Co to są wibracje liniowe?

Wibracje liniowe: sprężystość elementów układu podlega prawu Hooke'a, a siła tłumiąca powstająca podczas ruchu jest proporcjonalna do pierwszego równania prędkości uogólnionej (pochodna czasowa współrzędnych uogólnionych).

pojęcie

Układ liniowy jest zazwyczaj abstrakcyjnym modelem drgań układu rzeczywistego. W układzie drgań liniowych stosowana jest zasada superpozycji, to znaczy, jeśli odpowiedź układu wynosi y1 pod wpływem sygnału wejściowego x1 i y2 pod działaniem sygnału wejściowego x2, wówczas reakcja układu na działanie wejść x1 i x2 wynosi y1+y2.

Na podstawie zasady superpozycji dowolny sygnał wejściowy można rozłożyć na sumę serii nieskończenie małych impulsów, a następnie otrzymać całkowitą odpowiedź układu. Sumę składowych harmonicznych wzbudzenia okresowego można rozszerzyć do postaci: szereg składowych harmonicznych za pomocą transformaty Fouriera, a wpływ każdej składowej harmonicznej na system można badać osobno. Dlatego charakterystyki odpowiedzi układów liniowych o stałych parametrach można opisać odpowiedzią impulsową lub charakterystyką częstotliwościową.

Odpowiedź impulsowa odnosi się do odpowiedzi systemu na impuls jednostkowy, który charakteryzuje charakterystykę odpowiedzi systemu w dziedzinie czasu. Odpowiedź częstotliwościowa odnosi się do charakterystyki odpowiedzi systemu na wejście harmonicznej jednostki. Określa się zgodność między nimi przez transformatę Fouriera.

klasyfikacja

Drgania liniowe można podzielić na drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody i drgania liniowe układu o wielu stopniach swobody.

(1) drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody to drgania liniowe, których położenie można określić za pomocą uogólnionej współrzędnej. Jest to najprostsza wibracja, z której można wyprowadzić wiele podstawowych pojęć i charakterystyk drgań. Obejmuje proste drgania harmoniczne, drgania swobodne, drgania tłumiące i drgania wymuszone.

Proste wibracje harmoniczne: ruch posuwisto-zwrotny obiektu w pobliżu jego położenia równowagi zgodnie z prawem sinusoidalnym pod działaniem siły przywracającej proporcjonalnej do jego przemieszczenia.

Wibracje tłumione: wibracje, których amplituda jest stale tłumiona przez obecność tarcia i oporu dielektrycznego lub inne zużycie energii.

Wibracje wymuszone: drgania układu pod stałym wzbudzeniem.

(2) drgania liniowe układu o wielu stopniach swobody to drgania układu liniowego o n≥2 stopniach swobody. Układ o n stopniach swobody ma n częstotliwości własnych i n postaci głównych. Dowolna konfiguracja drgań systemu można przedstawić jako liniową kombinację głównych modów. Dlatego metoda superpozycji modów głównych jest szeroko stosowana w analizie odpowiedzi dynamicznej systemów o wielu stopniach. W ten sposób pomiar i analiza charakterystyki drgań własnych system staje się rutynowym krokiem w dynamicznym projektowaniu systemu Charakterystykę dynamiczną systemów o wielu stopniach można również opisać charakterystyką częstotliwościową. Ponieważ pomiędzy każdym wejściem i wyjściem istnieje funkcja charakterystyki częstotliwościowej, tworzona jest macierz charakterystyki częstotliwościowej. Istnieje wyraźna zależność pomiędzy charakterystyką częstotliwościową a główną tryb. Charakterystyka amplitudy i częstotliwości systemu o wielu swobodach różni się od charakterystyki układu o pojedynczej swobodzie.

Drgania liniowe układu o jednym stopniu swobody

Wibracja liniowa, w której położenie układu można określić za pomocą uogólnionej współrzędnej. Jest to najprostsza i najbardziej podstawowa wibracja, z której można wyprowadzić wiele podstawowych pojęć i charakterystyk wibracji. Obejmuje proste wibracje harmoniczne, drgania tłumione i drgania wymuszone .

Wibracje harmoniczne

Pod działaniem siły przywracającej proporcjonalnej do przemieszczenia obiekt porusza się sinusoidalnie w pobliżu swojego położenia równowagi (RYS. 1). X oznacza przemieszczenie, a t oznacza czas. Matematyczny wyraz tej wibracji to:

(1)Gdzie A jest maksymalną wartością przemieszczenia x, zwaną amplitudą i oznacza intensywność wibracji; Omega n jest amplitudą Przyrost kąta drgań na sekundę, co nazywa się częstotliwością kątową lub częstotliwością kołową; To nazywa się fazą początkową. W przypadku f= n/2 liczba oscylacji na sekundę nazywana jest częstotliwością; odwrotnością tego, T=1/f, jest czas potrzebny na wykonanie jednego cyklu oscylacji i nazywa się to okres.Amplituda A, częstotliwość f (lub częstotliwość kątowa n), faza początkowa, znana jako prosta wibracja harmoniczna trzech elementów.

FIGA. 1 prosta krzywa drgań harmonicznych

Jak pokazano na FIG. 2, prosty oscylator harmoniczny jest utworzony przez skupioną masę m połączoną sprężyną liniową. Kiedy przemieszczenie drgań jest obliczane z położenia równowagi, równanie drgań ma postać:

Gdzie jest sztywność sprężyny. Ogólne rozwiązanie powyższego równania to (1).A i można je wyznaczyć poprzez położenie początkowe x0 i prędkość początkową w t=0:

Ale omega n jest określona jedynie przez charakterystykę samego układu m i k, niezależnie od dodatkowych warunków początkowych, dlatego omega n jest również znana jako częstotliwość własna.

FIGA. 2 układ o jednym stopniu swobody

W przypadku prostego oscylatora harmonicznego suma jego energii kinetycznej i potencjalnej jest stała, czyli zachowana jest całkowita energia mechaniczna układu. W procesie drgań energia kinetyczna i potencjalna ulegają ciągłej przemianie.

Tłumienie wibracji

Wibracje, których amplituda jest stale tłumiona przez tarcie i opór dielektryczny lub inne zużycie energii. W przypadku mikrowibracji prędkość na ogół nie jest zbyt duża, a opór ośrodka jest proporcjonalny do prędkości do pierwszej potęgi, co można zapisać jako c współczynnik tłumienia. Dlatego równanie drgań jednego stopnia swobody z tłumieniem liniowym można zapisać jako:

(2)Gdzie m = c/2m nazywa się parametrem tłumienia, a. Ogólne rozwiązanie wzoru (2) można zapisać:

(3)Liczbową zależność pomiędzy omega n i PI można podzielić na trzy następujące przypadki:

N > (w przypadku małego tłumienia) drgań tłumiących wytwarzanych przez cząstki, równanie drgań wygląda następująco:

Jego amplituda maleje z czasem zgodnie z prawem wykładniczym pokazanym w równaniu, jak pokazano linią przerywaną na FIG. 3. Ściśle rzecz ujmując, drgania te mają charakter aperiodyczny, jednak częstotliwość ich szczytu można określić jako:

Nazywa się współczynnikiem redukcji amplitudy, gdzie oznacza okres wibracji. Logarytm naturalny współczynnika redukcji amplitudy nazywany jest współczynnikiem logarytm minus (amplituda). Oczywiście = w tym przypadku jest równe 2/1. Bezpośrednio przez deltę testu eksperymentalnego i korzystając z powyższego wzoru można obliczyć c.

W tym momencie rozwiązanie równania (2) można zapisać:

Biorąc pod uwagę kierunek prędkości początkowej, można ją podzielić na trzy przypadki niewibracyjne, jak pokazano na FIG. 4.

N < (w przypadku dużego tłumienia), rozwiązanie równania (2) przedstawiono w równaniu (3). W tym momencie układ już nie drga.

Wymuszone wibracje

Drgania układu pod stałym wzbudzeniem. Analiza drgań bada głównie reakcję układu na wzbudzenie. Wzbudzenie okresowe jest typowym wzbudzeniem regularnym. Ponieważ wzbudzenie okresowe zawsze można rozłożyć na sumę kilku wzbudzeń harmonicznych, zgodnie z zasadą superpozycji, tylko wymagana jest odpowiedź układu na każde wzbudzenie harmoniczne. Pod wpływem wzbudzenia harmonicznego różniczkowe równanie ruchu o jednym stopniu swobody układ tłumiony można zapisać:

Odpowiedź jest sumą dwóch części. Jedna część to odpowiedź drgań tłumionych, która z czasem szybko zanika. Reakcję innej części drgań wymuszonych można zapisać:

FIGA. 3 tłumiona krzywa drgań

FIGA. 4 krzywe trzech warunków początkowych z tłumieniem krytycznym

Wpisz

H /F0= h (), to stosunek amplitudy odpowiedzi ustalonej do amplitudy wzbudzenia, charakteryzujący charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową lub funkcję wzmocnienia;Bity odpowiedzi w stanie ustalonym i zachęty fazy, charakterystyka charakterystyk częstotliwości fazowej.Zależność między nimi częstotliwość wzbudzenia pokazano na FIG. 5 i FIG. 6.

Jak widać z krzywej amplituda-częstotliwość (RYS. 5), w przypadku małego tłumienia krzywa amplituda-częstotliwość ma pojedynczy pik. Im mniejsze tłumienie, tym bardziej stromy pik; Częstotliwość odpowiadająca wartości szczytowej wynosi zwana częstotliwością rezonansową układu. W przypadku małego tłumienia częstotliwość rezonansowa niewiele różni się od częstotliwości własnej. Gdy częstotliwość wzbudzenia jest zbliżona do częstotliwości własnej, amplituda gwałtownie wzrasta. Zjawisko to nazywa się rezonansem. Przy rezonansie wzmocnienie układu jest maksymalne, to znaczy wymuszone wibracje są najbardziej intensywne. Dlatego też, ogólnie rzecz biorąc, zawsze staraj się unikać rezonansu, chyba że niektóre instrumenty i sprzęt wykorzystują rezonans do osiągnięcia dużych wibracja.

FIGA. Krzywa częstotliwości o 5 amplitudach

Jak widać z krzywej częstotliwości fazowej (rysunek 6), niezależnie od wielkości tłumienia, w bitach zerowej różnicy faz omega = PI/2, charakterystyka ta może być skutecznie wykorzystana do pomiaru rezonansu.

Oprócz stałego wzbudzenia systemy czasami napotykają niestabilne wzbudzenie. Można je z grubsza podzielić na dwa typy: jeden to nagłe uderzenie. Drugi to trwały efekt arbitralności. W przypadku nieustalonego wzbudzenia reakcja systemu jest również niestabilna.

Potężnym narzędziem do analizy drgań nieustalonych jest metoda odpowiedzi impulsowej. Opisuje ona charakterystykę dynamiczną systemu z odpowiedzią przejściową wejściowego impulsu jednostkowego układu. Impuls jednostkowy można wyrazić jako funkcję delta. W inżynierii delta funkcja jest często definiowana jako:

Gdzie 0- reprezentuje punkt na osi t, który zbliża się do zera od lewej strony; 0 plus to punkt, który zmierza do 0 od prawej strony.

FIGA. 6-fazowa krzywa częstotliwości

FIGA. 7 dowolne wejście można uznać za sumę szeregu elementów impulsowych

Układ odpowiada odpowiedzi h(t) generowanej przez impuls jednostkowy w chwili t=0, co nazywa się funkcją odpowiedzi na impuls. Zakładając, że układ jest nieruchomy przed impulsem, h(t)=0 dla t<0.Wiedząc funkcji odpowiedzi impulsowej systemu, możemy znaleźć odpowiedź systemu na dowolne wejście x(t). W tym momencie możesz myśleć o x(t) jako o sumie szeregu elementów impulsowych (RYS. 7) .Odpowiedź systemu to:

W oparciu o zasadę superpozycji całkowita odpowiedź układu odpowiadająca x(t) wynosi:

Całkę tę nazywa się całką splotową lub całką superpozycji.

Drgania liniowe układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu liniowego o n≥2 stopniach swobody.

Rysunek 8 przedstawia dwa proste podukłady rezonansowe połączone sprężyną sprzęgającą. Ponieważ jest to układ o dwóch stopniach swobody, do określenia jego położenia potrzebne są dwie niezależne współrzędne. W układzie tym występują dwie częstotliwości własne:

Każda częstotliwość odpowiada trybowi wibracji. Oscylatory harmoniczne wykonują oscylacje harmoniczne o tej samej częstotliwości, synchronicznie przechodząc przez położenie równowagi i synchronicznie osiągając położenie skrajne. W wibracji głównej odpowiadającej omega jeden x1 jest równe x2; główna wibracja odpowiadająca omega omega dwa, omega omega one. W wibracji głównej stosunek przemieszczenia każdej masy utrzymuje pewną zależność i tworzy pewien mod, który nazywany jest modą główną lub modą naturalną. Ortogonalność Masa i sztywność istnieją wśród głównych modów, co odzwierciedla niezależność każdej wibracji. Częstotliwość drgań własnych i mod główny reprezentują nieodłączne charakterystyki wibracji układu o wielu stopniach swobody.

FIGA. 8 układ z wieloma stopniami swobody

Układ o n stopniach swobody ma n częstotliwości własnych i n modów głównych. Dowolną konfigurację drgań układu można przedstawić jako liniową kombinację głównych modów. Dlatego metoda superpozycji modów głównych jest szeroko stosowana w analizie odpowiedzi dynamicznej wielu -dof systemy. W ten sposób pomiar i analiza charakterystyki drgań własnych systemu staje się rutynowym krokiem w dynamicznym projektowaniu systemu.

Charakterystykę dynamiczną systemów o wielu swobodach można również opisać za pomocą charakterystyk częstotliwościowych. Ponieważ pomiędzy każdym wejściem i wyjściem istnieje funkcja charakterystyki częstotliwościowej, tworzona jest macierz charakterystyki częstotliwościowej. Krzywa charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej systemu o wielu swobodach jest inna od systemu jednej wolności.

Elastomer wibruje

Powyższy układ o wielu stopniach swobody jest przybliżonym modelem mechanicznym elastomeru. Elastomer ma nieskończoną liczbę stopni swobody. Istnieje między nimi różnica ilościowa, ale nie jest to istotna różnica. Każdy elastomer ma nieskończoną liczbę częstotliwości drgań własnych i nieskończona liczba odpowiednich modów i istnieje ortogonalność między postaciami masy i sztywności. Dowolną konfigurację wibracyjną elastomeru można również przedstawić jako liniową superpozycję głównych modów. Dlatego do analizy odpowiedzi dynamicznej elastomeru, nadal stosowana jest metoda superpozycji modu głównego (patrz drgania liniowe elastomeru).

Weźmy drgania struny. Załóżmy, że cienka struna o masie m na jednostkę długości, długości l, jest napięta na obu końcach, a napięcie wynosi T. W tym momencie częstotliwość drgań własnych struny jest określona przez następujący wzór równanie:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Gdzie, jest prędkością propagacji fali poprzecznej wzdłuż kierunku struny. Częstotliwości drgań własnych strun są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej powyżej 2l. Ta krotność całkowita prowadzi do przyjemnej struktury harmonicznej. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma taka całkowita wielokrotna relacja pomiędzy częstotliwościami naturalnymi elastomeru.

Pierwsze trzy tryby naprężenia sznurka pokazano na FIG. 9. Na krzywej trybu głównego znajdują się pewne węzły. Podczas wibracji głównych węzły nie wibrują.RYS. 10 przedstawia kilka typowych postaci płyty kołowej podpartej obwodowo z pewnymi liniami węzłowymi złożonymi z okręgów i średnic.

Dokładne sformułowanie problemu drgań elastomeru można podsumować jako problem wartości brzegowych równań różniczkowych cząstkowych. Jednak dokładne rozwiązanie można znaleźć tylko w niektórych najprostszych przypadkach, dlatego musimy uciekać się do przybliżonego rozwiązania dla złożonego elastomeru problem drgań. Istotą różnych rozwiązań przybliżonych jest zamiana nieskończonego na skończone, czyli dyskretyzacja pozbawionego kończyn układu o wielu stopniach swobody (układ ciągły) na skończony układ o wielu stopniach swobody (dyskretny W analizie inżynierskiej szeroko stosowane są dwa rodzaje metod dyskretyzacji: metoda elementów skończonych i metoda syntezy modalnej.

FIGA. 9 tryb ciągu

FIGA. 10 tryb okrągłej płyty

Metoda elementów skończonych to struktura złożona, która rozkłada złożoną strukturę na skończoną liczbę elementów i łączy je w skończonej liczbie węzłów. Każda jednostka jest elastomerem; Przemieszczenie rozkładu elementu wyraża się funkcją interpolacji przemieszczenia węzłów. Parametry rozkładu każdego elementu są skupiane w każdym węźle w określonym formacie i uzyskuje się model mechaniczny układu dyskretnego.

Synteza modalna polega na rozkładzie złożonej struktury na kilka prostszych podstruktur. Na podstawie zrozumienia charakterystyki drgań każdej podstruktury, podstruktura jest syntetyzowana w strukturę ogólną zgodnie z warunkami koordynacyjnymi na granicy faz oraz morfologią drgań ogólnej strukturę uzyskuje się poprzez wykorzystanie morfologii drgań każdej podkonstrukcji.

Obie metody są różne i powiązane i można je wykorzystać jako odniesienie. Metodę syntezy modalnej można również skutecznie połączyć z pomiarami eksperymentalnymi, tworząc teoretyczną i eksperymentalną metodę analizy drgań dużych układów.