Lineær vibrasjon: elastisiteten til komponenter i systemet er underlagt krokens lov, og dempingskraften som genereres under bevegelsen er proporsjonal med den første ligningen av den generaliserte hastigheten (tidsderiverte av de generaliserte koordinatene).
konsept
Lineært system er vanligvis en abstrakt modell av vibrasjonen til det virkelige systemet. Det lineære vibrasjonssystemet anvender superposisjonsprinsippet, det vil si hvis responsen til systemet er y1 under påvirkning av inngang x1, og y2 under påvirkning av inngang x2, da er responsen til systemet under påvirkning av inngang x1 og x2 y1+y2.
På grunnlag av superposisjonsprinsippet kan en vilkårlig inngang dekomponeres til summen av en serie infinitesimale impulser, og deretter kan systemets totale respons oppnås. Summen av de harmoniske komponentene til en periodisk eksitasjon kan utvides til en serier av harmoniske komponenter ved Fourier-transformasjon, og effekten av hver harmoniske komponent på systemet kan undersøkes separat. Derfor kan responskarakteristikkene til lineære systemer med konstante parametere beskrives ved impulsrespons eller frekvensrespons.
Impulsrespons refererer til systemets respons på enhetsimpulsen, som karakteriserer responskarakteristikkene til systemet i tidsdomenet. Frekvensrespons refererer til responskarakteristikken til systemet til enhetens harmoniske inngang. Korrespondansen mellom de to bestemmes ved Fourier-transformasjonen.
klassifikasjon
Lineær vibrasjon kan deles inn i lineær vibrasjon av system med én frihetsgrad og lineær vibrasjon av system med flere frihetsgrader.
(1) lineær vibrasjon av et system med én frihetsgrad er en lineær vibrasjon hvis posisjon kan bestemmes av en generalisert koordinat. Det er den enkleste vibrasjonen som mange grunnleggende konsepter og egenskaper ved vibrasjon kan utledes fra. Den inkluderer enkle harmonisk vibrasjon, fri vibrasjon, dempende vibrasjon og tvungen vibrasjon.
Enkel harmonisk vibrasjon: frem- og tilbakegående bevegelse av et objekt i nærheten av dets likevektsposisjon i henhold til en sinusformet lov under påvirkning av en gjenopprettingskraft proporsjonal med forskyvningen.
Dempet vibrasjon: vibrasjon hvis amplitude kontinuerlig dempes ved tilstedeværelse av friksjon og dielektrisk motstand eller annet energiforbruk.
Tvunget vibrasjon: vibrasjon av et system under konstant eksitasjon.
(2) den lineære vibrasjonen til systemet med flere frihetsgrader er vibrasjonen til det lineære systemet med n≥2 frihetsgrader. Et system med n frihetsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedmoduser. Enhver vibrasjonskonfigurasjon av systemet kan representeres som en lineær kombinasjon av hovedmodusene.Derfor er hovedmodus-superposisjonsmetoden mye brukt i dynamisk responsanalyse av multi-dof-systemer.På denne måten kan måling og analyse av de naturlige vibrasjonsegenskapene til systemet blir et rutinetrinn i den dynamiske utformingen av systemet. De dynamiske egenskapene til multi-dof-systemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristikk. Siden det er en frekvenskarakteristisk funksjon mellom hver inngang og utgang, konstrueres en frekvenskarakteristisk matrise. er en bestemt sammenheng mellom frekvenskarakteristikken og hovedmodusen. Amplitude-frekvenskarakteristikken til multi-frihetssystemet er forskjellig fra enkeltfrihetssystemet.
Lineær vibrasjon av en enkelt frihetsgradssystem
En lineær vibrasjon der posisjonen til et system kan bestemmes av en generalisert koordinat. Det er den enkleste og mest grunnleggende vibrasjonen som mange grunnleggende konsepter og egenskaper ved vibrasjon kan utledes fra. Den inkluderer enkel harmonisk vibrasjon, dempet vibrasjon og tvungen vibrasjon .
Harmonisk vibrasjon
Under påvirkning av å gjenopprette kraft proporsjonal med forskyvningen, resiprokerer objektet på en sinusformet måte nær sin likevektsposisjon (fig. 1). X representerer forskyvningen og t representerer tiden. Det matematiske uttrykket for denne vibrasjonen er:
(1)Der A er den maksimale verdien av forskyvning x, som kalles amplituden, og representerer intensiteten til vibrasjonen;Omega n er amplituden Vinkeløkningen av vibrasjonen per sekund, som kalles vinkelfrekvensen, eller den sirkulære frekvensen; kalles startfasen. I form av f= n/2 kalles antall svingninger per sekund frekvensen; Det inverse av dette, T=1/f, er tiden det tar å svinge en syklus, og det kalles perioden. Amplitude A, frekvens f (eller vinkelfrekvens n), den innledende fasen, kjent som enkel harmonisk vibrasjon tre elementer.
FIG. 1 enkel harmonisk vibrasjonskurve
Som vist i fig. 2, er en enkel harmonisk oscillator dannet av den konsentrerte massen m forbundet med en lineær fjær. Når vibrasjonsforskyvningen beregnes fra likevektsposisjonen, er vibrasjonsligningen:
Hvor er fjærens stivhet.Den generelle løsningen på ligningen ovenfor er (1).A og kan bestemmes av startposisjonen x0 og starthastigheten ved t=0:
Men omega n bestemmes bare av egenskapene til selve systemet m og k, uavhengig av de ekstra startbetingelsene, så omega n er også kjent som den naturlige frekvensen.
FIG. 2 enkelt frihetsgraderssystem
For en enkel harmonisk oscillator er summen av dens kinetiske energi og potensielle energi konstant, det vil si at den totale mekaniske energien til systemet er bevart. I prosessen med vibrasjon blir kinetisk energi og potensiell energi konstant omdannet til hverandre.
Den dempende vibrasjonen
En vibrasjon hvis amplitude kontinuerlig dempes av friksjon og dielektrisk motstand eller annet energiforbruk. For mikrovibrasjoner er hastigheten vanligvis ikke særlig stor, og middels motstand er proporsjonal med hastigheten til første potens, som kan skrives som c er dempningskoeffisienten. Derfor kan vibrasjonsligningen for én frihetsgrad med lineær demping skrives som:
(2)Hvor, m =c/2m kalles dempingsparameteren, og.Den generelle løsningen av formel (2) kan skrives:
(3)Det numeriske forholdet mellom omega n og PI kan deles inn i følgende tre tilfeller:
N > (i tilfelle av liten demping) partikkel produsert dempningsvibrasjon, vibrasjonsligningen er:
Dens amplitude avtar med tiden i henhold til eksponentialloven vist i ligningen, som vist med den stiplede linjen i fig. 3. Strengt tatt er denne vibrasjonen aperiodisk, men frekvensen på toppen kan defineres som:
Kalles amplitudereduksjonshastigheten, hvor er vibrasjonsperioden. Den naturlige logaritmen til amplitudereduksjonshastigheten kalles logaritmen minus (amplitude) rate. Selvfølgelig er =, i dette tilfellet, lik 2/1.Direkte gjennom eksperimentell test delta og ved hjelp av formelen ovenfor kan beregnes c.
På dette tidspunktet kan løsningen av ligning (2) skrives:
Sammen med retningen for starthastigheten kan den deles inn i tre ikke-vibrasjonstilfeller som vist i fig. 4.
N < (ved stor demping), er løsningen til ligning (2) vist i ligning (3). På dette tidspunktet vibrerer ikke systemet lenger.
Tvunget vibrasjon
Vibrasjon av et system under konstant eksitasjon.Vibrasjonsanalyse undersøker hovedsakelig systemets respons på eksitasjon.Periodisk eksitasjon er en typisk regulær eksitasjon.Siden periodisk eksitasjon alltid kan dekomponeres til summen av flere harmoniske eksitasjoner, i henhold til superposisjonsprinsippet, bare systemets respons på hver harmonisk eksitasjon er nødvendig. Under virkningen av harmonisk eksitasjon kan differensialligningen for bevegelse for et enkelt frihetsgradsdempet system skrives:
Responsen er summen av to deler. En del er responsen til dempet vibrasjon, som avtar raskt med tiden. Responsen til en annen del av tvungen vibrasjon kan skrives:
FIG. 3 dempet vibrasjonskurve
FIG. 4 kurver med tre starttilstander med kritisk demping
Skriv inn
H /F0= h (), er forholdet mellom stabil responsamplitude og eksitasjonsamplitude, som karakteriserer amplitude-frekvenskarakteristikk, eller forsterkningsfunksjon; Bits for stabil respons og faseincentiv, karakterisering av fasefrekvenskarakteristikker. Forholdet mellom dem og eksitasjonsfrekvens er vist i fig. 5 og fig. 6.
Som det fremgår av amplitude-frekvenskurven (FIG. 5), har amplitude-frekvenskurven ved liten demping en enkelt topp. Jo mindre demping, jo brattere topp; Frekvensen som tilsvarer toppen er kalt resonansfrekvensen til systemet.Ved liten demping er ikke resonansfrekvensen mye forskjellig fra egenfrekvensen.Når eksitasjonsfrekvensen er nær egenfrekvensen øker amplituden kraftig. Dette fenomenet kalles resonans.Ved resonans er forsterkning av systemet maksimert, det vil si at den tvungne vibrasjonen er den mest intense.Derfor, generelt, alltid forsøke å unngå resonans, med mindre noen instrumenter og utstyr for å bruke resonans for å oppnå stor vibrasjon.
FIG. 5 amplitude frekvenskurve
Kan sees fra fasefrekvenskurven (figur 6), uavhengig av størrelse på demping, i omega null fasedifferansebiter = PI / 2, kan denne karakteristikken brukes effektivt ved måling av resonans.
I tillegg til jevn eksitasjon, møter systemer noen ganger ustø eksitasjon.Den kan grovt deles inn i to typer: den ene er den plutselige påvirkningen.Den andre er den varige effekten av vilkårlighet. Under ustø eksitasjon er responsen til systemet også ustø.
Et kraftig verktøy for å analysere ustø vibrasjon er impulsresponsmetoden.Den beskriver de dynamiske egenskapene til systemet med den forbigående responsen til enhetens impulsinngang til systemet.Enhetsimpulsen kan uttrykkes som en deltafunksjon.I ingeniørfaget er deltaet funksjon er ofte definert som:
Der 0- representerer punktet på t-aksen som nærmer seg null fra venstre; 0 pluss er punktet som går til 0 fra høyre.
FIG. 6-faset frekvenskurve
FIG. 7 kan enhver inngang betraktes som summen av en serie impulselementer
Systemet tilsvarer responsen h(t) generert av enhetsimpulsen ved t=0, som kalles impulsresponsfunksjonen. Forutsatt at systemet er stasjonært før pulsen, er h(t)=0 for t<0. impulsresponsfunksjonen til systemet, kan vi finne responsen til systemet til enhver inngang x(t). På dette tidspunktet kan du tenke på x(t) som summen av en serie impulselementer (FIG. 7) .Responsen fra systemet er:
Basert på superposisjonsprinsippet er den totale responsen til systemet som tilsvarer x(t):
Dette integralet kalles et konvolusjonsintegral eller et superposisjonsintegral.
Lineær vibrasjon av et system med flere frihetsgrader
Vibrasjon av et lineært system med n≥2 frihetsgrader.
Figur 8 viser to enkle resonansundersystemer koblet sammen med en koplingsfjær. Fordi det er et to-frihetssystem, trengs to uavhengige koordinater for å bestemme posisjonen. Det er to naturlige frekvenser i dette systemet:
Hver frekvens tilsvarer en vibrasjonsmodus. De harmoniske oscillatorene utfører harmoniske svingninger med samme frekvens, passerer synkront gjennom likevektsposisjonen og når ytterposisjonen synkront.I hovedvibrasjonen som tilsvarer omega én, er x1 lik x2;I hovedvibrasjonen som tilsvarer omega omega to, omega omega én.I hovedvibrasjonen holder forskyvningsforholdet til hver masse en viss relasjon og danner en viss modus, som kalles hovedmodusen eller den naturlige modusen. Ortogonaliteten til masse og stivhet eksisterer blant hovedmodusene, noe som gjenspeiler uavhengigheten til hver vibrasjon. Den naturlige frekvensen og hovedmodusen representerer de iboende vibrasjonsegenskapene til systemet med flere frihetsgrader.
FIG. 8 system med flere frihetsgrader
Et system med n frihetsgrader har n naturlige frekvenser og n hovedmoduser. Enhver vibrasjonskonfigurasjon av systemet kan representeres som en lineær kombinasjon av hovedmodusene. Derfor er hovedmodus-superposisjonsmetoden mye brukt i dynamisk responsanalyse av multi -dof-systemer. På denne måten blir måling og analyse av systemets naturlige vibrasjonsegenskaper et rutinemessig trinn i den dynamiske utformingen av systemet.
De dynamiske egenskapene til multi-dof-systemer kan også beskrives ved frekvenskarakteristikk. Siden det er en frekvenskarakteristisk funksjon mellom hver inngang og utgang, konstrueres en frekvenskarakteristisk matrise. Amplitude-frekvenskarakteristikkkurven til multifrihetssystemet er forskjellig fra enkeltfrihetssystemet.
Elastomeren vibrerer
Det ovennevnte multi-frihetsgradssystemet er en tilnærmet mekanisk modell av elastomer. En elastomer har et uendelig antall frihetsgrader. Det er en kvantitativ forskjell, men ingen vesentlig forskjell mellom de to. Enhver elastomer har et uendelig antall naturlige frekvenser og et uendelig antall tilsvarende moduser, og det er ortogonalitet mellom modusene for masse og stivhet. Enhver vibrasjonskonfigurasjon av elastomeren kan også representeres som en lineær superposisjon av hovedmodusene. Derfor, for dynamisk responsanalyse av elastomer, superposisjonsmetoden hovedmodus er fortsatt aktuelt (se lineær vibrasjon av elastomer).
Ta vibrasjonen til en streng.La oss si at en tynn streng med masse m per lengdeenhet, lang l, er spent i begge ender, og spenningen er T. På dette tidspunktet bestemmes strengens egenfrekvens av følgende ligning:
F =na/2l (n=1,2,3…).
Hvor er forplantningshastigheten til den tverrgående bølgen langs retningen til strengen. De naturlige frekvensene til strengene er tilfeldigvis multipler av grunnfrekvensen over 2l. Denne heltallsmangfoldigheten fører til en behagelig harmonisk struktur. Generelt er det ingen slik heltallsmultippelrelasjon mellom de naturlige frekvensene til elastomeren.
De tre første modi av den strakte strengen er vist i fig. 9. Det er noen noder på hovedmoduskurven. I hovedvibrasjonen vibrerer ikke nodene.FIG. 10 viser flere typiske moduser av den periferisk støttede sirkulære platen med noen knutelinjer sammensatt av sirkler og diametre.
Den nøyaktige formuleringen av elastomervibrasjonsproblemet kan konkluderes som grenseverdiproblemet for partielle differensialligninger. Den nøyaktige løsningen kan imidlertid bare finnes i noen av de enkleste tilfellene, så vi må ty til den omtrentlige løsningen for den komplekse elastomeren vibrasjonsproblem. Essensen av ulike tilnærmede løsninger er å endre det uendelige til det endelige, det vil si å diskretisere det lemløse multi-frihetssystemet (kontinuerlig system) til et begrenset multi-frihetssystem (diskret system) .Det er to typer diskretiseringsmetoder som er mye brukt i ingeniøranalyse: endelig elementmetode og modal syntesemetode.
FIG. 9 modus for streng
FIG. 10 modus for sirkulær plate
Finittelementmetoden er en sammensatt struktur som abstraherer en kompleks struktur til et begrenset antall elementer og kobler dem til et begrenset antall noder. Hver enhet er en elastomer; Fordelingsforskyvningen av element uttrykkes ved interpolasjonsfunksjonen til nodeforskyvning. distribusjonsparametere for hvert element er konsentrert til hver node i et bestemt format, og den mekaniske modellen til det diskrete systemet oppnås.
Modal syntese er dekomponeringen av en kompleks struktur i flere enklere understrukturer. På grunnlag av forståelsen av vibrasjonskarakteristikkene til hver understruktur, syntetiseres understrukturen til en generell struktur i henhold til koordinasjonsforholdene på grensesnittet, og vibrasjonsmorfologien til den generelle struktur oppnås ved å bruke vibrasjonsmorfologien til hver underkonstruksjon.
De to metodene er forskjellige og beslektede, og kan brukes som referanse. Den modale syntesemetoden kan også effektivt kombineres med den eksperimentelle målingen for å danne en teoretisk og eksperimentell analysemetode for vibrasjon av store systemer.
Innleggstid: 03-04-2020
