Wat is lineaire trillingen?

Lineaire trilling: De elasticiteit van componenten in het systeem is onderworpen aan de wet van Hooke, en de tijdens de beweging gegenereerde dempingskracht is evenredig met de eerste vergelijking van de gegeneraliseerde snelheid (tijdafgeleide van de gegeneraliseerde coördinaten).

concept

Lineair systeem is meestal een abstract model van de trilling van het reële systeem. Het lineaire trillingssysteem past het superpositieprincipe toe, dat wil zeggen, als de respons van het systeem Y1 is onder de werking van invoer X1 en Y2 onder de werking van input X2, Vervolgens is de reactie van het systeem onder de werking van invoer X1 en X2 Y1+Y2.

Op basis van het superpositieprincipe kan een willekeurige input worden ontleed in de som van een reeks oneindigse impulsen, en vervolgens kan de totale respons van het systeem worden verkregen. De som van de harmonische componenten van een periodieke excitatie kan worden uitgebreid tot een reeks harmonische componenten door Fourier -transformatie, en het effect van elke harmonische component op het systeem kan afzonderlijk worden onderzocht. Parameters kunnen worden beschreven door impulsrespons of frequentierespons.

Impulsrespons verwijst naar de respons van het systeem op de eenheidsimpuls, die de responskenmerken van het systeem in het tijdsdomein kenmerkt. Frequentierespons verwijst naar het responskarakteristiek van het systeem op de harmonische input van de eenheid. De correspondentie tussen de twee wordt bepaald door de Fourier -transformatie.

classificatie

Lineaire trillingen kunnen worden onderverdeeld in lineaire trillingen van systeem met één graad-van-vrijheid en lineaire trillingen van het multi-graad-van-vrijheidssysteem.

(1) Lineaire trillingen van een systeem met één graad-van-vrijheid is een lineaire trilling waarvan de positie kan worden bepaald door een gegeneraliseerde coördinaat. Het is de eenvoudigste trilling van waaruit veel basisconcepten en kenmerken van trillingen kunnen worden afgeleid. Het omvat eenvoudig Harmonische trillingen, vrije trillingen, verzwakkingstrillingen en geforceerde trillingen.

Eenvoudige harmonische trillingen: de bewervingsbeweging van een object in de buurt van zijn evenwichtspositie volgens een sinusvormige wet onder de actie van een herstelkracht die evenredig is aan zijn verplaatsing.

Gedempte trillingen: trillingen waarvan de amplitude voortdurend wordt verzwakt door de aanwezigheid van wrijving en diëlektrische weerstand of ander energieverbruik.

Geforceerde trillingen: trillingen van een systeem onder constante excitatie.

(2) De lineaire trillingen van het multi-graad-of-freedom-systeem is de trilling van het lineaire systeem met N≥2 vrijheidsgraden. Een systeem van N-vrijheidsgraden heeft n natuurlijke frequenties en N hoofdmodi. Any trillingsconfiguratie. van het systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de belangrijkste modi. Daarom wordt de hoofdmodus-superpositiemethode veel gebruikt in dynamische responsanalyse van multi-DOF-systemen. manier, de meting en analyse van de natuurlijke trillingskarakteristieken van het systeem wordt een routinematige stap in het dynamische ontwerp van het systeem. De dynamische kenmerken van multi-DOF-systemen kunnen ook worden beschreven door frequentiekarakteristieken. Sinds er een frequentiekarakteristieke functie is tussen Elke invoer en uitvoer, een frequentiekarakteristieke matrix is ​​geconstrueerd. Er is een duidelijke relatie tussen de frequentiekarakteristiek en de hoofdmodus. De amplitude-frequentie karakteristieke curve van de Multi-vrijheidssysteem verschilt van dat van het single-freedom-systeem.

Lineaire trillingen van een enkele mate van vrijheidssysteem

Een lineaire trilling waarbij de positie van een systeem kan worden bepaald door een algemene coördinaat. Het is de eenvoudigste en meest fundamentele trillingen waaruit veel basisconcepten en kenmerken van trillingen kunnen worden afgeleid. Het omvat eenvoudige harmonische trillingen, gedempte trillingen en gedwongen trilling .

Harmonische trilling

Onder de werking van het herstellen van kracht evenredig met de verplaatsing, beantwoordt het object op een sinusvormige manier in de buurt van zijn evenwichtspositie (Fig. 1) .x vertegenwoordigt de verplaatsing en T vertegenwoordigt de tijd. De wiskundige uitdrukking van deze trilling is:

(1)Waarbij a de maximale waarde van verplaatsing x is, die de amplitude wordt genoemd, en de intensiteit van de trillingen weergeeft; omega n is de amplitudehoekverhoging van de trilling per seconde, die de hoekfrequentie of de cirkelvormige frequentie wordt genoemd; wordt de beginfase genoemd. In termen van f = n/2 wordt het aantal oscillaties per seconde de frequentie genoemd; de inverse hiervan, t = 1/f, is de tijd neemt om één cyclus te oscilleren, en dat wordt de periode genoemd. Amplitude A, frequentie F (of hoekfrequentie n), de beginfase, bekend als eenvoudige harmonische trillingen drie elementen.

Fig. 1 eenvoudige harmonische trillingscurve

Zoals getoond in Fig. 2, een eenvoudige harmonische oscillator wordt gevormd door de geconcentreerde massa M verbonden door een lineaire veer. Wanneer de trillingsverplaatsing wordt berekend uit de evenwichtspositie, is de trillingsvergelijking:

Waar is de stijfheid van de veer. De algemene oplossing voor de bovenstaande vergelijking is (1) .A en kan worden bepaald door de beginpositie x0 en beginsnelheid bij t = 0:

Maar omega N wordt alleen bepaald door de kenmerken van het systeem zelf M en K, onafhankelijk van de aanvullende initiële omstandigheden, dus omega N staat ook bekend als de natuurlijke frequentie.

Fig. 2 enkele mate van vrijheidssysteem

Voor een eenvoudige harmonische oscillator is de som van zijn kinetische energie en potentiële energie constant, dat wil zeggen dat de totale mechanische energie van het systeem geconserveerd is. In het proces van trillingen worden kinetische energie en potentiële energie constant in elkaar getransformeerd.

De demping trilling

Een trilling waarvan de amplitude voortdurend wordt verzwakt door wrijving en diëlektrische weerstand of ander energieverbruik. Voor micro -trillingen is de snelheid over het algemeen niet erg groot en is de gemiddelde weerstand evenredig met de snelheid naar de eerste kracht, die kan worden geschreven als C is De dempingscoëfficiënt. Daarom kan de trillingsvergelijking van één mate van vrijheid met lineaire demping worden geschreven als:

(2)Waar, m = c/2m wordt de dempingsparameter genoemd, en de algemene oplossing van formule (2) kan worden geschreven:

(3)De numerieke relatie tussen omega N en PI kan worden onderverdeeld in de volgende drie gevallen:

N> (in het geval van kleine demping) deeltjes geproduceerde verzwakking vibratie, de trillingsvergelijking is:

De amplitude neemt af met de tijd volgens de exponentiële wet die wordt getoond in de vergelijking, zoals weergegeven in de stippellijn in Fig. 3. Strictly Gegeven, deze trilling is aperiodisch, maar de frequentie van zijn piek kan worden gedefinieerd als:

Wordt de amplitude -reductiesnelheid genoemd, waar is de trillingsperiode. De natuurlijke logaritme van de amplitude -reductiesnelheid wordt de logaritme minus (amplitude) snelheid genoemd. Imwiool is in dit geval gelijk aan 2/1. Direct door de Experimentele test delta en, met behulp van de bovenstaande formule kan worden berekend c.

Op dit moment kan de oplossing van vergelijking (2) worden geschreven:

Samen met de richting van de initiële snelheid kan het worden verdeeld in drie niet-vibratie-gevallen zoals getoond in Fig. 4.

N <(in het geval van grote demping) wordt de oplossing voor vergelijking (2) weergegeven in vergelijking (3). Op dit punt trilt het systeem niet langer.

Geforceerde trillingen

Trilling van een systeem onder constante excitatie. Vibratieanalyse onderzoekt voornamelijk de respons van het systeem op excitatie. Periodieke excitatie is een typische regelmatige excitatie. Aangezien periodieke excitatie altijd kan worden ontleed in de som van verschillende harmonische excitatie, volgens het superpositieprincip De reactie van het systeem op elke harmonische excitatie is vereist. Onder de werking van harmonische excitatie kan de differentiaalvergelijking van beweging van een enkele mate van vrijheid gedempt systeem worden geschreven:

Het antwoord is de som van twee delen. Een deel is de reactie van gedempte trillingen, die snel vervalt met de tijd. De reactie van een ander deel van geforceerde trillingen kan worden geschreven:

Fig. 3 gedempte trillingscurve

Fig. 4 curven van drie initiële omstandigheden met kritische demping

Typ de

H /f0 = h (), is de verhouding van gestage responsamplitude tot excitatamplitude, het karakteriseren van amplitude-frequentiekarakteristieken of versterkingsfunctie; bits voor stabiele respons en stimulans van fase, karakterisering van fasefrequentiekarakteristieken. De relatie tussen hen en Excitatiefrequentie wordt getoond in Fig. 5 en Fig. 6.

Zoals te zien is uit de amplitude-frequentiecurve (Fig. 5), in het geval van kleine demping, heeft de amplitude-frequentiecurve een enkele piek. Hoe kleiner de demping, hoe steiler de piek; de frequentie die overeenkomt met de piek is de resonantiefrequentie van het systeem genoemd. In het geval van kleine demping is de resonantiefrequentie niet veel anders dan de natuurlijke frequentie. Wanneer de excitatiefrequentie dicht bij het natuurlijke is De frequentie neemt de amplitude sterk toe. Dit fenomeen wordt resonantie genoemd. Bij resonantie wordt de winst van het systeem gemaximaliseerd, dat wil zeggen, de geforceerde trilling is het meest intens. Daarom streeft u in het algemeen altijd om resonantie te voorkomen, tenzij sommige instrumenten en apparatuur om resonantie te gebruiken om groot te worden trillingen.

Fig. 5 Amplitudefrequentiecurve

Kan worden gezien uit de fasefrequentiecurve (figuur 6), ongeacht de grootte van demping, in omega nul faseverschilbits = pi / 2, dit kenmerk kan effectief worden gebruikt bij het meten van resonantie.

Naast stabiele excitatie, komen systemen soms tegen onstabiele excitatie. Het kan ongeveer in twee soorten worden onderverdeeld: één is de plotselinge impact. De tweede is het blijvende effect van willekeur. Onder onstabiele excitatie is de reactie van het systeem ook onstabiel.

Een krachtig hulpmiddel voor het analyseren van onstabiele trillingen is de impulsresponsmethode. Het beschrijft de dynamische kenmerken van het systeem met de voorbijgaande respons van de eenheidsimpulsinvoer van het systeem. De eenheidsimpuls kan worden uitgedrukt als een delta -functie.in engineering, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta, de delta functie wordt vaak gedefinieerd als:

Waarbij 0- het punt op de t-as weergeeft dat nul van links nadert; 0 Plus is het punt dat van rechts naar 0 gaat.

Fig. 6 Fasefrequentiecurve

Fig. 7 Elke invoer kan worden beschouwd als de som van een reeks impulselementen

Het systeem komt overeen met de respons h (t) gegenereerd door de eenheidsimpuls op t = 0, die de impulsresponsfunctie wordt genoemd. De impulsresponsfunctie van het systeem, we kunnen de respons van het systeem op elke input x (t) vinden. Op dit punt kunt u X (t) beschouwen als de som van een reeks impulselementen (Fig. 7) .De Reactie van het systeem is:

Op basis van het superpositieprincipe is de totale respons van het systeem dat overeenkomt met x (t):

Deze integrale wordt een convolutie -integraal of een superpositie -integraal genoemd.

Lineaire trillingen van een systeem met meerdere graads

Trillingen van een lineair systeem met N≥2 vrijheidsgraden.

Figuur 8 toont twee eenvoudige resonerende subsystemen die zijn verbonden door een koppelingsveer. Omdat het een twee-graads-van-vrijheidssysteem is, zijn twee onafhankelijke coördinaten nodig om de positie te bepalen. Er zijn twee natuurlijke frequenties in dit systeem:

Elke frequentie komt overeen met een trillingsmodus. De harmonische oscillatoren voeren harmonische oscillaties van dezelfde frequentie uit, die synchroon door de evenwichtspositie gaan en synchroon de extreme positie bereiken. In de belangrijkste trilling die overeenkomt met OMEGA One, is X1 gelijk aan X2; De belangrijkste trilling die overeenkomt met omega omega twee, omega omega one. In de hoofdtrillingen, de verplaatsingsverhouding van Elke massa houdt een bepaalde relatie en vormt een bepaalde modus, die de hoofdmodus of de natuurlijke modus wordt genoemd. De orthogonaliteit van massa en stijfheid bestaat tussen de belangrijkste modi, die de onafhankelijkheid van elke trilling weerspiegelen. De natuurlijke frequentie en hoofdmodus vertegenwoordigen De inherente trillingskenmerken van het multi-graad van vrijheidssysteem.

Fig. 8 Systeem met meerdere vrijheidsgraden

Een systeem van N -vrijheidsgraden heeft n natuurlijke frequenties en N hoofdmodi. Any trillingsconfiguratie van het systeem kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van de belangrijkste modi. Daarom wordt de hoofdmodus -superpositiemethode veel gebruikt in dynamische responsanalyse van multi -DOF -systemen. Op deze manier wordt de meting en analyse van de natuurlijke trillingskenmerken van het systeem een ​​routinematige stap in het dynamische ontwerp van het systeem.

De dynamische kenmerken van multi-DOF-systemen kunnen ook worden beschreven door frequentiekarakteristieken. Aangezien er een frequentiekarakteristieke functie is tussen elke input en uitvoer, is een frequentiekarakteristieke matrix geconstrueerd. van dat van het enkelvoudige systeem.

De elastomeer trilt

Het bovengenoemde multi -mate van vrijheidssysteem is een geschat mechanisch model van elastomeer. Een elastomeer heeft een oneindig aantal vrijheidsgraden. Er is een kwantitatief verschil maar geen essentieel verschil tussen de twee. Elk elastomeren heeft een oneindig aantal natuurlijke frequenties en een oneindig aantal overeenkomstige modi, en er is orthogonaliteit tussen de massa van massa en stijfheid. Any vibratieconfiguratie van het elastomeer kan ook zijn weergegeven als een lineaire superpositie van de belangrijkste modi. Daarom is de superpositiemethode van de hoofdmodus nog steeds van toepassing (zie lineaire trillingen van elastomeer).

Neem de trilling van een string. Let zegt dat een dunne reeks massa m per lengte -eenheid, lange l, aan beide uiteinden wordt gespannen, en de spanning is t. Op deze tijd wordt de natuurlijke frequentie van de string bepaald door het volgende vergelijking:

F = NA/2L (n = 1,2,3…).

Waar is de voortplantingssnelheid van de dwarsgolf langs de richting van de string. De natuurlijke frequenties van de snaren zijn toevallig veelvouden van de fundamentele frequentie over 2l. Een dergelijke gehele meerdere meerdere relatie tussen de natuurlijke frequenties van het elastomeer.

De eerste drie modi van de gespannen string worden getoond in Fig. 9. Er zijn enkele knooppunten op de hoofdmoduscurve. In de hoofdtrillingen trillen de knooppunten niet. 10 toont verschillende typische modi van de omtrek ondersteunde cirkelvormige plaat met enkele knooplijnen samengesteld uit cirkels en diameters.

De exacte formulering van het trillingsprobleem van het elastomeer kan worden geconcludeerd als het grenswaardeprobleem van gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen. De exacte oplossing kan echter alleen worden gevonden in sommige van de eenvoudigste gevallen, dus we moeten ons toevlucht nemen tot de geschatte oplossing voor de complexe elastomeer trillingsprobleem. De essentie van verschillende benaderde oplossingen is om het oneindige te veranderen in de eindige, dat wil zeggen het discretiseren van het ledemaatloze multi-graad van vrijheidssysteem (Continuous System) in een eindig multi-graad of Freedom System (Discrete System). Er zijn twee soorten discretisatiemethoden die veel worden gebruikt in technische analyse: eindige-elementenmethode en modale synthesemethode.

Fig. 9 Modus van string

Fig. 10 modus van cirkelvormige plaat

Eindige elementenmethode is een samengestelde structuur die een complexe structuur abstracteert in een eindig aantal elementen en deze op een eindig aantal knooppunten verbindt. ACT -eenheid is een elastomeer; de distributieverplaatsing van element wordt uitgedrukt door interpolatiefunctie van knooppuntverplaatsing. Distributieparameters van elk element worden geconcentreerd op elk knooppunt in een bepaald formaat en het mechanische model van het discrete systeem wordt verkregen.

Modale synthese is de ontleding van een complexe structuur in verschillende eenvoudigere substructuren. Op basis van het begrijpen van de trillingskenmerken van elke substructuur, wordt de substructuur gesynthetiseerd in een algemene structuur volgens de coördinatieomstandigheden op het interface en de trillingsmorfologie van de generaal Structuur wordt verkregen met behulp van de trillingsmorfologie van elke substructuur.

De twee methoden zijn verschillend en gerelateerd en kunnen als referentie worden gebruikt. De modale synthesemethode kan ook effectief worden gecombineerd met de experimentele meting om een ​​theoretische en experimentele analysemethode te vormen voor de trilling van grote systemen.