O que é vibração linear?

Vibração linear: A elasticidade dos componentes do sistema está sujeita à lei de Hooke, e a força de amortecimento gerada durante o movimento é proporcional à primeira equação da velocidade generalizada (derivado do tempo das coordenadas generalizadas).

conceito

O sistema linear é geralmente um modelo abstrato da vibração do sistema real. O sistema de vibração linear aplica o princípio da superposição, ou seja, se a resposta do sistema estiver y1 sob a ação da entrada x1 e y2 sob a ação da entrada x2, Em seguida, a resposta do sistema sob a ação da entrada X1 e X2 é Y1+Y2.

Com base no princípio da superposição, uma entrada arbitrária pode ser decomposta na soma de uma série de impulsos infinitesimais e, em seguida, a resposta total do sistema pode ser obtida. Série de componentes harmônicos por Fourier Transform, e o efeito de cada componente harmônico no sistema pode ser investigado separadamente. Portanto, as características de resposta dos sistemas lineares com Parâmetros constantes podem ser descritos por resposta a impulso ou resposta de frequência.

A resposta ao impulso refere -se à resposta do sistema ao impulso unitário, que caracteriza as características da resposta do sistema no domínio do tempo. Resposta de frequência refere -se à característica de resposta do sistema à entrada harmônica da unidade. A correspondência entre os dois é determinada pela transformação de Fourier.

classificação

A vibração linear pode ser dividida em vibração linear do sistema de grau único de liberdade e vibração linear do sistema de vários graus de liberdade.

(1) A vibração linear de um sistema de um grau de liberdade é uma vibração linear cuja posição pode ser determinada por uma coordenada generalizada. É a vibração mais simples da qual muitos conceitos e características básicas de vibração podem ser derivados. Vibração harmônica, vibração livre, vibração da atenuação e vibração forçada.

Vibração harmônica simples: o movimento alternativo de um objeto nas proximidades de sua posição de equilíbrio de acordo com uma lei sinusoidal sob a ação de uma força de restauração proporcional ao seu deslocamento.

Vibração amortecida: vibração cuja amplitude é continuamente atenuada pela presença de atrito e resistência dielétrica ou outro consumo de energia.

Vibração forçada: vibração de um sistema sob excitação constante.

(2) A vibração linear do sistema de vários graus de liberdade é a vibração do sistema linear com n≥2 graus de liberdade. do sistema pode ser representado como uma combinação linear dos principais modos. e análise das características de vibração natural do sistema se torna uma etapa de rotina no design dinâmico do sistema. As características dinâmicas dos sistemas multi-DoF também podem ser descritos por características de frequência. Como existe uma função característica de frequência entre cada entrada e saída , uma matriz característica de frequência é construída. Há uma relação definitiva entre a característica de frequência e o modo principal. A curva característica da amplitude-frequência do sistema multi-freedom é diferente do sistema único de liberdade.

Vibração linear de um único grau de sistema de liberdade

Uma vibração linear na qual a posição de um sistema pode ser determinada por uma coordenada generalizada. .

Vibração harmônica

Sob a ação da força de restauração proporcional ao deslocamento, o objeto retribui de maneira sinusoidal próxima à sua posição de equilíbrio (Fig. 1) .x representa o deslocamento e t representa o tempo. A expressão matemática desta vibração é:

(1)Onde a é o valor máximo do deslocamento x, que é chamado de amplitude, e representa a intensidade da vibração; ômega n é o incremento do ângulo da amplitude da vibração por segundo, que é chamada de frequência angular, ou a frequência circular; esta é chamado de fase inicial. oscilam um ciclo, e isso é chamado de período.

FIGO. 1 curva de vibração harmônica simples

Como mostrado na FIG. 2, um oscilador harmônico simples é formado pela massa concentrada M conectada por uma mola linear. Quando o deslocamento da vibração é calculado a partir da posição de equilíbrio, a equação de vibração é:

Onde está a rigidez da mola. A solução geral para a equação acima é (1) .a e pode ser determinada pela posição inicial x0 e velocidade inicial em t = 0:

Mas o ômega N é determinado apenas pelas características do próprio sistema M e K, independentemente das condições iniciais adicionais; portanto, o ômega N também é conhecido como frequência natural.

FIGO. 2 Sistema de grau único de liberdade

Para um oscilador harmônico simples, a soma de sua energia cinética e energia potencial é constante, ou seja, a energia mecânica total do sistema é conservada. No processo de vibração, energia cinética e energia potencial são constantemente transformadas entre si.

A vibração de amortecimento

Uma vibração cuja amplitude é continuamente atenuada por atrito e resistência dielétrica ou outro consumo de energia. Para micro vibração, a velocidade geralmente não é muito grande e a resistência média é proporcional à velocidade com a primeira potência, que pode ser escrita como C é O coeficiente de amortecimento. Portanto, a equação de vibração de um grau de liberdade com amortecimento linear pode ser escrito como:

(2)Onde, m = c/2m é chamado de parâmetro de amortecimento e a solução geral da fórmula (2) pode ser escrita:

(3)A relação numérica entre ômega e Pi pode ser dividida nos três casos a seguir:

N> (no caso de um pequeno amortecimento) produziu vibração de atenuação, a equação de vibração é:

Sua amplitude diminui com o tempo de acordo com a lei exponencial mostrada na equação, como mostrado na linha pontilhada na FIG. 3. Estritamente falando, essa vibração é Aperiodic, mas a frequência de seu pico pode ser definida como:

É chamado de taxa de redução de amplitude, onde está o período de vibração. O logaritmo natural da taxa de redução de amplitude é chamado de taxa de logaritmo menos (amplitude). Delta do teste experimental e, usando a fórmula acima, podem ser calculados c.

Neste momento, a solução da equação (2) pode ser escrita:

Juntamente com a direção da velocidade inicial, ela pode ser dividida em três casos de não vibração, como mostrado na FIG. 4.

N <(No caso de grande amortecimento), a solução para a equação (2) é mostrada na Equação (3). Nesse ponto, o sistema não está mais vibrando.

Vibração forçada

Vibração de um sistema sob constante excitação. A análise de vibração investiga principalmente a resposta do sistema à excitação. Excitação periódica é uma excitação regular típica. Como a excitação periódica sempre pode ser decomposta na soma de várias excitação harmônica, de acordo com o princípio da superposição, apenas a resposta do sistema a cada excitação harmônica é necessária. escrito:

A resposta é a soma de duas partes. Uma parte é a resposta da vibração amortecida, que decai rapidamente com o tempo. A resposta de outra parte da vibração forçada pode ser escrita:

FIGO. 3 curva de vibração amortecida

FIGO. 4 curvas de três condições iniciais com amortecimento crítico

Digite o

H /F0 = H (), é a proporção de amplitude constante da resposta e a amplitude da excitação, caracterizando características de amplitude-frequência ou função de ganho; bits para resposta estacionária e incentivo de fase, caracterização das características da frequência de fase. A relação entre eles e A frequência de excitação é mostrada na FIG. 5 e fig. 6.

Como pode ser visto na curva de amplitude-frequência (Fig. 5), no caso de um pequeno amortecimento, a curva de frequência de amplitude tem um único pico. Quanto menor o amortecimento, o pico mais íngreme; a frequência correspondente ao pico é chamado de frequência ressonante do sistema. No caso de um pequeno amortecimento, a frequência de ressonância não é muito diferente da frequência natural. Quando a frequência de excitação está próxima do natural Frequência, a amplitude aumenta acentuadamente. Esse fenômeno é chamado de ressonância. Por ressonância, o ganho do sistema é maximizado, ou seja, a vibração forçada é a mais intensa. vibração.

FIGO. 5 curva de frequência de amplitude

Pode ser visto na curva de frequência de fase (Figura 6), independentemente do tamanho do amortecimento, em bits de diferença de fase ômega zero = pi / 2, essa característica pode ser efetivamente usada na medição da ressonância.

Além da excitação constante, os sistemas às vezes encontram excitação instável.

Uma ferramenta poderosa para analisar vibração instável é o método de resposta a impulso. A função é frequentemente definida como:

Onde 0- representa o ponto no eixo t que se aproxima de zero da esquerda; 0 Plus é o ponto que vai para 0 da direita.

FIGO. Curva de frequência de 6 fases

FIGO. 7 Qualquer entrada pode ser considerada como a soma de uma série de elementos de impulso

O sistema corresponde à resposta H (t) gerada pelo impulso unitário em t = 0, que é chamado de função de resposta a impulso. Assumindo que o sistema está estacionário antes do pulso, H (t) = 0 para T <0. Killing A função de resposta ao impulso do sistema, podemos encontrar a resposta do sistema a qualquer entrada x (t). Nesse ponto, você pode pensar em x (t) como a soma de uma série de elementos de impulso (Fig. 7) .A resposta do sistema é:

Com base no princípio da superposição, a resposta total do sistema correspondente a x (t) é:

Esta integral é chamada de integral de convolução ou uma integral de superposição.

Vibração linear de um sistema de vários graus de liberdade

Vibração de um sistema linear com n≥2 graus de liberdade.

A Figura 8 mostra dois subsistemas ressonantes simples conectados por uma mola de acoplamento. Porque é necessário um sistema de dois graus de liberdade, duas coordenadas independentes são necessárias para determinar sua posição. Existem duas frequências naturais neste sistema:

Cada frequência corresponde a um modo de vibração. Os osciladores harmônicos realizam oscilações harmônicas da mesma frequência, passando de maneira síncrona pela posição de equilíbrio e atingindo síncrona a posição extrema. Na vibração principal correspondente a ômega um, x1 é igual a x2; a vibração principal correspondente a ômega ômega dois, ômega ômega One. Na vibração principal, a taxa de deslocamento de cada massa mantém uma certa relação e forma um certo modo, chamado de modo principal ou modo natural. A ortogonalidade de massa e rigidez existe entre os modos principais, que reflete a independência de cada vibração. A frequência natural e o modo principal representam a vibração inerente Características do sistema de vários graus de liberdade.

FIGO. 8 sistema com vários graus de liberdade

Um sistema de n graus de liberdade tem n frequências naturais e n modos principais. Qualquer configuração de vibração do sistema pode ser representada como uma combinação linear dos principais modos. -DOF Systems.

As características dinâmicas dos sistemas multi-DoF também podem ser descritas por características de frequência. Como existe uma função característica de frequência entre cada entrada e saída, uma matriz característica de frequência é construída. do sistema único de liberdade.

O elastômero vibra

O sistema de grau de liberdade múltiplo acima é um modelo mecânico aproximado de elastômero. Um elastômero tem um número infinito de graus de liberdade. Há uma diferença quantitativa, mas nenhuma diferença essencial entre os dois. Qualquer elastômero tem um número infinito de frequências naturais e um número infinito de modos correspondentes, e há ortogonalidade entre os modos de massa e rigidez. Qualquer configuração vibracional do elastômero também pode ser Representado como uma superposição linear dos principais modos.

Pegue a vibração de uma corda. equação:

F = Na/2L (n = 1,2,3…).

Onde está a velocidade de propagação da onda transversal ao longo da direção da corda. As frequências naturais das cordas são múltiplas da frequência fundamental sobre 2l. Essa multiplicidade inteira leva a uma estrutura harmônica agradável. Essa relação múltipla inteira entre as frequências naturais do elastômero.

Os três primeiros modos da corda tensionada são mostrados na FIG. 9. Existem alguns nós na curva do modo principal. Na vibração principal, os nós não vibram.fig. 10 mostra vários modos típicos da placa circular apoiada circunferencialmente com algumas linhas nodais compostas por círculos e diâmetros.

A formulação exata do problema de vibração do elastômero pode ser concluída como o problema do valor limite das equações diferenciais parciais. Problema de vibração. Sistema) em um sistema de liberdade de vários graus finitos (sistema discreto). Existem dois tipos de métodos de discretização amplamente utilizados na análise de engenharia: método de elemento finito e método de síntese modal.

FIGO. 9 Modo de string

FIGO. 10 Modo de placa circular

O método do elemento finito é uma estrutura composta que abstrava uma estrutura complexa em um número finito de elementos e os conecta em um número finito de nós. Cada unidade é um elastômero; o deslocamento da distribuição do elemento é expresso pela função de interpolação do deslocamento do nó. Os parâmetros de distribuição de cada elemento são concentrados em cada nó em um determinado formato, e o modelo mecânico do sistema discreto é obtido.

Síntese modal é a decomposição de uma estrutura complexa em várias subestruturas mais simples. A estrutura é obtida usando a morfologia da vibração de cada subestrutura.

Os dois métodos são diferentes e relacionados e podem ser usados ​​como referência. O método de síntese modal também pode ser efetivamente combinado com a medição experimental para formar um método de análise teórico e experimental para a vibração de grandes sistemas.