Ce este vibrația liniară?

Vibrație liniară: elasticitatea componentelor din sistem este supusă legii lui Hooke, iar forța de amortizare generată în timpul mișcării este proporțională cu prima ecuație a vitezei generalizate (derivată în timp a coordonatelor generalizate).

concept

Sistemul liniar este de obicei un model abstract al vibrației sistemului real. Sistemul de vibrații liniare aplică principiul suprapunerii, adică dacă răspunsul sistemului este y1 sub acțiunea intrării x1 și y2 sub acțiunea intrării x2, atunci răspunsul sistemului sub acțiunea intrării x1 și x2 este y1+y2.

Pe baza principiului suprapunerii, o intrare arbitrară poate fi descompusă în suma unei serii de impulsuri infinitezimale și apoi poate fi obținut răspunsul total al sistemului. Suma componentelor armonice ale unei excitații periodice poate fi extinsă într-un serie de componente armonice prin transformată Fourier, iar efectul fiecărei componente armonice asupra sistemului poate fi investigat separat. Prin urmare, caracteristicile de răspuns ale sistemelor liniare cu parametri constanți pot fi descrise prin răspuns la impuls sau răspuns în frecvență.

Răspunsul la impuls se referă la răspunsul sistemului la impulsul unității, care caracterizează caracteristicile de răspuns ale sistemului în domeniul timpului. Răspunsul în frecvență se referă la caracteristica de răspuns a sistemului la intrarea armonică unității. Corespondența dintre cele două este determinată prin transformata Fourier.

clasificare

Vibrația liniară poate fi împărțită în vibrații liniare ale sistemului cu un singur grad de libertate și vibrații liniare ale sistemului cu mai multe grade de libertate.

(1) vibrația liniară a unui sistem cu un singur grad de libertate este o vibrație liniară a cărei poziție poate fi determinată printr-o coordonată generalizată. Este cea mai simplă vibrație din care pot fi derivate multe concepte și caracteristici de bază ale vibrației. Include simple vibrație armonică, vibrație liberă, vibrație de atenuare și vibrație forțată.

Vibrație armonică simplă: mișcarea alternativă a unui obiect în vecinătatea poziției sale de echilibru conform unei legi sinusoidale sub acțiunea unei forțe de restabilire proporțională cu deplasarea acestuia.

Vibrație amortizată: vibrație a cărei amplitudine este atenuată continuu de prezența frecării și a rezistenței dielectrice sau a altor consumuri de energie.

Vibrație forțată: vibrație a unui sistem sub excitație constantă.

(2) vibrația liniară a sistemului cu mai multe grade de libertate este vibrația sistemului liniar cu n≥2 grade de libertate. Un sistem de n grade de libertate are n frecvențe naturale și n moduri principale. Orice configurație de vibrație a sistemului poate fi reprezentată ca o combinație liniară a modurilor majore. Prin urmare, metoda de suprapunere a modului principal este utilizată pe scară largă în analiza răspunsului dinamic a sistemelor multi-dof. În acest fel, măsurarea și analiza caracteristicilor vibrațiilor naturale ale sistemului devine o etapă de rutină în proiectarea dinamică a sistemului. Caracteristicile dinamice ale sistemelor multi-dof pot fi descrise și prin caracteristicile de frecvență. Deoarece există o funcție caracteristică a frecvenței între fiecare intrare și ieșire, se construiește o matrice de caracteristici de frecvență. Există o relație clară între caracteristica de frecvență și modul principal. Curba caracteristică amplitudine-frecvență a sistemului multi-libertate este diferită de cea a sistem cu o singură libertate.

Vibrația liniară a unui sistem cu un singur grad de libertate

O vibrație liniară în care poziția unui sistem poate fi determinată printr-o coordonată generalizată. Este cea mai simplă și mai fundamentală vibrație din care pot fi derivate multe concepte și caracteristici de bază ale vibrației. Include vibrația armonică simplă, vibrația amortizată și vibrația forțată. .

Vibrație armonică

Sub acțiunea de restabilire a forței proporționale cu deplasarea, obiectul se întoarce într-o manieră sinusoidală în apropierea poziției sale de echilibru (FIG. 1). X reprezintă deplasarea și t reprezintă timpul. Expresia matematică a acestei vibrații este:

(1)Unde A este valoarea maximă a deplasării x, care se numește amplitudine și reprezintă intensitatea vibrației; Omega n este amplitudinea Incrementul unghiului vibrației pe secundă, care se numește frecvența unghiulară sau frecvența circulară; se numește faza inițială. În ceea ce privește f= n/2, numărul de oscilații pe secundă se numește frecvență; inversul acesteia, T=1/f, este timpul necesar pentru a oscila unul. ciclu, și asta se numește perioadă. Amplitudinea A, frecvența f (sau frecvența unghiulară n), faza inițială, cunoscută sub numele de vibrație armonică simplă trei elemente.

SMOCHIN. 1 curbă de vibrație armonică simplă

După cum se arată în FIG. 2, un oscilator armonic simplu este format din masa concentrată m conectată printr-un arc liniar. Când deplasarea vibrației este calculată din poziția de echilibru, ecuația vibrației este:

Unde este rigiditatea arcului. Soluția generală a ecuației de mai sus este (1).A și poate fi determinată de poziția inițială x0 și viteza inițială la t=0:

Dar omega n este determinată doar de caracteristicile sistemului însuși m și k, independent de condițiile inițiale suplimentare, așa că omega n este cunoscut și ca frecvență naturală.

SMOCHIN. 2 sistem de un singur grad de libertate

Pentru un oscilator armonic simplu, suma energiei sale cinetice și a energiei potențiale este constantă, adică energia mecanică totală a sistemului este conservată. În procesul de vibrație, energia cinetică și energia potențială se transformă constant una în alta.

Vibrația de amortizare

O vibrație a cărei amplitudine este atenuată continuu de frecare și rezistență dielectrică sau alt consum de energie. Pentru micro vibrații, viteza nu este în general foarte mare, iar rezistența medie este proporțională cu viteza primei puteri, care poate fi scrisă ca c este coeficientul de amortizare. Prin urmare, ecuația de vibrație de un grad de libertate cu amortizare liniară poate fi scrisă ca:

(2)Unde, m =c/2m se numește parametrul de amortizare și. Soluția generală a formulei (2) se poate scrie:

(3)Relația numerică dintre omega n și PI poate fi împărțită în următoarele trei cazuri:

N > (în cazul atenuării mici) vibrația de atenuare produsă de particule, ecuația vibrației este:

Amplitudinea sa scade cu timpul conform legii exponențiale prezentate în ecuație, așa cum se arată în linia punctată din FIG. 3. Strict vorbind, această vibrație este aperiodică, dar frecvența vârfului ei poate fi definită ca:

Se numește rata de reducere a amplitudinii, unde este perioada de vibrație. Logaritmul natural al ratei de reducere a amplitudinii se numește rata logaritmului minus (amplitudinea). Evident, =, în acest caz, este egal cu 2/1. Direct prin test experimental delta și, folosind formula de mai sus se poate calcula c.

În acest moment, soluția ecuației (2) se poate scrie:

Împreună cu direcția vitezei inițiale, aceasta poate fi împărțită în trei cazuri fără vibrații, așa cum se arată în FIG. 4.

N < (în cazul amortizarii mari), soluția ecuației (2) este prezentată în ecuația (3). În acest moment, sistemul nu mai vibrează.

Vibrație forțată

Vibrația unui sistem sub excitație constantă. Analiza vibrațiilor investighează în principal răspunsul sistemului la excitație. Excitația periodică este o excitație regulată tipică. Deoarece excitația periodică poate fi întotdeauna descompusă în suma mai multor excitații armonice, conform principiului suprapunerii, numai este necesar răspunsul sistemului la fiecare excitație armonică. Sub acțiunea excitației armonice, ecuația diferențială a mișcării unui sistem amortizat cu un singur grad de libertate poate fi scris:

Răspunsul este suma a două părți. O parte este răspunsul vibrației amortizate, care decade rapid cu timpul. Răspunsul unei alte părți a vibrației forțate poate fi scris:

SMOCHIN. 3 curba de vibratie amortizata

SMOCHIN. 4 curbe a trei condiții inițiale cu amortizare critică

Introduceți

H /F0= h (), este raportul dintre amplitudinea răspunsului constant și amplitudinea excitației, care caracterizează caracteristicile amplitudine-frecvență sau funcția de câștig; Biți pentru răspunsul la starea de echilibru și stimularea fazei, caracterizarea caracteristicilor frecvenței fazei. Relația dintre ei și frecvenţa de excitaţie este prezentată în fig. 5 şi FIG. 6.

După cum se poate observa din curba amplitudine-frecvență (FIG. 5), în cazul amortizării mici, curba amplitudine-frecvență are un singur vârf. Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât vârful este mai abrupt; Frecvența corespunzătoare vârfului este numită frecvența de rezonanță a sistemului. În cazul amortizării mici, frecvența de rezonanță nu este mult diferită de frecvența naturală. Când frecvența de excitație este apropiată de cea naturală frecvența, amplitudinea crește brusc. Acest fenomen se numește rezonanță. La rezonanță, câștigul sistemului este maximizat, adică vibrația forțată este cea mai intensă. Prin urmare, în general, încercați întotdeauna să evitați rezonanța, cu excepția cazului în care unele instrumente și echipamente să folosească rezonanța pentru a obține vibratie.

SMOCHIN. Curba de frecvență cu 5 amplitudini

Poate fi văzută din curba frecvenței de fază (figura 6), indiferent de mărimea amortizarii, în biți omega zero diferență de fază = PI / 2, această caracteristică poate fi utilizată eficient în măsurarea rezonanței.

Pe lângă excitația constantă, sistemele întâmpină uneori o excitație instabilă. Poate fi împărțită aproximativ în două tipuri: unul este impactul brusc. Al doilea este efectul de durată al arbitrarului. În cazul excitației instabile, răspunsul sistemului este, de asemenea, instabil.

Un instrument puternic pentru analiza vibrațiilor instabile este metoda răspunsului la impuls. Descrie caracteristicile dinamice ale sistemului cu răspunsul tranzitoriu al impulsului unitar de intrare a sistemului. Impulsul unității poate fi exprimat ca o funcție delta. În inginerie, delta funcția este adesea definită ca:

Unde 0- reprezintă punctul de pe axa t care se apropie de zero din stânga; 0 plus este punctul care merge la 0 din dreapta.

SMOCHIN. Curba de frecvență în 6 faze

SMOCHIN. 7 orice intrare poate fi considerată ca suma unei serii de elemente de impuls

Sistemul corespunde răspunsului h(t) generat de impulsul unitar la t=0, care se numește funcție de răspuns la impuls. Presupunând că sistemul este staționar înaintea pulsului, h(t)=0 pentru t<0.Cunoscând funcția de răspuns la impuls a sistemului, putem găsi răspunsul sistemului la orice intrare x(t). În acest moment, vă puteți gândi la x(t) ca suma unei serii de elemente de impuls (FIG. 7) .Răspunsul lui sistemul este:

Pe baza principiului suprapunerii, răspunsul total al sistemului corespunzător lui x(t) este:

Această integrală se numește integrală de convoluție sau integrală de suprapunere.

Vibrația liniară a unui sistem cu mai multe grade de libertate

Vibrația unui sistem liniar cu n≥2 grade de libertate.

Figura 8 prezintă două subsisteme rezonante simple conectate printr-un arc de cuplare. Deoarece este un sistem cu două grade de libertate, sunt necesare două coordonate independente pentru a-i determina poziția. Există două frecvențe naturale în acest sistem:

Fiecare frecvență corespunde unui mod de vibrație. Oscilatorii armonici efectuează oscilații armonice de aceeași frecvență, trecând sincron prin poziția de echilibru și atingând sincron poziția extremă. În vibrația principală corespunzătoare omega unu, x1 este egal cu x2;In vibrația principală corespunzătoare omega omega doi, omega omega unu. În vibrația principală, raportul de deplasare al fiecărei mase păstrează un anumită relație și formează un anumit mod, care se numește modul principal sau modul natural. Ortogonalitatea masei și rigidității există printre modurile principale, care reflectă independența fiecărei vibrații. Frecvența naturală și modul principal reprezintă caracteristicile inerente de vibrație a sistemului cu mai multe grade de libertate.

SMOCHIN. 8 sistem cu mai multe grade de libertate

Un sistem de n grade de libertate are n frecvențe naturale și n moduri principale. Orice configurație de vibrație a sistemului poate fi reprezentată ca o combinație liniară a modurilor majore. Prin urmare, metoda de suprapunere a modului principal este utilizată pe scară largă în analiza răspunsului dinamic al multiplă. -dof systems. În acest fel, măsurarea și analiza caracteristicilor naturale de vibrație ale sistemului devine o etapă de rutină în proiectarea dinamică a sistemului.

Caracteristicile dinamice ale sistemelor multi-dof pot fi descrise și prin caracteristicile frecvenței. Deoarece există o funcție caracteristică a frecvenței între fiecare intrare și ieșire, se construiește o matrice caracteristică frecvență. Curba caracteristică amplitudine-frecvență a sistemului multi-libertate este diferită din cel al sistemului de libertate unică.

Elastomerul vibrează

Sistemul cu mai multe grade de libertate de mai sus este un model mecanic aproximativ al elastomerului. Un elastomer are un număr infinit de grade de libertate. Există o diferență cantitativă, dar nicio diferență esențială între cele două. Orice elastomer are un număr infinit de frecvențe naturale și un număr infinit de moduri corespunzătoare și există ortogonalitate între modurile de masă și rigiditate. Orice configurație vibrațională a elastomerului poate fi reprezentată și ca o formă liniară. suprapunerea modurilor majore. Prin urmare, pentru analiza răspunsului dinamic al elastomerului, metoda de suprapunere a modului principal este încă aplicabilă (vezi vibrația liniară a elastomerului).

Luați vibrația unei coarde. Să presupunem că o coardă subțire de masă m pe unitate de lungime, lung l, este tensionată la ambele capete, iar tensiunea este T. În acest moment, frecvența naturală a coardei este determinată de următoarele ecuaţie:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Unde este viteza de propagare a undei transversale de-a lungul direcției șirului. Frecvențele naturale ale corzilor se întâmplă să fie multipli ai frecvenței fundamentale peste 2l. Această multiplicitate întreagă duce la o structură armonică plăcută. În general, nu există o astfel de relație multiplă între frecvențele naturale ale elastomerului.

Primele trei moduri ale firului tensionat sunt prezentate în FIG. 9. Există câteva noduri pe curba modului principal. În vibrația principală, nodurile nu vibrează.FIG. 10 prezintă câteva moduri tipice ale plăcii circulare susținute circumferențial cu câteva linii nodale compuse din cercuri și diametre.

Formularea exactă a problemei vibrației elastomerului poate fi concluzionată ca problema valorii la limită a ecuațiilor diferențiale parțiale. Cu toate acestea, soluția exactă poate fi găsită doar în unele dintre cele mai simple cazuri, așa că trebuie să apelăm la soluția aproximativă pentru elastomerul complex. problema vibrațiilor. Esența diferitelor soluții aproximative este de a schimba infinitul în finit, adică de a discretiza sistemul cu mai multe grade de libertate fără membre (sistem continuu) într-un sistem finit cu mai multe grade de libertate (sistem discret). Există două tipuri de metode de discretizare utilizate pe scară largă în analiza inginerească: metoda elementelor finite și metoda de sinteză modală.

SMOCHIN. 9 mod de sfoară

SMOCHIN. 10 moduri de placă circulară

Metoda elementelor finite este o structură compozită care retrage o structură complexă într-un număr finit de elemente și le conectează la un număr finit de noduri. Fiecare unitate este un elastomer; deplasarea de distribuție a elementului este exprimată prin funcția de interpolare a deplasării nodului. Apoi, parametrii de distribuție ai fiecărui element sunt concentrați la fiecare nod într-un anumit format și se obține modelul mecanic al sistemului discret.

Sinteza modală este descompunerea unei structuri complexe în mai multe substructuri mai simple. Pe baza înțelegerii caracteristicilor de vibrație ale fiecărei substructuri, substructura este sintetizată într-o structură generală în funcție de condițiile de coordonare de pe interfață și de morfologia vibrațiilor generale. structura se obține prin utilizarea morfologiei vibrațiilor fiecărei substructuri.

Cele două metode sunt diferite și înrudite și pot fi folosite ca referință. Metoda de sinteză modală poate fi, de asemenea, combinată eficient cu măsurarea experimentală pentru a forma o metodă de analiză teoretică și experimentală pentru vibrația sistemelor mari.