Kas ir lineārā vibrācija?

Lineārā vibrācija: sistēmas komponentu elastība ir pakļauta āķa likumam, un kustības laikā radītais slāpēšanas spēks ir proporcionāls vispārinātā ātruma pirmajam vienādojumam (vispārināto koordinātu laika atvasinājums).

koncepcija

Lineārā sistēma parasti ir abstrakts reālās sistēmas vibrācijas modelis. Lineārā vibrāciju sistēma izmanto superpozīcijas principu, tas ir, ja sistēmas reakcija ir y1 ieejas x1 ietekmē un y2 ieejas x2 ietekmē, tad sistēmas reakcija ievades x1 un x2 ietekmē ir y1+y2.

Pamatojoties uz superpozīcijas principu, patvaļīgu ievadi var sadalīt bezgalīgi mazu impulsu virknes summā un pēc tam iegūt kopējo sistēmas reakciju. Periodiskas ierosmes harmonisko komponentu summu var paplašināt harmonisko komponentu sērijas ar Furjē transformāciju, un katra harmoniskā komponenta ietekmi uz sistēmu var izpētīt atsevišķi. Līdz ar to lineāro sistēmu ar nemainīgiem parametriem reakcijas raksturlielumus var raksturot ar impulsa reakciju vai frekvences reakciju.

Impulsa reakcija attiecas uz sistēmas reakciju uz vienības impulsu, kas raksturo sistēmas reakcijas raksturlielumus laika domēnā. Frekvences reakcija attiecas uz sistēmas reakcijas īpašību uz vienības harmonikas ievadi. Tiek noteikta abu atbilstība. ar Furjē transformāciju.

klasifikācija

Lineāro vibrāciju var iedalīt vienas brīvības pakāpes sistēmas lineārajā vibrācijā un vairāku brīvības pakāpju sistēmas lineārajā vibrācijā.

(1) vienas brīvības pakāpes sistēmas lineārā vibrācija ir lineāra vibrācija, kuras pozīciju var noteikt ar vispārinātu koordinātu. Tā ir vienkāršākā vibrācija, no kuras var iegūt daudzus vibrācijas pamatjēdzienus un raksturlielumus.Tā ietver vienkāršus harmoniskā vibrācija, brīvā vibrācija, vājināšanās vibrācija un piespiedu vibrācija.

Vienkārša harmoniskā vibrācija: objekta turp un atpakaļ kustība tā līdzsvara stāvokļa tuvumā saskaņā ar sinusoidālu likumu, iedarbojoties atjaunojošam spēkam, kas ir proporcionāls tā pārvietojumam.

Slāpēta vibrācija: vibrācija, kuras amplitūdu pastāvīgi vājina berze un dielektriskā pretestība vai cits enerģijas patēriņš.

Piespiedu vibrācija: sistēmas vibrācija pastāvīgā ierosmē.

(2) vairāku brīvības pakāpju sistēmas lineārā vibrācija ir lineārās sistēmas vibrācija ar n≥2 brīvības pakāpēm. n brīvības pakāpju sistēmai ir n dabiskās frekvences un n galvenie režīmi. Jebkura vibrācijas konfigurācija Sistēmu var attēlot kā galveno režīmu lineāru kombināciju.Tādēļ galvenā režīma superpozīcijas metodi plaši izmanto daudzdof sistēmu dinamiskās reakcijas analīzē. Tādā veidā tiek mērīta un analizēta vibrācijas dabiskās vibrācijas raksturlielumi. sistēma kļūst par ikdienišķu soli sistēmas dinamiskajā projektēšanā.Daudzdof sistēmu dinamiskos raksturlielumus var raksturot arī ar frekvences raksturlielumiem.Tā kā starp katru ieeju un izeju ir frekvences raksturlieluma funkcija, tiek veidota frekvences raksturlielumu matrica. ir noteikta saistība starp frekvences raksturlīkni un galveno režīmu. Daudzbrīvību sistēmas amplitūdas-frekvences raksturlīkne atšķiras no vienas brīvības sistēmas raksturlīknes.

Vienas brīvības pakāpes sistēmas lineārā vibrācija

Lineāra vibrācija, kurā sistēmas stāvokli var noteikt ar vispārinātu koordinātu. Tā ir visvienkāršākā un fundamentālākā vibrācija, no kuras var atvasināt daudzus vibrācijas pamatjēdzienus un raksturlielumus. Tā ietver vienkāršu harmonisku vibrāciju, slāpētu vibrāciju un piespiedu vibrāciju. .

Harmoniskā vibrācija

Atjaunojot spēku, kas ir proporcionāls pārvietojumam, objekts sinusoidāli virzās turp un atpakaļ tā līdzsvara stāvokļa tuvumā (1. att.). X apzīmē pārvietojumu un t apzīmē laiku. Šīs vibrācijas matemātiskā izteiksme ir:

(1)kur A ir maksimālā nobīdes x vērtība, ko sauc par amplitūdu un apzīmē vibrācijas intensitāti; Omega n ir vibrācijas amplitūdas leņķa pieaugums sekundē, ko sauc par leņķisko frekvenci vai apļveida frekvenci; tiek saukta par sākuma fāzi. Runājot par f = n/2, svārstību skaitu sekundē sauc par frekvenci; tā apgrieztā vērtība, T = 1/f, ir laiks, kas nepieciešams, lai svārstītos viens cikls, un to sauc. periods.Amplitūda, frekvence f (vai leņķiskā frekvence n), sākuma fāze, kas pazīstama kā vienkārša harmoniskā vibrācija, trīs elementi.

Zīm. 1 vienkārša harmonisko vibrāciju līkne

Kā parādīts attēlā. 2, vienkāršu harmonisko oscilatoru veido koncentrēta masa m, kas savienota ar lineāru atsperi. Kad vibrācijas nobīdi aprēķina no līdzsvara stāvokļa, vibrācijas vienādojums ir:

Kur ir atsperes stingrība. Iepriekš minētā vienādojuma vispārīgais risinājums ir (1).A un to var noteikt pēc sākuma stāvokļa x0 un sākuma ātruma pie t=0:

Bet omega n nosaka tikai pašas sistēmas raksturlielumi m un k neatkarīgi no papildu sākuma nosacījumiem, tāpēc omega n sauc arī par dabisko frekvenci.

Zīm. 2 vienas brīvības pakāpes sistēma

Vienkāršam harmoniskam oscilatoram tā kinētiskās enerģijas un potenciālās enerģijas summa ir nemainīga, tas ir, sistēmas kopējā mehāniskā enerģija tiek saglabāta. Vibrācijas procesā kinētiskā enerģija un potenciālā enerģija tiek pastāvīgi pārveidotas viena otrā.

Slāpējošā vibrācija

Vibrācija, kuras amplitūdu nepārtraukti vājina berze un dielektriskā pretestība vai cits enerģijas patēriņš. Mikrovibrācijas gadījumā ātrums parasti nav ļoti liels, un vidējā pretestība ir proporcionāla ātrumam līdz pirmajai jaudai, ko var uzrakstīt kā c ir amortizācijas koeficients. Tāpēc vienas brīvības pakāpes vibrācijas vienādojumu ar lineāro slāpēšanu var uzrakstīt šādi:

(2)Kur m =c/2m sauc par slāpēšanas parametru un. Formulas (2) vispārīgo risinājumu var uzrakstīt:

(3)Skaitliskās attiecības starp omega n un PI var iedalīt šādos trīs gadījumos:

N > (mazas slāpēšanas gadījumā) daļiņu radītā vājināšanās vibrācija, vibrācijas vienādojums ir:

Tās amplitūda laika gaitā samazinās saskaņā ar vienādojumā parādīto eksponenciālo likumu, kā parādīts punktētajā līnijā attēlā. 3. Stingri sakot, šī vibrācija ir periodiska, bet tās maksimuma frekvenci var definēt kā:

To sauc par amplitūdas samazināšanas ātrumu, kur ir vibrācijas periods.Amplitūdas samazināšanas ātruma naturālo logaritmu sauc par logaritma mīnus (amplitūdas) ātrumu. Acīmredzot = šajā gadījumā ir vienāds ar 2/1. Tieši caur eksperimentālā testa delta un, izmantojot iepriekš minēto formulu, var aprēķināt c.

Šajā laikā (2) vienādojuma risinājumu var uzrakstīt:

Kopā ar sākotnējā ātruma virzienu to var iedalīt trīs bezvibrācijas gadījumos, kā parādīts attēlā. 4.

N < (lielas slāpēšanas gadījumā) vienādojuma (2) risinājums ir parādīts (3) vienādojumā. Šajā brīdī sistēma vairs nevibrē.

Piespiedu vibrācija

Sistēmas vibrācija pastāvīgā ierosmē.Vibrāciju analīze galvenokārt pēta sistēmas reakciju uz ierosmi.Periodiskā ierosme ir tipiska regulāra ierosme.Tā kā periodisko ierosmi vienmēr var sadalīt vairāku harmonisku ierosinājumu summā, saskaņā ar superpozīcijas principu, tikai ir nepieciešama sistēmas reakcija uz katru harmonisko ierosmi. Harmoniskas ierosmes iedarbībā var uzrakstīt vienas brīvības pakāpes slāpētās sistēmas kustības diferenciālvienādojumu:

Atbilde ir divu daļu summa. Viena daļa ir slāpētās vibrācijas reakcija, kas laika gaitā strauji samazinās. Citas piespiedu vibrācijas daļas reakciju var uzrakstīt:

Zīm. 3 slāpēta vibrācijas līkne

Zīm. 4 trīs sākotnējo apstākļu līknes ar kritisku slāpēšanu

Ierakstiet

H /F0= h (), ir vienmērīgas reakcijas amplitūdas attiecība pret ierosmes amplitūdu, kas raksturo amplitūdas-frekvences raksturlielumus vai pastiprinājuma funkciju; Biti līdzsvara stāvokļa reakcijai un fāzes stimulēšanai, fāzes frekvences raksturlielumu raksturojums. Attiecība starp tām un ierosmes frekvence ir parādīta attēlā. 5 un Fig. 6.

Kā redzams no amplitūdas-frekvences līknes (5. att.), mazas slāpēšanas gadījumā amplitūdas-frekvences līknei ir viens maksimums.Jo mazāks amortizācija, jo stāvāks maksimums;Pīķim atbilstošā frekvence ir ko sauc par sistēmas rezonanses frekvenci.Mazas slāpēšanas gadījumā rezonanses frekvence daudz neatšķiras no dabiskās frekvences.Kad ierosmes frekvence ir tuvu dabiskajai frekvencei, amplitūda strauji palielinās. Šo parādību sauc par rezonansi.Pie rezonanses sistēmas ieguvums tiek maksimizēts, tas ir, piespiedu vibrācija ir visintensīvākā.Tāpēc parasti vienmēr jācenšas izvairīties no rezonanses, ja vien daži instrumenti un iekārtas neizmanto rezonansi, lai sasniegtu lielu vibrācija.

Zīm. 5 amplitūdas frekvences līkne

Var redzēt no fāzes frekvences līknes (6. attēls), neatkarīgi no slāpēšanas lieluma, omega nulles fāzes starpības bitos = PI / 2, šo raksturlielumu var efektīvi izmantot rezonanses mērīšanai.

Papildus vienmērīgai ierosmei sistēmas dažkārt saskaras ar nestabilu ierosmi. To var aptuveni iedalīt divos veidos: viens ir pēkšņs trieciens. Otrs ir patvaļas ilgstošais efekts.Nestabilas ierosmes gadījumā arī sistēmas reakcija ir nestabila.

Spēcīgs instruments nestabilas vibrācijas analīzei ir impulsu reakcijas metode.Tā apraksta sistēmas dinamiskos raksturlielumus ar sistēmas vienības impulsa ievades pārejošu reakciju. Vienības impulsu var izteikt kā delta funkciju. Inženierzinātnēs delta. funkcija bieži tiek definēta kā:

Kur 0- apzīmē punktu uz t ass, kas no kreisās puses tuvojas nullei; 0 plus ir punkts, kas iet uz 0 no labās puses.

Zīm. 6 fāžu frekvences līkne

Zīm. 7 jebkuru ievadi var uzskatīt par impulsa elementu virknes summu

Sistēma atbilst reakcijai h(t), ko rada vienības impulss pie t=0, ko sauc par impulsa reakcijas funkciju.Pieņemot, ka sistēma pirms impulsa ir nekustīga, h(t)=0, ja t<0.Zinot sistēmas impulsa reakcijas funkciju, mēs varam atrast sistēmas reakciju uz jebkuru ievadi x(t). Šajā brīdī jūs varat iedomāties x(t) kā impulsa elementu sērijas summu (7. attēls). .Sistēmas reakcija ir:

Pamatojoties uz superpozīcijas principu, sistēmas kopējā reakcija, kas atbilst x(t), ir:

Šo integrāli sauc par konvolūcijas integrāli vai superpozīcijas integrāli.

Vairāku brīvības pakāpju sistēmas lineārā vibrācija

Lineāras sistēmas vibrācija ar n≥2 brīvības pakāpēm.

8. attēlā parādītas divas vienkāršas rezonanses apakšsistēmas, kas savienotas ar sakabes atsperi. Tā kā tā ir divu brīvības pakāpju sistēma, tās novietojuma noteikšanai ir nepieciešamas divas neatkarīgas koordinātas. Šajā sistēmā ir divas dabiskās frekvences:

Katra frekvence atbilst vibrācijas režīmam. Harmoniskie oscilatori veic tādas pašas frekvences harmoniskas svārstības, sinhroni izejot cauri līdzsvara stāvoklim un sinhroni sasniedzot galējo stāvokli. Galvenajā vibrācijā, kas atbilst omega one, x1 ir vienāds ar x2;In galvenā vibrācija, kas atbilst omega omega divi, omega omega viens. Galvenajā vibrācijā katras masas pārvietojuma attiecība saglabā noteiktu attiecību un veido noteiktu režīmu, ko sauc par galveno režīmu vai dabisko režīmu. Masas ortogonalitāte un stīvums pastāv starp galvenajiem režīmiem, kas atspoguļo katras vibrācijas neatkarību. Dabiskā frekvence un galvenais režīms atspoguļo vairāku brīvības pakāpju sistēmas raksturīgās vibrācijas īpašības.

Zīm. 8 sistēma ar vairākām brīvības pakāpēm

Sistēmai ar n brīvības pakāpēm ir n dabiskās frekvences un n galvenie režīmi. Jebkuru sistēmas vibrācijas konfigurāciju var attēlot kā galveno režīmu lineāru kombināciju. Tāpēc galvenā režīma superpozīcijas metode tiek plaši izmantota dinamiskās atbildes analīzē. -dof sistēmas. Tādā veidā sistēmas dabisko vibrāciju raksturlielumu mērīšana un analīze kļūst par parastu soli sistēmas dinamiskajā projektēšanā.

Daudzfunkciju sistēmu dinamiskos raksturlielumus var aprakstīt arī ar frekvences raksturlielumiem.Tā kā starp katru ieeju un izeju ir frekvences raksturlieluma funkcija, tiek izveidota frekvences raksturlieluma matrica. Daudzbrīvību sistēmas amplitūdas-frekvences raksturlīkne ir atšķirīga. no vienas brīvības sistēmas.

Elastomērs vibrē

Iepriekš minētā vairāku brīvības pakāpju sistēma ir aptuvens elastomēra mehāniskais modelis. Elastomēram ir bezgalīgs brīvības pakāpju skaits. Pastāv kvantitatīvā atšķirība, bet nav būtiskas atšķirības starp abiem. Jebkuram elastomēram ir bezgalīgs skaits dabisko frekvenču un bezgalīgs skaits atbilstošo režīmu, un pastāv ortogonalitāte starp masas un stinguma režīmiem.Jebkuru elastomēra vibrācijas konfigurāciju var attēlot arī kā galveno režīmu lineāru superpozīciju.Tāpēc elastomēra dinamiskās reakcijas analīzei superpozīcijas metode galvenais režīms joprojām ir piemērojams (skatīt elastomēra lineāro vibrāciju).

Pieņemsim stīgas vibrāciju.Pieņemsim, ka tieva virkne ar masu m uz garuma vienību, gara l, ir nospriegota abos galos, un spriegums ir T.Šajā laikā virknes dabisko frekvenci nosaka šādi. vienādojums:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Kur ir šķērsviļņa izplatīšanās ātrums virknes virzienā. Stīgu dabiskās frekvences ir pamatfrekvences vairākkārtējas virs 2l. Šī veselā skaitļa daudzveidība rada patīkamu harmonisku struktūru. Kopumā nav šāda vesela skaitļa daudzkārtēja attiecība starp elastomēra dabiskajām frekvencēm.

Pirmie trīs nospriegotās auklas režīmi ir parādīti attēlā. 9. Uz galvenā režīma līknes ir daži mezgli.Galvenajā vibrācijā mezgli nevibrē.ATT. 10 parādīti vairāki tipiski apļveida plāksnes režīmi ar dažām mezglu līnijām, kas sastāv no apļiem un diametriem.

Precīzu elastomēra vibrācijas problēmas formulējumu var secināt kā daļēju diferenciālvienādojumu robežvērtību problēmu. Tomēr precīzu risinājumu var atrast tikai dažos vienkāršākajos gadījumos, tāpēc mums ir jāizmanto aptuvens sarežģītā elastomēra risinājums. Vibrāciju problēma.Dažādu aptuveno risinājumu būtība ir mainīt bezgalīgo uz galīgo, tas ir, bez ekstremitāšu vairāku brīvības pakāpju sistēmu (nepārtrauktu sistēmu) diskretizēt ierobežotā vairāku brīvības pakāpju sistēmā (diskrētā sistēmā) .Inženieranalīzē plaši tiek izmantotas divu veidu diskretizācijas metodes: galīgo elementu metode un modālās sintēzes metode.

Zīm. 9 stīgu režīms

Zīm. 10 apļveida plāksnes režīms

Galīgo elementu metode ir salikta struktūra, kas sarežģītu struktūru abstrahē ierobežotā skaitā elementu un savieno tos ar ierobežotu skaitu mezglu. Katra vienība ir elastomērs; Elementa sadalījuma pārvietojumu izsaka ar mezgla pārvietošanās interpolācijas funkciju. Katra elementa sadalījuma parametri tiek koncentrēti uz katru mezglu noteiktā formātā un tiek iegūts diskrētās sistēmas mehāniskais modelis.

Modālā sintēze ir sarežģītas struktūras sadalīšana vairākās vienkāršākos apakšstruktūrās. Pamatojoties uz katras apakšstruktūras vibrācijas raksturlielumu izpratni, apakšstruktūra tiek sintezēta vispārējā struktūrā atbilstoši saskarnes koordinācijas nosacījumiem un vispārējās vibrācijas morfoloģijai. struktūra tiek iegūta, izmantojot katras apakšbūves vibrācijas morfoloģiju.

Abas metodes ir atšķirīgas un saistītas, un tās var izmantot kā atsauci. Modālās sintēzes metodi var arī efektīvi apvienot ar eksperimentālo mērījumu, lai izveidotu teorētisku un eksperimentālu analīzes metodi lielu sistēmu vibrācijām.