Apakah getaran linear?

Getaran linear: keanjalan komponen dalam sistem tertakluk kepada undang-undang cangkuk, dan daya redaman yang dijana semasa gerakan adalah berkadar dengan persamaan pertama halaju umum (terbitan masa bagi koordinat umum).

konsep

Sistem linear biasanya merupakan model abstrak bagi getaran sistem sebenar. Sistem getaran linear menggunakan prinsip superposisi, iaitu, jika tindak balas sistem adalah y1 di bawah tindakan input x1, dan y2 di bawah tindakan input x2, maka tindak balas sistem di bawah tindakan input x1 dan x2 ialah y1+y2.

Atas dasar prinsip superposisi, input arbitrari boleh diuraikan menjadi jumlah siri impuls yang sangat kecil, dan kemudian jumlah tindak balas sistem boleh diperolehi. Jumlah komponen harmonik pengujaan berkala boleh dikembangkan menjadi satu siri komponen harmonik oleh transformasi Fourier, dan kesan setiap komponen harmonik pada sistem boleh disiasat secara berasingan.Oleh itu, ciri tindak balas sistem linear dengan parameter malar boleh diterangkan melalui tindak balas impuls atau tindak balas frekuensi.

Tindak balas impuls merujuk kepada tindak balas sistem kepada impuls unit, yang mencirikan ciri tindak balas sistem dalam domain masa. Tindak balas frekuensi merujuk kepada ciri tindak balas sistem kepada input harmonik unit. Surat-menyurat antara kedua-duanya ditentukan oleh transformasi Fourier.

pengelasan

Getaran linear boleh dibahagikan kepada getaran linear sistem satu-darjah-kebebasan dan getaran linear sistem multi-darjah-kebebasan.

(1) getaran linear sistem satu-darjah-kebebasan ialah getaran linear yang kedudukannya boleh ditentukan oleh koordinat umum. Ia adalah getaran paling mudah yang daripadanya banyak konsep asas dan ciri-ciri getaran boleh diperolehi. Ia termasuk ringkas getaran harmonik, getaran bebas, getaran pengecilan dan getaran paksa.

Getaran harmonik mudah: gerakan salingan objek dalam persekitaran kedudukan keseimbangannya mengikut hukum sinusoidal di bawah tindakan daya pemulihan yang berkadar dengan sesarannya.

Getaran teredam: getaran yang amplitudnya dilemahkan secara berterusan oleh kehadiran geseran dan rintangan dielektrik atau penggunaan tenaga lain.

Getaran paksa: getaran sistem di bawah pengujaan berterusan.

(2) getaran linear sistem multi-darjah-kebebasan ialah getaran sistem linear dengan n≥2 darjah kebebasan.Sistem n darjah kebebasan mempunyai n frekuensi semula jadi dan n mod utama.Sebarang konfigurasi getaran sistem boleh diwakili sebagai gabungan linear mod utama.Oleh itu, kaedah superposisi mod utama digunakan secara meluas dalam analisis tindak balas dinamik sistem multi-dof. Dengan cara ini, pengukuran dan analisis ciri-ciri getaran semula jadi bagi sistem menjadi langkah rutin dalam reka bentuk dinamik sistem.Ciri dinamik sistem multi-dof juga boleh diterangkan oleh ciri frekuensi.Oleh kerana terdapat fungsi ciri frekuensi antara setiap input dan output, matriks ciri frekuensi dibina.Terdapat ialah hubungan yang pasti antara ciri frekuensi dan mod utama. Lengkung ciri frekuensi amplitud sistem berbilang kebebasan adalah berbeza daripada sistem kebebasan tunggal.

Getaran linear satu darjah sistem kebebasan

Getaran linear di mana kedudukan sistem boleh ditentukan oleh koordinat umum. Ia adalah getaran yang paling mudah dan paling asas yang daripadanya banyak konsep asas dan ciri getaran boleh diperolehi. Ia termasuk getaran harmonik ringkas, getaran lembap dan getaran paksa .

Getaran harmonik

Di bawah tindakan memulihkan daya yang berkadar dengan anjakan, objek berbalas dengan cara sinusoidal berhampiran kedudukan keseimbangannya (Rajah 1). X mewakili sesaran dan t mewakili masa. Ungkapan matematik bagi getaran ini ialah:

(1)Di mana A ialah nilai maksimum sesaran x, yang dipanggil amplitud, dan mewakili keamatan getaran;Omega n ialah amplitud Peningkatan sudut getaran sesaat, yang dipanggil frekuensi sudut, atau frekuensi bulat;Ini dipanggil fasa awal. Dari segi f= n/2, bilangan ayunan sesaat dipanggil frekuensi; songsangan ini, T=1/f, ialah masa yang diperlukan untuk berayun satu kitaran, dan itu dipanggil Amplitud A, frekuensi f (atau frekuensi sudut n), fasa awal, dikenali sebagai getaran harmonik mudah tiga elemen.

Gbr. 1 lengkung getaran harmonik ringkas

Seperti yang ditunjukkan dalam FIG. 2, pengayun harmonik ringkas dibentuk oleh jisim pekat m yang disambungkan oleh spring linear. Apabila anjakan getaran dikira dari kedudukan keseimbangan, persamaan getaran ialah:

Di manakah kekukuhan spring.Penyelesaian am bagi persamaan di atas ialah (1).A dan boleh ditentukan oleh kedudukan awal x0 dan halaju awal pada t=0:

Tetapi omega n hanya ditentukan oleh ciri-ciri sistem itu sendiri m dan k, bebas daripada keadaan awal tambahan, jadi omega n juga dikenali sebagai frekuensi semula jadi.

Gbr. 2 sistem kebebasan darjah tunggal

Untuk pengayun harmonik ringkas, jumlah tenaga kinetik dan tenaga keupayaannya adalah malar, iaitu, jumlah tenaga mekanikal sistem dipelihara. Dalam proses getaran, tenaga kinetik dan tenaga keupayaan sentiasa berubah menjadi satu sama lain.

Getaran redaman

Getaran yang amplitudnya dilemahkan secara berterusan oleh geseran dan rintangan dielektrik atau penggunaan tenaga lain. Untuk getaran mikro, halaju biasanya tidak terlalu besar, dan rintangan sederhana adalah berkadar dengan halaju kepada kuasa pertama, yang boleh ditulis sebagai c ialah pekali redaman.Oleh itu, persamaan getaran satu darjah kebebasan dengan redaman linear boleh ditulis sebagai:

(2)Di mana, m =c/2m dipanggil parameter redaman, dan. Penyelesaian am formula (2) boleh ditulis:

(3)Hubungan berangka antara omega n dan PI boleh dibahagikan kepada tiga kes berikut:

N > (dalam kes redaman kecil) zarah menghasilkan getaran pengecilan, persamaan getaran ialah:

Amplitudnya berkurangan dengan masa mengikut undang-undang eksponen yang ditunjukkan dalam persamaan, seperti yang ditunjukkan dalam garis putus-putus dalam Rajah. 3. Tegasnya, getaran ini adalah aperiodik, tetapi kekerapan kemuncaknya boleh ditakrifkan sebagai:

Dipanggil kadar pengurangan amplitud, di mana adalah tempoh getaran.Logaritma semula jadi bagi kadar pengurangan amplitud dipanggil kadar logaritma tolak (amplitud). Jelas sekali, =, dalam kes ini, adalah sama dengan 2/1. Secara langsung melalui delta ujian eksperimen dan, menggunakan formula di atas boleh dikira c.

Pada masa ini, penyelesaian persamaan (2) boleh ditulis:

Bersama-sama dengan arah halaju awal, ia boleh dibahagikan kepada tiga kes bukan getaran seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 4.

N < (dalam kes redaman besar), penyelesaian kepada persamaan (2) ditunjukkan dalam persamaan (3). Pada ketika ini, sistem tidak lagi bergetar.

Getaran paksa

Getaran sistem di bawah pengujaan malar.Analisis getaran terutamanya menyiasat tindak balas sistem terhadap pengujaan. Pengujaan berkala ialah pengujaan biasa yang tipikal. Memandangkan pengujaan berkala sentiasa boleh diuraikan kepada jumlah beberapa pengujaan harmonik, mengikut prinsip superposisi, hanya tindak balas sistem kepada setiap pengujaan harmonik diperlukan. Di bawah tindakan pengujaan harmonik, persamaan pembezaan gerakan bagi satu darjah kebebasan sistem teredam boleh ditulis:

Tanggapan adalah hasil tambah dua bahagian. Satu bahagian ialah tindak balas getaran terlembap, yang mereput dengan cepat mengikut masa. Tindak balas bahagian lain getaran paksa boleh ditulis:

Gbr. 3 lengkung getaran yang dilembapkan

Gbr. 4 lengkung tiga keadaan awal dengan redaman kritikal

Taip dalam

H /F0= h (), ialah nisbah amplitud tindak balas mantap kepada amplitud pengujaan, mencirikan ciri frekuensi amplitud, atau fungsi perolehan;Bit untuk tindak balas keadaan mantap dan insentif fasa, pencirian ciri frekuensi fasa. Hubungan antara mereka dan kekerapan pengujaan ditunjukkan dalam Rajah. 5 dan Gbr. 6.

Seperti yang dapat dilihat daripada lengkung frekuensi amplitud (Rajah 5), dalam kes redaman kecil, lengkung frekuensi amplitud mempunyai satu puncak. Semakin kecil redaman, semakin curam puncak; Frekuensi yang sepadan dengan puncak ialah dipanggil frekuensi resonan sistem.Dalam kes redaman kecil, frekuensi resonans tidak jauh berbeza daripada frekuensi semula jadi.Apabila frekuensi pengujaan hampir dengan frekuensi semula jadi, amplitud meningkat dengan mendadak. Fenomena ini dipanggil resonans.Pada resonans, keuntungan sistem dimaksimumkan, iaitu, getaran paksa adalah yang paling kuat.Oleh itu, secara umum, sentiasa berusaha untuk mengelakkan resonans, melainkan beberapa instrumen dan peralatan untuk menggunakan resonans untuk mencapai besar. getaran.

Gbr. 5 keluk frekuensi amplitud

Boleh dilihat dari lengkung frekuensi fasa (rajah 6), tanpa mengira saiz redaman, dalam bit perbezaan fasa sifar omega = PI / 2, ciri ini boleh digunakan dengan berkesan dalam mengukur resonans.

Selain pengujaan yang stabil, sistem kadangkala menghadapi pengujaan yang tidak stabil. Ia boleh dibahagikan secara kasar kepada dua jenis: satu ialah kesan mengejut. Yang kedua ialah kesan yang berkekalan daripada kesewenang-wenangan. Di bawah pengujaan yang tidak stabil, tindak balas sistem juga tidak stabil.

Alat yang berkuasa untuk menganalisis getaran tidak mantap ialah kaedah tindak balas impuls. Ia menerangkan ciri dinamik sistem dengan tindak balas sementara input impuls unit sistem. Impuls unit boleh dinyatakan sebagai fungsi delta. Dalam kejuruteraan, delta fungsi sering ditakrifkan sebagai:

Di mana 0- mewakili titik pada paksi-t yang menghampiri sifar dari kiri;0 tambah ialah titik yang pergi ke 0 dari kanan.

Gbr. lengkung frekuensi 6 fasa

Gbr. 7 sebarang input boleh dianggap sebagai jumlah siri unsur impuls

Sistem ini sepadan dengan tindak balas h(t) yang dihasilkan oleh impuls unit pada t=0, yang dipanggil fungsi tindak balas impuls. Dengan mengandaikan bahawa sistem pegun sebelum nadi, h(t)=0 untuk t<0. Mengetahui fungsi tindak balas impuls sistem, kita boleh mencari tindak balas sistem kepada mana-mana input x(t). Pada ketika ini, anda boleh memikirkan x(t) sebagai jumlah bagi satu siri unsur impuls (Rajah 7) .Tindak balas sistem ialah:

Berdasarkan prinsip superposisi, jumlah tindak balas sistem yang sepadan dengan x(t) ialah:

Kamiran ini dipanggil kamiran lilitan atau kamiran superposisi.

Getaran linear sistem multi-darjah-kebebasan

Getaran sistem linear dengan n≥2 darjah kebebasan.

Rajah 8 menunjukkan dua subsistem resonans ringkas yang disambungkan oleh spring gandingan. Oleh kerana ia adalah sistem dua darjah kebebasan, dua koordinat bebas diperlukan untuk menentukan kedudukannya. Terdapat dua frekuensi semula jadi dalam sistem ini:

Setiap frekuensi sepadan dengan mod getaran. Pengayun harmonik menjalankan ayunan harmonik dengan frekuensi yang sama, secara serentak melalui kedudukan keseimbangan dan secara serentak mencapai kedudukan melampau. Dalam getaran utama yang sepadan dengan omega satu, x1 adalah sama dengan x2; getaran utama yang sepadan dengan omega omega dua, omega omega satu.Dalam getaran utama, nisbah anjakan setiap jisim mengekalkan hubungan tertentu dan membentuk mod tertentu, yang dipanggil mod utama atau mod semula jadi.Keortogonan jisim dan kekakuan wujud antara mod utama, yang mencerminkan kebebasan setiap getaran. Frekuensi semula jadi dan mod utama mewakili ciri getaran yang wujud dalam sistem kebebasan berbilang darjah.

Gbr. 8 sistem dengan pelbagai darjah kebebasan

Sistem n darjah kebebasan mempunyai n frekuensi semula jadi dan n mod utama. Sebarang konfigurasi getaran sistem boleh diwakili sebagai gabungan linear mod utama. Oleh itu, kaedah superposisi mod utama digunakan secara meluas dalam analisis tindak balas dinamik berbilang sistem -dof.Dengan cara ini, pengukuran dan analisis ciri getaran semula jadi sistem menjadi langkah rutin dalam reka bentuk dinamik sistem.

Ciri dinamik sistem multi-dof juga boleh diterangkan oleh ciri frekuensi. Memandangkan terdapat fungsi ciri frekuensi antara setiap input dan output, matriks ciri frekuensi dibina. Lengkung ciri frekuensi amplitud sistem multi-freedom adalah berbeza. daripada sistem kebebasan tunggal.

Elastomer bergetar

Sistem berbilang darjah kebebasan di atas ialah model mekanikal anggaran elastomer. Elastomer mempunyai bilangan darjah kebebasan yang tidak terhingga. Terdapat perbezaan kuantitatif tetapi tiada perbezaan penting antara kedua-duanya. Mana-mana elastomer mempunyai bilangan frekuensi semula jadi yang tidak terhingga dan bilangan mod sepadan yang tidak terhingga, dan terdapat keortogonan antara mod jisim dan kekakuan. Sebarang konfigurasi getaran elastomer juga boleh diwakili sebagai superposisi linear bagi mod utama.Oleh itu, untuk analisis tindak balas dinamik elastomer, kaedah superposisi mod utama masih terpakai (lihat getaran linear elastomer).

Ambil getaran tali. Katakan rentetan nipis berjisim m per unit panjang, panjang l, ditegangkan pada kedua-dua hujungnya, dan tegangannya ialah T. Pada masa ini, frekuensi semula jadi rentetan ditentukan oleh yang berikut persamaan:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Di mana, ialah halaju perambatan gelombang melintang di sepanjang arah rentetan. Frekuensi semula jadi rentetan adalah gandaan frekuensi asas lebih 2l. Kepelbagaian integer ini membawa kepada struktur harmonik yang menyenangkan. Secara amnya, tiada hubungan berbilang integer sedemikian antara frekuensi semula jadi elastomer.

Tiga mod pertama rentetan yang ditegangkan ditunjukkan dalam Rajah. 9. Terdapat beberapa nod pada lengkung mod utama. Dalam getaran utama, nod tidak bergetar. FIG. 10 menunjukkan beberapa mod tipikal plat bulat yang disokong lilitan dengan beberapa garisan nod terdiri daripada bulatan dan diameter.

Rumusan tepat masalah getaran elastomer boleh disimpulkan sebagai masalah nilai sempadan bagi persamaan pembezaan separa. Walau bagaimanapun, penyelesaian tepat hanya boleh didapati dalam beberapa kes yang paling mudah, jadi kita perlu menggunakan penyelesaian anggaran untuk elastomer kompleks. masalah getaran.Intipati pelbagai penyelesaian anggaran adalah untuk menukar tak terhingga kepada terhingga, iaitu mendiskrisikan sistem kebebasan berbilang darjah tanpa anggota (sistem berterusan) kepada sistem kebebasan berbilang darjah terhingga (sistem diskret) .Terdapat dua jenis kaedah pendiskretan yang digunakan secara meluas dalam analisis kejuruteraan: kaedah unsur terhingga dan kaedah sintesis modal.

Gbr. 9 mod rentetan

Gbr. 10 mod plat bulat

Kaedah unsur terhingga ialah struktur komposit yang mengabstraksi struktur kompleks kepada bilangan unsur terhingga dan menyambungkannya pada nombor terhingga nod. Setiap unit ialah elastomer; Anjakan taburan unsur dinyatakan melalui fungsi interpolasi anjakan nod. Kemudian parameter pengedaran setiap elemen tertumpu kepada setiap nod dalam format tertentu, dan model mekanikal sistem diskret diperolehi.

Sintesis modal ialah penguraian struktur kompleks kepada beberapa substruktur yang lebih mudah. ​​Atas dasar memahami ciri-ciri getaran setiap substruktur, substruktur disintesis menjadi struktur umum mengikut keadaan koordinasi pada antara muka, dan morfologi getaran umum struktur diperoleh dengan menggunakan morfologi getaran setiap substruktur.

Kedua-dua kaedah adalah berbeza dan berkaitan, dan boleh digunakan sebagai rujukan. Kaedah sintesis modal juga boleh digabungkan dengan berkesan dengan pengukuran eksperimen untuk membentuk kaedah analisis teori dan eksperimen untuk getaran sistem besar.