선형 진동이란 무엇입니까?

선형 진동: 시스템의 구성요소의 탄성은 Hooke의 법칙을 따르며, 운동 중에 발생하는 감쇠력은 일반화된 속도의 첫 번째 방정식(일반화된 좌표의 시간 미분)에 비례합니다.

개념

선형 시스템은 일반적으로 실제 시스템의 진동에 대한 추상 모델입니다. 선형 진동 시스템은 중첩 원리를 적용합니다. 즉, 시스템의 응답이 입력 x1의 작용 하에서 y1이고 입력 x2의 작용 하에서 y2인 경우, 그러면 입력 x1과 x2의 작용에 따른 시스템의 응답은 y1+y2입니다.

중첩 원리에 기초하여, 임의의 입력은 일련의 극미량 임펄스의 합으로 분해될 수 있으며, 그런 다음 시스템의 전체 응답을 얻을 수 있습니다. 주기적인 여자의 고조파 성분의 합은 다음과 같이 확장될 수 있습니다. 푸리에 변환에 의한 일련의 고조파 성분과 각 고조파 성분이 시스템에 미치는 영향을 개별적으로 조사할 수 있습니다. 따라서 일정한 매개변수를 갖는 선형 시스템의 응답 특성은 임펄스 응답 또는 주파수 응답으로 설명할 수 있습니다.

임펄스 응답은 단위 임펄스에 대한 시스템의 응답을 의미하며, 이는 시간 영역에서 시스템의 응답 특성을 나타냅니다. 주파수 응답은 단위 고조파 입력에 대한 시스템의 응답 특성을 나타냅니다. 둘 사이의 대응 관계가 결정됩니다. 푸리에 변환에 의해.

분류

선형진동은 단일자유도계의 선형진동과 다자유도계의 선형진동으로 나눌 수 있다.

(1) 단일자유도계의 선형진동은 일반화된 좌표에 의해 위치가 결정될 수 있는 선형진동이다. 진동의 많은 기본 개념과 특성을 도출할 수 있는 가장 간단한 진동이다. 조화 진동, 자유 진동, 감쇠 진동 및 강제 진동.

단순 조화 진동: 변위에 비례하는 복원력의 작용 하에서 정현파 법칙에 따라 평형 위치 근처에 있는 물체의 왕복 운동입니다.

감쇠 진동: 마찰, 유전 저항 또는 기타 에너지 소비로 인해 진폭이 지속적으로 감쇠되는 진동입니다.

강제 진동: 일정한 여기 상태에서 시스템의 진동.

(2) 다자유도 시스템의 선형 진동은 자유도가 n≥2인 선형 시스템의 진동입니다. n 자유도 시스템에는 n개의 고유 주파수와 n개의 주 모드가 있습니다. 모든 진동 구성 시스템의 는 주요 모드의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 따라서 다중 자유도 시스템의 동적 응답 해석에는 주 모드 중첩 방법이 널리 사용된다. 시스템은 시스템의 동적 설계에서 일상적인 단계가 됩니다. 다중 자유도 시스템의 동적 특성은 주파수 특성으로도 설명할 수 있습니다. 각 입력과 출력 사이에는 주파수 특성 함수가 있으므로 주파수 특성 행렬이 구성됩니다. 는 주파수 특성과 주 모드 사이의 명확한 관계입니다. 다중 자유 시스템의 진폭-주파수 특성 곡선은 단일 자유 시스템의 그것과 다릅니다.

단일 자유도 시스템의 선형 진동

일반화된 좌표에 의해 시스템의 위치를 ​​결정할 수 있는 선형 진동. 진동의 많은 기본 개념과 특성을 도출할 수 있는 가장 단순하고 가장 기본적인 진동으로, 단순 조화 진동, 감쇠 진동, 강제 진동이 포함됩니다. .

고조파 진동

변위에 비례하는 복원력의 작용으로 물체는 평형 위치 근처에서 정현파 방식으로 왕복 운동합니다(그림 1). X는 변위를 나타내고 t는 시간을 나타냅니다. 이 진동의 수학적 표현은 다음과 같습니다.

(1)여기서 A는 진폭이라고 불리는 변위 x의 최대값이며 진동의 강도를 나타냅니다. 오메가 n은 진폭이라고 하는 초당 진동의 각도 증분(각주파수 또는 원형 주파수라고 함)입니다. 이것을 초기 단계라고 합니다. f=n/2로 초당 진동 수를 주파수라고 합니다. 이것의 역수인 T=1/f는 한 주기를 진동하는 데 걸리는 시간을 주파수라고 합니다. 주기. 진폭 A, 주파수 f(또는 각주파수 n), 초기 위상, 단순 조화 진동 세 가지 요소로 알려져 있습니다.

무화과. 1개의 단순 고조파 진동 곡선

도 1에 도시된 바와 같이. 그림 2에서 단순 조화 진동자는 선형 스프링으로 연결된 집중 질량 m으로 구성됩니다. 평형 위치에서 진동 변위를 계산하면 진동 방정식은 다음과 같습니다.

스프링의 강성은 어디에 있습니까? 위 방정식에 대한 일반적인 해는 (1).A이며 초기 위치 x0과 t=0에서의 초기 속도에 의해 결정될 수 있습니다.

그러나 오메가 n은 추가적인 초기 조건과 관계없이 시스템 자체의 특성 m과 k에 의해서만 결정되므로 오메가 n은 고유 주파수라고도 합니다.

무화과. 2 단일 자유도 시스템

단순 고조파 발진기의 경우 운동 에너지와 위치 에너지의 합은 일정합니다. 즉, 시스템의 총 기계 에너지가 보존됩니다. 진동 과정에서 운동 에너지와 위치 에너지는 지속적으로 서로 변환됩니다.

댐핑 진동

마찰과 유전 저항 또는 기타 에너지 소비에 의해 진폭이 지속적으로 감쇠되는 진동입니다. 미세 진동의 경우 일반적으로 속도는 그다지 크지 않으며 매체 저항은 속도의 1승에 비례하며, 이는 c로 쓸 수 있습니다. 감쇠 계수. 따라서 선형 감쇠를 사용하는 1자유도의 진동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(2)여기서 m =c/2m은 감쇠 매개변수라고 하며, 식(2)의 일반적인 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(3)Omega n과 PI의 수치적 관계는 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

N > (감쇠가 작은 경우) 입자로 인해 감쇠 진동이 발생하면 진동 방정식은 다음과 같습니다.

그 진폭은 도 1의 점선으로 나타낸 바와 같이 방정식에 나타낸 지수법칙에 따라 시간에 따라 감소한다. 3. 엄밀히 말하면 이 진동은 비주기적이지만 피크의 주파수는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

진폭 감소율이라고 하며, 여기서 는 진동의 주기입니다. 진폭 감소율의 자연 로그를 로그 빼기(진폭)율이라고 합니다. 분명히 이 경우 =는 2/1과 같습니다. 직접적으로 실험적 테스트 델타 및 위 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. c.

이때 방정식 (2)의 해는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

초기속도의 방향에 따라 도 1과 같이 3가지의 무진동 경우로 ​​나눌 수 있다. 4.

N <(큰 감쇠의 경우) 방정식(2)의 해는 방정식(3)에 표시됩니다. 이 시점에서 시스템은 더 이상 진동하지 않습니다.

강제진동

일정한 여기 하에서 시스템의 진동. 진동 분석은 주로 여기에 대한 시스템의 응답을 조사합니다. 주기적인 여기는 전형적인 규칙적인 여기입니다. 주기적인 여기는 중첩 원리에 따라 항상 여러 고조파 여기의 합으로 분해될 수 있기 때문에 각 고조파 가진에 대한 시스템의 응답이 필요합니다. 고조파 가진의 작용 하에서 단일 자유도 감쇠 시스템의 미분 운동 방정식은 다음과 같이 작성될 수 있습니다.

응답은 두 부분의 합입니다. 한 부분은 시간이 지남에 따라 급격히 감소하는 감쇠 진동의 응답입니다. 강제 진동의 다른 부분의 응답은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

무화과. 3 감쇠 진동 곡선

무화과. 임계 감쇠가 있는 3가지 초기 조건의 4개 곡선

다음을 입력하세요.

H /F0= h()는 진폭-주파수 특성 또는 이득 함수를 특성화하는 정상 응답 진폭 대 여기 진폭의 비율입니다. 정상 상태 응답 및 위상 유도를 위한 비트, 위상 주파수 특성 특성화입니다. 이들과 사이의 관계 여기 주파수는 도 1에 도시되어 있다. 도 5 및 도. 6.

진폭-주파수 곡선(도 5)에서 알 수 있듯이, 작은 감쇠의 경우 진폭-주파수 곡선은 단일 피크를 갖는다. 감쇠가 작을수록 피크는 더 가파르고, 피크에 해당하는 주파수는 시스템의 공진주파수라고 합니다. 감쇠가 작은 경우 공진주파수는 고유진동수와 크게 다르지 않습니다. 가진주파수가 고유진동수에 가까우면 진폭이 급격하게 증가합니다. 이 현상을 공진이라고 합니다. 공진에서는 시스템의 이득이 최대화됩니다. 즉, 강제 진동이 가장 강합니다. 따라서 일반적으로 큰 공진을 달성하기 위해 공진을 사용하는 일부 기기 및 장비가 아닌 한 일반적으로 항상 공명을 피하려고 노력합니다. 진동.

무화과. 5 진폭 주파수 곡선

위상 주파수 곡선(그림 6)에서 볼 수 있듯이 감쇠 크기에 관계없이 오메가 제로 위상차 비트 = PI/2에서 이 특성은 공진 측정에 효과적으로 사용될 수 있습니다.

꾸준한 여기 외에도 시스템은 때때로 불안정한 여기를 겪습니다. 이는 대략 두 가지 유형으로 나눌 수 있습니다. 하나는 갑작스러운 충격입니다. 두 번째는 임의의 지속적인 효과입니다. 불안정한 여기에서 시스템의 응답도 불안정합니다.

비정상 진동을 해석하는 강력한 도구는 임펄스 응답 방법입니다. 시스템의 단위 임펄스 입력의 과도 응답으로 시스템의 동적 특성을 설명합니다. 단위 임펄스는 델타 함수로 표현될 수 있습니다. 공학에서는 델타 함수는 종종 다음과 같이 정의됩니다.

여기서 0-은 왼쪽에서 0에 접근하는 t축의 지점을 나타내고, 0 더하기는 오른쪽에서 0에 접근하는 지점을 나타냅니다.

무화과. 6상 주파수 곡선

무화과. 7 모든 입력은 일련의 임펄스 요소의 합으로 간주될 수 있습니다.

시스템은 t=0에서 단위 임펄스에 의해 생성된 응답 h(t)에 해당하며 이를 임펄스 응답 함수라고 합니다. 시스템이 펄스 이전에 정지 상태라고 가정하면 t<0인 경우 h(t)=0입니다. 시스템의 임펄스 응답 함수를 사용하면 임의의 입력 x(t)에 대한 시스템의 응답을 찾을 수 있습니다. 이 시점에서 x(t)를 일련의 임펄스 요소의 합으로 생각할 수 있습니다(그림 7). .시스템의 응답은 다음과 같습니다.

중첩 원리에 따라 x(t)에 해당하는 시스템의 전체 응답은 다음과 같습니다.

이 적분을 컨벌루션 적분 또는 중첩 적분이라고 합니다.

다자유도 시스템의 선형 진동

자유도가 n≥2인 선형 시스템의 진동.

그림 8은 커플링 스프링으로 연결된 두 개의 간단한 공진 하위 시스템을 보여줍니다. 이는 2자유도 시스템이므로 해당 위치를 결정하는 데 두 개의 독립적인 좌표가 필요합니다. 이 시스템에는 두 개의 고유 주파수가 있습니다.

각 주파수는 진동 모드에 해당합니다. 조화 발진기는 동일한 주파수의 조화 진동을 수행하여 동시에 평형 위치를 통과하고 동시에 극단 위치에 도달합니다. 오메가 1에 해당하는 주 진동에서 x1은 x2와 같습니다. 오메가 오메가 2, 오메가 오메가 1에 해당하는 주 진동. 주 진동에서는 각 질량의 변위 비율이 일정한 관계를 유지하며 특정 모드를 형성하는데, 이를 주 모드 또는 자연 모드라고 합니다. 질량과 질량의 직교성 주 모드 사이에는 강성이 존재하며 이는 각 진동의 독립성을 반영합니다. 고유 진동수와 주 모드는 다자유도 시스템의 고유 진동 특성을 나타냅니다.

무화과. 다양한 자유도를 갖춘 8 시스템

n 자유도를 갖는 시스템은 n개의 고유 진동수와 n개의 주 모드를 갖습니다. 시스템의 모든 진동 구성은 주요 모드의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. 따라서 주 모드 중첩 방법은 다중 유체의 동적 응답 해석에 널리 사용됩니다. -dof 시스템. 이러한 방식으로 시스템의 자연 진동 특성을 측정하고 분석하는 것은 시스템의 동적 설계에서 일상적인 단계가 됩니다.

다중 자유도 시스템의 동적 특성은 주파수 특성으로도 설명할 수 있습니다. 각 입력과 출력 사이에는 주파수 특성 함수가 있으므로 주파수 특성 행렬이 구성됩니다. 다중 자유도 시스템의 진폭-주파수 특성 곡선은 서로 다릅니다. 단일 자유 시스템의 그것으로부터.

엘라스토머가 진동합니다.

위의 다중 자유도 시스템은 엘라스토머의 대략적인 기계적 모델입니다. 엘라스토머는 무한한 자유도를 갖습니다. 둘 사이에는 양적 차이가 있지만 본질적인 차이는 없습니다. 모든 엘라스토머는 무한한 수의 고유 진동수와 무한한 수의 해당 모드가 있으며 질량 모드와 강성 모드 사이에는 직교성이 있습니다. 엘라스토머의 모든 진동 구성은 주요 모드의 선형 중첩으로 표시될 수도 있습니다. 따라서 엘라스토머의 동적 응답 분석을 위해 중첩 방법 주 모드는 여전히 적용 가능합니다(엘라스토머의 선형 진동 참조).

끈의 진동을 예로 들어보겠습니다. 단위 길이당 질량이 m, 길이가 l인 가는 끈의 양쪽 끝에 장력이 가해지고, 그 장력을 T라고 합시다. 이때 끈의 고유진동수는 다음과 같이 결정됩니다. 방정식:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

여기서 는 끈 방향을 따른 횡파의 전파 속도입니다. 끈의 고유 주파수는 2l에 대한 기본 주파수의 배수입니다. 이 정수 다중성은 쾌적한 조화 구조로 이어집니다. 일반적으로 엘라스토머의 고유 진동수 간의 정수배 관계.

장력이 가해진 끈의 처음 세 가지 모드가 그림 1에 나와 있습니다. 9. 메인 모드 곡선에는 몇 개의 노드가 있습니다. 메인 진동에서는 노드가 진동하지 않습니다. 그림 10은 원과 직경으로 구성된 일부 절점선을 갖는 원주 방향으로 지지되는 원형 플레이트의 몇 가지 일반적인 모드를 보여줍니다.

엘라스토머 진동 문제의 정확한 공식화는 편미분 방정식의 경계값 문제로 결론을 내릴 수 있습니다. 그러나 정확한 해는 가장 간단한 경우에서만 찾을 수 있으므로 복잡한 엘라스토머에 대한 근사 해에 의존해야 합니다. 진동 문제 다양한 근사해의 본질은 무한을 유한으로 바꾸는 것, 즉 사지 없는 다자유도계(연속계)를 유한 다자유도계(이산계)로 이산화하는 것이다. .공학해석에 널리 사용되는 이산화 방법에는 유한요소법과 모드합성법의 두 가지 방법이 있습니다.

무화과. 9가지 문자열 모드

무화과. 원형 플레이트의 10가지 모드

유한요소법은 복잡한 구조를 유한한 수의 요소로 추상화하고 이를 유한한 수의 절점에서 연결하는 복합구조입니다. 각 단위는 엘라스토머입니다. 요소의 분포 변위는 절점 변위의 보간 함수로 표현됩니다. 각 요소의 분포 매개변수를 특정 형식으로 각 노드에 집중시키고 이산 시스템의 기계적 모델을 얻습니다.

모달 합성은 복잡한 구조를 여러 개의 간단한 하위 구조로 분해하는 것입니다. 각 하위 구조의 진동 특성에 대한 이해를 바탕으로 인터페이스에서의 조정 조건에 따라 하위 구조를 일반 구조로 합성하고, 일반 구조의 진동 형태 구조는 각 하부 구조의 진동 형태를 사용하여 얻습니다.

두 가지 방법은 다르고 관련되어 있으며 참조로 사용할 수 있습니다. 모달 합성 방법은 실험 측정과 효과적으로 결합하여 대형 시스템의 진동에 대한 이론적이고 실험적인 분석 방법을 형성할 수도 있습니다.