Wat ass linear Schwéngung?

Linear Schwéngung: d'Elastizitéit vu Komponenten am System ass dem Hook's Gesetz ënnerworf, an d'Dämpfungskraaft, déi während der Bewegung generéiert ass, ass proportional zu der éischter Equatioun vun der generaliséierter Geschwindegkeet (Zäitderivat vun de generaliséierte Koordinaten).

Konzept

Linear System ass normalerweis en abstrakte Modell vun der Schwéngung vum richtege System. De linear Schwéngungssystem applizéiert de Superpositionsprinzip, dat heescht, wann d'Äntwert vum System y1 ënner der Handlung vum Input x1 ass, an y2 ënner der Handlung vum Input x2, dann ass d'Äntwert vum System ënner der Handlung vum Input x1 an x2 y1+y2.

Op Basis vum Superpositionsprinzip kann en arbiträren Input an d'Zomm vun enger Serie vun onendlechen Impulser ofgebaut ginn, an da kann d'Gesamtreaktioun vum System kritt ginn.D'Zomm vun den harmonesche Bestanddeeler vun enger periodescher Excitatioun kann zu engem erweidert ginn. Serie vun harmonesche Komponente vun Fourier Transform, an den Effet vun all Harmonic Komponent op de System kann getrennt ënnersicht ginn.Dofir, d'Äntwert Charakteristiken vun linear Systemer mat konstante. Parameteren kënnen duerch Impulsreaktioun oder Frequenzreaktioun beschriwwe ginn.

Impulsreferater bezitt sech op d'Äntwert vum System op d'Eenheetimpuls, déi d'Äntwertcharakteristike vum System am Zäitberäich charakteriséiert. duerch Fourier Transformatioun.

Klassifikatioun

Linear Schwéngung kann an linear Schwéngung vun Single-Grad-vun-Fräiheet System a linear Schwéngung vun Multi-Grad-vun-Fräiheet System ënnerdeelt ginn.

(1) linear Schwéngung vun engem eenzege Fräiheetsgrad System ass eng linear Schwéngung, där hir Positioun duerch eng generaliséiert Koordinate bestëmmt ka ginn. harmonesch Vibration, fräi Vibration, Dämpfung Vibration a gezwongen Vibration.

Einfach harmonesch Schwéngung: d'Wiederbewegung vun engem Objet an der Géigend vu senger Gläichgewiicht Positioun no engem sinusoidal Gesetz ënner der Handlung vun enger Restauratiounskraaft proportional zu senger Verréckelung.

Dämpt Schwéngung: Vibration deenen hir Amplitude kontinuéierlech ofgeschwächt gëtt duerch d'Präsenz vu Reibung an dielektrescher Resistenz oder aneren Energieverbrauch.

Gezwongen Vibration: Vibration vun engem System ënner konstanter Excitatioun.

(2) d'linear Schwéngung vum Multi-Grad-vun-Fräiheet System ass d'Vibration vum linearem System mat n≥2 Fräiheetsgraden.E System vun n Fräiheetsgraden huet n natierleche Frequenzen an n Haaptmodi.All Schwéngungskonfiguratioun vum System kann als linear Kombinatioun vun de grousse Modi duergestallt ginn.Dofir gëtt d'Haaptmodus Superpositiounsmethod wäit an der dynamescher Äntwertanalyse vun benotzt. Multi-Dof Systemer.Op dës Manéier gëtt d'Messung an d'Analyse vun den natierleche Schwéngungseigenschaften vum System e Routine Schrëtt am dynamesche Design vum System.Déi dynamesch Charakteristike vu Multi-Dof Systemer kënnen och duerch Frequenzkarakteristiken beschriwwe ginn.Säit et gëtt eng Frequenzcharakteristesch Funktioun tëscht all Input an Output, eng Frequenzcharakteristesch Matrix gëtt konstruéiert.Et gëtt eng definitiv Relatioun tëscht der Frequenzcharakteristik an dem Haaptmodus.Den Amplitude-Frequenz charakteristesche Kurve vum Multi-Fräiheetssystem ass anescht wéi déi vum Single-Fräiheet System.

Lineare Schwéngung vun engem eenzege Fräiheetssystem

Eng linear Schwéngung, an där d'Positioun vun engem System duerch eng generaliséiert Koordinat bestëmmt ka ginn. Et ass déi einfachst a fundamentalst Schwéngung, aus där vill Basiskonzepter a Schwéngungscharakteristike ofgeleet kënne ginn. .

Harmonesch Schwéngung

Ënnert der Aktioun vun der Restauratioun Kraaft proportional zu der Verréckelung, den Objet Géigewier an engem sinusoidal Manéier no bei senger Gläichgewiicht Positioun (Fig. 1). X duerstellt der Verréckelung an t duerstellt der Zäit. De mathematesche Ausdrock vun dëser Schwéngung ass:

(1)Wou A de maximale Wäert vun der Verréckelung x ass, wat d'Amplitude genannt gëtt, an d'Intensitéit vun der Schwéngung duerstellt; Omega n ass den Amplitude Wénkel Inkrement vun der Schwéngung pro Sekonn, wat d'Wénkelfrequenz oder d'Kreesfrequenz genannt gëtt. gëtt d'Ufanksphase genannt.Am Sënn vun f= n/2 gëtt d'Zuel vun de Schwéngungen pro Sekonn d'Frequenz genannt;D'Inverse vun dëser, T=1/f, ass d'Zäit déi et brauch fir een Zyklus ze oszilléieren, an dat gëtt d'Period genannt.

FIG. 1 einfach harmonesch Schwéngungskurve

Wéi an Fig. 2 gëtt en einfachen harmonesche Oszilléierer vun der konzentréierter Mass m geformt, déi duerch e linearem Fréijoer verbonnen ass.Wann d'Schwéngungsverschiebung aus der Gläichgewiichtspositioun berechent gëtt, ass d'Schwéngungsgleichung:

Wou ass d'Steifheit vum Fréijoer.Déi allgemeng Léisung vun der uewe genannter Equatioun ass (1).A a kann duerch d'Ufangspositioun x0 an d'Ufangsvitesse bei t=0 bestëmmt ginn:

Awer Omega n gëtt nëmmen duerch d'Charakteristike vum System selwer m a k bestëmmt, onofhängeg vun den zousätzlechen initialen Bedéngungen, sou datt Omega n och als natierlech Frequenz bekannt ass.

FIG. 2 eenzege Fräiheetsgrad System

Fir en einfachen harmonesche Oszilléierer ass d'Zomm vu senger kinetescher Energie a potenzieller Energie konstant, dat heescht déi total mechanesch Energie vum System ass konservéiert.Am Prozess vun der Schwéngung ginn d'kinetesch Energie a potenziell Energie stänneg anenee transforméiert.

D'Dämpfung Vibration

Eng Vibration, där hir Amplitude kontinuéierlech ofgeschwächt gëtt duerch Reibung an dielektresch Resistenz oder aner Energieverbrauch. Fir Mikrovibrationen ass d'Geschwindegkeet allgemeng net ganz grouss, an d'mëttelresistenz ass proportional zu der Geschwindegkeet zu der éischter Muecht, déi als c geschriwwe ka ginn ass den Dämpfungskoeffizient.Dofir kann d'Vibrationsgleichung vun engem Fräiheetsgrad mat linearer Dämpfung esou geschriwwe ginn:

(2)Wou m =c/2m den Dämpungsparameter nennt, an.Déi allgemeng Léisung vun der Formel (2) ka geschriwwe ginn:

(3)Déi numeresch Relatioun tëscht Omega n a PI kann an déi folgend dräi Fäll opgedeelt ginn:

N > (am Fall vu klenge Dämpfung) Partikel produzéiert Dämpfungsvibratioun, d'Vibrationsgleichung ass:

Seng Amplitude fällt mat der Zäit no dem exponentielle Gesetz an der Gleichung erof, wéi an der gestippter Linn an der Fig. 3.Streng geschwat ass dës Schwéngung aperiodesch, awer d'Frequenz vu sengem Héichpunkt kann definéiert ginn als:

Gëtt d'Amplitude Reduktioun Taux genannt, wou ass d'Period vun Schwéngung.Den natierleche Logarithmus vun der Amplituden Reduktioun Taux genannt Logarithmus Minus (Amplitude) Taux.Natierlech ass =, an dësem Fall gläich 2/1.Direkt duerch d' experimentell Test Delta an, mat der uewen Formel kann berechent ginn c.

Zu dëser Zäit kann d'Léisung vun der Equatioun (2) geschriwwe ginn:

Zesumme mat der Richtung vun Ufank Vitesse, kann et an dräi Net-vibration Fäll ënnerdeelt ginn wéi an Fig. 4.

N < (am Fall vu grousser Dämpfung) gëtt d'Léisung vun der Equatioun (2) an der Equatioun (3) gewisen. Zu dësem Zäitpunkt vibréiert de System net méi.

Gezwongen Vibration

Schwéngung vun engem System ënner konstante excitation.Vibration Analyse ënnersicht haaptsächlech d'Äntwert vum System op excitation.Periodic excitation ass eng typesch regelméisseg excitation.Zënter datt periodesch excitation ëmmer an d'Zomm vun verschiddenen harmonic excitation kann, no der superposition Prinzip, nëmmen zerstéiert ginn. d'Äntwert vum System op all harmonesch Excitatioun ass erfuerderlech.Under der Handlung vun der Harmonescher Excitatioun, d'Differentialgleichung vun der Bewegung vun engem eenzege Fräiheetsgrad gedämpft System ka geschriwwe ginn:

D'Äntwert ass d'Zomm vun zwee Deeler. Een Deel ass d'Äntwert vun gedämpften Schwéngungen, déi séier mat der Zäit zerfallt. D'Äntwert vun engem aneren Deel vun der gezwongener Schwéngung kann geschriwwen ginn:

FIG. 3 gedämpft Schwéngungskurve

FIG. 4 Kéiren vun dräi initial Bedéngungen mat kritescher Dämpfung

Typ an der

H /F0 = h (), ass de Verhältnis vun der stänneger Reaktiounsamplitude zu der Excitatiounsamplitude, charakteristesch Amplitude-Frequenzkarakteristiken, oder Gewënnfunktioun; Bits fir Steady-State Äntwert an Ureiz vun der Phase, Charakteriséierung vu Phasfrequenzkarakteristiken. excitation Frequenz ass an Fig. 5 an Fig. 6.

Wéi aus der Amplituden-Frequenzkurve (Fig. 5) ze gesinn ass, huet am Fall vun enger klenger Dämpfung d'Amplitude-Frequenzkurve en eenzegen Héichpunkt. d'Resonanzfrequenz vum System genannt.Am Fall vu klenge Dämpfung ass d'Resonanzfrequenz net vill anescht wéi déi natierlech. Frequenz.Wann d'Excitatiounsfrequenz no bei der natierlecher Frequenz ass, klëmmt d'Amplitude staark. Dëse Phänomen gëtt Resonanz genannt.Bei Resonanz gëtt de Gewënn vum System maximéiert, dat heescht, d'gezwongen Schwéngung ass déi intensivst.Dofir, am Allgemengen, beméien ëmmer Resonanz ze vermeiden, ausser e puer Instrumenter an Ausrüstung fir Resonanz ze benotzen fir grouss z'erreechen. Schwéngung.

FIG. 5 Amplituden Frequenzkurve

Kann aus der Phase Frequenz Kéier gesi ginn (Figur 6), onofhängeg vun der Gréisst vun damping, an Omega null Phase Differenz bëssen = PI / 2, kann dës Charakteristik effektiv an Miessunge Resonanz benotzt ginn.

Nieft stänneger Opreegung, Systemer heiansdo unsteady excitation begéinen. Et kann ongeféier an zwou Zorte ënnerdeelt ginn: eent ass de plötzlechen Impakt. Déi zweet ass den dauerhafte Effekt vun willkürlech. Ënner onbestänneg excitation, d'Äntwert vum System ass och onbestänneg.

E mächtegt Tool fir onbestänneg Schwéngung ze analyséieren ass d'Impulsreaktiounsmethod. Et beschreift déi dynamesch Charakteristike vum System mat der transienter Reaktioun vun der Eenheetsimpulsinput vum System. D'Eenheetsimpuls kann als Deltafunktioun ausgedréckt ginn. Funktioun ass dacks definéiert wéi:

Wou 0- de Punkt op der T-Achs duerstellt, déi vu lénks op Null kënnt; 0 plus ass de Punkt, dee vu riets op 0 geet.

FIG. 6 Phase Frequenzkurve

FIG. 7 all Input kann als Zomm vun enger Serie vun Impulsreferater ugesi ginn

De System entsprécht der Äntwert h(t) déi vum Eenheetsimpuls bei t=0 generéiert gëtt, wat d'Impulsreaktiounsfunktioun genannt gëtt. Unzehuelen datt de System stationär virun der Puls ass, h(t)=0 fir t<0.Wëssen. d'Impulsreaktiounsfunktioun vum System, mir kënnen d'Äntwert vum System op all Input x (t) fannen. Zu dësem Zäitpunkt kënnt Dir un x (t) denken wéi d'Zomm vun enger Serie vun Impulselementer (Fig. 7). D'Äntwert vum System ass:

Baséierend um Superpositionsprinzip ass d'total Äntwert vum System entspriechend x(t):

Dësen Integral gëtt e Konvolutiounsintegral oder e Superpositiounsintegral genannt.

Linear Schwéngung vun engem Multi-Grad-vun-Fräiheet System

Vibratioun vun engem lineare System mat n≥2 Fräiheetsgraden.

Figur 8 weist zwee einfache Resonanz-Ënnersystemer, déi duerch e Kupplungsfeder verbonne sinn. Well et en zwee-Grad-vun-Fräiheet-System ass, sinn zwou onofhängeg Koordinate gebraucht fir seng Positioun ze bestëmmen. Et ginn zwou natierlech Frequenzen an dësem System:

All Frequenz entsprécht engem Modus vun Schwéngung.D'harmonesch Oszilléierer maachen harmonesch Schwéngungen vun der selwechter Frequenz, synchron duerch d'Gläichgewiicht Positioun passéieren an synchron d'Extreme Positioun erreechen.An der Haaptvibration entspriechend Omega eent, x1 ass gläich x2; den Haaptvibration entsprécht Omega Omega Zwee, Omega Omega eent.An der Haaptvibration ass d'Verdrängungsverhältnis vun all Mass hält eng gewësse Relatioun a bildt e bestëmmte Modus, deen den Haaptmodus oder den natierleche Modus genannt gëtt.D'Orthogonalitéit vu Mass a Steifheit existéiert ënnert den Haaptmodi, déi d'Onofhängegkeet vun all Schwéngung reflektéiert.D'Naturfrequenz an den Haaptmodus representéieren. déi inherent Schwéngungseigenschaften vum Multi-Grad vu Fräiheetssystem.

FIG. 8 System mat multiple Fräiheetsgraden

E System vun n Fräiheetsgraden huet n natierlech Frequenzen an n Haaptmodi.All Schwéngungskonfiguratioun vum System kann als linear Kombinatioun vun de grousse Modi duergestallt ginn.Dofir gëtt d'Haaptmodus Superpositiounsmethod wäit an der dynamescher Äntwertanalyse vu Multi benotzt. -dof systems.Op dës Manéier gëtt d'Messung an d'Analyse vun den natierleche Schwéngungseigenschaften vum System e Routine Schrëtt am dynamesche Design vum System.

Déi dynamesch Charakteristike vu Multi-Dof Systemer kënnen och duerch Frequenzcharakteristike beschriwwe ginn. Well et eng Frequenzcharakteristesch Funktioun tëscht all Input an Output gëtt, gëtt eng Frequenzcharakteristesch Matrix konstruéiert. vun deem vum eenzege Fräiheetssystem.

Den Elastomer vibréiert

Den uewe Multi-Fräiheetsgrad System ass en ongeféiere mechanesche Modell vun Elastomer.En Elastomer huet eng onendlech Zuel vu Fräiheetsgraden.Et gëtt e quantitativen Ënnerscheed awer keen wesentlechen Ënnerscheed tëscht deenen zwee.All Elastomer huet eng onendlech Zuel vun natierleche Frequenzen an eng onendlech Unzuel vun entspriechend Modi, an et gëtt Ortogonalitéit tëscht de Modi vu Mass a Steifheit.All Schwéngungskonfiguratioun vun der Elastomer kann och als linear Iwwerlagerung vun de grousse Modi duergestallt ginn.Dofir, fir dynamesch Äntwert Analyse vun Elastomer, ass d'Superposition Method vun Haaptmodus nach applicabel (kuckt linear Schwéngung vun elastomer).

Huelt d'Schwéngung vun engem String.Loosst eis soen, datt eng dënn String vu Mass m pro Unitéit Längt, laang l, op béide Enden gespannt ass, an d'Spannung ass T.Zu dësem Zäitpunkt gëtt d'natierlech Frequenz vum String duerch déi folgend bestëmmt. Equatioun:

F = na/2l (n= 1,2,3…).

Wou ass d'Verbreedungsvitesse vun der transversaler Welle laanscht d'Richtung vun der String.D'natierlech Frequenzen vun de Saiten passéieren Multiple vun der Grondfrequenz iwwer 2l.Dës ganz Zuelen-Multiplizitéit féiert zu enger agreabeler harmonescher Struktur.Am Allgemengen gëtt et keng sou eng ganz Zuel multiple Relatioun tëscht den natierleche Frequenzen vum Elastomer.

Déi éischt dräi Modi vun der gespannt String sinn an Fig. 9. Et sinn e puer Wirbelen op der Haaptrei Modus Curve.An der Haaptrei Schwéngung, d'Knäppercher net vibrate.FIG. 10 weist e puer typesch Modi vun der circumferentially ënnerstëtzt kreesfërmeg Plack mat e puer nodal Linnen aus Kreeser an Duerchmiesser.

Déi genee Formuléierung vum Elastomer Schwéngungsproblem kann als Grenzwäertproblem vun partiellen Differentialgleichungen ofgeschloss ginn. Déi genee Léisung kann awer nëmmen an e puer vun den einfachsten Fäll fonnt ginn, also musse mir op déi ongeféier Léisung fir de komplexe Elastomer zréckgräifen. Schwéngungsproblem.D'Essenz vu verschiddene geschätzte Léisungen ass d'Onendlech an d'finit z'änneren, dat heescht, de Gliedmaart ouni Multi-Grad vu Fräiheetssystem ze diskretiséieren. (continuous system) into a finite multi-degree of freedom system (discrete system).Et ginn zwou Zorte vu Diskretiséierungsmethoden déi wäit an der Ingenieursanalyse benotzt ginn: endlech Element-Method a Modal Synthesemethod.

FIG. 9 Modus vun String

FIG. 10 Modus vun kreesfërmeg Plack

Finite Element Method ass eng Komposit Struktur déi eng komplex Struktur an eng endlech Unzuel vun Elementer abstrakt a verbënnt se op eng endlech Unzuel vun Noden. Verdeelungsparameter vun all Element sinn op all Node an engem bestëmmte Format konzentréiert, an de mechanesche Modell vum diskrete System gëtt kritt.

Modal Synthese ass d'Zersetzung vun enger komplexer Struktur an e puer méi einfach Ënnerstrukturen.Op Basis vum Verständnis vun de Schwéngungseigenschaften vun all Ënnerstruktur gëtt d'Ënnerstruktur an eng allgemeng Struktur synthetiséiert no de Koordinatiounsbedingungen op der Interface, an der Schwéngungsmorphologie vun der allgemenger. Struktur gëtt kritt andeems d'Vibrationsmorphologie vun all Ënnerstruktur benotzt gëtt.

Déi zwou Methoden sinn ënnerschiddlech a verbonnen, a kënnen als Referenz benotzt ginn.D'modal Synthesemethod kann och effektiv mat der experimenteller Miessung kombinéiert ginn fir eng theoretesch an experimentell Analysemethod fir d'Vibratioun vu grousse Systemer ze bilden.