Wat is lineaire trilling?

Lineaire trillingen: de elasticiteit van componenten in het systeem is onderworpen aan de wet van Hooke, en de dempingskracht die tijdens de beweging wordt gegenereerd, is evenredig met de eerste vergelijking van de gegeneraliseerde snelheid (tijdafgeleide van de gegeneraliseerde coördinaten).

concept

Lineair systeem is meestal een abstract model van de vibratie van een echt systeem. Het lineaire vibratiesysteem past het superpositieprincipe toe, dat wil zeggen, als de respons van het systeem y1 is onder de actie van input x1, en y2 onder de actie van input x2, dan is de reactie van het systeem onder de actie van invoer x1 en x2 y1+y2.

Op basis van het superpositieprincipe kan een willekeurige invoer worden ontleed in de som van een reeks oneindig kleine impulsen, en vervolgens kan de totale respons van het systeem worden verkregen. De som van de harmonische componenten van een periodieke excitatie kan worden uitgebreid tot een reeks harmonische componenten door Fourier-transformatie, en het effect van elke harmonische component op het systeem kan afzonderlijk worden onderzocht. Daarom kunnen de responskarakteristieken van lineaire systemen met constante parameters worden beschreven door impulsrespons of frequentierespons.

Impulsrespons verwijst naar de respons van het systeem op de eenheidsimpuls, die de responskarakteristieken van het systeem in het tijdsdomein karakteriseert. Frequentierespons verwijst naar de responskarakteristiek van het systeem op de harmonische ingang van de eenheid. De correspondentie tussen de twee wordt bepaald door de Fourier-transformatie.

classificatie

Lineaire trillingen kunnen worden onderverdeeld in lineaire trillingen van een systeem met één vrijheidsgraad en lineaire trillingen van een systeem met meerdere vrijheidsgraden.

(1) lineaire trilling van een systeem met één vrijheidsgraad is een lineaire trilling waarvan de positie kan worden bepaald door een gegeneraliseerde coördinaat. Het is de eenvoudigste trilling waaruit veel basisconcepten en -kenmerken van trilling kunnen worden afgeleid. Het omvat eenvoudige harmonische trillingen, vrije trillingen, dempingsvibraties en geforceerde trillingen.

Eenvoudige harmonische trilling: de heen en weer gaande beweging van een object in de buurt van zijn evenwichtspositie volgens een sinusoïdale wet onder invloed van een herstellende kracht die evenredig is aan zijn verplaatsing.

Gedempte trillingen: trillingen waarvan de amplitude voortdurend wordt verzwakt door de aanwezigheid van wrijving en diëlektrische weerstand of ander energieverbruik.

Geforceerde trilling: trilling van een systeem onder constante excitatie.

(2) de lineaire trilling van het systeem met meerdere vrijheidsgraden is de trilling van het lineaire systeem met n≥2 vrijheidsgraden. Een systeem met n vrijheidsgraden heeft n natuurlijke frequenties en n hoofdmodi. Elke trillingsconfiguratie van het systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de belangrijkste modi. Daarom wordt de superpositiemethode van de hoofdmodus veel gebruikt in de dynamische responsanalyse van multi-dof-systemen. Op deze manier kan de meting en analyse van de natuurlijke trillingskarakteristieken van de systeem wordt een routinestap in het dynamische ontwerp van het systeem. De dynamische kenmerken van multi-dof-systemen kunnen ook worden beschreven door frequentiekarakteristieken. Omdat er een frequentiekarakteristiekfunctie bestaat tussen elke ingang en uitgang, wordt een frequentiekarakteristiekmatrix geconstrueerd. is een duidelijke relatie tussen de frequentiekarakteristiek en de hoofdmodus. De amplitude-frequentiekarakteristiek van het systeem met meerdere vrijheid is anders dan die van het systeem met enkele vrijheid.

Lineaire trilling van een systeem met één vrijheidsgraad

Een lineaire trilling waarbij de positie van een systeem kan worden bepaald door een gegeneraliseerde coördinaat. Het is de eenvoudigste en meest fundamentele trilling waaruit veel basisconcepten en kenmerken van trillingen kunnen worden afgeleid. Het omvat eenvoudige harmonische trillingen, gedempte trillingen en geforceerde trillingen .

Harmonische trilling

Onder de actie van het herstellen van de kracht die evenredig is met de verplaatsing, beweegt het object op een sinusoïdale manier heen en weer nabij zijn evenwichtspositie (Fig. 1). X vertegenwoordigt de verplaatsing en t vertegenwoordigt de tijd. De wiskundige uitdrukking van deze trilling is:

(1)Waar A de maximale waarde is van verplaatsing x, die de amplitude wordt genoemd, en de intensiteit van de trilling vertegenwoordigt; Omega n is de amplitudehoektoename van de trilling per seconde, die de hoekfrequentie of de cirkelvormige frequentie wordt genoemd; wordt de beginfase genoemd. In termen van f= n/2 wordt het aantal oscillaties per seconde de frequentie genoemd; het omgekeerde hiervan, T=1/f, is de tijd die nodig is om één cyclus te oscilleren, en dat wordt genoemd de periode. Amplitude A, frequentie f (of hoekfrequentie n), de beginfase, bekend als eenvoudige harmonische trilling drie elementen.

AFB. 1 eenvoudige harmonische trillingscurve

Zoals getoond in FIG. 2 wordt een eenvoudige harmonische oscillator gevormd door de geconcentreerde massa m verbonden door een lineaire veer. Wanneer de trillingsverplaatsing wordt berekend vanuit de evenwichtspositie, is de trillingsvergelijking:

Waar is de stijfheid van de veer. De algemene oplossing voor de bovenstaande vergelijking is (1).A en kan worden bepaald door de beginpositie x0 en de beginsnelheid op t=0:

Maar omega n wordt alleen bepaald door de kenmerken van het systeem zelf m en k, onafhankelijk van de aanvullende beginvoorwaarden, dus omega n wordt ook wel de natuurlijke frequentie genoemd.

AFB. Systeem met 2 enkele vrijheidsgraden

Voor een eenvoudige harmonische oscillator is de som van zijn kinetische energie en potentiële energie constant, dat wil zeggen dat de totale mechanische energie van het systeem behouden blijft. Tijdens het trillingsproces worden kinetische energie en potentiële energie voortdurend in elkaar omgezet.

De dempende trilling

Een trilling waarvan de amplitude voortdurend wordt verzwakt door wrijving en diëlektrische weerstand of ander energieverbruik. Voor microtrilling is de snelheid over het algemeen niet erg groot, en de gemiddelde weerstand is evenredig met de snelheid tot de eerste macht, die kan worden geschreven als c is de dempingscoëfficiënt. Daarom kan de trillingsvergelijking van één vrijheidsgraad met lineaire demping worden geschreven als:

(2)Waarbij m =c/2m de dempingsparameter wordt genoemd, en. De algemene oplossing van formule (2) kan worden geschreven:

(3)De numerieke relatie tussen omega n en PI kan worden onderverdeeld in de volgende drie gevallen:

N > (in het geval van kleine demping) door deeltjes veroorzaakte verzwakkingsvibratie, is de trillingsvergelijking:

De amplitude ervan neemt af met de tijd volgens de exponentiële wet die in de vergelijking wordt weergegeven, zoals weergegeven in de stippellijn in FIG. 3. Strikt genomen is deze trilling aperiodisch, maar de frequentie van de piek kan als volgt worden gedefinieerd:

Wordt de amplitudereductiesnelheid genoemd, waarbij de trillingsperiode is. De natuurlijke logaritme van de amplitudereductiesnelheid wordt de logaritme minus (amplitude) snelheid genoemd. Uiteraard is = in dit geval gelijk aan 2/1. Rechtstreeks via de experimentele testdelta en kan met behulp van de bovenstaande formule worden berekend c.

Op dit moment kan de oplossing van vergelijking (2) worden geschreven:

Samen met de richting van de initiële snelheid kan deze worden verdeeld in drie niet-trillingsgevallen, zoals weergegeven in FIG. 4.

N < (in het geval van grote demping) wordt de oplossing van vergelijking (2) weergegeven in vergelijking (3). Op dit punt trilt het systeem niet langer.

Geforceerde trillingen

Trilling van een systeem onder constante excitatie. Trillingsanalyse onderzoekt voornamelijk de reactie van het systeem op excitatie. Periodieke excitatie is een typische reguliere excitatie. Aangezien periodieke excitatie altijd kan worden ontleed in de som van meerdere harmonische excitaties, volgens het superpositieprincipe, alleen de reactie van het systeem op elke harmonische excitatie is vereist. Onder invloed van harmonische excitatie kan de differentiaalvergelijking van de beweging van een gedempt systeem met enkele vrijheidsgraad worden geschreven:

Het antwoord is de som van twee delen. Het ene deel is de respons van gedempte trillingen, die snel afnemen in de tijd. De respons van een ander deel van geforceerde trillingen kan als volgt worden geschreven:

AFB. 3 gedempte trillingscurve

AFB. 4 curven van drie beginvoorwaarden met kritische demping

Typ de

H /F0= h (), is de verhouding tussen de stabiele responsamplitude en de excitatieamplitude, die de amplitude-frequentiekarakteristieken karakteriseert, of de versterkingsfunctie; Bits voor steady-state respons en stimulans van fase, karakterisering van fasefrequentiekarakteristieken. De relatie daartussen en excitatiefrequentie wordt getoond in FIG. 5 en AFB. 6.

Zoals blijkt uit de amplitude-frequentiecurve (FIG. 5), heeft de amplitude-frequentiecurve bij kleine demping één enkele piek. Hoe kleiner de demping, hoe steiler de piek; de frequentie die overeenkomt met de piek is de resonantiefrequentie van het systeem genoemd. Bij kleine demping verschilt de resonantiefrequentie niet veel van de eigenfrequentie. Wanneer de excitatiefrequentie dicht bij de eigenfrequentie ligt, neemt de amplitude sterk toe. Dit fenomeen wordt resonantie genoemd. Bij resonantie wordt de versterking van het systeem gemaximaliseerd, dat wil zeggen dat de geforceerde trillingen het meest intens zijn. Streef er daarom in het algemeen altijd naar om resonantie te vermijden, tenzij sommige instrumenten en apparatuur resonantie gebruiken om grote resultaten te bereiken. trillingen.

AFB. 5 amplitudefrequentiecurve

Zoals blijkt uit de fasefrequentiecurve (figuur 6), ongeacht de grootte van de demping, in omega nul faseverschilbits = PI / 2, kan deze karakteristiek effectief worden gebruikt bij het meten van resonantie.

Naast gestage excitatie komen systemen soms ook instabiele excitatie tegen. Deze kan grofweg in twee typen worden verdeeld: de ene is de plotselinge impact. De tweede is het blijvende effect van willekeur. Bij onstabiele excitatie is de reactie van het systeem ook instabiel.

Een krachtig hulpmiddel voor het analyseren van onstabiele trillingen is de impulsresponsmethode. Het beschrijft de dynamische kenmerken van het systeem met de voorbijgaande respons van de eenheidsimpulsinvoer van het systeem. De eenheidsimpuls kan worden uitgedrukt als een deltafunctie. In de techniek wordt de delta functie wordt vaak gedefinieerd als:

Waar 0- het punt op de t-as vertegenwoordigt dat van links naar nul nadert; 0 plus is het punt dat van rechts naar 0 gaat.

AFB. 6-fase frequentiecurve

AFB. In figuur 7 kan elke invoer worden beschouwd als de som van een reeks impulselementen

Het systeem komt overeen met de respons h(t) gegenereerd door de eenheidsimpuls op t=0, die de impulsresponsfunctie wordt genoemd. Ervan uitgaande dat het systeem stationair is vóór de puls, is h(t)=0 voor t<0. Weten de impulsresponsfunctie van het systeem, kunnen we de reactie van het systeem op elke invoer x(t) vinden. Op dit punt kun je x(t) beschouwen als de som van een reeks impulselementen (FIG. 7) .De reactie van het systeem is:

Gebaseerd op het superpositieprincipe is de totale respons van het systeem dat overeenkomt met x(t):

Deze integraal wordt een convolutie-integraal of een superpositie-integraal genoemd.

Lineaire trillingen van een systeem met meerdere vrijheidsgraden

Trilling van een lineair systeem met n≥2 vrijheidsgraden.

Figuur 8 toont twee eenvoudige resonante subsystemen die zijn verbonden door een koppelveer. Omdat het een systeem met twee vrijheidsgraden is, zijn twee onafhankelijke coördinaten nodig om de positie ervan te bepalen. Er zijn twee natuurlijke frequenties in dit systeem:

Elke frequentie komt overeen met een trillingsmodus. De harmonische oscillatoren voeren harmonische oscillaties uit met dezelfde frequentie, gaan synchroon door de evenwichtspositie en bereiken synchroon de uiterste positie. In de hoofdtrilling die overeenkomt met omega één is x1 gelijk aan x2; de hoofdtrilling komt overeen met omega omega twee, omega omega één. In de hoofdtrilling behoudt de verplaatsingsverhouding van elke massa een bepaalde relatie en vormt een bepaalde modus, die de hoofdmodus of de natuurlijke modus wordt genoemd. De orthogonaliteit van massa en Onder de hoofdmodi bestaat stijfheid, die de onafhankelijkheid van elke trilling weerspiegelt. De natuurlijke frequentie en hoofdmodus vertegenwoordigen de inherente trillingskarakteristieken van het systeem met meerdere vrijheidsgraden.

AFB. 8-systeem met meerdere vrijheidsgraden

Een systeem met n vrijheidsgraden heeft n natuurlijke frequenties en n hoofdmodi. Elke trillingsconfiguratie van het systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de hoofdmodi. Daarom wordt de superpositiemethode van de hoofdmodus veel gebruikt in de dynamische responsanalyse van multi-modi. -dof-systemen. Op deze manier wordt het meten en analyseren van de natuurlijke trillingseigenschappen van het systeem een ​​routinestap in het dynamische ontwerp van het systeem.

De dynamische kenmerken van multi-dof-systemen kunnen ook worden beschreven aan de hand van frequentiekarakteristieken. Omdat er een frequentiekarakteristiekfunctie is tussen elke ingang en uitgang, wordt een frequentiekarakteristiekmatrix geconstrueerd. De amplitude-frequentie-karakteristieke curve van het multi-vrijheidssysteem is anders van dat van het systeem van enkele vrijheid.

Het elastomeer trilt

Het bovenstaande systeem met meerdere vrijheidsgraden is een benaderend mechanisch model van elastomeer. Een elastomeer heeft een oneindig aantal vrijheidsgraden. Er is een kwantitatief verschil, maar geen essentieel verschil tussen de twee. Elk elastomeer heeft een oneindig aantal natuurlijke frequenties en een oneindig aantal overeenkomstige modi, en er is orthogonaliteit tussen de modi van massa en stijfheid. Elke trillingsconfiguratie van het elastomeer kan ook worden weergegeven als een lineaire superpositie van de belangrijkste modi. Daarom is voor dynamische responsanalyse van elastomeer de superpositiemethode van de hoofdmodus is nog steeds van toepassing (zie lineaire trilling van elastomeer).

Neem de trilling van een snaar. Laten we zeggen dat een dunne snaar met massa m per lengte-eenheid, lang l, aan beide uiteinden gespannen is, en de spanning is T. Op dit moment wordt de eigenfrequentie van de snaar bepaald door het volgende vergelijking:

F =nvt/2l (n= 1,2,3…).

Waar is de voortplantingssnelheid van de transversale golf in de richting van de snaar. De natuurlijke frequenties van de snaren zijn veelvouden van de fundamentele frequentie van meer dan 2 l. Deze veelheid van gehele getallen leidt tot een aangename harmonische structuur. Over het algemeen is er geen een dergelijke gehele meervoudige relatie tussen de natuurlijke frequenties van het elastomeer.

De eerste drie modi van de gespannen snaar zijn weergegeven in FIG. 9. Er zijn enkele knooppunten op de hoofdmoduscurve. Bij de hoofdtrilling trillen de knooppunten niet.FIG. 10 toont verschillende typische vormen van de langs de omtrek ondersteunde cirkelvormige plaat met enkele knooppuntlijnen bestaande uit cirkels en diameters.

De exacte formulering van het elastomeertrillingsprobleem kan worden geconcludeerd als het grenswaardeprobleem van partiële differentiaalvergelijkingen. De exacte oplossing kan echter alleen in enkele van de eenvoudigste gevallen worden gevonden, dus we moeten onze toevlucht nemen tot de benaderende oplossing voor het complexe elastomeer. trillingsprobleem. De essentie van verschillende benaderende oplossingen is het veranderen van het oneindige in het eindige, dat wil zeggen het discretiseren van het ledemaatloze systeem met meerdere vrijheidsgraden (continu systeem) in een eindig systeem met meerdere vrijheidsgraden (discreet systeem) Er zijn twee soorten discretisatiemethoden die veel worden gebruikt in technische analyses: de eindige-elementenmethode en de modale synthesemethode.

AFB. 9-modus van string

AFB. 10 modus van ronde plaat

De eindige-elementenmethode is een samengestelde structuur die een complexe structuur abstraheert in een eindig aantal elementen en deze verbindt op een eindig aantal knooppunten. Elke eenheid is een elastomeer; de distributieverplaatsing van het element wordt uitgedrukt door de interpolatiefunctie van de knooppuntverplaatsing. Vervolgens wordt de distributieparameters van elk element worden geconcentreerd op elk knooppunt in een bepaald formaat, en het mechanische model van het discrete systeem wordt verkregen.

Modale synthese is de ontleding van een complexe structuur in verschillende eenvoudigere substructuren. Op basis van het begrijpen van de trillingskarakteristieken van elke substructuur, wordt de substructuur gesynthetiseerd tot een algemene structuur volgens de coördinatieomstandigheden op het grensvlak en de trillingsmorfologie van de algemene structuur. structuur wordt verkregen door gebruik te maken van de trillingsmorfologie van elke onderbouw.

De twee methoden zijn verschillend en verwant en kunnen als referentie worden gebruikt. De modale synthesemethode kan ook effectief worden gecombineerd met de experimentele meting om een ​​theoretische en experimentele analysemethode te vormen voor de trillingen van grote systemen.