Vibrimi linear: elasticiteti i komponentëve në sistem i nënshtrohet ligjit të Hook-it dhe forca e amortizimit e krijuar gjatë lëvizjes është proporcionale me ekuacionin e parë të shpejtësisë së përgjithësuar (derivati kohor i koordinatave të përgjithësuara).
koncept
Sistemi linear është zakonisht një model abstrakt i dridhjeve të sistemit real. Sistemi i vibrimit linear zbaton parimin e mbivendosjes, domethënë nëse përgjigja e sistemit është y1 nën veprimin e hyrjes x1, dhe y2 nën veprimin e hyrjes x2, atëherë përgjigja e sistemit nën veprimin e hyrjes x1 dhe x2 është y1+y2.
Në bazë të parimit të mbivendosjes, një hyrje arbitrare mund të zbërthehet në shumën e një sërë impulsesh infiniteminale, dhe më pas mund të merret përgjigja totale e sistemit. Shuma e komponentëve harmonikë të një ngacmimi periodik mund të zgjerohet në një seria e komponentëve harmonikë nga transformimi Furier, dhe efekti i secilit komponent harmonik në sistem mund të hulumtohet veçmas. Prandaj, karakteristikat e reagimit të sistemeve lineare me parametra konstante mund të përshkruhet nga reagimi impuls ose përgjigja e frekuencës.
Përgjigja e impulsit i referohet përgjigjes së sistemit ndaj impulsit të njësisë, i cili karakterizon karakteristikat e përgjigjes së sistemit në domenin e kohës. Përgjigja e frekuencës i referohet karakteristikës së përgjigjes së sistemit ndaj hyrjes harmonike të njësisë. Përcaktohet korrespondenca midis të dyjave nga transformimi i Furierit.
klasifikimi
Vibrimi linear mund të ndahet në dridhje lineare të sistemit me një shkallë lirie dhe dridhje lineare të sistemit me shumë shkallë lirie.
(1) vibrimi linear i një sistemi me një shkallë lirie është një vibrim linear, pozicioni i të cilit mund të përcaktohet nga një koordinatë e përgjithësuar. Është dridhja më e thjeshtë nga e cila mund të rrjedhin shumë koncepte dhe karakteristika themelore të dridhjeve. Ai përfshin të thjeshta dridhje harmonike, dridhje e lirë, dridhje e dobësimit dhe dridhje e detyruar.
Dridhja e thjeshtë harmonike: lëvizja reciproke e një objekti në afërsi të pozicionit të tij ekuilibër sipas një ligji sinusoidal nën veprimin e një force rivendosëse proporcionale me zhvendosjen e tij.
Dridhja e amortizuar: dridhje amplituda e së cilës zbutet vazhdimisht nga prania e fërkimit dhe rezistencës dielektrike ose nga konsumi tjetër i energjisë.
Vibrimi i detyruar: dridhje e një sistemi nën ngacmim të vazhdueshëm.
(2) dridhja lineare e sistemit me shumë shkallë lirie është dridhja e sistemit linear me n≥2 shkallë lirie. Një sistem me n shkallë lirie ka n frekuenca natyrore dhe n mënyra kryesore. Çdo konfigurim vibrimi i sistemit mund të përfaqësohet si një kombinim linear i mënyrave kryesore. Prandaj, metoda e mbivendosjes së mënyrës kryesore përdoret gjerësisht në analizën e përgjigjes dinamike të sistemet multi-dof.Në këtë mënyrë, matja dhe analiza e karakteristikave natyrore të vibrimit të sistemit bëhet një hap rutinë në projektimin dinamik të sistemit. Karakteristikat dinamike të sistemeve multi-dof mund të përshkruhen edhe nga karakteristikat e frekuencës. ekziston një funksion karakteristik i frekuencës midis çdo hyrje dhe dalje, ndërtohet një matricë karakteristike e frekuencës. Ekziston një lidhje e caktuar midis karakteristikës së frekuencës dhe modalitetit kryesor. Karakteristika amplitudë-frekuencë kurba e sistemit me shumë liri është e ndryshme nga ajo e sistemit me një liri të vetme.
Dridhja lineare e sistemit të një shkalle të vetme lirie
Një dridhje lineare në të cilën pozicioni i një sistemi mund të përcaktohet nga një koordinatë e përgjithësuar. Është dridhja më e thjeshtë dhe më themelore nga e cila mund të rrjedhin shumë koncepte dhe karakteristika themelore të dridhjeve. Ai përfshin dridhje të thjeshta harmonike, dridhje të amortizuara dhe dridhje të detyruara. .
Vibrimi harmonik
Nën veprimin e forcës rivendosëse në proporcion me zhvendosjen, objekti kthehet në një mënyrë sinusoidale pranë pozicionit të tij ekuilibër (Fig. 1). X përfaqëson zhvendosjen dhe t përfaqëson kohën. Shprehja matematikore e këtij vibrimi është:
(1)Ku A është vlera maksimale e zhvendosjes x, e cila quhet amplitudë, dhe përfaqëson intensitetin e dridhjes; Omega n është amplituda Rritja e këndit të dridhjes për sekondë, e cila quhet frekuencë këndore, ose frekuencë rrethore; quhet faza fillestare. Në terma f= n/2, numri i lëkundjeve për sekondë quhet frekuencë; e anasjellta e kësaj, T=1/f, është koha që duhet për të lëkundur një cikël, dhe kjo quhet perioda. Amplituda A, frekuenca f (ose frekuenca këndore n), faza fillestare, e njohur si tre elemente të dridhjeve të thjeshta harmonike.
FIG. 1 kurbë e thjeshtë e dridhjeve harmonike
Siç tregohet në Fig. 2, një oshilator i thjeshtë harmonik formohet nga masa e përqendruar m e lidhur me një sustë lineare. Kur zhvendosja e vibrimit llogaritet nga pozicioni i ekuilibrit, ekuacioni i vibrimit është:
Ku është ngurtësia e sustës.Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të mësipërm është (1).A dhe mund të përcaktohet nga pozicioni fillestar x0 dhe shpejtësia fillestare në t=0:
Por omega n përcaktohet vetëm nga karakteristikat e vetë sistemit m dhe k, pavarësisht nga kushtet fillestare shtesë, kështu që omega n njihet edhe si frekuenca natyrore.
FIG. 2 sistem i vetëm i shkallës së lirisë
Për një oshilator të thjeshtë harmonik, shuma e energjisë së tij kinetike dhe energjisë potenciale është konstante, domethënë ruhet energjia totale mekanike e sistemit. Në procesin e dridhjes, energjia kinetike dhe energjia potenciale transformohen vazhdimisht në njëra-tjetrën.
Dridhja e amortizimit
Një dridhje amplituda e së cilës zbutet vazhdimisht nga fërkimi dhe rezistenca dielektrike ose konsumi tjetër i energjisë. Për dridhjet mikro, shpejtësia në përgjithësi nuk është shumë e madhe dhe rezistenca mesatare është proporcionale me shpejtësinë ndaj fuqisë së parë, e cila mund të shkruhet si c koeficienti i amortizimit. Prandaj, ekuacioni i vibrimit të një shkalle lirie me amortizimin linear mund të shkruhet si:
(2)Ku, m =c/2m quhet parametri i amortizimit dhe. Zgjidhja e përgjithshme e formulës (2) mund të shkruhet:
(3)Marrëdhënia numerike midis omega n dhe PI mund të ndahet në tre rastet e mëposhtme:
N > (në rastin e amortizimit të vogël) dridhje të dobësimit të prodhuar nga grimcat, ekuacioni i dridhjes është:
Amplituda e saj zvogëlohet me kalimin e kohës sipas ligjit eksponencial të treguar në ekuacion, siç tregohet në vijën me pika në Fig. 3. Në mënyrë të rreptë, kjo dridhje është aperiodike, por frekuenca e kulmit të saj mund të përkufizohet si:
Quhet shkalla e zvogëlimit të amplitudës, ku është periudha e dridhjes. Logaritmi natyror i shkallës së zvogëlimit të amplitudës quhet norma e logaritmit minus (amplitudë). Natyrisht, =, në këtë rast, është e barabartë me 2/1. Direkt përmes test eksperimental delta dhe, duke përdorur formulën e mësipërme mund të llogaritet c.
Në këtë kohë, zgjidhja e ekuacionit (2) mund të shkruhet:
Së bashku me drejtimin e shpejtësisë fillestare, ajo mund të ndahet në tre raste pa dridhje siç tregohet në Fig. 4.
N < (në rastin e amortizimit të madh), zgjidhja e ekuacionit (2) tregohet në ekuacionin (3). Në këtë pikë, sistemi nuk po vibron më.
Dridhje e detyruar
Dridhja e një sistemi nën ngacmim të vazhdueshëm. Analiza e dridhjeve hulumton kryesisht përgjigjen e sistemit ndaj ngacmimit. Ngacmimi periodik është një ngacmim tipik i rregullt. Meqenëse ngacmimi periodik gjithmonë mund të zbërthehet në shumën e disa ngacmimeve harmonike, sipas parimit të mbivendosjes, vetëm kërkohet përgjigja e sistemit ndaj çdo ngacmimi harmonik. Nën veprimin e ngacmimit harmonik, ekuacioni diferencial i lëvizjes së një të vetme shkalla e lirisë sistemi i zbutur mund të shkruhet:
Përgjigja është shuma e dy pjesëve. Një pjesë është përgjigja e dridhjeve të amortizuara, e cila prishet shpejt me kalimin e kohës. Përgjigja e një pjese tjetër të dridhjes së detyruar mund të shkruhet:
FIG. 3 kurba e dridhjeve të amortizuara
FIG. 4 kthesa të tre kushteve fillestare me amortizimin kritik
Shkruani në
H /F0= h (), është raporti i amplitudës së përgjigjes së qëndrueshme ndaj amplitudës së ngacmimit, që karakterizon karakteristikat amplitudë-frekuencë, ose funksionin e fitimit; Bitët për përgjigjen e gjendjes së qëndrueshme dhe nxitjen e fazës, karakterizimin e karakteristikave të frekuencës së fazës. Lidhja ndërmjet tyre dhe Frekuenca e ngacmimit tregohet në Fig. 5 dhe Fig. 6.
Siç shihet nga kurba amplitudë-frekuencë (Fig. 5), në rastin e amortizimit të vogël, kurba amplitudë-frekuencë ka një kulm të vetëm. Sa më i vogël të jetë amortizimi, aq më i pjerrët është kulmi; Frekuenca që i korrespondon pikut është quhet frekuenca rezonante e sistemit. Në rastin e amortizimit të vogël, frekuenca e rezonancës nuk është shumë e ndryshme nga frekuenca natyrore. Kur frekuenca e ngacmimit është afër në frekuencën natyrore, amplituda rritet ndjeshëm. Ky fenomen quhet rezonancë. Në rezonancë, fitimi i sistemit maksimizohet, domethënë vibrimi i detyruar është më intensivi. Prandaj, në përgjithësi, gjithmonë përpiquni të shmangni rezonancën, përveç nëse disa instrumente dhe pajisje për të përdorur rezonancë të madhe dridhje.
FIG. Lakorja e frekuencës me 5 amplitudë
Mund të shihet nga kurba e frekuencës së fazës (figura 6), pavarësisht nga madhësia e amortizimit, në bitet e diferencës fazore omega zero = PI / 2, kjo karakteristikë mund të përdoret në mënyrë efektive në matjen e rezonancës.
Përveç ngacmimit të qëndrueshëm, sistemet ndonjëherë ndeshen me ngacmim të paqëndrueshëm. Mund të ndahet përafërsisht në dy lloje: njëri është ndikimi i papritur. E dyta është efekti i qëndrueshëm i arbitraritetit. Nën ngacmimin e paqëndrueshëm, përgjigja e sistemit është gjithashtu e paqëndrueshme.
Një mjet i fuqishëm për analizimin e dridhjeve të paqëndrueshme është metoda e përgjigjes së impulsit. Ajo përshkruan karakteristikat dinamike të sistemit me përgjigjen kalimtare të hyrjes së impulsit të njësisë së sistemit. Impulsi i njësisë mund të shprehet si një funksion delta. Në inxhinieri, delta funksioni shpesh përkufizohet si:
Ku 0- përfaqëson pikën në boshtin t që i afrohet zeros nga e majta; 0 plus është pika që shkon në 0 nga e djathta.
FIG. Kurba e frekuencës 6 fazore
FIG. 7 çdo hyrje mund të konsiderohet si shuma e një serie elementësh impulsi
Sistemi korrespondon me përgjigjen h(t) të gjeneruar nga impulsi i njësisë në t=0, i cili quhet funksioni i përgjigjes së impulsit. Duke supozuar se sistemi është i palëvizshëm përpara pulsit, h(t)=0 për t<0. Duke ditur funksioni i përgjigjes së impulsit të sistemit, ne mund të gjejmë përgjigjen e sistemit ndaj çdo hyrje x(t). Në këtë pikë, ju mund të mendoni për x(t) si shuma e një serie elementësh impulsi (Fig. 7). Përgjigja e sistemit është:
Bazuar në parimin e mbivendosjes, përgjigja totale e sistemit që korrespondon me x(t) është:
Ky integral quhet integral konvolucioni ose integral i mbivendosjes.
Vibrimi linear i një sistemi me shumë shkallë lirie
Dridhja e një sistemi linear me n≥2 gradë lirie.
Figura 8 tregon dy nënsisteme të thjeshta rezonante të lidhura nga një sustë bashkuese. Për shkak se është një sistem me dy shkallë lirie, nevojiten dy koordinata të pavarura për të përcaktuar pozicionin e tij. Ekzistojnë dy frekuenca natyrore në këtë sistem:
Çdo frekuencë korrespondon me një mënyrë dridhjeje. Oscilatorët harmonikë kryejnë lëkundje harmonike të së njëjtës frekuencë, duke kaluar në mënyrë sinkrone në pozicionin e ekuilibrit dhe duke arritur sinkronisht në pozicionin ekstrem. Në dridhjen kryesore që korrespondon me omega një, x1 është e barabartë me x2; vibrimi kryesor që korrespondon me omega omega dy, omega omega një. Në dridhjen kryesore, raporti i zhvendosjes së secilës masë mban një lidhje të caktuar dhe formon një mënyrë të caktuar, e cila quhet mënyra kryesore ose mënyra natyrore. Ortogonaliteti i masës dhe ngurtësisë ekziston midis mënyrave kryesore, që pasqyron pavarësinë e çdo dridhjeje. Frekuenca natyrore dhe modaliteti kryesor përfaqëson karakteristikat e natyrshme të vibrimit të sistemit me shumë shkallë të lirisë.
FIG. 8 sistem me shkallë të shumta lirie
Një sistem me n shkallë lirie ka n frekuenca natyrore dhe n mënyra kryesore. Çdo konfigurim vibrimi i sistemit mund të përfaqësohet si një kombinim linear i mënyrave kryesore. Prandaj, metoda e mbivendosjes së modalitetit kryesor përdoret gjerësisht në analizën e reagimit dinamik të shumëfishtë - sistemet dof. Në këtë mënyrë, matja dhe analiza e karakteristikave natyrore të vibrimit të sistemit bëhet një hap rutinë në projektimin dinamik të sistemit.
Karakteristikat dinamike të sistemeve multi-dof mund të përshkruhen edhe nga karakteristikat e frekuencës. Meqenëse ekziston një funksion karakteristik i frekuencës midis çdo hyrje dhe dalje, është ndërtuar një matricë karakteristike e frekuencës. Kurba karakteristike amplitudë-frekuencë e sistemit me shumë liri është e ndryshme nga ai i sistemit me liri të vetme.
Elastomeri vibron
S një numër i pafund i mënyrave përkatëse, dhe ka ortogonalitet midis mënyrave të masës dhe ngurtësisë. Çdo vibrues konfigurimi i elastomerit mund të përfaqësohet edhe si një mbivendosje lineare e mënyrave kryesore. Prandaj, për analizën e përgjigjes dinamike të elastomerit, metoda e mbivendosjes së modës kryesore është ende e zbatueshme (shih dridhjen lineare të elastomerit).
Merrni dridhjen e një vargu. Le të themi se një varg i hollë me masë m për njësi gjatësi, i gjatë l, është i tensionuar në të dy skajet, dhe tensioni është T. Në këtë kohë, frekuenca natyrore e vargut përcaktohet nga sa vijon ekuacioni:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Ku, është shpejtësia e përhapjes së valës tërthore përgjatë drejtimit të vargut. Frekuencat natyrore të vargjeve ndodh të jenë shumëfisha të frekuencës themelore mbi 2l. Ky numër i plotë i shumëfishtë çon në një strukturë të këndshme harmonike. Në përgjithësi, nuk ka një lidhje e tillë e shumëfishtë e plotë midis frekuencave natyrore të elastomerit.
Tre mënyrat e para të vargut të tensionuar janë paraqitur në Fig. 9. Ka disa nyje në lakoren e modalitetit kryesor.Në vibrimin kryesor, nyjet nuk dridhen.FIG. 10 tregon disa mënyra tipike të pllakës rrethore të mbështetur në mënyrë rrethore me disa linja nodale të përbëra nga rrathë dhe diametra.
Formulimi i saktë i problemit të dridhjeve të elastomerit mund të konkludohet si problemi i vlerës kufitare të ekuacioneve diferenciale të pjesshme. Megjithatë, zgjidhja e saktë mund të gjendet vetëm në disa nga rastet më të thjeshta, kështu që duhet t'i drejtohemi zgjidhjes së përafërt për elastomerin kompleks. problemi i dridhjeve. Thelbi i zgjidhjeve të ndryshme të përafërta është të ndryshohet e pafundmeja në të fundme, domethënë të diskretizohet Sistemi me shumë shkallë lirie pa gjymtyrë (sistemi i vazhdueshëm) në një sistem të kufizuar me shumë shkallë lirie (sistemi diskret). Ekzistojnë dy lloje të metodave të diskretimit të përdorura gjerësisht në analizën inxhinierike: metoda e elementeve të fundme dhe metoda e sintezës modale.
FIG. 9 mënyra e vargut
FIG. 10 mënyra e pllakës rrethore
Metoda e elementeve të fundme është një strukturë e përbërë e cila abstrakton një strukturë komplekse në një numër të caktuar elementësh dhe i lidh ato në një numër të fundëm nyjesh. Çdo njësi është një elastomer; Zhvendosja e shpërndarjes së elementit shprehet me funksionin e interpolimit të zhvendosjes së nyjeve. Më pas Parametrat e shpërndarjes së secilit element përqendrohen në secilën nyje në një format të caktuar dhe fitohet modeli mekanik i sistemit diskret.
Sinteza modale është zbërthimi i një strukture komplekse në disa nënstruktura më të thjeshta. Në bazë të të kuptuarit të karakteristikave të dridhjeve të çdo nënstrukture, nënstruktura sintetizohet në një strukturë të përgjithshme sipas kushteve të koordinimit në ndërfaqe dhe morfologjisë së dridhjeve të përgjithshme. struktura përftohet duke përdorur morfologjinë e vibrimit të çdo nënstrukture.
Të dy metodat janë të ndryshme dhe të lidhura, dhe mund të përdoren si referencë. Metoda e sintezës modale gjithashtu mund të kombinohet në mënyrë efektive me matjen eksperimentale për të formuar një metodë analize teorike dhe eksperimentale për dridhjet e sistemeve të mëdha.
Koha e postimit: Prill-03-2020
