O que é vibração linear?

Vibração linear: a elasticidade dos componentes do sistema está sujeita à lei de Hooke, e a força de amortecimento gerada durante o movimento é proporcional à primeira equação da velocidade generalizada (derivada temporal das coordenadas generalizadas).

conceito

O sistema linear é geralmente um modelo abstrato da vibração do sistema real. O sistema de vibração linear aplica o princípio da superposição, ou seja, se a resposta do sistema for y1 sob a ação da entrada x1, e y2 sob a ação da entrada x2, então a resposta do sistema sob a ação das entradas x1 e x2 é y1+y2.

Com base no princípio da superposição, uma entrada arbitrária pode ser decomposta na soma de uma série de impulsos infinitesimais, e então a resposta total do sistema pode ser obtida. A soma dos componentes harmônicos de uma excitação periódica pode ser expandida em um série de componentes harmônicos pela transformada de Fourier, e o efeito de cada componente harmônico no sistema pode ser investigado separadamente. Portanto, as características de resposta de sistemas lineares com parâmetros constantes podem ser descritas por resposta ao impulso ou resposta em frequência.

A resposta ao impulso refere-se à resposta do sistema ao impulso unitário, que caracteriza as características de resposta do sistema no domínio do tempo. A resposta em frequência refere-se à característica de resposta do sistema à entrada harmônica unitária. pela transformada de Fourier.

classificação

A vibração linear pode ser dividida em vibração linear do sistema de grau único de liberdade e vibração linear do sistema de vários graus de liberdade.

(1) a vibração linear de um sistema de grau de liberdade único é uma vibração linear cuja posição pode ser determinada por uma coordenada generalizada. É a vibração mais simples da qual muitos conceitos básicos e características de vibração podem ser derivados. vibração harmônica, vibração livre, vibração de atenuação e vibração forçada.

Vibração harmônica simples: o movimento alternativo de um objeto nas proximidades de sua posição de equilíbrio de acordo com uma lei senoidal sob a ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento.

Vibração amortecida: vibração cuja amplitude é continuamente atenuada pela presença de atrito e resistência dielétrica ou outro consumo de energia.

Vibração forçada: vibração de um sistema sob excitação constante.

(2) a vibração linear do sistema de vários graus de liberdade é a vibração do sistema linear com n≥2 graus de liberdade.Um sistema de n graus de liberdade tem n frequências naturais e n modos principais.Qualquer configuração de vibração do sistema pode ser representado como uma combinação linear dos modos principais. Portanto, o método de superposição de modo principal é amplamente utilizado na análise de resposta dinâmica de sistemas multi-dof. sistema se torna uma etapa rotineira no projeto dinâmico de o sistema.As características dinâmicas dos sistemas multi-dof também podem ser descritas pelas características de frequência.Como existe uma função característica de frequência entre cada entrada e saída, uma matriz característica de frequência é construída.Existe uma relação definida entre a característica de frequência e o modo principal.A curva característica amplitude-frequência do sistema de liberdade múltipla é diferente daquela do sistema de liberdade única.

Vibração linear de um sistema de único grau de liberdade

Uma vibração linear na qual a posição de um sistema pode ser determinada por uma coordenada generalizada. É a vibração mais simples e fundamental da qual muitos conceitos básicos e características de vibração podem ser derivados. Inclui vibração harmônica simples, vibração amortecida e vibração forçada. .

Vibração harmônica

Sob a ação da força restauradora proporcional ao deslocamento, o objeto reciproca de maneira senoidal próximo à sua posição de equilíbrio (FIG. 1). X representa o deslocamento et representa o tempo. A expressão matemática desta vibração é:

(1)Onde A é o valor máximo do deslocamento x, que é chamado de amplitude, e representa a intensidade da vibração;Ômega n é a amplitude Incremento do ângulo da vibração por segundo, que é chamado de frequência angular, ou frequência circular;Isso é chamada de fase inicial. Em termos de f = n/2, o número de oscilações por segundo é chamado de frequência; O inverso disso, T = 1/f, é o tempo que leva para oscilar um ciclo, e isso é chamado o período. Amplitude A, frequência f (ou frequência angular n), a fase inicial, conhecida como vibração harmônica simples de três elementos.

FIGO. 1 curva de vibração harmônica simples

Como mostrado na FIG. 2, um oscilador harmônico simples é formado pela massa concentrada m conectada por uma mola linear. Quando o deslocamento vibratório é calculado a partir da posição de equilíbrio, a equação de vibração é:

Onde está a rigidez da mola. A solução geral para a equação acima é (1).A e pode ser determinada pela posição inicial x0 e velocidade inicial em t=0:

Mas o ômega n é determinado apenas pelas características do próprio sistema m e k, independentemente das condições iniciais adicionais, então o ômega n também é conhecido como frequência natural.

FIGO. 2 sistema de grau único de liberdade

Para um oscilador harmônico simples, a soma de sua energia cinética e energia potencial é constante, ou seja, a energia mecânica total do sistema é conservada.No processo de vibração, a energia cinética e a energia potencial são constantemente transformadas uma na outra.

A vibração de amortecimento

Uma vibração cuja amplitude é continuamente atenuada pelo atrito e resistência dielétrica ou outro consumo de energia. Para microvibração, a velocidade geralmente não é muito grande, e a resistência média é proporcional à velocidade elevada à primeira potência, que pode ser escrita como c é o coeficiente de amortecimento. Portanto, a equação de vibração de um grau de liberdade com amortecimento linear pode ser escrita como:

(2)Onde m =c/2m é chamado de parâmetro de amortecimento e. A solução geral da fórmula (2) pode ser escrita:

(3)A relação numérica entre ômega n e PI pode ser dividida nos três casos a seguir:

N > (no caso de pequeno amortecimento) partícula produziu vibração de atenuação, a equação de vibração é:

A sua amplitude diminui com o tempo de acordo com a lei exponencial mostrada na equação, como mostrado na linha pontilhada na FIG. 3. A rigor, esta vibração é aperiódica, mas a frequência do seu pico pode ser definida como:

É chamada de taxa de redução de amplitude, onde é o período de vibração.O logaritmo natural da taxa de redução de amplitude é chamado de taxa de logaritmo menos (amplitude).Obviamente, =, neste caso, é igual a 2/1.Diretamente através do teste experimental delta e, usando a fórmula acima pode ser calculado c.

Neste momento, a solução da equação (2) pode ser escrita:

Juntamente com a direção da velocidade inicial, ela pode ser dividida em três casos de não vibração, como mostrado na FIG. 4.

N < (no caso de grande amortecimento), a solução da equação (2) é mostrada na equação (3). Neste ponto, o sistema não está mais vibrando.

Vibração forçada

Vibração de um sistema sob excitação constante.A análise de vibração investiga principalmente a resposta do sistema à excitação.A excitação periódica é uma excitação regular típica.Como a excitação periódica sempre pode ser decomposta na soma de várias excitações harmônicas, de acordo com o princípio da superposição, apenas a resposta do sistema a cada excitação harmônica é necessária. Sob a ação da excitação harmônica, a equação diferencial de movimento de um sistema amortecido de um único grau de liberdade pode ser escrita:

A resposta é a soma de duas partes. Uma parte é a resposta da vibração amortecida, que decai rapidamente com o tempo. A resposta de outra parte da vibração forçada pode ser escrita:

FIGO. 3 curva de vibração amortecida

FIGO. 4 curvas de três condições iniciais com amortecimento crítico

Digite o

H /F0= h(), é a razão entre a amplitude de resposta estacionária e a amplitude de excitação, caracterizando as características amplitude-frequência, ou função de ganho;Bits para resposta em estado estacionário e incentivo de fase, caracterização das características de frequência de fase.A relação entre eles e a frequência de excitação é mostrada na FIG. 5 e FIG. 6.

Como pode ser visto na curva amplitude-frequência (FIG. 5), no caso de amortecimento pequeno, a curva amplitude-frequência tem um único pico.Quanto menor o amortecimento, mais íngreme é o pico;A frequência correspondente ao pico é chamada de frequência de ressonância do sistema.No caso de pequeno amortecimento, a frequência de ressonância não é muito diferente da frequência natural.Quando a frequência de excitação está próxima da frequência natural, a amplitude aumenta acentuadamente. Esse fenômeno é chamado de ressonância.Na ressonância, o ganho do sistema é maximizado, ou seja, a vibração forçada é a mais intensa.Portanto, em geral, sempre se esforce para evitar a ressonância, a menos que alguns instrumentos e equipamentos utilizem a ressonância para atingir grandes vibração.

FIGO. Curva de frequência de 5 amplitudes

Pode ser visto na curva de frequência de fase (figura 6), independente do tamanho do amortecimento, em bits de diferença de fase zero ômega = PI/2, esta característica pode ser efetivamente utilizada na medição de ressonância.

Além da excitação constante, os sistemas às vezes encontram excitação instável.Pode ser dividido em dois tipos: um é o impacto repentino.O segundo é o efeito duradouro da arbitrariedade.Sob excitação instável, a resposta do sistema também é instável.

Uma ferramenta poderosa para analisar vibração instável é o método de resposta ao impulso. Ele descreve as características dinâmicas do sistema com a resposta transitória da entrada de impulso unitário do sistema. função é frequentemente definida como:

Onde 0- representa o ponto no eixo t que se aproxima de zero pela esquerda; 0 plus é o ponto que vai para 0 pela direita.

FIGO. Curva de frequência de 6 fases

FIGO. 7 qualquer entrada pode ser considerada como a soma de uma série de elementos de impulso

O sistema corresponde à resposta h(t) gerada pelo impulso unitário em t=0, que é chamada de função de resposta ao impulso. Assumindo que o sistema está estacionário antes do pulso, h(t)=0 para t<0.Saber a função de resposta ao impulso do sistema, podemos encontrar a resposta do sistema a qualquer entrada x(t). Neste ponto, você pode pensar em x(t) como a soma de uma série de elementos de impulso (FIG. 7) .A resposta do sistema é:

Com base no princípio da superposição, a resposta total do sistema correspondente a x(t) é:

Esta integral é chamada integral de convolução ou integral de superposição.

Vibração linear de um sistema com vários graus de liberdade

Vibração de um sistema linear com n≥2 graus de liberdade.

A Figura 8 mostra dois subsistemas ressonantes simples conectados por uma mola de acoplamento. Por ser um sistema com dois graus de liberdade, são necessárias duas coordenadas independentes para determinar sua posição.

Cada frequência corresponde a um modo de vibração. Os osciladores harmônicos realizam oscilações harmônicas de mesma frequência, passando sincronicamente pela posição de equilíbrio e atingindo sincronicamente a posição extrema. Na vibração principal correspondente ao ômega um, x1 é igual a x2; a vibração principal correspondente a ômega ômega dois, ômega ômega um. Na vibração principal, a relação de deslocamento de cada massa mantém uma certa relação e forma um determinado modo, que é chamado de modo principal ou modo natural. existe ortogonalidade de massa e rigidez entre os modos principais, o que reflete a independência de cada vibração. A frequência natural e o modo principal representam as características de vibração inerentes ao sistema de vários graus de liberdade.

FIGO. 8 sistema com múltiplos graus de liberdade

Um sistema de n graus de liberdade tem n frequências naturais e n modos principais. Qualquer configuração de vibração do sistema pode ser representada como uma combinação linear dos modos principais. Portanto, o método de superposição de modo principal é amplamente utilizado na análise de resposta dinâmica de multi -dof sistemas.Desta forma, a medição e análise das características naturais de vibração do sistema torna-se uma etapa rotineira no projeto dinâmico do sistema.

As características dinâmicas dos sistemas multi-dof também podem ser descritas pelas características de frequência. Como existe uma função característica de frequência entre cada entrada e saída, uma matriz característica de frequência é construída. daquele do sistema de liberdade única.

O elastômero vibra

O sistema de múltiplos graus de liberdade acima é um modelo mecânico aproximado de elastômero. Um elastômero tem um número infinito de graus de liberdade. um número infinito de modos correspondentes, e há ortogonalidade entre os modos de massa e rigidez. Qualquer configuração vibracional do elastômero também pode ser representada como uma superposição linear dos modos principais. Portanto, para análise de resposta dinâmica do elastômero, o método de superposição do modo principal ainda é aplicável (ver vibração linear do elastômero).

Considere a vibração de uma corda. Digamos que uma corda fina de massa m por unidade de comprimento, comprimento l, seja tensionada em ambas as extremidades, e a tensão seja T. Neste momento, a frequência natural da corda é determinada pelo seguinte equação:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Onde, é a velocidade de propagação da onda transversal ao longo da direção da corda. As frequências naturais das cordas são múltiplos da frequência fundamental acima de 2l. tal relação múltipla inteira entre as frequências naturais do elastômero.

Os primeiros três modos da corda tensionada são mostrados na FIG. 9. Existem alguns nós na curva de modo principal. Na vibração principal, os nós não vibram. 10 mostra vários modos típicos da placa circular suportada circunferencialmente com algumas linhas nodais compostas por círculos e diâmetros.

A formulação exata do problema de vibração do elastômero pode ser concluída como o problema do valor limite das equações diferenciais parciais. No entanto, a solução exata só pode ser encontrada em alguns dos casos mais simples, por isso temos que recorrer à solução aproximada para o elastômero complexo problema de vibração.A essência de várias soluções aproximadas é mudar o infinito para o finito, ou seja, discretizar o sistema de vários graus de liberdade sem membros (sistema contínuo) em um sistema finito de vários graus de liberdade (sistema discreto) .Existem dois tipos de métodos de discretização amplamente utilizados em análises de engenharia: método dos elementos finitos e método de síntese modal.

FIGO. 9 modo de string

FIGO. 10 modos de placa circular

O método dos elementos finitos é uma estrutura composta que abstrai uma estrutura complexa em um número finito de elementos e os conecta em um número finito de nós. Cada unidade é um elastômero; os parâmetros de distribuição de cada elemento são concentrados em cada nó em um determinado formato, e o modelo mecânico do sistema discreto é obtido.

A síntese modal é a decomposição de uma estrutura complexa em várias subestruturas mais simples. Com base na compreensão das características de vibração de cada subestrutura, a subestrutura é sintetizada em uma estrutura geral de acordo com as condições de coordenação na interface e a morfologia de vibração do geral a estrutura é obtida usando a morfologia de vibração de cada subestrutura.

Os dois métodos são diferentes e relacionados e podem ser usados ​​como referência. O método de síntese modal também pode ser efetivamente combinado com a medição experimental para formar um método de análise teórica e experimental para a vibração de grandes sistemas.