Co to jest wibracje liniowe?

Wibracja liniowa: Elastyczność komponentów w systemie podlega prawu Hooke'a, a siła tłumienia wygenerowana podczas ruchu jest proporcjonalna do pierwszego równania uogólnionej prędkości (pochodna czasu uogólnionych współrzędnych).

pojęcie

System liniowy jest zwykle abstrakcyjnym modelem wibracji systemu rzeczywistego. System wibracji liniowy stosuje zasadę superpozycji, to znaczy, jeśli odpowiedź systemu wynosi Y1 w ramach działania wejścia x1, a Y2 pod działaniem wejścia x2, Następnie odpowiedź systemu pod działaniem wejścia X1 i X2 wynosi Y1+Y2.

Na podstawie zasady superpozycji, dowolne dane wejściowe można rozłożyć na sumę serii impulsów nieskończoności, a następnie można uzyskać całkowitą odpowiedź systemu. Suma składników harmonicznych okresowego wzbudzenia można rozszerzyć na a Seria składników harmonicznych według transformacji Fouriera i wpływ każdego składnika harmonicznego na system można zbadać osobno. Dlatego charakterystyka odpowiedzi układów liniowych o stałym Parametry można opisać za pomocą odpowiedzi impulsowej lub odpowiedzi częstotliwościowej.

Odpowiedź impulsowa odnosi się do odpowiedzi systemu na impuls jednostkowy, który charakteryzuje charakterystykę odpowiedzi systemu w dziedzinie czasu. Odpowiedź częstotliwości odnosi się do charakterystyki odpowiedzi systemu na jednostkę harmonicznych. przez transforma Fouriera.

klasyfikacja

Wibracje liniowe można podzielić na wibracje liniowe układu jednorokrotnego cząstek i wibracje liniowe układu wieloegrejnego.

(1) Wibracje liniowe układu jednorokrotnego freedomu jest wibracją liniową, której położenie można określić za pomocą uogólnionej współrzędnej. Jest to najprostsza wibracja, z której można uzyskać wiele podstawowych pojęć i charakterystyk wibracji. Obejmuje to proste Wibracje harmoniczne, wibracje wolne, wibracje tłumienia i wibracje wymuszone.

Proste wibracje harmoniczne: ruchu ruchu obiektu w pobliżu jego pozycji równowagi zgodnie z prawem sinusoidalnym pod działaniem siły przywracającej proporcjonalnej do jego przemieszczenia.

Dample wibracja: wibracja, której amplituda jest stale osłabiona przez obecność tarcia i oporność dielektryczną lub inne zużycie energii.

Wymuszone wibracje: wibracja systemu pod ciągłym wzbudzeniem.

(2) Wibracje liniowe układu wielopasmowego jest wibracją układu liniowego o n ≥2 stopnie swobody. System N stopni swobody ma n naturalne częstotliwości i n główne. systemu może być reprezentowane jako liniowa kombinacja głównych trybów. Dlatego główny tryb superpozycji jest szeroko stosowany w analizie dynamicznej odpowiedzi multi-dof. Pomiar i analiza charakterystyki wibracji naturalnej systemu staje się rutynowym krokiem w dynamicznej konstrukcji systemu. Dynamiczne cechy systemów multi-DOF można również opisać według charakterystyk częstotliwości. Ponieważ istnieje funkcja charakterystyczna częstotliwości między każdym wejściem i wyjście, konstruowana jest macierz charakterystyczna częstotliwości. Jest wyraźna zależność między charakterystyką częstotliwości a głównym różni się od systemu jednorodzinnego.

Wibracja liniowa jednego stopnia systemu swobody

Wibracja liniowa, w której położenie układu można określić za pomocą uogólnionej współrzędnej. Jest to najprostsza i najbardziej fundamentalna wibracja, z której można uzyskać wiele podstawowych pojęć i charakterystyk wibracji. Obejmuje to proste wibracje harmoniczne, wibracje tłumione i wibracje wymuszone .

Wibracja harmoniczna

Zgodnie z działaniem siły przywracającej proporcjonalnie do przemieszczenia obiekt odwraca się w sposób sinusoidalny w pobliżu pozycji równowagi (ryc. 1) .x reprezentuje przemieszczenie, a T reprezentuje czas. Matematyczne wyrażenie tej wibracji to:

(1)Gdzie a jest maksymalną wartością przemieszczenia x, która nazywa się amplitudą i reprezentuje intensywność wibracji; omega n jest przyrostem kątem amplitudy wibracji na sekundę, co nazywa się częstotliwością kątową lub częstotliwość kołową; nazywa się fazą początkową. W warunkach f = n/2 liczba oscylacji na sekundę nazywa się częstotliwością; odwrotność tego, t = 1/f, jest czas, który potrzeba oscyluj jeden cykl, który nazywa się okresem. AMPLIDE A, częstotliwość F (lub częstotliwość kątowa n), faza początkowa, znana jako proste wibracje harmoniczne trzy elementy.

FIGA. 1 prosta krzywa wibracji harmonicznych

Jak pokazano na ryc. 2, prosty oscylator harmoniczny jest tworzony przez stężoną masę M połączoną przez liniową sprężynę. Gdy przemieszczenie wibracji oblicza się z pozycji równowagi, równanie wibracji wynosi:

Gdzie jest sztywność sprężyny. Ogólne rozwiązanie powyższego równania wynosi (1). A i może być określone przez początkową pozycję x0 i prędkość początkową przy t = 0:

Ale Omega N jest określone tylko przez charakterystykę samego systemu M i K, niezależnie od dodatkowych warunków początkowych, więc omega n jest również znany jako częstotliwość naturalna.

FIGA. 2 System swobodnego stopnia swobody

W przypadku prostego oscylatora harmonicznego suma jego energii kinetycznej i energii potencjalnej jest stała, to znaczy całkowita energia mechaniczna systemu jest zachowana. W procesie wibracji energia kinetyczna i energia potencjalna są stale przekształcane w siebie.

Wibracja tłumienia

Wibracja, której amplituda jest stale osłabiona przez tarcia i opór dielektryczny lub inne zużycie energii. W przypadku wibracji prędkość nie jest na ogół bardzo duża, a średnia opór jest proporcjonalny do prędkości do pierwszej mocy, którą można zapisać, jak C jest zapisywane jako C Współczynnik tłumienia. Dlatego równanie wibracji jednego stopnia swobody z liniowym tłumieniem można zapisać jako:

(2)Gdzie, M = c/2m nazywa się parametrem tłumienia i. Ogólne rozwiązanie wzoru (2) można zapisać:

(3)Numeryczny związek między Omega N i Pi można podzielić na następujące trzy przypadki:

N> (w przypadku małego tłumienia) cząsteczki wywołało wibracje tłumienia, równanie wibracji wynosi:

Jego amplituda maleje z czasem zgodnie z prawem wykładniczym pokazanym w równaniu, jak pokazano na linii kropkowanej na ryc. 3. Mówiąc, ta wibracja jest aperiodowa, ale częstotliwość jego piku można zdefiniować jako:

Nazywa się szybkość redukcji amplitudy, gdzie jest okres wibracji. Logarytm naturalny szybkości redukcji amplitudy nazywany jest szybkość logarytmu minus (amplituda). Delta testowa eksperymentalna i, stosując powyższy wzór, można obliczyć c.

W tej chwili można napisać rozwiązanie równania (2):

Wraz z kierunkiem prędkości początkowej można go podzielić na trzy przypadki niewibrowania, jak pokazano na ryc. 4.

N <(w przypadku dużego tłumienia) rozwiązanie równania (2) pokazano w równaniu (3). W tym punkcie układ nie wibruje.

Wymuszone wibracje

Wibracja układu pod ciągłym wzbudzeniem. Analiza wibracji bada głównie odpowiedź układu na wzbudzenie. Pokreślenie okresowe jest typowym regularnym wzbudzeniem. Ponieważ okresowe wzbudzenie można zawsze rozłożyć na sumę kilku harmonicznych wzbudzenia, tylko zgodnie z zasadą superpozycji, jedynie Wymagana jest reakcja systemu na każde wzbudzenie harmoniczne. Zgodnie z działaniem wzbudzenia harmonicznego można zapisać równanie różniczkowe ruchu jednego stopnia systemu tłumionego swobody:

Odpowiedź jest sumą dwóch części. Jedną z części jest reakcja tłumionych wibracji, która szybko rozpada się z czasem. Reakcja innej części wymuszonej wibracji można zapisać:

FIGA. 3 tłumiona krzywa wibracji

FIGA. 4 krzywe trzech początkowych warunków z krytycznym tłumieniem

Wpisz w

H /f0 = h (), jest stosunkiem stałej amplitudy odpowiedzi do amplitudy wzbudzenia, charakteryzującego charakterystykę amplitudowo-częstotliwości lub funkcję wzmocnienia; bity dla reakcji stanu ustalonego i zachęty fazy, charakterystyka charakterystyki częstotliwości fazowej. Związek między nimi i Częstotliwość wzbudzenia pokazano na ryc. 5 i ryc. 6.

Jak widać z krzywej częstotliwości amplitudowej (ryc. 5), w przypadku małego tłumienia krzywa amplitudowo-częstotliwości ma pojedynczy pik. Im mniejsze tłumienie, tym trudniejszy pik; częstotliwość odpowiadająca piku jest nazywana częstotliwością rezonansową systemu. W przypadku małego tłumienia częstotliwość rezonansu niewiele różni się od częstotliwości naturalnej. Częstotliwość, amplituda gwałtownie wzrasta. Zjawisko to nazywa się rezonansem. W rezonansie, wzmocnienie systemu jest zmaksymalizowane, to znaczy napięte wibracje jest najbardziej intensywne. Zasadniczo zawsze staraj się unikać rezonansu, chyba że niektóre instrumenty i sprzęt do użycia rezonansu w celu osiągnięcia dużego wibracja.

FIGA. Krzywa częstotliwości 5 amplitudy

Można zobaczyć z krzywej częstotliwości fazowej (ryc. 6), niezależnie od wielkości tłumienia, w bitach różnic zerowych Omega = PI / 2, tę charakterystykę można skutecznie zastosować w pomiaru rezonansu.

Oprócz stałego wzbudzenia, systemy czasami napotykają niepewne wzbudzenie. Można to z grubsza podzielić na dwa typy: jeden to nagły wpływ. Drugi to trwały efekt arbitralności. W niepewnym wzbudzeniu reakcja systemu jest również niestabilna.

Potężnym narzędziem do analizy niestabilnych wibracji jest metoda odpowiedzi impulsowej. Opisuje dynamiczne charakterystykę systemu z przejściową reakcją jednostkowego wejścia impulsu systemu. Impuls jednostkowy można wyrazić jako funkcja delta. Inżynieria, Delta Funkcja jest często definiowana jako:

Gdzie 0- reprezentuje punkt na osi T, który zbliża się zero od lewej; 0 Plus jest punktem, który przechodzi do 0 z prawej.

FIGA. 6 fazowa krzywa częstotliwości

FIGA. 7 Wszelkie dane wejściowe można uznać za sumę serii elementów impulsowych

System odpowiada odpowiedzi h (t) generowanej przez impuls jednostkowy przy t = 0, który nazywa się funkcją odpowiedzi impulsowej. Oznaczenie, że system jest stacjonarny przed impulsem, h (t) = 0 dla t <0. kłujanie Funkcja odpowiedzi impulsowej systemu, możemy znaleźć odpowiedź systemu na dowolne wejście x (t). . Odpowiedź systemu to:

Na podstawie zasady superpozycji całkowita odpowiedź systemu odpowiadająca x (t) wynosi:

Ta całka nazywa się całką splotową lub całką superpozycyjną.

Wibracja liniowa systemu wieloegrejnego freedomu

Wibracja układu liniowego o N≥2 stopnie swobody.

Rycina 8 pokazuje dwa proste podsystemy rezonansowe połączone sprężyną sprzęgającą. Ponieważ jest to system dwóch stopni na wolności, potrzebne są dwa niezależne współrzędne do określenia jego pozycji. Istnieją dwie naturalne częstotliwości w tym systemie:

Każda częstotliwość odpowiada trybie wibracji. Oscylatory harmoniczne prowadzą oscylacje harmoniczne o tej samej częstotliwości, synchronicznie przechodząc przez pozycję równowagi i synchronicznie osiągając pozycję ekstremalną. W głównej wibracji odpowiadającej Omega One, x1 jest równe x2; Główne wibracje odpowiadające Omega Omega dwa, Omega Omega One. W głównej wibracji stosunek przemieszczenia każdej masy utrzymuje pewna relacja i tworzy określony tryb, który nazywa się trybem głównym lub trybem naturalnym. Ortogonalność masy i sztywności istnieje wśród głównych trybów, co odzwierciedla niezależność każdej wibracji. Częstotliwość naturalna i tryb główny reprezentują nieodłączną wibrację Charakterystyka wielopoziomowego systemu swobody.

FIGA. 8 System o wielu stopniach swobody

System N stopni swobody ma n częstotliwości naturalne i n główne -DOf Systems.

Charakterystykę dynamiczną systemów multi-DOF można również opisać według charakterystyk częstotliwości. Ponieważ istnieje funkcja charakterystyczna częstotliwości między każdym wejściem i wyjściem, konstruowana jest matryca charakterystyczna częstotliwości. Krzywa charakterystyczna amplitudowo-częstotliwościowego systemu wieloczynnikowego jest inna z systemu jednorodzinnego.

Elastomer wibruje

Powyższy system wielopasmowy system swobody jest przybliżonym modelem mechanicznym elastomeru. Elastomer ma nieskończoną liczbę stopni swobody. Istnieje różnica ilościowa, ale nie ma istotnej różnicy między nimi. Każdy elastomer ma nieskończoną liczbę częstotliwości naturalnych i częstotliwości naturalnych i częstotliwości naturalnych i częstotliwości nieskończona liczba odpowiednich trybów, a między trybami masy i sztywności istnieje ortogonalność. Jako liniowe superpozycję głównych trybów. Dlatego do analizy odpowiedzi dynamicznej elastomeru metoda superpozycji trybu głównego ma nadal zastosowanie (patrz wibracja liniowa elastomeru).

Weź wibracje sznurka równanie:

F = Na/2L (n = 1,2,3…).

Gdzie jest prędkość propagacji fali poprzecznej wzdłuż kierunku sznurka. Częstotliwości naturalne ciągów są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej nad 2L. Ta liczba całkowita prowadzi do przyjemnej struktury harmonicznej. Taka liczba całkowita wielokrotna relacja między częstotliwościami naturalnymi elastomeru.

Pierwsze trzy tryby napiętego ciągu pokazano na rys. 9. Istnieje kilka węzłów na głównej krzywej trybu. W głównych wibracjach węzły nie wibrują. 10 pokazuje kilka typowych trybów obwodowo podtrzymywanej płyty okrągłej z niektórymi liniami węzłowymi złożonymi z kół i średnicy.

Dokładne sformułowanie problemu wibracji elastomeru można zakończyć jako problem wartości granicznej równań różniczkowych cząstkowych. Jednak dokładne rozwiązanie można znaleźć tylko w niektórych najprostszych przypadkach, więc musimy uciekać się do przybliżonego rozwiązania dla złożonego elastomeru Problem wibracji. Istotą różnych przybliżonych rozwiązań jest zmiana nieskończoności na skończone, to znaczy dyskretyza system) do skończonego systemu swobody (system dyskretny). Istnieją dwa rodzaje metod dyskretyzacji szeroko stosowanych w analizie inżynierii: metoda elementu skończonego i metoda syntezy modalnej.

FIGA. 9 Tryb sznurka

FIGA. 10 trybu okrągłej płyty

Metoda elementu skończonego jest strukturą kompozytową, która abstrahuje złożoną strukturę do skończonej liczby elementów i łączy je przy skończonej liczbie węzłów. Każda jednostka jest elastomerem; przemieszczenie rozkładu elementu jest wyrażane przez funkcję interpolacji przemieszczenia węzła. Następnie Parametry rozkładu każdego elementu są skoncentrowane do każdego węzła w określonym formacie i uzyskuje się mechaniczny model dyskretnego układu.

Synteza modalna jest rozkładem złożonej struktury na kilka prostszych podbudów. Podstawa zrozumienia charakterystyki wibracji każdej podbudowy podbudowa jest syntetyzowana w ogólną strukturę zgodnie z warunkami koordynacyjnymi na interfejsie, oraz morfologię wibracji ogólnej Strukturę uzyskuje się za pomocą morfologii wibracji każdej podbudowy.

Dwie metody są różne i powiązane i mogą być stosowane jako odniesienie. Metoda syntezy modalnej można również skutecznie połączyć z pomiarem eksperymentalnym, tworząc metodę analizy teoretycznej i eksperymentalnej dla wibracji dużych systemów.