Что такое линейная вибрация?

Линейная вибрация: упругость компонентов в системе подчиняется закону Гука, а сила демпфирования, возникающая при движении, пропорциональна первому уравнению обобщенной скорости (производной по времени от обобщенных координат).

концепция

Линейная система обычно представляет собой абстрактную модель вибрации реальной системы. В системе линейных колебаний применяется принцип суперпозиции, то есть, если реакция системы равна y1 под действием входа x1 и y2 под действием входа x2, тогда реакция системы на действие входов x1 и x2 равна y1+y2.

На основе принципа суперпозиции произвольный входной сигнал можно разложить на сумму серии бесконечно малых импульсов, а затем получить общий отклик системы. Сумма гармонических составляющих периодического возбуждения может быть разложена в ряд гармонических составляющих с помощью преобразования Фурье, и влияние каждой гармонической составляющей на систему можно исследовать отдельно. Таким образом, характеристики отклика линейных систем с постоянными параметрами могут быть описаны импульсной характеристикой или частотной характеристикой.

Импульсная характеристика относится к реакции системы на единичный импульс, который характеризует характеристики отклика системы во временной области. Частотная характеристика относится к характеристике отклика системы на входную единичную гармонику. Соответствие между ними определяется с помощью преобразования Фурье.

классификация

Линейную вибрацию можно разделить на линейную вибрацию системы с одной степенью свободы и линейную вибрацию системы с несколькими степенями свободы.

(1) линейная вибрация системы с одной степенью свободы — это линейная вибрация, положение которой можно определить по обобщенной координате. Это простейшая вибрация, из которой можно вывести многие основные понятия и характеристики вибрации. Она включает в себя простые гармоническая вибрация, свободная вибрация, затухающая вибрация и вынужденная вибрация.

Простая гармоническая вибрация: возвратно-поступательное движение объекта вблизи положения его равновесия по синусоидальному закону под действием возвращающей силы, пропорциональной его смещению.

Затухающая вибрация: вибрация, амплитуда которой постоянно ослабляется из-за трения и диэлектрического сопротивления или других затрат энергии.

Вынужденная вибрация: вибрация системы при постоянном возбуждении.

(2) линейная вибрация системы с несколькими степенями свободы — это вибрация линейной системы с n≥2 степенями свободы. Система с n степенями свободы имеет n собственных частот и n основных форм. Любая конфигурация вибрации системы можно представить как линейную комбинацию основных режимов. Поэтому метод суперпозиции основных мод широко используется при анализе динамических характеристик многостепенных систем. Таким образом, измерение и анализ характеристик собственных колебаний системы система становится рутинным шагом в динамическом проектировании Система. Динамические характеристики многостепенных систем также могут быть описаны частотными характеристиками. Поскольку между каждым входом и выходом существует функция частотной характеристики, строится матрица частотной характеристики. Существует определенная связь между частотной характеристикой и основной режим. Амплитудно-частотная характеристика системы с несколькими свободами отличается от кривой системы с одной свободой.

Линейная вибрация системы с одной степенью свободы

Линейная вибрация, при которой положение системы можно определить по обобщенной координате. Это самая простая и фундаментальная вибрация, из которой можно вывести многие основные понятия и характеристики вибрации. Она включает в себя простую гармоническую вибрацию, затухающую вибрацию и вынужденную вибрацию. .

Гармоническая вибрация

Под действием восстанавливающей силы, пропорциональной смещению, объект совершает синусоидальное возвратно-поступательное движение вблизи своего положения равновесия (рис. 1). X представляет смещение, а t представляет время. Математическое выражение этой вибрации таково:

(1)Где A — максимальное значение смещения x, которое называется амплитудой и представляет интенсивность вибрации; Омега n — это амплитуда Углового приращения вибрации в секунду, которая называется угловой частотой или круговой частотой; Это называется начальной фазой. В терминах f = n/2 количество колебаний в секунду называется частотой; обратная этому, T = 1/f, представляет собой время, необходимое для колебаний одного цикла, и это называется период.Амплитуда А, частота f (или угловая частота n), начальная фаза, известная как простая гармоническая вибрация трех элементов.

ИНЖИР. 1 простая кривая гармонической вибрации

Как показано на фиг. 2, простой гармонический осциллятор образован сосредоточенной массой m, соединенной линейной пружиной. Когда вибрационное смещение рассчитывается из положения равновесия, уравнение вибрации имеет вид:

Где жесткость пружины. Общее решение приведенного выше уравнения имеет вид (1).A и может быть определено по начальному положению x0 и начальной скорости при t=0:

Но омега n определяется только характеристиками самой системы m и k, независимо от дополнительных начальных условий, поэтому омега n также известна как собственная частота.

ИНЖИР. 2 системы с одной степенью свободы

Для простого гармонического осциллятора сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии постоянна, т. е. полная механическая энергия системы сохраняется. В процессе вибрации кинетическая энергия и потенциальная энергия постоянно преобразуются друг в друга.

Гашение вибрации

Вибрация, амплитуда которой постоянно ослабляется из-за трения и диэлектрического сопротивления или других затрат энергии. Для микровибрации скорость обычно не очень велика, а сопротивление среды пропорционально скорости в первой степени, которую можно записать как c коэффициент демпфирования. Поэтому уравнение вибрации одной степени свободы с линейным демпфированием можно записать в виде:

(2)Где m =c/2m называется параметром затухания, а общее решение формулы (2) можно записать:

(3)Числовое соотношение между омега-н и ПИ можно разделить на следующие три случая:

N > (в случае малого затухания) частица производит затухание вибрации, уравнение вибрации имеет вид:

Его амплитуда уменьшается со временем по экспоненциальному закону, показанному в уравнении, как показано пунктирной линией на фиг. 3.Строго говоря, эта вибрация апериодическая, но частоту ее пика можно определить как:

Называется скоростью снижения амплитуды, где – период вибрации. Натуральный логарифм скорости уменьшения амплитуды называется логарифмом минус (амплитуда) скорости. Очевидно, = в данном случае равен 2/1. Непосредственно через дельту экспериментального теста и, используя приведенную выше формулу, можно рассчитать c.

На этот раз решение уравнения (2) можно записать:

Наряду с направлением начальной скорости его можно разделить на три случая отсутствия вибрации, как показано на фиг. 4.

N < (в случае большого демпфирования) решение уравнения (2) показано в уравнении (3). В этот момент система больше не вибрирует.

Принудительная вибрация

Вибрация системы при постоянном возбуждении. Анализ вибрации в основном исследует реакцию системы на возбуждение. Периодическое возбуждение является типичным регулярным возбуждением. Поскольку периодическое возбуждение всегда можно разложить на сумму нескольких гармонических возбуждений, то по принципу суперпозиции только требуется реакция системы на каждое гармоническое возбуждение. Под действием гармонического возбуждения дифференциальное уравнение движения демпфирующей системы с одной степенью свободы может иметь вид написано:

Ответ представляет собой сумму двух частей. Одна часть представляет собой реакцию затухающей вибрации, которая быстро затухает со временем. Отклик другой части вынужденной вибрации можно записать:

ИНЖИР. 3 кривая демпфированной вибрации

ИНЖИР. 4 кривые трех начальных условий с критическим демпфированием

Введите

H /F0= h(), – отношение амплитуды установившегося отклика к амплитуде возбуждения, характеризующее амплитудно-частотную характеристику, или функцию усиления; Биты для установившегося отклика и стимула фазы, характеризующие фазочастотные характеристики. Связь между ними и частота возбуждения показана на фиг. 5 и фиг. 6.

Как видно из амплитудно-частотной кривой (рис. 5), в случае малого затухания амплитудно-частотная кривая имеет единственный пик. Чем меньше затухание, тем круче пик; Частота, соответствующая пику, равна называется резонансной частотой системы. В случае малого затухания резонансная частота мало чем отличается от собственной частоты. Когда частота возбуждения близка к собственной частоте, амплитуда резко возрастает. Это явление называется резонансом. При резонансе усиление системы максимально, то есть вынужденная вибрация является наиболее интенсивной. Поэтому в целом всегда стремитесь избегать резонанса, за исключением случаев, когда некоторые инструменты и оборудование используют резонанс для достижения больших вибрация.

ИНЖИР. 5-амплитудно-частотная кривая

Как видно из кривой фазовой частоты (рис. 6), независимо от размера затухания, в битах нулевой разности фаз омега = PI/2, эту характеристику можно эффективно использовать при измерении резонанса.

Помимо установившегося возбуждения, в системах иногда встречается нестационарное возбуждение. Его можно условно разделить на два типа: один - внезапное воздействие. Второй - длительное воздействие произвольности. При нестационарном возбуждении реакция системы также нестационарна.

Мощным инструментом анализа нестационарной вибрации является метод импульсного отклика. Он описывает динамические характеристики системы с помощью переходной характеристики единичного импульсного входа системы. Единичный импульс можно выразить как дельта-функцию. В технике дельта-функция функция часто определяется как:

Где 0- представляет точку на оси t, которая приближается к нулю слева; 0 плюс — это точка, которая приближается к 0 справа.

ИНЖИР. 6-фазная частотная кривая

ИНЖИР. 7 любой вход можно рассматривать как сумму ряда импульсных элементов

Система соответствует отклику h(t), генерируемому единичным импульсом при t=0, который называется функцией импульсного отклика. Предполагая, что система неподвижна перед импульсом, h(t)=0 при t<0. Зная Функция импульсного отклика системы, мы можем найти реакцию системы на любой входной сигнал x(t). На этом этапе вы можете думать о x(t) как о сумме ряда импульсных элементов (РИС. 7). .Ответ системы:

Согласно принципу суперпозиции, общий отклик системы, соответствующий x(t), равен:

Этот интеграл называется интегралом свертки или интегралом суперпозиции.

Линейная вибрация системы с несколькими степенями свободы

Колебания линейной системы с n≥2 степенями свободы.

На рисунке 8 показаны две простые резонансные подсистемы, соединенные стяжной пружиной. Поскольку это система с двумя степенями свободы, для определения ее положения необходимы две независимые координаты. В этой системе есть две собственные частоты:

Каждой частоте соответствует вид вибрации. Гармонические осцилляторы осуществляют гармонические колебания одной и той же частоты, синхронно проходящие через положение равновесия и синхронно достигающие крайнего положения. В основной вибрации, соответствующей омега-единице, х1 равен х2; основная вибрация, соответствующая омега-омега-два, омега-омега-один. В основной вибрации коэффициент смещения каждой массы сохраняет определенное соотношение и образует определенный режим, который называется основным режимом или естественным Режим. Ортогональность массы и жесткости существует среди основных режимов, что отражает независимость каждой вибрации. Собственная частота и основной режим представляют собой собственные характеристики вибрации системы с несколькими степенями свободы.

ИНЖИР. 8 систем с несколькими степенями свободы

Система с n степенями свободы имеет n собственных частот и n основных мод. Любую конфигурацию вибрации системы можно представить как линейную комбинацию основных мод. Поэтому метод суперпозиции основных мод широко используется при анализе динамических характеристик многокомпонентных систем. -dof систем. Таким образом, измерение и анализ характеристик собственных колебаний системы становится рутинным шагом в динамическом проектировании системы.

Динамические характеристики многостепенных систем также могут быть описаны частотными характеристиками. Поскольку между каждым входом и выходом существует частотная характеристика, строится матрица частотной характеристики. Амплитудно-частотная характеристическая кривая многосвободной системы различна. от системы единой свободы.

Эластомер вибрирует

Вышеупомянутая система с несколькими степенями свободы представляет собой приблизительную механическую модель эластомера. Эластомер имеет бесконечное количество степеней свободы. Между ними существует количественная разница, но нет существенной разницы. Любой эластомер имеет бесконечное количество собственных частот и бесконечное количество соответствующих мод, и существует ортогональность между модами массы и жесткости. Любая колебательная конфигурация эластомера также может быть представлена ​​как линейная суперпозиция основных мод. Поэтому для анализа динамического отклика эластомера, метод суперпозиции основной моды все еще применим (см. Линейную вибрацию эластомера).

Возьмем вибрацию струны. Допустим, тонкая струна массы m на единицу длины, длиной l, натянута с обоих концов, причем натяжение равно Т. В этот момент собственная частота струны определяется следующим образом: уравнение:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Где – скорость распространения поперечной волны вдоль направления струны. Собственные частоты струн оказываются кратными основной частоте более 2l. Эта целочисленная кратность приводит к приятной гармонической структуре. В общем, не существует такое целочисленное кратное отношение между собственными частотами эластомера.

Первые три режима натянутой струны показаны на фиг. 9. На кривой основного режима имеется несколько узлов. При основной вибрации узлы не вибрируют. Фиг. 10 показаны несколько типичных форм круглой пластины, опирающейся по окружности, с некоторыми узловыми линиями, состоящими из окружностей и диаметров.

Точную формулировку задачи вибрации эластомера можно свести к краевой задаче уравнений в частных производных. Однако точное решение можно найти только в некоторых простейших случаях, поэтому приходится прибегать к приближенному решению для сложного эластомера Задача вибрации. Сущность различных приближенных решений заключается в замене бесконечного на конечное, то есть в дискретизации безконечной многостепенной системы (непрерывной системы) в конечную многостепенную систему (дискретную систему) .Есть два виды методов дискретизации, широко используемые в инженерном анализе: метод конечных элементов и метод модального синтеза.

ИНЖИР. 9 режимов струны

ИНЖИР. 10 режимов круглой пластины

Метод конечных элементов представляет собой составную структуру, которая абстрагирует сложную структуру на конечное число элементов и соединяет их в конечном числе узлов. Каждая единица представляет собой эластомер; Смещение распределения элемента выражается интерполяционной функцией смещения узла. Затем параметры распределения каждого элемента концентрируются к каждому узлу в определенном формате и получается механическая модель дискретной системы.

Модальный синтез – это разложение сложной конструкции на несколько более простых подструктур. На основе понимания вибрационных характеристик каждой подструктуры синтезируется подструктура в общую структуру в соответствии с условиями координации на границе раздела и вибрационной морфологией общей структуры. структура получается с использованием вибрационной морфологии каждой подструктуры.

Эти два метода различны и связаны между собой и могут использоваться в качестве справочных. Метод модального синтеза также можно эффективно сочетать с экспериментальными измерениями, чтобы сформировать метод теоретического и экспериментального анализа вибрации больших систем.