Linearna vibracija: za elastičnost komponent v sistemu velja Hookov zakon, sila dušenja, ki nastane pri gibanju, pa je sorazmerna s prvo enačbo posplošene hitrosti (časovni odvod posplošenih koordinat).
koncept
Linearni sistem je običajno abstrakten model vibracij realnega sistema. Linearni vibracijski sistem uporablja princip superpozicije, to je, če je odziv sistema y1 pod vplivom vhoda x1 in y2 pod vplivom vhoda x2, potem je odziv sistema pod vplivom vhoda x1 in x2 y1+y2.
Na podlagi principa superpozicije je mogoče poljuben vhod razstaviti na vsoto niza neskončno majhnih impulzov in nato dobiti skupni odziv sistema. Vsoto harmoničnih komponent periodičnega vzbujanja je mogoče razširiti v serije harmoničnih komponent s Fourierjevo transformacijo in učinek vsake harmonične komponente na sistem je mogoče raziskati ločeno. Zato je mogoče opisati odzivne karakteristike linearnih sistemov s konstantnimi parametri z impulznim ali frekvenčnim odzivom.
Impulzni odziv se nanaša na odziv sistema na impulz enote, ki označuje karakteristike odziva sistema v časovni domeni. Frekvenčni odziv se nanaša na karakteristiko odziva sistema na harmonski vhod enote. Ujemanje med obema je določeno s Fourierjevo transformacijo.
razvrstitev
Linearne vibracije lahko razdelimo na linearne vibracije sistema z eno prostostno stopnjo in linearne vibracije sistema z več prostostnimi stopnjami.
(1) linearna vibracija sistema z eno prostostno stopnjo je linearna vibracija, katere položaj je mogoče določiti s posplošeno koordinato. Je najpreprostejša vibracija, iz katere je mogoče izpeljati številne osnovne koncepte in značilnosti vibracij. Vključuje preproste harmonične vibracije, proste vibracije, oslabljene vibracije in prisilne vibracije.
Preprosta harmonična vibracija: povratno gibanje predmeta v bližini njegovega ravnotežnega položaja po sinusoidnem zakonu pod delovanjem obnovitvene sile, sorazmerne z njegovim premikom.
Dušene vibracije: vibracije, katerih amplituda se stalno zmanjšuje zaradi prisotnosti trenja in dielektričnega upora ali druge porabe energije.
Prisilne vibracije: vibracije sistema pod stalnim vzbujanjem.
(2) linearna vibracija sistema z več prostostnimi stopnjami je vibracija linearnega sistema z n≥2 stopnjami svobode. Sistem z n prostostnimi stopnjami ima n lastnih frekvenc in n glavnih načinov. Katera koli konfiguracija vibracij sistema je mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo glavnih načinov. Zato se metoda superpozicije glavnega načina pogosto uporablja v analizi dinamičnega odziva multi-dof Na ta način postane merjenje in analiza naravnih vibracijskih karakteristik sistema rutinski korak v dinamični zasnovi sistema. Dinamične značilnosti sistemov z več stopnjami lahko opišemo tudi s frekvenčnimi značilnostmi. Ker obstaja Funkcijo frekvenčne karakteristike med vsakim vhodom in izhodom je sestavljena matrika frekvenčne značilnosti. Med frekvenčno karakteristiko in glavnim načinom obstaja določena povezava. Krivulja amplitudno-frekvenčne karakteristike sistem z več svoboščinami se razlikuje od sistema z eno samo svoboščino.
Linearna vibracija sistema z eno prostostno stopnjo
Linearna vibracija, pri kateri je položaj sistema mogoče določiti s posplošeno koordinato. Je najenostavnejša in najbolj temeljna vibracija, iz katere je mogoče izpeljati številne osnovne koncepte in značilnosti vibracij. Vključuje preproste harmonične vibracije, dušene vibracije in prisilne vibracije .
Harmonične vibracije
Pod delovanjem obnovitvene sile, ki je sorazmerna s premikom, se predmet giblje vzajemno sinusno blizu svojega ravnotežnega položaja (SL. 1). X predstavlja premik, t pa čas. Matematični izraz te vibracije je:
(1)Kjer je A največja vrednost premika x, ki se imenuje amplituda in predstavlja intenzivnost tresljaja; Omega n je amplituda kota prirastka nihanja na sekundo, ki se imenuje kotna frekvenca ali krožna frekvenca; to se imenuje začetna faza. Glede na f = n/2 se število nihanj na sekundo imenuje frekvenca; obratno od tega, T=1/f je čas, ki je potreben za nihanje enega cikla in se imenuje obdobje. Amplituda A, frekvenca f (ali kotna frekvenca n), začetna faza, znana kot preprosta harmonična vibracija trije elementi.
FIG. 1 preprosta harmonična krivulja nihanja
Kot je prikazano na sl. 2 preprost harmonični oscilator tvori koncentrirana masa m, povezana z linearno vzmetjo. Ko se vibracijski premik izračuna iz ravnotežnega položaja, je vibracijska enačba:
Kje je togost vzmeti. Splošna rešitev zgornje enačbe je (1).A in se lahko določi z začetnim položajem x0 in začetno hitrostjo pri t=0:
Toda omega n določajo samo značilnosti samega sistema m in k, neodvisno od dodatnih začetnih pogojev, zato je omega n znana tudi kot naravna frekvenca.
FIG. 2 sistem enojne prostostne stopnje
Pri preprostem harmoničnem oscilatorju je vsota njegove kinetične in potencialne energije konstantna, kar pomeni, da se celotna mehanska energija sistema ohrani. V procesu nihanja se kinetična energija in potencialna energija nenehno spreminjata druga v drugo.
Dušenje vibracij
Vibracija, katere amplituda se stalno zmanjšuje zaradi trenja in dielektričnega upora ali druge porabe energije. Pri mikro vibracijah hitrost na splošno ni zelo velika, srednji upor pa je sorazmeren s hitrostjo na prvo potenco, kar lahko zapišemo kot c koeficient dušenja. Zato lahko enačbo nihanja ene prostostne stopnje z linearnim dušenjem zapišemo kot:
(2)Kjer se m =c/2m imenuje parameter dušenja in. Splošno rešitev formule (2) lahko zapišemo:
(3)Številčno razmerje med omega n in PI lahko razdelimo na naslednje tri primere:
N > (v primeru majhnega dušenja) vibracije dušenja, ki jo povzročijo delci, je enačba vibracij:
Njegova amplituda se s časom zmanjšuje v skladu z eksponentnim zakonom, prikazanim v enačbi, kot je prikazano v črtkani črti na sl. 3. Strogo gledano je ta vibracija aperiodična, vendar je frekvenco njenega vrha mogoče opredeliti kot:
Imenuje se stopnja zmanjšanja amplitude, kjer je obdobje vibracij. Naravni logaritem stopnje zmanjšanja amplitude se imenuje logaritem minus stopnja (amplitude). Očitno je = v tem primeru enako 2/1. Neposredno skozi eksperimentalno testno delto in z uporabo zgornje formule se lahko izračuna c.
V tem času lahko rešitev enačbe (2) zapišemo:
Skupaj s smerjo začetne hitrosti jo lahko razdelimo na tri primere brez vibracij, kot je prikazano na sl. 4.
N < (v primeru velikega dušenja) je rešitev enačbe (2) prikazana v enačbi (3). Na tej točki sistem ne vibrira več.
Prisilne vibracije
Vibracija sistema pri konstantnem vzbujanju. Analiza vibracij raziskuje predvsem odziv sistema na vzbujanje. Periodično vzbujanje je tipično redno vzbujanje. Ker je periodično vzbujanje vedno mogoče razstaviti na vsoto več harmoničnih vzbujanja, po principu superpozicije, samo potreben je odziv sistema na vsako harmonično vzbujanje. Pod delovanjem harmoničnega vzbujanja je diferencialna enačba gibanja Dušeni sistem z eno prostostno stopnjo lahko zapišemo:
Odgovor je vsota dveh delov. En del je odziv dušenih vibracij, ki s časom hitro upadajo. Odziv drugega dela prisilnih vibracij lahko zapišemo:
FIG. 3 dušena krivulja nihanja
FIG. 4 krivulje treh začetnih pogojev s kritičnim dušenjem
Vnesite
H /F0= h (), je razmerje med amplitudo enakomernega odziva in amplitudo vzbujanja, ki označuje amplitudno-frekvenčne značilnosti ali funkcijo ojačanja; Bitovi za odziv v stanju ustaljenega stanja in spodbudo faze, karakterizacija značilnosti fazne frekvence. Razmerje med njima in frekvenca vzbujanja je prikazana na sl. 5 in sl. 6.
Kot je razvidno iz krivulje amplitudna frekvenca (slika 5), ima v primeru majhnega dušenja krivulja amplitudne frekvence en sam vrh. Manjše kot je dušenje, strmejši je vrh; frekvenca, ki ustreza vrhu, je imenujemo resonančna frekvenca sistema. V primeru majhnega dušenja se resonančna frekvenca ne razlikuje veliko od naravne frekvence. Ko je frekvenca vzbujanja je blizu naravne frekvence, se amplituda močno poveča. Ta pojav imenujemo resonanca. Pri resonanci je ojačanje sistema največje, kar pomeni, da je prisilno tresenje najintenzivnejše. Zato se na splošno vedno trudite, da bi se izognili resonanci, razen če nekateri instrumenti in oprema uporabljajo resonanco za doseganje velikih vibracije.
FIG. 5 amplitudna frekvenčna krivulja
Kot je razvidno iz krivulje fazne frekvence (slika 6), se lahko ne glede na velikost dušenja v omega nič fazni razliki bitov = PI / 2 ta lastnost učinkovito uporabi pri merjenju resonance.
Poleg enakomernega vzbujanja sistemi včasih naletijo na nestabilno vzbujanje. Lahko ga grobo razdelimo na dve vrsti: ena je nenaden udarec. Druga je trajni učinek samovolje. Pri neenakomernem vzbujanju je tudi odziv sistema nestalen.
Zmogljivo orodje za analizo neenakomernih vibracij je metoda impulznega odziva. Opisuje dinamične značilnosti sistema s prehodnim odzivom vhodnega impulza enote sistema. Impulz enote je mogoče izraziti kot delta funkcijo. V inženirstvu je delta funkcija je pogosto opredeljena kot:
Kjer 0- predstavlja točko na t-osi, ki se približa ničli z leve; 0 plus je točka, ki gre na 0 z desne.
FIG. 6 fazna frekvenčna krivulja
FIG. 7 vsak vhod lahko obravnavamo kot vsoto niza impulznih elementov
Sistem ustreza odzivu h(t), ki ga ustvari impulz enote pri t=0, ki se imenuje funkcija impulznega odziva. Ob predpostavki, da sistem pred impulzom miruje, je h(t)=0 za t<0. funkcijo impulznega odziva sistema, lahko najdemo odziv sistema na kateri koli vhod x(t). Na tej točki si lahko x(t) predstavljate kot vsoto niza impulznih elementov (SL. 7).Odziv sistema je:
Na podlagi principa superpozicije je skupni odziv sistema, ki ustreza x(t):
Ta integral se imenuje konvolucijski integral ali superpozicijski integral.
Linearna vibracija sistema z več prostostnimi stopnjami
Nihanje linearnega sistema z n≥2 prostostnimi stopnjami.
Slika 8 prikazuje dva enostavna resonančna podsistema, povezana s spojno vzmetjo. Ker gre za sistem z dvema prostostnima stopnjama, sta za določitev njegovega položaja potrebni dve neodvisni koordinati. V tem sistemu sta dve lastni frekvenci:
Vsaka frekvenca ustreza načinu nihanja. Harmonični oscilatorji izvajajo harmonična nihanja iste frekvence, ki sinhrono prehajajo skozi ravnotežni položaj in sinhrono dosežejo skrajni položaj. Pri glavni vibraciji, ki ustreza omega ena, je x1 enak x2; In glavna vibracija, ki ustreza omega omega dve, omega omega ena. V glavni vibraciji je premik razmerje vsake mase ohranja določeno razmerje in tvori določen način, ki se imenuje glavni način ali naravni način. Ortogonalnost mase in togosti obstaja med glavnimi načini, kar odraža neodvisnost vsake vibracije. Naravna frekvenca in glavna predstavljajo inherentne vibracijske značilnosti sistema z več prostostnimi stopnjami.
FIG. 8 sistem z več prostostnimi stopnjami
Sistem z n prostostnimi stopnjami ima n lastnih frekvenc in n glavnih načinov. Vsako vibracijsko konfiguracijo sistema je mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo glavnih načinov. Zato se metoda superpozicije glavnega načina pogosto uporablja pri analizi dinamičnega odziva več -dof sistemi. Na ta način postane merjenje in analiza naravnih vibracijskih karakteristik sistema rutinski korak pri dinamičnem načrtovanju sistema.
Dinamične značilnosti sistemov z več dof je mogoče opisati tudi s frekvenčnimi značilnostmi. Ker obstaja funkcija frekvenčne karakteristike med vsakim vhodom in izhodom, je sestavljena matrika frekvenčne značilnosti. Karakteristična krivulja amplitudno-frekvenčna značilnost sistema z več prostostmi je drugačna. od sistema enotne svobode.
Elastomer vibrira
Zgornji sistem z več prostostnimi stopnjami je približen mehanski model elastomera. Elastomer ima neskončno število prostostnih stopenj. Obstaja kvantitativna razlika, vendar ni bistvene razlike med obema. Vsak elastomer ima neskončno število lastnih frekvenc in neskončno število ustreznih načinov in obstaja pravokotnost med načinoma mase in togosti. Vsaka vibracijska konfiguracija elastomer lahko predstavimo tudi kot linearno superpozicijo glavnih načinov. Zato je za analizo dinamičnega odziva elastomera še vedno uporabna metoda superpozicije glavnega načina (glej linearno nihanje elastomera).
Vzemimo vibracijo strune. Recimo, da je tanka vrvica z maso m na enoto dolžine, dolga l, napeta na obeh koncih, napetost pa je T. V tem času je naravna frekvenca strune določena z naslednjim enačba:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Kjer je hitrost širjenja prečnega valovanja vzdolž smeri strune. Naravne frekvence strun so večkratniki osnovne frekvence nad 2l. Ta celoštevilska množica vodi do prijetne harmonične strukture. Na splošno ni takšno celoštevilčno večkratno razmerje med lastnimi frekvencami elastomera.
Prvi trije načini napete vrvice so prikazani na sl. 9. Na krivulji glavnega načina je nekaj vozlišč. Pri glavni vibraciji vozlišča ne vibrirajo. SL. 10 prikazuje več tipičnih načinov obodno podprte krožne plošče z nekaterimi vozlišči, sestavljenimi iz krogov in premerov.
Natančno formulacijo problema nihanja elastomera lahko zaključimo kot problem robnih vrednosti parcialnih diferencialnih enačb. Vendar pa je natančno rešitev mogoče najti le v nekaterih najpreprostejših primerih, zato se moramo zateči k približni rešitvi za kompleksen elastomer problem vibracij. Bistvo različnih približnih rešitev je spremeniti neskončno v končno, to je diskretizirati brezkončne sistem z več prostostnimi stopnjami (zvezni sistem) v končni sistem z več prostostnimi stopnjami (diskretni sistem). V inženirski analizi se pogosto uporabljata dve vrsti diskretizacijskih metod: metoda končnih elementov in metoda modalne sinteze.
FIG. 9 način niza
FIG. 10 način krožne plošče
Metoda končnih elementov je sestavljena struktura, ki abstrahira kompleksno strukturo v končno število elementov in jih poveže na končnem številu vozlišč. Vsaka enota je elastomer; distribucijski premik elementa je izražen z interpolacijsko funkcijo premika vozlišča. parametri distribucije vsakega elementa so koncentrirani na vsako vozlišče v določenem formatu in dobimo mehanski model diskretnega sistema.
Modalna sinteza je razgradnja kompleksne strukture na več enostavnejših podstruktur. Na podlagi razumevanja vibracijskih značilnosti vsake podstrukture se podstruktura sintetizira v splošno strukturo glede na koordinacijske pogoje na vmesniku in vibracijsko morfologijo splošnega. struktura je pridobljena z uporabo morfologije vibracij vsake podkonstrukcije.
Obe metodi sta različni in povezani ter ju je mogoče uporabiti kot referenco. Metodo modalne sinteze je mogoče učinkovito kombinirati z eksperimentalno meritvijo, da se oblikuje teoretična in eksperimentalna analizna metoda za vibracije velikih sistemov.
Čas objave: Apr-03-2020
