Vad är linjär vibration?

Linjär vibration: elasticiteten hos komponenter i systemet är föremål för hookens lag, och dämpningskraften som genereras under rörelsen är proportionell mot den första ekvationen av den generaliserade hastigheten (tidsderivata av de generaliserade koordinaterna).

begrepp

Linjärt system är vanligtvis en abstrakt modell av vibrationen i det verkliga systemet. Det linjära vibrationssystemet tillämpar superpositionsprincipen, det vill säga om systemets svar är y1 under verkan av ingången x1, och y2 under verkan av ingången x2, då är systemets svar under verkan av ingången x1 och x2 y1+y2.

På basis av superpositionsprincipen kan en godtycklig ingång delas upp i summan av en serie oändliga impulser, och sedan kan systemets totala respons erhållas. Summan av de harmoniska komponenterna i en periodisk excitation kan expanderas till en serier av övertonskomponenter genom Fouriertransform, och effekten av varje övertonskomponent på systemet kan undersökas separat. Därför kan responsegenskaperna hos linjära system med konstanta parametrar beskrivas med impulssvar eller frekvenssvar.

Impulssvar avser systemets svar på enhetsimpulsen, vilket kännetecknar systemets svarskarakteristika i tidsdomänen. Frekvenssvar avser systemets responskarakteristik för enhetens harmoniska ingång. Överensstämmelsen mellan de två bestäms genom Fouriertransformen.

klassificering

Linjär vibration kan delas in i linjär vibration av system med en frihetsgrad och linjär vibration av system med flera frihetsgrader.

(1) linjär vibration i ett system med en frihetsgrad är en linjär vibration vars position kan bestämmas av en generaliserad koordinat. Det är den enklaste vibrationen från vilken många grundläggande begrepp och egenskaper för vibration kan härledas. Den inkluderar enkla harmonisk vibration, fri vibration, dämpningsvibration och forcerad vibration.

Enkel harmonisk vibration: den fram- och återgående rörelsen av ett föremål i närheten av dess jämviktsposition enligt en sinusformad lag under verkan av en återställande kraft som är proportionell mot dess förskjutning.

Dämpad vibration: vibration vars amplitud ständigt dämpas av närvaron av friktion och dielektriskt motstånd eller annan energiförbrukning.

Forcerad vibration: vibration av ett system under konstant excitation.

(2) den linjära vibrationen i systemet med flera frihetsgrader är vibrationen i det linjära systemet med n≥2 frihetsgrader. Ett system med n frihetsgrader har n naturliga frekvenser och n huvudlägen. Alla vibrationskonfigurationer av systemet kan representeras som en linjär kombination av huvudlägena. Därför används huvudlägesöverlagringsmetoden i stor utsträckning vid dynamisk responsanalys av multi-dof-system. På detta sätt kan mätning och analys av de naturliga vibrationsegenskaperna hos systemet blir ett rutinsteg i den dynamiska designen av systemet. De dynamiska egenskaperna hos multi-dof-system kan också beskrivas med frekvenskarakteristika. Eftersom det finns en frekvenskarakteristisk funktion mellan varje ingång och utgång, konstrueras en frekvenskarakteristisk matris. är ett bestämt samband mellan frekvenskarakteristiken och huvudmoden. Amplitud-frekvenskarakteristiken för multifrihetssystemet skiljer sig från den för enkelfrihetssystemet.

Linjär vibration av ett system med en enda frihetsgrad

En linjär vibration där positionen för ett system kan bestämmas av en generaliserad koordinat. Det är den enklaste och mest grundläggande vibrationen från vilken många grundläggande begrepp och egenskaper hos vibrationer kan härledas. Den inkluderar enkel harmonisk vibration, dämpad vibration och forcerad vibration .

Harmonisk vibration

Under verkan av att återställa kraften proportionell mot förskjutningen, rör sig föremålet på ett sinusformigt sätt nära dess jämviktsläge (fig. 1). X representerar förskjutningen och t representerar tiden. Det matematiska uttrycket för denna vibration är:

(1)Där A är det maximala värdet av förskjutningen x, som kallas amplituden, och representerar vibrationens intensitet;Omega n är amplitudvinkelökningen för vibrationen per sekund, vilket kallas vinkelfrekvensen, eller den cirkulära frekvensen; kallas den initiala fasen. I termer av f= n/2 kallas antalet svängningar per sekund för frekvensen; Inversen av detta, T=1/f, är den tid det tar att svänga en cykel, och det kallas perioden. Amplitud A, frekvens f (eller vinkelfrekvens n), den initiala fasen, känd som enkel harmonisk vibration tre element.

FIKON. 1 enkel harmonisk vibrationskurva

Såsom visas i FIG. 2 bildas en enkel övertonsoscillator av den koncentrerade massan m ansluten av en linjär fjäder. När vibrationsförskjutningen beräknas från jämviktspositionen är vibrationsekvationen:

Var är fjäderns styvhet. Den allmänna lösningen till ovanstående ekvation är (1).A och kan bestämmas av initialpositionen x0 och initialhastigheten vid t=0:

Men omega n bestäms bara av egenskaperna hos själva systemet m och k, oberoende av de ytterligare initiala förhållandena, så omega n är också känt som den naturliga frekvensen.

FIKON. 2 enkla frihetsgraderssystem

För en enkel harmonisk oscillator är summan av dess kinetiska energi och potentiella energi konstant, det vill säga systemets totala mekaniska energi bevaras. I vibrationsprocessen omvandlas kinetisk energi och potentiell energi ständigt till varandra.

Den dämpande vibrationen

En vibration vars amplitud kontinuerligt dämpas av friktion och dielektriskt motstånd eller annan energiförbrukning. För mikrovibrationer är hastigheten i allmänhet inte särskilt stor, och medelresistansen är proportionell mot hastigheten till den första potensen, vilket kan skrivas som c är dämpningskoefficienten. Därför kan vibrationsekvationen för en frihetsgrad med linjär dämpning skrivas som:

(2)Där m =c/2m kallas dämpningsparametern, och. Den allmänna lösningen av formel (2) kan skrivas:

(3)Det numeriska sambandet mellan omega n och PI kan delas in i följande tre fall:

N > (vid små dämpande) partikelproducerade dämpningsvibrationer, är vibrationsekvationen:

Dess amplitud minskar med tiden enligt den exponentiella lagen som visas i ekvationen, som visas med den streckade linjen i FIG. 3. Strängt taget är denna vibration aperiodisk, men frekvensen av dess topp kan definieras som:

Kallas amplitudreduktionshastigheten, där är vibrationsperioden. Den naturliga logaritmen för amplitudreduktionshastigheten kallas logaritmen minus (amplitud)hastigheten. Uppenbarligen är =, i det här fallet, lika med 2/1.Direkt genom experimentellt test delta och, med hjälp av ovanstående formel kan beräknas c.

Vid denna tidpunkt kan lösningen av ekvation (2) skrivas:

Tillsammans med initialhastighetens riktning kan den delas upp i tre icke-vibrationsfall, såsom visas i FIG. 4.

N < (vid stor dämpning) visas lösningen till ekvation (2) i ekvation (3). Vid denna tidpunkt vibrerar systemet inte längre.

Forcerad vibration

Vibration av ett system under konstant excitation.Vibrationsanalys undersöker huvudsakligen systemets svar på excitation.Periodisk excitation är en typisk regelbunden excitation.Eftersom periodisk excitation alltid kan delas upp i summan av flera harmoniska excitationer, enligt superpositionsprincipen, endast systemets svar på varje harmonisk excitation krävs. Under verkan av harmonisk excitation kan differentialekvationen för rörelse för ett enda frihetsgradsdämpat system skrivas:

Svaret är summan av två delar. En del är svaret av dämpad vibration, som avtar snabbt med tiden. Svaret för en annan del av forcerad vibration kan skrivas:

FIKON. 3 dämpad vibrationskurva

FIKON. 4 kurvor av tre initiala tillstånd med kritisk dämpning

Skriv in

H /F0= h (), är förhållandet mellan konstant svarsamplitud och excitationsamplitud, karakteriserande amplitud-frekvenskarakteristika eller förstärkningsfunktion; Bitar för stationär respons och fasincitament, karakterisering av fasfrekvenskarakteristika. Relationen mellan dem och excitationsfrekvensen visas i FIG. 5 och FIG. 6.

Som framgår av amplitud-frekvenskurvan (FIG. 5) har amplitud-frekvenskurvan vid liten dämpning en enda topp. Ju mindre dämpningen är, desto brantare är toppen; Frekvensen som motsvarar toppen är kallas systemets resonansfrekvens. Vid liten dämpning skiljer sig inte resonansfrekvensen mycket från egenfrekvensen. När excitationsfrekvensen ligger nära egenfrekvensen ökar amplituden kraftigt. Detta fenomen kallas resonans.Vid resonans är förstärkningen av systemet maximerad, det vill säga den påtvingade vibrationen är den mest intensiva.Därför, i allmänhet, sträva alltid efter att undvika resonans, om inte vissa instrument och utrustning för att använda resonans för att uppnå stor vibration.

FIKON. 5 amplitud frekvenskurva

Kan ses från fasfrekvenskurvan (figur 6), oavsett storlek på dämpningen, i omega noll fasskillnadsbitar = PI / 2, kan denna egenskap effektivt användas för att mäta resonans.

Förutom stadig excitation stöter system ibland på ostadig excitation. Den kan grovt delas in i två typer: den ena är den plötsliga effekten. Den andra är den bestående effekten av godtycke. Under ostadig excitation är systemets reaktion också ostadig.

Ett kraftfullt verktyg för att analysera ostadiga vibrationer är impulssvarsmetoden. Den beskriver systemets dynamiska egenskaper med det transienta svaret från systemets enhetsimpulsingång. Enhetsimpulsen kan uttryckas som en deltafunktion.Inom tekniken är delta funktion definieras ofta som:

Där 0- representerar punkten på t-axeln som närmar sig noll från vänster; 0 plus är punkten som går till 0 från höger.

FIKON. 6-fas frekvenskurva

FIKON. 7 kan vilken ingång som helst betraktas som summan av en serie impulselement

Systemet motsvarar det gensvar h(t) som genereras av enhetsimpulsen vid t=0, vilket kallas impulssvarsfunktionen. Om man antar att systemet är stationärt före pulsen, är h(t)=0 för t<0. systemets impulssvarsfunktion kan vi hitta systemets svar på valfri ingång x(t). Vid denna punkt kan du tänka på x(t) som summan av en serie impulselement (FIG. 7) . Systemets svar är:

Baserat på superpositionsprincipen är systemets totala respons som motsvarar x(t):

Denna integral kallas en faltningsintegral eller en superpositionsintegral.

Linjär vibration av ett system med flera frihetsgrader

Vibration av ett linjärt system med n≥2 frihetsgrader.

Figur 8 visar två enkla resonansdelsystem sammankopplade med en kopplingsfjäder. Eftersom det är ett system med två frihetsgrader behövs två oberoende koordinater för att bestämma dess position. Det finns två naturliga frekvenser i detta system:

Varje frekvens motsvarar ett vibrationssätt. Övertonsoscillatorerna utför övertonssvängningar med samma frekvens, passerar synkront genom jämviktsläget och når ytterläget synkront. I huvudvibrationen som motsvarar omega ett är x1 lika med x2;In huvudvibrationen som motsvarar omega omega två, omega omega ett.I huvudvibrationen håller förskjutningsförhållandet för varje massa ett visst förhållande och bildar ett visst läge, som kallas huvudläget eller det naturliga läget. Massans ortogonalitet och styvhet finns bland huvudlägena, vilket återspeglar oberoendet för varje vibration. Den naturliga frekvensen och huvudläget representerar de inneboende vibrationsegenskaperna hos systemet med flera frihetsgrader.

FIKON. 8-system med flera frihetsgrader

Ett system med n frihetsgrader har n naturliga frekvenser och n huvudlägen. Alla vibrationskonfigurationer av systemet kan representeras som en linjär kombination av huvudlägena. Därför används huvudlägesöverlagringsmetoden i stor utsträckning vid dynamisk responsanalys av multi -dof systems.På detta sätt blir mätningen och analysen av systemets naturliga vibrationsegenskaper ett rutinsteg i systemets dynamiska design.

De dynamiska egenskaperna hos multi-dof-system kan också beskrivas med frekvenskarakteristika. Eftersom det finns en frekvenskarakteristisk funktion mellan varje ingång och utgång, konstrueras en frekvenskarakteristisk matris. Amplitud-frekvenskarakteristikkurvan för multifrihetssystemet är annorlunda från systemet med singelfrihet.

Elasten vibrerar

Ovanstående multi-frihetsgradssystem är en ungefärlig mekanisk modell av elastomer. En elastomer har ett oändligt antal frihetsgrader. Det finns en kvantitativ skillnad men ingen väsentlig skillnad mellan de två. Varje elastomer har ett oändligt antal naturliga frekvenser och ett oändligt antal motsvarande moder, och det finns ortogonalitet mellan mass- och styvhetsmoden. Alla vibrationskonfigurationer av elastomeren kan också representeras som en linjär överlagring av huvudmoderna. Därför, för dynamisk responsanalys av elastomer, superpositionsmetoden huvudläget är fortfarande tillämpligt (se linjär vibration av elastomer).

Ta vibrationen från en sträng. Låt oss säga att en tunn sträng med massa m per längdenhet, lång l, är spänd i båda ändar, och spänningen är T. Vid denna tidpunkt bestäms strängens naturliga frekvens av följande ekvation:

F =na/2l (n=1,2,3...).

Var är utbredningshastigheten för den tvärgående vågen längs strängens riktning. Strängarnas naturliga frekvenser råkar vara multiplar av grundfrekvensen över 2l. Denna heltalsmångfald leder till en behaglig harmonisk struktur. Generellt sett finns det ingen sådan heltalsmultipelrelation mellan elastomerens naturliga frekvenser.

De första tre moderna av den spända strängen visas i FIG. 9. Det finns några noder på huvudlägeskurvan. I huvudvibrationen vibrerar inte noderna.FIG. Figur 10 visar flera typiska moder av den periferiellt uppburna cirkulära plattan med några nodallinjer sammansatta av cirklar och diametrar.

Den exakta formuleringen av elastomervibrationsproblemet kan avslutas som gränsvärdesproblemet för partiella differentialekvationer. Den exakta lösningen kan dock bara hittas i några av de enklaste fallen, så vi måste tillgripa den ungefärliga lösningen för den komplexa elastomeren Vibrationsproblem. Kärnan i olika ungefärliga lösningar är att ändra det oändliga till det ändliga, det vill säga att diskretisera det lemlösa systemet med flera frihetsgrader (kontinuerligt system) till ett ändligt system med flera frihetsgrader (diskret system) .Det finns två typer av diskretiseringsmetoder som ofta används inom ingenjörsanalys: finita elementmetoden och modal syntesmetod.

FIKON. 9 läge för sträng

FIKON. 10 läge av cirkulär platta

Finita elementmetoden är en sammansatt struktur som abstraherar en komplex struktur till ett ändligt antal element och förbinder dem vid ett ändligt antal noder. Varje enhet är en elastomer; Fördelningsförskjutningen av element uttrycks genom interpolationsfunktion för nodförskjutning. fördelningsparametrar för varje element koncentreras till varje nod i ett visst format, och den mekaniska modellen för det diskreta systemet erhålls.

Modal syntes är nedbrytningen av en komplex struktur i flera enklare understrukturer. På grundval av att förstå vibrationsegenskaperna för varje understruktur syntetiseras understrukturen till en allmän struktur enligt koordinationsförhållandena på gränssnittet och vibrationsmorfologin hos den allmänna struktur erhålls genom att använda vibrationsmorfologin för varje understruktur.

De två metoderna är olika och relaterade och kan användas som referens. Den modala syntesmetoden kan också effektivt kombineras med den experimentella mätningen för att bilda en teoretisk och experimentell analysmetod för vibration av stora system.