Линеарне вибрације: еластичност компоненти у систему подлеже Хуковом закону, а сила пригушења настала током кретања је пропорционална првој једначини генерализоване брзине (временски извод генерализованих координата).
концепт
Линеарни систем је обично апстрактни модел вибрације реалног система. Линеарни вибрациони систем примењује принцип суперпозиције, односно ако је одзив система и1 под дејством улаза к1, а и2 под дејством улаза к2, тада је одзив система под дејством улаза к1 и к2 и1+и2.
На основу принципа суперпозиције, произвољни улаз се може разложити у збир низа инфинитезималних импулса, а затим се може добити укупан одзив система. Збир хармонијских компоненти периодичне побуде може се проширити у серије хармонијских компоненти Фуријеовом трансформацијом, а ефекат сваке хармонијске компоненте на систем се може посебно истраживати. Дакле, карактеристике одзива линеарних система са константним параметри се могу описати импулсним или фреквентним одзивом.
Импулсни одзив се односи на одговор система на јединични импулс, који карактерише карактеристике одзива система у временском домену. Фреквентни одзив се односи на карактеристику одзива система на јединични хармонички улаз. Одређује се кореспонденција између њих. Фуријеовом трансформацијом.
класификација
Линеарне вибрације се могу поделити на линеарне вибрације система са једним степеном слободе и линеарне вибрације система са више степени слободе.
(1) линеарна вибрација система са једним степеном слободе је линеарна вибрација чији се положај може одредити генерализованом координатом. То је најједноставнија вибрација из које се могу извести многи основни појмови и карактеристике вибрација. хармоничне вибрације, слободне вибрације, пригушене вибрације и принудне вибрације.
Једноставна хармонијска вибрација: повратно кретање објекта у близини његовог равнотежног положаја према синусоидном закону под дејством повратне силе пропорционалне његовом померању.
Пригушена вибрација: вибрација чија се амплитуда континуирано смањује присуством трења и диелектричног отпора или друге потрошње енергије.
Присилна вибрација: вибрација система под сталном побудом.
(2) линеарна вибрација система са више степени слободе је вибрација линеарног система са н≥2 степена слободе. Систем од н степена слободе има н природних фреквенција и н главних модова. Било која конфигурација вибрације система се може представити као линеарна комбинација главних модова. Стога се метода суперпозиције главног мода широко користи у анализи динамичког одзива мулти-доф система. На овај начин, мерење и анализа карактеристика природних вибрација система постаје рутински корак у динамичком пројектовању система. Динамичке карактеристике система са више доф могу се описати и фреквентним карактеристикама. Пошто постоји фреквентне карактеристике између сваког улаза и излаза, конструише се матрица фреквенцијских карактеристика. Постоји дефинитиван однос између фреквенцијске карактеристике и главног мода. Крива амплитудно-фреквентне карактеристике систем више слобода се разликује од система са једном слободом.
Линеарна вибрација система са једним степеном слободе
Линеарна вибрација у којој се положај система може одредити генерализованом координатом. То је најједноставнија и најосновнија вибрација из које се могу извести многи основни концепти и карактеристике вибрација. Обухвата једноставну хармонску вибрацију, пригушену вибрацију и присилну вибрацију .
Хармоничне вибрације
Под дејством повратне силе пропорционалне померању, објекат се узвраћа на синусоидан начин у близини свог равнотежног положаја (слика 1). Кс представља померање, а т представља време. Математички израз ове вибрације је:
(1)Где је А максимална вредност померања к, која се назива амплитуда и представља интензитет вибрације; Омега н је повећање угла амплитуде вибрације у секунди, која се назива угаона фреквенција или кружна фреквенција; се назива почетна фаза. У смислу ф= н/2, број осцилација у секунди се назива фреквенција; Инверзна од овога, Т=1/ф, је време које је потребно за осциловање једног циклуса, а то се зове период. Амплитуда А, фреквенција ф (или угаона фреквенција н), почетна фаза, позната као једноставна хармонијска вибрација три елемента.
Фиг. 1 једноставна крива хармонијских вибрација
Као што је приказано на Сл. 2, једноставан хармонијски осцилатор формира концентрисана маса м повезана линеарном опругом. Када се померање вибрације израчуна из равнотежног положаја, једначина вибрација је:
Где је крутост опруге.Опште решење горње једначине је (1).А и може се одредити почетним положајем к0 и почетном брзином при т=0:
Али омега н је одређена само карактеристикама самог система м и к, независно од додатних почетних услова, па је омега н позната и као природна фреквенција.
Фиг. 2 систем са једним степеном слободе
За једноставан хармонијски осцилатор, збир његове кинетичке енергије и потенцијалне енергије је константан, односно укупна механичка енергија система је очувана. У процесу вибрације, кинетичка енергија и потенцијална енергија се константно претварају једна у другу.
Пригушење вибрација
Вибрација чија се амплитуда континуирано смањује трењем и диелектричним отпором или другом потрошњом енергије. За микро вибрације, брзина генерално није велика, а средњи отпор је пропорционалан брзини на првом степену, који се може написати као ц је коефицијент пригушења. Дакле, једначина вибрација једног степена слободе са линеарним пригушењем може се написати као:
(2)При чему се м =ц/2м назива параметар пригушења, и. Опште решење формуле (2) се може написати:
(3)Нумерички однос између омега н и ПИ може се поделити у следећа три случаја:
Н > (у случају малог пригушења) вибрација која је створила пригушење, једначина вибрација је:
Његова амплитуда опада са временом према експоненцијалном закону приказаном у једначини, као што је приказано испрекиданом линијом на Сл. 3. Строго говорећи, ова вибрација је апериодична, али фреквенција њеног врха се може дефинисати као:
Зове се стопа смањења амплитуде, где је период вибрације. Природни логаритам брзине смањења амплитуде назива се логаритам минус (амплитуда) брзина. Очигледно, = је у овом случају једнако 2/1. Директно кроз експериментални тест делта и, користећи горњу формулу, може се израчунати ц.
У овом тренутку, решење једначине (2) се може написати:
Заједно са смером почетне брзине, може се поделити на три случаја без вибрација као што је приказано на Сл. 4.
Н < (у случају великог пригушења), решење једначине (2) је приказано у једначини (3). У овом тренутку систем више не вибрира.
Присилна вибрација
Вибрација система под константном побудом. Анализа вибрација углавном истражује одговор система на побуду. Периодична побуда је типична регуларна побуда. Пошто се периодична побуда увек може разложити у збир више хармонијских побуда, према принципу суперпозиције, само потребан је одговор система на сваку хармонијску побуду. Под дејством хармонијске побуде, диференцијална једначина кретање пригушеног система са једним степеном слободе може се написати:
Одговор је збир два дела. Један део је одговор пригушене вибрације, која брзо опада током времена. Одговор другог дела принудне вибрације се може написати:
Фиг. 3 пригушена крива вибрација
Фиг. 4 криве три почетна услова са критичним пригушењем
Укуцајте
Х /Ф0= х (), је однос амплитуде стабилног одзива и амплитуде побуде, карактеришући амплитудно-фреквентне карактеристике, или функцију појачања; Битови за стабилно стање одзива и подстицај фазе, карактеризација фазних фреквенцијских карактеристика. Однос између њих и фреквенција побуде је приказана на Сл. 5 и сл. 6.
Као што се може видети из криве амплитуда-фреквенција (слика 5), у случају малог пригушења, крива амплитуда-фреквенција има један пик. Што је пригушење мање, то је врх стрмији; Фреквенција која одговара врхунцу је назива се резонантна фреквенција система. У случају малог пригушења, резонантна фреквенција се не разликује много од природне фреквенције. Када је фреквенција побуде близу до природне фреквенције, амплитуда се нагло повећава. Ова појава се зове резонанција. На резонанцији, појачање система је максимизирано, односно принудна вибрација је најинтензивнија. Због тога, генерално, увек тежите да избегнете резонанцију, осим ако неки инструменти и опрема не користе резонанцију за постизање великих вибрација.
Фиг. 5 крива амплитудне фреквенције
Може се видети из криве фазне фреквенције (слика 6), без обзира на величину пригушења, у битовима омега нула фазне разлике = ПИ / 2, ова карактеристика се може ефикасно користити у мерењу резонанције.
Поред стабилне ексцитације, системи се понекад сусрећу са нестабилном побудом. Може се грубо поделити на два типа: један је изненадни удар. Други је трајни ефекат произвољности. Под нестабилном побудом, одговор система је такође нестабилан.
Моћан алат за анализу нестабилних вибрација је метода импулсног одзива. Она описује динамичке карактеристике система са пролазним одзивом јединичног импулсног улаза система. Јединични импулс се може изразити као делта функција. У инжењерству, делта функција се често дефинише као:
Где 0- представља тачку на т-оси која се приближава нули са леве стране; 0 плус је тачка која иде ка 0 са десне стране.
Фиг. 6 фазна фреквенцијска крива
Фиг. 7 било који улаз се може сматрати збиром низа импулсних елемената
Систем одговара одговору х(т) генерисаном јединичним импулсом при т=0, који се назива функција импулсног одзива. Под претпоставком да је систем стационаран пре импулса, х(т)=0 за т<0. функцију импулсног одзива система, можемо пронаћи одговор система на било који улаз к(т). У овом тренутку, можете замислити к(т) као збир низа импулсних елемената (Слика 7). Одговор система је:
На основу принципа суперпозиције, укупни одговор система који одговара к(т) је:
Овај интеграл се назива конволуцијски интеграл или интеграл суперпозиције.
Линеарна вибрација система са више степени слободе
Вибрација линеарног система са н≥2 степена слободе.
На слици 8 приказана су два једноставна резонантна подсистема повезана спојном опругом. Пошто је то систем са два степена слободе, потребне су две независне координате да би се одредио његов положај. У овом систему постоје две природне фреквенције:
Свака фреквенција одговара моду вибрације. Хармонски осцилатори врше хармонијске осцилације исте фреквенције, синхроно пролазећи кроз равнотежни положај и синхроно достижући крајњи положај. У главној вибрацији која одговара омега један, к1 је једнако к2;Ин главна вибрација која одговара омега омега два, омега омега један. У главној вибрацији, однос померања сваке масе одржава одређени однос и формира одређени мод, који се назива главни мод или природни мод. Ортогоналност масе и крутости постоји међу главним модовима, што одражава независност сваке вибрације. Природна фреквенција и главни мод представљају инхерентне карактеристике вибрација система са више степени слободе.
Фиг. 8 систем са више степени слободе
Систем од н степена слободе има н природних фреквенција и н главних модова. Било која конфигурација вибрација система може се представити као линеарна комбинација главних модова. Због тога се метода суперпозиције главног мода широко користи у анализи динамичког одзива вишеструких -доф системи. На овај начин мерење и анализа карактеристика природних вибрација система постаје рутински корак у динамичком пројектовању система.
Динамичке карактеристике мулти-доф система се такође могу описати фреквентним карактеристикама. Пошто постоји функција фреквенцијске карактеристике између сваког улаза и излаза, конструисана је матрица фреквенцијских карактеристика. од оног система једне слободе.
Еластомер вибрира
Горњи систем са више степени слободе је приближни механички модел еластомера. Еластомер има бесконачан број степена слободе. Постоји квантитативна разлика, али нема суштинске разлике између та два. Сваки еластомер има бесконачан број природних фреквенција и бесконачан број одговарајућих модова, и постоји ортогоналност између модова масе и крутости. Било која вибрациона конфигурација еластомер се такође може представити као линеарна суперпозиција главних модова. Према томе, за анализу динамичког одзива еластомера, метода суперпозиције главног мода је и даље применљива (види линеарне вибрације еластомера).
Узмимо вибрацију жице. Рецимо да је танка струна масе м по јединици дужине, дуга л, затегнута на оба краја, а затегнутост је Т. У овом тренутку, природна фреквенција жице је одређена на следећи начин једначина:
Ф =на/2л (н= 1,2,3…).
Где је брзина простирања попречног таласа дуж правца жице. Природне фреквенције жица су вишекратне основне фреквенције преко 2л. Ова целобројна вишеструкост доводи до пријатне хармонијске структуре. Генерално, не постоји такав целобројни вишеструки однос између природних фреквенција еластомера.
Прва три начина затегнуте жице су приказана на Сл. 9. Постоје неки чворови на кривој главног режима. У главној вибрацији, чворови не вибрирају. Сл. 10 приказује неколико типичних облика кружне плоче ослоњене по ободу са неким чворним линијама састављеним од кругова и пречника.
Тачна формулација проблема вибрација еластомера може се закључити као гранични проблем парцијалних диференцијалних једначина. Међутим, тачно решење се може наћи само у неким од најједноставнијих случајева, тако да морамо прибегавати апроксимативном решењу за сложени еластомер. проблем вибрација. Суштина различитих приближних решења је да се бесконачно промени у коначно, односно да се дискретизује Вишестепени систем слободе без екстремитета (континуирани систем) у коначни систем са више степени слободе (дискретни систем). Постоје две врсте метода дискретизације које се широко користе у инжењерској анализи: метода коначних елемената и метода модалне синтезе.
Фиг. 9 начин низа
Фиг. 10 режим кружне плоче
Метода коначних елемената је композитна структура која апстрахује сложену структуру у коначан број елемената и повезује их на коначан број чворова. Свака јединица је еластомер; Померање дистрибуције елемента се изражава интерполационом функцијом померања чвора. дистрибутивни параметри сваког елемента се концентришу на сваки чвор у одређеном формату и добија се механички модел дискретног система.
Модална синтеза је декомпозиција сложене структуре на неколико једноставнијих подструктура. На основу разумевања вибрационих карактеристика сваке подструктуре, подструктура се синтетише у општу структуру према условима координације на интерфејсу, а вибрационе морфологије опште структура се добија коришћењем морфологије вибрација сваке подконструкције.
Две методе су различите и повезане, и могу се користити као референца. Метода модалне синтезе се такође може ефикасно комбиновати са експерименталним мерењем како би се формирала теоретска и експериментална метода анализе вибрација великих система.
Време поста: 03.04.2020
