선형 진동: 시스템에서 구성 요소의 탄력성은 Hooke의 법칙에 따라 달라지며, 움직임 동안 생성 된 댐핑 력은 일반화 된 속도의 첫 번째 방정식 (일반화 된 좌표의 시간 파생)에 비례합니다.
개념
선형 시스템은 일반적으로 실제 시스템의 진동의 추상 모델입니다. 선형 진동 시스템은 중첩 원리를 적용합니다. 그런 다음 입력 X1 및 X2의 동작 하에서 시스템의 응답은 Y1+Y2입니다.
중첩 원리에 기초하여, 임의의 입력은 일련의 무한 충동의 합으로 분해 될 수 있고, 시스템의 총 응답을 얻을 수있다. 주기적 여기의 고조파 성분의 합은 푸리에 변환에 의한 일련의 고조파 성분과 시스템에 대한 각 고조파 구성 요소의 효과를 별도로 조사 할 수 있습니다. 따라서 선형 시스템의 응답 특성은 일정합니다. 매개 변수는 임펄스 응답 또는 주파수 응답으로 설명 할 수 있습니다.
임펄스 응답은 시간 도메인에서 시스템의 응답 특성을 특징 짓는 단위 임펄스에 대한 시스템의 응답을 말합니다. 주파수 응답은 시스템의 반응 특성을 단위 고조파 입력에 대한 응답 특성을 나타냅니다. 둘 사이의 대응은 결정됩니다. 푸리에 변환에 의해.
분류
선형 진동은 단일 자유 시스템의 선형 진동으로 나눌 수 있으며 다중 급증 시스템의 선형 진동으로 나눌 수 있습니다.
(1) 단일 자유 시스템의 선형 진동은 일반화 된 좌표에 의해 위치를 결정할 수있는 선형 진동이며, 진동의 많은 기본 개념과 특성이 도출 될 수있는 가장 간단한 진동입니다. 고조파 진동, 자유 진동, 감쇠 진동 및 강제 진동.
간단한 고조파 진동 : 변위에 비례하는 복원력의 작용하에 정현파 법에 따라 평형 위치 근처의 물체의 왕복 운동.
감쇠 진동 : 마찰 및 유전 저항 또는 기타 에너지 소비의 존재에 의해 진폭이 지속적으로 약화되는 진동.
강제 진동 : 일정한 여기에서 시스템의 진동.
(2) 다중 급증 시스템의 선형 진동은 2도 이상의 자유도를 갖는 선형 시스템의 진동입니다. N National 주파수와 N 주 모드가 N 주 모드를 갖는다. 시스템 중 주요 모드의 선형 조합으로 표시 될 수 있습니다. 따라서 기본 모드 중첩 방법은 다중 DOF 시스템의 동적 응답 분석에 널리 사용됩니다. 시스템의 자연스러운 진동 특성의 측정 및 분석은 시스템의 동적 설계에서 일상적인 단계가됩니다. 다중 DOF 시스템의 동적 특성은 주파수 특성으로 설명 할 수 있습니다. 및 출력, 주파수 특성 매트릭스가 구성됩니다. 주파수 특성과 기본 모드 사이의 명확한 관계가 있습니다. 멀티 프레 돔 시스템은 단일 프레돔 시스템의 시스템과 다릅니다.
단일 자유도 시스템의 선형 진동
시스템의 위치가 일반화 된 좌표에 의해 결정될 수있는 선형 진동. 그것은 진동의 많은 기본 개념과 특성을 도출 할 수있는 가장 간단하고 근본적인 진동입니다. 단순한 고조파 진동, 축축한 진동 및 강제 진동을 포함합니다. .
고조파 진동
변위에 비례하는 힘을 회복시키는 작용하에, 물체는 평형 위치 근처의 정현파 방식으로 왕복합니다 (그림 1). X 변위를 나타내고 t는 시간을 나타냅니다. 이 진동의 수학적 표현은 다음과 같습니다.
(1)여기서 a는 진폭이라고 불리는 변위 X의 최대 값이며 진동의 강도를 나타냅니다. 오메가 N은 각각 주파수 또는 원형 주파수라고하는 초당 진동의 진폭 각도입니다. 초기 단계라고합니다. 단순한 고조파 진동 3 가지 요소로 알려진 초기 단계 인 amplitude a, 주파수 f (또는 각 주파수 n)를 한주기라고합니다.
무화과. 1 간단한 고조파 진동 곡선
그림과 같이. 도 2, 단순한 고조파 발진기는 선형 스프링으로 연결된 농축 질량 M에 의해 형성되며, 진동 변위가 평형 위치에서 계산되면 진동 방정식은 다음과 같습니다.
위의 방정식에 대한 일반적인 솔루션은 (1) .a이며 초기 위치 x0 및 t = 0의 초기 속도에 의해 결정될 수 있습니다.
그러나 오메가 N은 추가 초기 조건과 무관하게 시스템 자체 M 및 K의 특성에 의해서만 결정되므로 오메가 N은 고유 주파수라고도합니다.
무화과. 2 단일 자유 시스템
단순한 고조파 발진기의 경우, 운동 에너지와 잠재적 에너지의 합은 일정합니다. 즉, 시스템의 총 기계적 에너지가 보존됩니다. 진동 과정에서 운동 에너지 및 잠재적 에너지는 서로 끊임없이 변형됩니다.
감쇠 진동
마찰 및 유전 저항 또는 기타 에너지 소비에 의해 진폭이 지속적으로 약화되는 진동. 미세 진동의 경우 속도는 일반적으로 크지 않으며 중간 저항은 첫 번째 전력에 비례하여 C로 작성 될 수 있습니다. 댐핑 계수. 따라서 선형 댐핑을 사용한 1 도의 자유의 진동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(2)여기서 M = C/2M은 댐핑 매개 변수라고하며, 공식의 일반적인 솔루션 (2)을 작성할 수 있습니다.
(3)오메가 N과 PI의 수치 관계는 다음 세 가지로 나눌 수 있습니다.
N> (작은 댐핑의 경우) 입자가 생성 된 감쇠 진동, 진동 방정식은 다음과 같습니다.
그 진폭은도 1의 점선에 도시 된 바와 같이 방정식에 표시된 지수 법칙에 따라 시간에 따라 감소한다. 3. 명백히 말하면,이 진동은 aperiodic이지만 피크의 주파수는 다음과 같이 정의 될 수 있습니다.
진폭 감소 속도라고합니다. 실험 테스트 델타 및 상기 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. c.
현재 식 (2)의 솔루션을 작성할 수 있습니다.
초기 속도의 방향과 함께, 이는도 1에 도시 된 바와 같이 3 개의 비 진동 케이스로 나눌 수있다. 4.
n <(큰 댐핑의 경우), 식 (2)에 대한 솔루션은 식 (3)에 표시됩니다.이 시점에서 시스템은 더 이상 진동하지 않습니다.
강제 진동
지속적인 흥분에 따라 시스템의 진동. 진동 분석은 주로 여기에 대한 시스템의 반응을 조사합니다. 영역 흥분은 전형적인 정기적 인 흥분입니다. 정기적 인 흥분은 항상 여러 고조파 여기의 합으로 분해 될 수 있습니다. 각 고조파 여기에 대한 시스템의 반응이 필요합니다. 고조파 여기의 작용에 따라 단일 자유 정도의 운동 방정식은 작성 :
응답은 두 부분의 합입니다. 한 부분은 댐핑 진동의 반응으로, 시간이 지남에 따라 빠르게 붕괴되며, 강제 진동의 다른 부분의 반응은 다음과 같습니다.
무화과. 3 축축한 진동 곡선
무화과. 임계 감쇠를 사용한 3 가지 초기 조건의 4 개의 곡선
입력
h /f0 = h ()는 꾸준한 응답 진폭과 여기 진폭의 비율, 진폭 주파수 특성 특성 또는 게인 함수를 특성화하는 비율; 정상 상태 응답 및 위상의 인센티브, 위상 주파수 특성의 특성화. 여기 주파수는 그림에 나와 있습니다. 5 및 그림. 6.
진폭 주파수 곡선 (그림 5)에서 볼 수 있듯이 작은 댐핑의 경우 진폭 주파수 곡선은 단일 피크를 갖습니다. 댐핑이 작을수록 피크가 더 가파르고 피크에 해당하는 주파수는 피크입니다. 작은 댐핑의 경우 공명 주파수는 고유 주파수와 크게 다르지 않습니다. 여기 주파수가 자연에 가까울 때 주파수, 진폭은 급격히 증가합니다. 이 현상은 공명이라고 불립니다. 공명에서 시스템의 이득은 극대화됩니다. 즉, 강제 진동이 가장 강렬합니다. 따라서 일반적으로, 일반적으로 공명을 사용하여 크게 달성하기 위해 일부 기기와 장비를 사용하지 않는 한 항상 공명을 피하기 위해 노력합니다. 진동.
무화과. 5 진폭 주파수 곡선
댐핑 크기에 관계없이 오메가 제로 위상 차이 비트 = PI / 2에서 위상 주파수 곡선 (그림 6)에서 볼 수 있습니다.이 특성은 공명 측정에 효과적으로 사용될 수 있습니다.
꾸준한 흥분 외에도 시스템은 때때로 불안정한 흥분에 직면 할 수 있습니다. 그것은 대략 두 가지 유형으로 나눌 수 있습니다. 하나는 갑작스런 영향입니다. 두 번째는 임의성의 지속적인 영향입니다. 불안정한 흥분에서 시스템의 반응은 불안정합니다.
불안정한 진동을 분석하기위한 강력한 도구는 임펄스 응답 방법입니다. 시스템의 단위 임펄스 입력의 일시적 응답으로 시스템의 동적 특성을 설명합니다. 단위 임펄스는 델타 기능으로 표현 될 수 있습니다. 함수는 종종 다음과 같이 정의됩니다.
여기서 0-은 왼쪽에서 0에 접근하는 t 축의 점을 나타냅니다. 0 Plus는 오른쪽에서 0으로 이동하는 포인트입니다.
무화과. 6 위상 주파수 곡선
무화과. 7 모든 입력은 일련의 임펄스 요소의 합으로 간주 될 수 있습니다.
시스템은 t = 0에서 단위 임펄스에 의해 생성 된 응답 H (t)에 해당하며, 임펄스 응답 함수라고합니다. 펄스 전에 시스템이 고정되어 있음, t <0의 경우 h (t) = 0입니다. 시스템의 임펄스 응답 함수, 우리는 모든 입력 x (t)에 대한 시스템의 응답을 찾을 수 있습니다.이 시점에서 x (t)를 일련의 임펄스 요소의 합으로 생각할 수 있습니다 (그림 7). .그만큼 시스템의 응답은 다음과 같습니다.
중첩 원리에 기초하여, x (t)에 해당하는 시스템의 총 응답은 다음과 같습니다.
이 적분은 컨볼 루션 적분 또는 중첩 적분이라고합니다.
다중 도전 시스템의 선형 진동
2도 이상의 자유도를 가진 선형 시스템의 진동.
그림 8은 커플 링 스프링으로 연결된 두 개의 간단한 공진 서브 시스템을 보여줍니다. 이는 2 도의 자유 시스템이기 때문에 위치를 결정하기 위해 두 개의 독립적 인 좌표가 필요합니다.이 시스템에는 두 개의 고유 주파수가 있습니다.
각 주파수는 진동 모드에 해당합니다. 고조파 발진기는 동일한 주파수의 고조파 진동을 수행하고 평형 위치를 동기로 통과하고 극단적으로 동기식으로 통과합니다. 오메가 1에 해당하는 주요 진동에서 x1은 x2; 오메가 오메가 2, 오메가 오메가 1에 해당하는 주요 진동. 주요 진동에서 변위 비율 각 질량은 특정 관계를 유지하고 메인 모드 또는 자연 모드라고하는 특정 모드를 형성합니다. 질량과 강성의 직교성은 각 진동의 독립성을 반영하는 주요 모드 사이에 존재합니다. 자유 시스템의 다기류의 고유 진동 특성.
무화과. 8 자유도가있는 시스템
N이있는 N이있는 시스템에는 N가 천연 주파수와 기본 모드가 있습니다. 시스템의 진동 구성은 주요 모드의 선형 조합으로 표시 될 수 있습니다. 따라서 기본 모드 중첩 방법은 다중의 동적 응답 분석에 널리 사용됩니다. -Dof Systems. 이런 식으로 시스템의 자연스러운 진동 특성의 측정 및 분석은 시스템의 동적 설계에서 일상적인 단계가됩니다.
다중 도프 시스템의 동적 특성은 주파수 특성으로 설명 할 수 있습니다. 각 입력과 출력 사이에 주파수 특성 기능이 있으므로 주파수 특성 매트릭스가 구성됩니다. 단일 프레돔 시스템의 것.
엘라스토머는 진동합니다
위의 다중 - 자유도의 자유도는 엘라스토머의 대략적인 기계적 모델이며, 엘라스토머는 무한한 수의 자유도를 가지고 있으며, 양적 차이는 있지만 둘 사이에는 필수적인 차이가 없습니다. 해당 모드의 무한한 수와 질량과 강성 모드 사이에는 직교성이 있습니다. 엘라스토머의 진동 구성도 따라서 주요 모드의 선형 중첩으로 표시되므로 엘라스토머의 동적 응답 분석을 위해 메인 모드의 중첩 방법은 여전히 적용됩니다 (엘라스토머의 선형 진동 참조).
단위 길이 당 얇은 질량 m (단위 l 길이 L)은 양쪽 끝에서 장력이 텐트되고 장력이 T라고 말하면 이번에는 문자열의 고유 주파수가 다음에 의해 결정됩니다. 방정식:
F = NA/2L (n = 1,2,3…).
여기서, 줄의 방향을 따라 가로파의 전파 속도는 다음과 같습니다. 줄의 고유 주파수는 2L 이상의 기본 주파수의 배수입니다. 이러한 정수 엘라스토머의 고유 주파수 사이의 다중 관계.
장력이있는 문자열의 처음 세 모드는 그림에 나와 있습니다. 9. 기본 모드 곡선에는 일부 노드가 있습니다. 기본 진동에서 노드는 진동하지 않습니다. 10은 원과 직경으로 구성된 일부 결절 선이있는 원주적으로지지되는 원형 플레이트의 몇 가지 전형적인 모드를 보여준다.
엘라스토머 진동 문제의 정확한 공식은 부분 미분 방정식의 경계 값 문제로 결론을 내릴 수 있지만, 정확한 솔루션은 가장 간단한 경우에만 찾을 수 있으므로 복잡한 엘라스토머에 대한 대략적인 솔루션에 의지해야합니다. 진동 문제. 다양한 대략적인 솔루션의 본질은 무한대를 유한 한 것으로 바꾸는 것, 즉 사지가없는 자유 시스템을 불쾌하게하는 것입니다. (연속 시스템) 유한 한 다중 자유 시스템 (이산 시스템)으로 엔지니어링 분석에 널리 사용되는 두 가지 종류의 이산화 방법이 있습니다 : 유한 요소 방법 및 모달 합성 방법.
무화과. 9 문자열 모드
무화과. 10 원형 플레이트의 모드
유한 요소 방법은 복잡한 구조를 유한 수의 요소로 추상화하고 유한 수의 노드로 연결하는 복합 구조입니다. 각 유닛은 엘라스토머이며 요소의 분포 변위는 노드 변위의 보간 함수에 의해 표현됩니다. 각 요소의 분포 매개 변수는 특정 형식으로 각 노드에 집중되며 개별 시스템의 기계적 모델이 얻어집니다.
모달 합성은 복잡한 구조를 여러 개의 단순한 하위 구조로 분해하는 것입니다. 각 하위 구조의 진동 특성을 이해하는 기초에서, 하위 구조는 계면의 배위 조건에 따라 일반적인 구조로 합성된다. 구조는 각 하위 구조의 진동 형태를 사용하여 얻어진다.
두 가지 방법은 다르고 관련되어 있으며 참조로 사용될 수 있습니다. 모달 합성 방법은 실험 측정과 효과적으로 결합하여 대형 시스템의 진동을위한 이론적 및 실험적 분석 방법을 형성 할 수 있습니다.
후 시간 : 4 월 -03-2020
