Сызыктуу титирөө: системадагы компоненттердин ийкемдүүлүгү Гук мыйзамына баш ийет, ал эми кыймыл учурунда пайда болгон демпфердик күч жалпыланган ылдамдыктын биринчи теңдемесине пропорционалдуу (жалпыланган координаталардын убакыттын туундусу).
түшүнүк
Сызыктуу система, адатта, реалдуу системанын титирөөүнүн абстракттуу модели болуп саналат. Сызыктуу титирөө системасы суперпозиция принцибин колдонот, башкача айтканда, эгерде системанын жообу y1 киришинин аракетинде x1 жана y2 болсо, x2 киришинин аракетинде, анда x1 жана x2 киргизүүнүн аракети боюнча системанын жообу у1+у2 болот.
Суперпозиция принцибинин негизинде ыктыярдуу киргизүү чексиз аз импульстардын бир катар суммасына бөлүнүшү мүмкүн, андан кийин системанын толук жообу алынышы мүмкүн. Мезгилдүү дүүлүктүрүүнүн гармоникалык компоненттеринин суммасын Фурье трансформациясы аркылуу гармоникалык компоненттердин сериясы жана ар бир гармоникалык компоненттин системага тийгизген таасири өзүнчө изилдениши мүмкүн. Демек, туруктуу параметрлери бар сызыктуу системалардын реакциялык мүнөздөмөлөрү импульстук жооп же жыштык жооп менен сүрөттөлүшү мүмкүн.
Импульстук жооп системанын бирдик импульсуна жооп кайтаруусун билдирет, ал системанын убакыт домениндеги жооп мүнөздөмөсүн мүнөздөйт.Жыштык жооп деп системанын бирдик гармоникалык киргизүүгө жооп берүү мүнөздөмөсүн билдирет.Экөөнүн ортосундагы дал келүүчүлүк аныкталат. Фурье трансформациясы менен.
классификация
Сызыктуу термелүүнү бир даражалуу системанын сызыктуу термелүүсү жана көп даражалуу системанын сызыктуу термелүүсү деп бөлүүгө болот.
(1) бир эркиндик даражалуу системанын сызыктуу термелүүсү – абалы жалпыланган координата менен аныктала турган сызыктуу титирөө. Бул титирөөнүн көптөгөн негизги түшүнүктөрүн жана мүнөздөмөлөрүн алууга боло турган эң жөнөкөй титирөө. гармоникалык термелүү, эркин титирөө, басаңдатуу термелүүсү жана аргасыз термелүү.
Жөнөкөй гармониялык термелүү: объекттин өзүнүн тең салмактуу абалына жакын жерде анын жылышына пропорционалдуу калыбына келтирүүчү күчтүн таасири астында синусоидалдык мыйзам боюнча тескери кыймылы.
Басаңдатылган титирөө: амплитудасы сүрүлүү жана диэлектрдик каршылык же башка энергия керектөө менен үзгүлтүксүз басаңдалуучу термелүү.
Аргасыз термелүү: тынымсыз дүүлүккөн системанын термелүүсү.
(2) көп даражалуу эркиндик системасынын сызыктуу термелүүсү - бул n≥2 эркиндик даражасы бар сызыктуу системанын термелүүсү. n эркиндик даражалуу системанын n табигый жыштыгы жана n негизги режими бар. Ар кандай термелүү конфигурациясы системанын негизги режимдердин сызыктуу айкалышы катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Ошондуктан, негизги режимдин суперпозиция ыкмасы көп доф системаларынын динамикалык жооп анализинде кеңири колдонулат. Ошентип, табигый титирөө мүнөздөмөлөрүн өлчөө жана талдоо система системаны динамикалык долбоорлоодо күнүмдүк кадам болуп калат. Мульти-доф системаларынын динамикалык мүнөздөмөлөрү жыштык мүнөздөмөлөрү менен да сүрөттөлүшү мүмкүн. Ар бир киргизүү менен чыгуунун ортосунда жыштык мүнөздөмө функциясы бар болгондуктан, жыштык мүнөздөмө матрицасы курулат. Ал жерде жыштык мүнөздөмөсү менен негизги режимдин ортосундагы белгилүү бир байланыш болуп саналат.Көп эркиндик системасынын амплитудалык-жыштык мүнөздүү ийри сызыгы бир эркиндик системасынан айырмаланат.
Бир даражадагы эркиндик системасынын сызыктуу термелүүсү
Системанын орду жалпыланган координата менен аныктала турган сызыктуу титирөө. Бул титирөөнүн көптөгөн негизги түшүнүктөрү жана мүнөздөмөлөрү алынышы мүмкүн болгон эң жөнөкөй жана эң фундаменталдуу титирөө. .
Гармоникалык термелүү
Орун алмаштырууга пропорционалдуу калыбына келтирүүчү күчтүн аракети астында объект өзүнүн тең салмактуу абалына жакын жерде синусоидалдык түрдө кайталанат (1-сүрөт).X жылышууну жана t убакытты билдирет. Бул термелүүнүн математикалык туюнтмасы:
(1)Мында A – амплитуда деп аталган жана термелүүнүн интенсивдүүлүгүн билдирген х жылышынын максималдуу мааниси; Омега n – секундасына термелүүнүн амплитудалык бурч өсүүсү, ал бурчтук жыштык же тегерек жыштык деп аталат; баштапкы фаза деп аталат. f= n/2 шартында, секундасына термелүүлөрдүн саны жыштык деп аталат; Мунун тескериси, T=1/f, бир циклди термелүүгө кеткен убакыт жана ал деп аталат. мезгил.Амплитудасы, жыштыгы f (же бурчтук жыштыгы n), баштапкы фаза, жөнөкөй гармоникалык термелүү үч элемент катары белгилүү.
FIG. 1 жөнөкөй гармоникалык термелүү ийри сызыгы
СУРЕТТЕ керсетулгендей. 2, жөнөкөй гармоникалык осциллятор сызыктуу пружинага туташтырылган концентрацияланган масса m менен түзүлөт. Термелүүнүн жылышуусу тең салмактуулук абалынан эсептелгенде, термелүү теңдемеси:
Бул жердеги пружинанын катуулугу. Жогорудагы теңдеменин жалпы чечими (1).А болуп саналат жана аны x0 баштапкы абалы жана t=0 баштапкы ылдамдыгы менен аныктоого болот:
Бирок омега н кошумча баштапкы шарттарга көз каранды эмес системанын өзүнүн м жана к мүнөздөмөлөрү менен гана аныкталат, ошондуктан омега н табигый жыштык катары да белгилүү.
FIG. 2 бирдиктүү эркиндик системасы
Жөнөкөй гармоникалык осциллятор үчүн анын кинетикалык энергиясы менен потенциалдык энергиясынын суммасы туруктуу, башкача айтканда системанын толук механикалык энергиясы сакталат. Термелүү процессинде кинетикалык энергия жана потенциалдык энергия дайыма бири-бирине айланат.
Басаңдатуучу термелүү
Амплитудасы сүрүлүү жана диэлектрдик каршылык же башка энергия керектөө менен үзгүлтүксүз басаңдатылган титирөө. Микро термелүү үчүн ылдамдык жалпысынан анча чоң эмес жана орто каршылык биринчи күчкө карата ылдамдыкка пропорционалдуу, аны с деп жазууга болот. Ошентип, сызыктуу демпфинг менен бир эркиндик даражасынын термелүү теңдемесин төмөнкүчө жазууга болот:
(2)Мында, m =c/2m демпфердик параметр деп аталат жана (2) формуланын жалпы чечими төмөнкүчө жазылат:
(3)Омега н жана PI ортосундагы сандык байланыш төмөнкү үч учурларда бөлүүгө болот:
N > (майда демпфердик учурда) бөлүкчө өндүрүлгөн басаңдатуу термелүүсү, термелүү теңдемеси:
Анын амплитудасы теңдемеде көрсөтүлгөн экспоненциалдык мыйзамга ылайык убакыттын өтүшү менен төмөндөйт. 3.Катуу айтканда, бул титирөө периодикалык, бирок анын чокусунун жыштыгын төмөнкүчө аныктоого болот:
Амплитуданы азайтуу ылдамдыгы деп аталат, бул жерде термелүү мезгили. Амплитуданы азайтуу ылдамдыгынын натуралдык логарифми логарифм минус (амплитудалык) ылдамдыгы деп аталат. Албетте, =, бул учурда 2/1ге барабар. Түздөн-түз аркылуу эксперименталдык тесттин дельтасын жана жогорудагы формуланы колдонуу менен эсептеп чыгууга болот c.
Бул учурда (2) теңдеменин чечилишин жазууга болот:
Баштапкы ылдамдыктын багыты менен бирге, аны сүрөттө көрсөтүлгөндөй үч титирөөсүз абалга бөлүүгө болот. 4.
N < (чоң демпфердик учурда) (2) теңдеменин чечими (3) теңдемеде көрсөтүлгөн. Бул учурда система титирөөдөн арылбайт.
Мажбурланган титирөө
Туруктуу дүүлүккөн системанын титирөөсү.Тертирөөнүн анализи негизинен системанын дүүлүктүрүүгө болгон жообун изилдейт.Мезгил-мезгили менен дүүлүктүрүү - типтүү үзгүлтүксүз дүүлүктүрүү.Себеби, мезгил-мезгили менен дүүлүктүрүү ар дайым бир нече гармониялык дүүлүктүрүүнүн суммасына бөлүнүшү мүмкүн, суперпозиция принцибине ылайык, бир гана ар бир гармоникалык дүүлүктүрүүгө системанын жообу талап кылынат. Гармоникалык дүүлүктүрүүнүн аракети астында эркиндиктин бир даражадагы өчүрүлгөн системанын кыймылынын дифференциалдык теңдемесин жазууга болот:
Жооп эки бөлүктүн суммасы болуп саналат. Бир бөлүгү убакыттын өтүшү менен тез бузулуучу демпацияланган титирөөнүн жообу.
FIG. 3 басаңдатылган титирөө ийри сызыгы
FIG. Критикалык демпфинг менен үч баштапкы шарттын 4 ийри сызыгы
териңиз
H /F0= h (), амплитудалык-жыштык мүнөздөмөлөрүн же пайда функциясын мүнөздөгөн туруктуу жооп амплитудасынын дүүлүктүрүү амплитудасына катышы; стабилдүү абалдын реакциясы жана фазанын стимул үчүн биттери, фазалык жыштык мүнөздөмөлөрүнүн мүнөздөмөсү. Алардын ортосундагы байланыш жана дүүлүктүрүү жыштыгы сүрөттө көрсөтүлгөн. 5 жана FIG. 6.
Амплитуда-жыштык ийри сызыгынан (5-сүрөт) көрүнүп тургандай, кичинекей демпфинг учурунда амплитуда-жыштык ийри сызыгы бир чокуга ээ. Демпферация канчалык кичине болсо, чоку ошончолук тик; системанын резонанстык жыштыгы деп аталат. Кичинекей демпинг болгон учурда резонанстык жыштык табигый жыштыктан анча деле айырмаланбайт. Козгулуу жыштыгы табигый жыштыкка жакын болгондо, амплитудасы кескин өсөт. Бул кубулуш резонанс деп аталат. Резонанста системанын пайдасы максималдуу болот, башкача айтканда, аргасыз термелүү эң күчтүү болуп саналат. Ошондуктан, жалпысынан, ар дайым резонансты болтурбоо үчүн аракет кылышат, эгерде кээ бир инструменттер жана жабдуулар чоң көрсөткүчкө жетүү үчүн резонансты колдонбосо титирөө.
FIG. 5 амплитудалык жыштык ийри сызыгы
Фазалык жыштык ийри сызыгынан көрүүгө болот (6-сүрөт), демпингдин өлчөмүнө карабастан, омега нөлдүк фаза айырмасынын битинде = PI / 2, бул мүнөздөмө резонансты өлчөөдө эффективдүү колдонулушу мүмкүн.
Туруктуу дүүлүктүрүүдөн тышкары, системалар кээде туруксуз дүүлүктүрүүгө туш болушат. Аны болжол менен эки түргө бөлүүгө болот: бири капыстан болгон таасир. Экинчиси - өзүм билемдиктин узакка созулган таасири. Туруксуз дүүлүккөндө системанын жообу да туруксуз болот.
Туруксуз термелүүнү талдоо үчүн күчтүү курал импульстук жооп ыкмасы болуп саналат. Бул системанын бирдик импульстун киргизүүнүн өтмө реакциясы менен системанын динамикалык мүнөздөмөлөрүн сүрөттөйт. Бирдик импульс дельта функциясы катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Инженердикте дельта функция көбүнчө төмөнкүчө аныкталат:
Мында 0- сол жактан нөлгө жакындаган t огундагы чекитти билдирет; 0 плюс оң тараптан 0гө бара турган чекит.
FIG. 6 фазалык жыштык ийри сызыгы
FIG. 7 ар кандай киргизүү импульстук элементтердин бир катар суммасы катары каралышы мүмкүн
Система t=0 учурда бирдик импульс тарабынан түзүлгөн h(t) жоопко туура келет, ал импульстук жооп функциясы деп аталат. Система импульстун алдында стационардуу деп эсептесек, t<0 үчүн h(t)=0.Билүү системанын импульстук жооп берүү функциясы, биз системанын каалаган x(t) киргизүүгө жообун таба алабыз. Бул учурда, сиз x(t) импульстук элементтердин бир катар суммасы катары ойлонсоңуз болот (7-сүрөт). .Системанын жообу:
Суперпозиция принцибинин негизинде x(t) га туура келген системанын толук жообу:
Бул интегралды айлануу интегралы же суперпозиция интегралы деп аташат.
Эркиндиктин көп даражалуу системасынын сызыктуу термелүүсү
n≥2 эркиндик даражасы бар сызыктуу системанын титирөөсү.
8-сүрөттө бириктирүүчү пружина менен байланышкан эки жөнөкөй резонанстык подсистема көрсөтүлгөн. Бул эки эркиндик даражалуу система болгондуктан, анын абалын аныктоо үчүн эки көз карандысыз координат керек. Бул системада эки табигый жыштык бар:
Ар бир жыштык термелүү режимине туура келет. Гармоникалык осцилляторлор бирдей жыштыктагы гармоникалык термелүүлөрдү аткарышат, синхрондуу түрдө тең салмактуулук абалынан өтүп, синхрондуу түрдө экстремалдык абалга келишет. Омега бирге туура келген негизги титирөөдө x1 x2ге барабар; омега омега экиге, омега омега бирге туура келген негизги титирөө. Негизги титирөөдө ар бир массанын жылышуу катышы белгилүү бир байланышты сактап, белгилүү режимди түзөт, ал негизги режим же табигый режим деп аталат. Массанын ортогоналдуулугу жана Катуулугу негизги режимдердин арасында бар, ал ар бир термелүүнүн көз карандысыздыгын чагылдырат. Табигый жыштык жана негизги режим көп даражалуу эркиндик системасынын мүнөздүү титирөө мүнөздөмөлөрүн билдирет.
FIG. 8 бир нече даражадагы эркиндик системасы
n эркиндик даражалуу системанын n табигый жыштыгы жана n негизги режими бар. Системанын ар кандай термелүү конфигурациясы негизги режимдердин сызыктуу айкалышы катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Ошондуктан, негизги режимдин суперпозиция ыкмасы көп сандагы динамикалык жооп анализинде кеңири колдонулат. -dof системалары.Ушундай жол менен системанын табигый титирөө мүнөздөмөлөрүн өлчөө жана анализдөө системанын динамикалык долбоорлоосунда күнүмдүк кадам болуп калат.
Мульти-доф системаларынын динамикалык мүнөздөмөлөрү жыштык мүнөздөмөлөрү менен да сүрөттөлүшү мүмкүн. Ар бир киргизүү менен чыгуунун ортосунда жыштык мүнөздөмө функциясы бар болгондуктан, жыштык мүнөздөмө матрицасы түзүлөт. Көп эркиндик системасынын амплитудалык-жыштык мүнөздүү ийри сызыгы ар кандай жалгыз эркиндик системасынан.
Эластомер титирет
Жогорудагы көп даражадагы эркиндик системасы эластомердин болжолдуу механикалык модели болуп саналат. Эластомер чексиз эркиндик даражасына ээ. Сандык айырма бар, бирок экөөнүн ортосунда олуттуу айырма жок. Ар бир эластомерде чексиз табигый жыштыктар бар жана тиешелүү режимдердин чексиз саны жана масса жана катуулук режимдеринин ортосунда ортогоналдык бар. Эластомердин ар кандай термелүү конфигурациясы негизги режимдердин сызыктуу суперпозициясы катары да көрсөтүлүшү мүмкүн. Демек, эластомердин динамикалык жооп анализи үчүн суперпозиция ыкмасы. негизги режим дагы эле колдонулуп келет (эластомердин сызыктуу термелүүсүн караңыз).
Жиптин термелүүсүн алалы.Узундуктун бирдигине массасы m болгон ичке жип узун l эки учуна тартылып, чыңалуусу T.Бул учурда жиптин табигый жыштыгы төмөндөгүлөр менен аныкталат. теңдеме:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Кайда, кайчылаш толкундун саптын багыты боюнча таралуу ылдамдыгы болуп саналат. Саптардын табигый жыштыктары 2лден ашкан негизги жыштыктын эселери болуп саналат. Бул бүтүн сандын көптүгү жагымдуу гармоникалык түзүлүшкө алып келет. Жалпысынан алганда, эч кандай эластомердин табигый жыштыктарынын ортосундагы мындай бүтүн эселик байланыш.
Тартылган жиптин алгачкы үч режими СУРАТТА көрсөтүлгөн. 9. Негизги режимдин ийри сызыгында кээ бир түйүндөр бар. Негизги титирөөдө түйүндөр титирбейт.FIG. 10 тегерекчелерден жана диаметрлерден турган кээ бир түйүн сызыктары менен тегерекче тарабынан колдоого алынган тегерек плитанын бир нече типтүү режимдерин көрсөтөт.
Эластомердин титирөө маселесинин так формуласын жарым-жартылай дифференциалдык теңдемелердин чектик маселеси катары тыянак чыгарууга болот. Бирок, так чечимди эң жөнөкөй учурларда гана табууга болот, ошондуктан татаал эластомер үчүн болжолдуу чечимге кайрылууга туура келет. термелүү маселеси.Ар түрдүү болжолдуу чечимдердин маңызы чексизди чектүүгө өзгөртүү, башкача айтканда, эркиндиктин лимбасыз көп даражалуу системасын (үзгүлтүксүз системаны) чектүү көп даражалуу эркиндик системасына (дискреттик система) дискреттөө. .Инженердик анализде кеңири колдонулган дискреттөө методдорунун эки түрү бар: чектүү элементтер ыкмасы жана модалдык синтез методу.
FIG. 9 сап режими
FIG. тегерек плитанын 10 режими
Чектүү элементтер ыкмасы - татаал структураны акыркы сандагы элементтерге абстракциялоочу жана аларды чектүү сандагы түйүндөрдө бириктирүүчү курама структура. ар бир элементтин бөлүштүрүүчү параметрлери ар бир түйүнгө белгилүү форматта топтолуп, дискреттик системанын механикалык модели алынат.
Модалдык синтез – татаал түзүмдүн бир нече жөнөкөй подструктураларга ажыроосу. Ар бир подструктуранын титирөө мүнөздөмөлөрүн түшүнүүнүн негизинде интерфейстеги координация шарттарына ылайык подструктура жалпы структурага синтезделет жана жалпы титирөө морфологиясы. структурасы ар бир подструктуранын титирөө морфологиясын колдонуу менен алынат.
эки ыкмалар ар түрдүү жана байланышкан, ошондой эле шилтеме катары колдонсо болот. Модалдык синтез ыкмасы да натыйжалуу чоң системалардын титирөө үчүн теориялык жана эксперименталдык талдоо ыкмасын түзүү үчүн эксперименталдык өлчөө менен айкалыштырылышы мүмкүн.
Билдирүү убактысы: 03-03-2020
