісіне кететін уақыт және ол период деп аталады. Амплитудасы A, жиілік f (немесе бұрыштық жиілік n), бастапқы фаза, қарапайым гармоникалық тербеліс үш элемент ретінде белгілі.

ІНЖІР. 1 қарапайым гармоникалық тербеліс қисығы

Суретте көрсетілгендей. 2, қарапайым гармоникалық осциллятор сызықтық серіппемен қосылған концентрацияланған масса m арқылы түзіледі. Тербелістің орын ауыстыруын тепе-теңдік күйден есептегенде, діріл теңдеуі:

Мұндағы серіппенің қаттылығы. Жоғарыдағы теңдеудің жалпы шешімі (1).А және бастапқы х0 орны мен t=0 кезіндегі бастапқы жылдамдықпен анықталуы мүмкін:

Бірақ омега n қосымша бастапқы шарттарға тәуелсіз жүйенің m және k сипаттамаларымен ғана анықталады, сондықтан омега n табиғи жиілік ретінде де белгілі.

ІНЖІР. 2 еркіндіктің бір дәрежесі жүйесі

Қарапайым гармоникалық осциллятор үшін оның кинетикалық энергиясы мен потенциалдық энергиясының қосындысы тұрақты, яғни жүйенің толық механикалық энергиясы сақталады. Діріл процесінде кинетикалық энергия мен потенциалдық энергия үнемі бір-біріне айналады.

Демпферлік діріл

Амплитудасы үйкеліс пен диэлектрлік кедергі немесе басқа энергия тұтыну арқылы үнемі әлсіретілетін діріл. Микро діріл үшін жылдамдық әдетте онша үлкен емес және орташа кедергі жылдамдыққа бірінші қуатқа пропорционал, оны c деп жазуға болады. демпферлік коэффициенті.Сондықтан сызықтық демпферлікпен бір еркіндік дәрежесінің тербеліс теңдеуін былай жазуға болады:

(2)Мұндағы, m =c/2m демпферлік параметр деп аталады және (2) формуланың жалпы шешімін жазуға болады:

(3)Omega n және PI арасындағы сандық қатынасты келесі үш жағдайға бөлуге болады:

N > (кішігірім демпферлік жағдайда) бөлшек әлсіреу дірілін тудырады, діріл теңдеуі:

Оның амплитудасы суреттегі нүктелі сызықта көрсетілгендей теңдеуде көрсетілген экспоненциалды заңға сәйкес уақыт бойынша азаяды. 3. Қатаң айтқанда, бұл діріл периодтық, бірақ оның шыңының жиілігін келесідей анықтауға болады:

Амплитуданың азаю жылдамдығы деп аталады, мұндағы діріл периоды. Амплитуданың азаю жылдамдығының натурал логарифмі логарифмнің минус (амплитудасы) жылдамдығы деп аталады. Әлбетте, =, бұл жағдайда 2/1-ге тең. Тікелей эксперименттік сынақтың дельтасын және жоғарыда келтірілген формуланы пайдалана отырып есептеуге болады c.

Бұл кезде (2) теңдеудің шешімін жазуға болады:

Бастапқы жылдамдықтың бағытымен бірге оны суретте көрсетілгендей үш дірілсіз жағдайға бөлуге болады. 4.

N < (үлкен демпферлік жағдайда), (2) теңдеудің шешімі (3) теңдеуде көрсетілген. Бұл кезде жүйе бұдан былай дірілдемейді.

Мәжбүрлі діріл

Тұрақты қозу кезіндегі жүйенің дірілі. Діріл талдауы негізінен жүйенің қозуға реакциясын зерттейді. Периодтық қозу әдеттегі тұрақты қозу болып табылады. Өйткені периодты қозу әрқашан бірнеше гармоникалық қозудың қосындысына ыдырауы мүмкін, суперпозиция принципі бойынша, тек қана Әрбір гармоникалық қозуға жүйенің жауабы қажет. Гармоникалық қозу әрекеті кезінде дифференциалдық теңдеу Бір еркіндік дәрежелі демпелі жүйенің қозғалысын былай жазуға болады:

Жауап екі бөліктің қосындысы болып табылады. Бір бөлігі уақыт өте тез ыдырайтын әлсіреген дірілдің жауабы болып табылады. Еріксіз тербелістің екінші бөлігінің жауабын былай жазуға болады:

ІНЖІР. 3 сөнген діріл қисығы

ІНЖІР. Критикалық демпферлік үш бастапқы жағдайдың 4 қисығы

теріңіз

H /F0= h (), амплитудалық-жиілік сипаттамаларын немесе күшейту функциясын сипаттайтын тұрақты жауап амплитудасының қозу амплитудасына қатынасы; Тұрақты күй реакциясы мен фазаның ынталандыру биттері, фазалық жиілік сипаттамаларының сипаттамасы. Олардың арасындағы байланыс және қозу жиілігі суретте көрсетілген. 5 және сур. 6.

Амплитуда-жиілік қисығынан (5-сурет) көрініп тұрғандай, кіші демпферлік жағдайда амплитудалық-жиілік қисығы бір шыңға ие.Демпферлік неғұрлым аз болса, шың соғұрлым тік;Шыңға сәйкес жиілік Жүйенің резонанстық жиілігі деп аталады. Кішкентай демпферлік жағдайда резонанс жиілігі табиғи жиіліктен айтарлықтай ерекшеленбейді. Қозу жиілігі жақын болғанда. табиғи жиілік, амплитудасы күрт артады. Бұл құбылыс резонанс деп аталады.Резонанс кезінде жүйенің күшеюі максималды болады, яғни еріксіз тербеліс ең қарқынды болып табылады.Сондықтан, жалпы алғанда, кейбір аспаптар мен жабдықтар үлкен нәтижеге жету үшін резонансты пайдаланбаса, әрқашан резонансты болдырмауға тырысыңыз. діріл.

ІНЖІР. 5 амплитудалық жиілік қисығы

Фазалық жиілік қисығынан (6-сурет) демпфинг өлшеміне қарамастан, омега нөлдік фазалық айырмашылық битінде = PI / 2 көруге болады, бұл сипаттаманы резонансты өлшеуде тиімді пайдалануға болады.

Тұрақты қозудан басқа, жүйелер кейде тұрақсыз қозумен кездеседі. Оны шамамен екі түрге бөлуге болады: бірі кенеттен әсер ету. Екіншісі - озбырлықтың ұзаққа созылатын әсері. Тұрақсыз қозу кезінде жүйенің жауабы да тұрақсыз.

Тұрақсыз дірілді талдаудың қуатты құралы импульстік жауап әдісі болып табылады. Ол жүйенің бірлік импульсінің өтпелі реакциясымен жүйенің динамикалық сипаттамаларын сипаттайды. Бірлік импульс үшбұрыш функциясы ретінде көрсетілуі мүмкін. Техникада үшбұрыш функция жиі анықталады:

Мұндағы 0- сол жақтан нөлге жақындайтын t осіндегі нүктені білдіреді; 0 плюс оң жақтан 0-ге баратын нүкте.

ІНЖІР. 6 фазалық жиілік қисығы

ІНЖІР. 7 кез келген кірісті импульстік элементтер қатарының қосындысы ретінде қарастыруға болады

Жүйе t=0 кезінде бірлік импульс тудыратын h(t) жауапқа сәйкес келеді, ол импульстік жауап функциясы деп аталады. Жүйе импульске дейін стационарлық деп есептесек, t<0 үшін h(t)=0. Білу Жүйенің импульстік жауап функциясы, біз жүйенің кез келген x(t) кірісіне жауабын таба аламыз. Бұл кезде x(t) импульстік элементтер қатарының қосындысы ретінде қарастыруға болады. (7-сурет).Жүйенің жауабы:

Суперпозиция принципіне сүйене отырып, x(t) мәніне сәйкес жүйенің толық жауабы:

Бұл интегралды конволюциялық интеграл немесе суперпозиция интегралы деп атайды.

Көп дәрежелі еркіндік жүйесінің сызықтық дірілі

n≥2 еркіндік дәрежесі бар сызықтық жүйенің тербелісі.

8-суретте қосылыс серіппесі арқылы қосылған екі қарапайым резонанстық ішкі жүйе көрсетілген. Ол екі еркіндік дәрежесіндегі жүйе болғандықтан, оның орнын анықтау үшін екі тәуелсіз координат қажет. Бұл жүйеде екі табиғи жиілік бар:

Әрбір жиілік тербеліс режиміне сәйкес келеді. Гармоникалық осцилляторлар бірдей жиіліктегі гармоникалық тербелістерді жүзеге асырады, тепе-теңдік күйінен синхронды түрде өтіп, синхронды түрде экстремалды позицияға жетеді. Омега біріншіге сәйкес келетін негізгі тербелісте x1 x2-ге тең; омега омега екіге, омега омега біріншіге сәйкес келетін негізгі діріл. Негізгі дірілде, әрбір массаның орын ауыстыру қатынасы белгілі бір қатынасты сақтайды және белгілі бір режимді құрайды, ол негізгі режим немесе табиғи режим деп аталады. Масса мен қаттылықтың ортогональдығы негізгі режимдердің арасында бар, ол әрбір тербелістің тәуелсіздігін көрсетеді. Табиғи жиілік және негізгі режим көп дәрежелі еркіндік жүйесіне тән діріл сипаттамаларын білдіреді.

ІНЖІР. Бірнеше еркіндік дәрежесі бар 8 жүйе

n еркіндік дәрежелі жүйенің n табиғи жиілігі және n негізгі режимі бар. Жүйенің кез келген діріл конфигурациясы негізгі режимдердің сызықтық комбинациясы ретінде ұсынылуы мүмкін. Сондықтан негізгі режимнің суперпозициясы әдісі көп мәнді динамикалық жауап талдауында кеңінен қолданылады. -dof жүйелері.Осылайша жүйенің табиғи діріл сипаттамаларын өлшеу және талдау жүйені динамикалық жобалаудағы әдеттегі қадамға айналады.

Көп реттік жүйелердің динамикалық сипаттамаларын жиілік сипаттамалары арқылы да сипаттауға болады. Әрбір кіріс пен шығыс арасында жиілікті сипаттамалық функция болғандықтан, жиілік сипаттамалық матрица құрылады. Көп еркіндік жүйесінің амплитудалық-жиілік сипаттамалық қисығы әртүрлі. бір еркіндік жүйесінен.

Эластомер дірілдейді

Жоғарыда келтірілген көп еркіндік жүйесі эластомердің шамамен механикалық үлгісі болып табылады. Эластомерде еркіндік дәрежелерінің шексіз саны бар. Олардың арасында сандық айырмашылық бар, бірақ маңызды айырмашылық жоқ. Кез келген эластомерде табиғи жиіліктердің шексіз саны бар және сәйкес режимдердің шексіз саны және масса мен қаттылық режимдері арасында ортогональдық бар. Кез келген діріл конфигурациясы эластомердің негізгі режимдерінің сызықтық суперпозициясы ретінде де ұсынылуы мүмкін. Сондықтан эластомердің динамикалық жауап талдауы үшін негізгі режимнің суперпозиция әдісі әлі де қолданылады (эластомердің сызықтық дірілін қараңыз).

Жіптің тербелісін алайық.Ұзындық бірлігіндегі массасы m, ұзын l жіңішке жіптің екі ұшынан керілген, ал керілуі T. Бұл кезде жіптің табиғи жиілігі мына жолмен анықталады. теңдеу:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Мұндағы, көлденең толқынның жолдың бағыты бойынша таралу жылдамдығы. Жолдардың табиғи жиіліктері негізгі жиіліктің 2л-ден асатын еселігі болып табылады. Бұл бүтін сандардың көптігі жағымды гармоникалық құрылымға әкеледі. Жалпы алғанда, жоқ. эластомердің табиғи жиіліктері арасындағы бүтін еселік қатынас.

Керілген жіптің алғашқы үш режимі суретте көрсетілген. 9. Негізгі режим қисығында кейбір түйіндер бар. Негізгі дірілде түйіндер дірілмейді.сур. 10-суретте шеңберлер мен диаметрлерден тұратын кейбір түйін сызықтары бар айналмалы тіректелген дөңгелек пластинаның бірнеше типтік режимдері көрсетілген.

Эластомерлік діріл есебінің нақты тұжырымын ішінара дифференциалдық теңдеулердің шекаралық есебі ретінде тұжырымдауға болады. Дегенмен, нақты шешімді кейбір қарапайым жағдайларда ғана табуға болады, сондықтан күрделі эластомерге арналған жуық шешімге жүгінуге тура келеді. діріл мәселесі.Әртүрлі жуықтық шешімдердің мәні шексізді ақырлыға өзгерту, яғни дискреттеу болып табылады. лимбсіз көп дәрежелі еркіндік жүйесін (үздіксіз жүйе) ақырлы көп дәрежелі еркіндік жүйесіне (дискретті жүйе). Инженерлік талдауда кеңінен қолданылатын дискреттеу әдістерінің екі түрі бар: соңғы элементтер әдісі және модальды синтез әдісі.

ІНЖІР. 9 жол режимі

ІНЖІР. Дөңгелек тақтаның 10 режимі

Ақырлы элементтер әдісі – күрделі құрылымды элементтердің шектеулі санына абстракциялайтын және оларды түйіндердің шектеулі санында байланыстыратын құрама құрылым. Әрбір бірлік эластомер; Элементтің таралу орын ауыстыруы түйіннің орын ауыстыруының интерполяциялық функциясымен өрнектеледі. Содан кейін әрбір элементтің таралу параметрлері әрбір түйінге белгілі бір форматта шоғырланып, дискретті жүйенің механикалық моделі алынады.

Модальдық синтез – күрделі құрылымның бірнеше қарапайым кіші құрылымдарға ыдырауы. Әрбір ішкі құрылымның діріл сипаттамаларын түсіну негізінде интерфейстегі координациялық шарттарға сәйкес ішкі құрылым жалпы құрылымға синтезделеді және жалпы құрылымның діріл морфологиясы. құрылым әрбір ішкі құрылымның діріл морфологиясын пайдалану арқылы алынады.

Екі әдіс әртүрлі және өзара байланысты және оларды сілтеме ретінде пайдалануға болады. Модальды синтез әдісін тәжірибелік өлшеумен де тиімді біріктіріп, үлкен жүйелердің дірілі үшін теориялық және эксперименттік талдау әдісін құруға болады.