Apakah getaran linear?

Getaran linear: Keanjalan komponen dalam sistem adalah tertakluk kepada undang -undang Hooke, dan daya redaman yang dihasilkan semasa gerakan adalah berkadar dengan persamaan pertama halaju umum (derivatif masa koordinat umum).

konsep

Sistem linear biasanya merupakan model abstrak getaran sistem sebenar. Sistem getaran linear menggunakan prinsip superposisi, iaitu, jika tindak balas sistem adalah y1 di bawah tindakan input x1, dan y2 di bawah tindakan input x2, Kemudian tindak balas sistem di bawah tindakan input X1 dan X2 ialah Y1+Y2.

Atas dasar prinsip superposisi, input sewenang -wenangnya dapat diuraikan ke dalam jumlah siri impuls yang sangat kecil, dan kemudian jumlah tindak balas sistem dapat diperoleh. siri komponen harmonik oleh transformasi Fourier, dan kesan setiap komponen harmonik pada sistem boleh disiasat secara berasingan. Oleh itu, ciri -ciri tindak balas Sistem linear dengan parameter malar boleh diterangkan oleh tindak balas impuls atau tindak balas kekerapan.

Tindak balas impuls merujuk kepada tindak balas sistem kepada impuls unit, yang mencirikan ciri -ciri tindak balas sistem dalam domain masa. Response Frequency merujuk kepada ciri tindak balas sistem ke input harmonik unit. Surat -menyurat antara kedua -dua ditentukan oleh transformasi Fourier.

klasifikasi

Getaran linear boleh dibahagikan kepada getaran linear sistem satu darjah-of-freedom dan getaran linear sistem multi-darjah kebebasan.

(1) Getaran linear sistem satu darjah kebebasan adalah getaran linear yang kedudukannya dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ia adalah getaran yang paling mudah dari mana banyak konsep asas dan ciri-ciri getaran dapat diperoleh. Getaran harmonik, getaran percuma, getaran pelemahan dan getaran paksa.

Getaran harmonik mudah: Gerakan salingan objek di sekitar kedudukan keseimbangannya mengikut undang -undang sinusoidal di bawah tindakan pemulihan daya yang berkadar dengan anjakannya.

Getaran Damped: Getaran yang amplitudnya terus dilemahkan oleh kehadiran geseran dan rintangan dielektrik atau penggunaan tenaga lain.

Getaran paksa: getaran sistem di bawah pengujaan yang berterusan.

(2) getaran linear sistem multi-darjah kebebasan adalah getaran sistem linear dengan n≥2 darjah kebebasan. sistem boleh diwakili sebagai gabungan linear mod utama. Oleh itu, kaedah superposisi mod utama digunakan secara meluas dalam analisis tindak balas dinamik sistem multi-dof.dalam ini cara, pengukuran dan analisis ciri-ciri getaran semulajadi sistem menjadi langkah rutin dalam reka bentuk dinamik sistem. Ciri-ciri dinamik sistem multi-DOF juga boleh digambarkan oleh ciri-ciri kekerapan. Setiap input dan output, matriks ciri frekuensi dibina. Terdapat hubungan yang pasti antara ciri frekuensi dan mod utama. Kurva ciri-ciri frekuensi amplitud dari multi-kebebasan Sistem adalah berbeza daripada sistem kebebasan tunggal.

Getaran linear satu tahap sistem kebebasan

Getaran linear di mana kedudukan sistem dapat ditentukan oleh koordinat umum. Ia adalah getaran yang paling mudah dan paling asas dari mana banyak konsep asas dan ciri -ciri getaran dapat diperoleh. .

Getaran harmonik

Di bawah tindakan memulihkan daya berkadar dengan anjakan, objek itu membalas dengan cara sinusoidal berhampiran kedudukan keseimbangannya (Rajah 1) .x mewakili anjakan dan t mewakili masa. Ekspresi matematik getaran ini adalah:

(1)Di mana A ialah nilai maksimum anjakan x, yang dipanggil amplitud, dan mewakili intensiti getaran; omega n ialah kenaikan sudut amplitud getaran sesaat, yang dipanggil kekerapan sudut, atau kekerapan bulat; dipanggil fasa awal. Terma f = n/2, bilangan ayunan sesaat dipanggil kekerapan; songsang ini, t = 1/f, adalah masa yang diperlukan untuk Oscillate One Cycle, dan itu dipanggil tempoh. Amplitud A, Frekuensi F (atau Frekuensi Sudut N), fasa awal, yang dikenali sebagai getaran harmonik mudah tiga elemen.

Rajah. 1 lengkung getaran harmonik mudah

Seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 2, pengayun harmonik mudah dibentuk oleh jisim pekat m yang dihubungkan dengan spring linear. Apabila anjakan getaran dikira dari kedudukan keseimbangan, persamaan getaran adalah:

Di mana kekakuan musim bunga. Penyelesaian umum kepada persamaan di atas adalah (1) .a dan boleh ditentukan oleh kedudukan awal x0 dan halaju awal pada t = 0:

Tetapi omega n hanya ditentukan oleh ciri -ciri sistem itu sendiri m dan k, bebas daripada keadaan awal tambahan, jadi omega n juga dikenali sebagai kekerapan semula jadi.

Rajah. 2 tahap sistem kebebasan tunggal

Untuk pengayun harmonik yang mudah, jumlah tenaga kinetik dan tenaga berpotensi adalah malar, iaitu, jumlah tenaga mekanikal sistem dipelihara. Dalam proses getaran, tenaga kinetik dan tenaga berpotensi sentiasa berubah menjadi satu sama lain.

Getaran redaman

Getaran yang amplitudnya terus dilemahkan oleh geseran dan rintangan dielektrik atau penggunaan tenaga lain. Untuk getaran mikro, halaju umumnya tidak begitu besar, dan rintangan sederhana adalah berkadar dengan halaju ke kuasa pertama, yang dapat ditulis sebagai c Koefisien redaman. Oleh itu, persamaan getaran satu tahap kebebasan dengan redaman linear boleh ditulis sebagai:

(2)Di mana, m = c/2m dipanggil parameter redaman, dan. Penyelesaian umum formula (2) boleh ditulis:

(3)Hubungan berangka antara omega n dan pi boleh dibahagikan kepada tiga kes berikut:

N> (dalam hal redaman kecil) zarah yang dihasilkan getaran pelemahan, persamaan getaran adalah:

Amplitudnya berkurangan dengan masa mengikut undang -undang eksponen yang ditunjukkan dalam persamaan, seperti yang ditunjukkan dalam garis putus -putus dalam Rajah. 3. Bertindaklah, getaran ini adalah aperiodik, tetapi kekerapan puncaknya dapat ditakrifkan sebagai:

Dipanggil kadar pengurangan amplitud, di mana tempoh getaran. Logaritma semulajadi kadar pengurangan amplitud dipanggil logaritma dikurangkan (amplitud) kadar.obvousy, =, dalam kes ini, sama dengan 2/1.Directly melalui ujian percubaan delta dan, menggunakan formula di atas boleh dikira c.

Pada masa ini, penyelesaian persamaan (2) boleh ditulis:

Seiring dengan arah halaju awal, ia boleh dibahagikan kepada tiga kes bukan getaran seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 4.

N <(Dalam hal redaman besar), penyelesaian kepada persamaan (2) ditunjukkan dalam persamaan (3). Pada titik ini, sistem tidak lagi bergetar.

Getaran paksa

Getaran sistem di bawah pengujaan yang berterusan. Analisis Pengawasan terutamanya menyiasat tindak balas sistem untuk pengujaan. Pengujaan untuk pengujaan adalah pengujaan biasa yang biasa. Oleh kerana pengujaan berkala sentiasa boleh diuraikan ke dalam jumlah pengujaan harmonik, menurut prinsip superposisi, tindak balas sistem kepada setiap pengujaan harmonik diperlukan. Tindakan tindakan pengujaan harmonik, persamaan pembezaan gerakan satu tahap kebebasan terendam Sistem boleh ditulis:

Tanggapan adalah jumlah dua bahagian. Satu bahagian adalah tindak balas getaran yang lembap, yang mereput dengan cepat dengan masa. Sambutan bahagian lain getaran paksa boleh ditulis:

Rajah. 3 lengkung getaran terendam

Rajah. 4 lengkung tiga keadaan awal dengan redaman kritikal

Taipkan

H /F0 = H (), adalah nisbah amplitud tindak balas mantap kepada amplitud pengujaan, mencirikan ciri-ciri frekuensi amplitud, atau fungsi keuntungan; bit untuk tindak balas keadaan mantap dan insentif fasa, pencirian ciri frekuensi fasa. Hubungan di antara mereka dan Kekerapan pengujaan ditunjukkan dalam Rajah. 5 dan Rajah. 6.

Seperti yang dapat dilihat dari lengkung frekuensi amplitud (Rajah 5), dalam hal redaman kecil, lengkung frekuensi amplitud mempunyai puncak tunggal. dipanggil kekerapan resonan sistem. Dalam kes redaman kecil, kekerapan resonans tidak jauh berbeza dari kekerapan semulajadi. Apabila kekerapan pengujaan adalah dekat dengan kekerapan semula jadi, amplitud meningkat dengan ketara. Fenomena ini dipanggil resonans.at resonans, keuntungan sistem dimaksimumkan, iaitu, getaran paksa adalah yang paling sengit. Oleh itu, secara umum, sentiasa berusaha untuk mengelakkan resonans, kecuali beberapa instrumen dan peralatan untuk menggunakan resonans untuk mencapai yang besar getaran.

Rajah. 5 lengkung kekerapan amplitud

Dapat dilihat dari lengkung frekuensi fasa (Rajah 6), tanpa mengira saiz redaman, dalam bit perbezaan fasa omega sifar = pi / 2, ciri ini dapat digunakan dengan berkesan dalam mengukur resonans.

Sebagai tambahan kepada pengujaan yang mantap, sistem kadang -kadang menghadapi pengujaan yang tidak stabil. Ia boleh dibahagikan kepada dua jenis: satu adalah kesan mendadak. Kedua adalah kesan yang berkekalan dari arbitrariness. Pengujaan yang tidak stabil, tindak balas sistem juga tidak stabil.

Alat yang berkuasa untuk menganalisis getaran yang tidak stabil adalah kaedah tindak balas impuls.Ia menerangkan ciri -ciri dinamik sistem dengan tindak balas sementara input impuls unit sistem. Impulse unit boleh dinyatakan sebagai fungsi delta.in kejuruteraan, delta Fungsi sering ditakrifkan sebagai:

Di mana 0- mewakili titik pada paksi-t yang mendekati sifar dari kiri; 0 ditambah adalah titik yang pergi ke 0 dari kanan.

Rajah. Lengkung frekuensi 6 fasa

Rajah. 7 Sebarang input boleh dianggap sebagai jumlah siri elemen impuls

Sistem ini sepadan dengan tindak balas h (t) yang dihasilkan oleh impuls unit pada t = 0, yang dipanggil fungsi tindak balas impuls. Fungsi tindak balas impuls sistem, kita dapat mencari respons sistem kepada mana -mana input x (t). Pada titik ini, anda boleh memikirkan x (t) sebagai jumlah siri elemen impuls (Rajah. 7). Tanggapan sistem adalah:

Berdasarkan prinsip superposisi, jumlah tindak balas sistem yang sepadan dengan x (t) adalah:

Integral ini dipanggil integral convolution atau integral superposisi.

Getaran linear sistem pelbagai darjah kebebasan

Getaran sistem linear dengan n≥2 darjah kebebasan.

Rajah 8 menunjukkan dua subsistem resonan mudah yang dihubungkan dengan spring gandingan. Kerana ia adalah sistem dua darjah kebebasan, dua koordinat bebas diperlukan untuk menentukan kedudukannya. Terdapat dua frekuensi semula jadi dalam sistem ini:

Setiap kekerapan sepadan dengan mod getaran. Pengayun harmonik menjalankan ayunan harmonik kekerapan yang sama, secara serentak melalui kedudukan keseimbangan dan serentak mencapai kedudukan yang melampau. getaran utama yang sepadan dengan omega omega two, omega omega one.din utama getaran, nisbah anjakan setiap jisim menyimpan hubungan tertentu dan membentuk mod tertentu, yang dipanggil mod utama atau mod semulajadi. Orthogonality massa dan kekakuan wujud di antara mod utama, yang mencerminkan kemerdekaan setiap getaran. Kekerapan semulajadi dan mod utama mewakili ciri getaran yang wujud dalam sistem kebebasan pelbagai darjah.

Rajah. 8 Sistem dengan pelbagai darjah kebebasan

Sistem n darjah kebebasan mempunyai frekuensi semula jadi dan mod utama. -dof Systems.Di dengan cara ini, pengukuran dan analisis ciri -ciri getaran semulajadi sistem menjadi langkah rutin dalam reka bentuk dinamik sistem.

Ciri-ciri dinamik sistem multi-DOF juga boleh diterangkan oleh ciri-ciri frekuensi. Oleh kerana terdapat fungsi ciri frekuensi antara setiap input dan output, matriks ciri frekuensi dibina. Kurva ciri-ciri frekuensi amplitud sistem multi-freedom adalah berbeza dari sistem tunggal kebebasan.

Elastomer bergetar

Sistem multi -tahap kebebasan di atas adalah model mekanikal elastomer. Elastomer mempunyai bilangan darjah kebebasan yang tak terhingga. Terdapat perbezaan kuantitatif tetapi tidak ada perbezaan penting antara kedua -dua elastomer mempunyai bilangan frekuensi semula jadi yang tidak terhingga dan bilangan mod yang tidak terhingga, dan terdapat orthogonality antara mod jisim dan kekakuan. Konfigurasi getaran elastomer juga boleh diwakili sebagai superposisi linear mod utama. Oleh itu, untuk analisis tindak balas dinamik elastomer, kaedah superposisi mod utama masih boleh digunakan (lihat getaran linear elastomer).

Ambil getaran rentetan.Let mengatakan bahawa rentetan jisim m nipis per unit panjang, panjang l, ditegangkan di kedua -dua hujung, dan ketegangan adalah t.at kali ini, kekerapan semulajadi rentetan ditentukan oleh yang berikut Persamaan:

F = NA/2L (n = 1,2,3 ...).

Di mana, adalah halaju penyebaran gelombang melintang di sepanjang arah rentetan. Frekuensi semula jadi rentetan menjadi gandaan kekerapan asas lebih dari 2L. Ini kepelbagaian integer membawa kepada struktur harmonik yang menyenangkan. Hubungan antara integer sedemikian di kalangan frekuensi semula jadi elastomer.

Tiga mod pertama rentetan tension ditunjukkan dalam Rajah. 9. Terdapat beberapa nod pada lengkung mod utama. Dalam getaran utama, nod tidak bergetar. 10 menunjukkan beberapa mod tipikal plat bulat yang disokong dengan circumferential dengan beberapa garis nod yang terdiri daripada bulatan dan diameter.

Perumusan tepat masalah getaran elastomer dapat disimpulkan sebagai masalah nilai sempadan persamaan pembezaan separa. Namun, penyelesaian yang tepat hanya dapat dijumpai dalam beberapa kes yang paling mudah, jadi kita harus menggunakan penyelesaian anggaran untuk elastomer kompleks Masalah getaran. Inti dari pelbagai penyelesaian anggaran adalah untuk mengubah tak terhingga menjadi terhingga, iaitu, untuk membezakan sistem kebebasan berbilang darjah yang kurang anggota badan (sistem berterusan) ke dalam sistem kebebasan berbilang darjah (sistem diskret). Terdapat dua jenis kaedah discretization yang digunakan secara meluas dalam analisis kejuruteraan: kaedah unsur terhingga dan kaedah sintesis modal.

Rajah. 9 mod rentetan

Rajah. 10 mod plat bulat

Kaedah elemen terhingga adalah struktur komposit yang menafsirkan struktur kompleks ke dalam bilangan unsur yang terhingga dan menghubungkannya pada bilangan nod yang terhingga. Parameter pengedaran setiap elemen tertumpu kepada setiap nod dalam format tertentu, dan model mekanikal sistem diskret diperolehi.

Sintesis modal adalah penguraian struktur kompleks ke dalam beberapa substruktur yang lebih mudah. ​​Pada dasar pemahaman ciri -ciri getaran setiap substruktur, substruktur disintesis ke dalam struktur umum mengikut keadaan koordinasi pada antara muka, dan morfologi getaran umum Struktur diperoleh dengan menggunakan morfologi getaran setiap substruktur.

Kedua -dua kaedah ini berbeza dan berkaitan, dan boleh digunakan sebagai rujukan. Kaedah sintesis modal juga boleh digabungkan dengan pengukuran eksperimen untuk membentuk kaedah analisis teori dan eksperimen untuk getaran sistem besar.