Vad är linjär vibration?

Linjär vibration: Elasticiteten hos komponenter i systemet är föremål för Hookes lag, och dämpningskraften som genereras under rörelsen är proportionell mot den första ekvationen för den generaliserade hastigheten (tidsderivat för de generaliserade koordinaterna).

begrepp

Linjära system är vanligtvis en abstrakt modell av vibrationen i det verkliga systemet. Det linjära vibrationssystemet tillämpar superpositionsprincipen, det vill säga om systemets svar är Y1 under verkan av inmatning X1 och Y2 under handlingen av inmatning X2, Sedan är systemets svar under insatsen av inmatning x1 och x2 y1+y2.

På grundval av superpositionsprincipen kan en godtycklig ingång sönderdelas till summan av en serie oändliga impulser, och sedan kan systemets totala svar erhållas. Summan av de harmoniska komponenterna i en periodisk excitation kan utvidgas till en Serie av harmoniska komponenter genom Fourier Transform, och effekten av varje harmonisk komponent på systemet kan undersökas separat. Därför kan svarets egenskaper hos linjära system med konstant Parametrar kan beskrivas genom impulssvar eller frekvensrespons.

Impulssvar hänvisar till systemets svar på enhetens impuls, som kännetecknar systemets svaregenskaper i tidsdomänen. Frekvensrespons hänvisar till svarets svarskarakteristik på enhetens harmoniska ingång. Korrespondensen mellan de två bestäms av Fourier Transform.

klassificering

Linjär vibration kan delas upp i linjär vibration av en-grad-av-frihetssystem och linjär vibration av multidegre-av-frihetssystem.

(1) Linjär vibration av ett enda grad-av-frihetssystem är en linjär vibration vars position kan bestämmas av en generaliserad koordinat. Harmonisk vibration, fri vibration, dämpningsvibration och tvingad vibration.

Enkel harmonisk vibration: Den återgående rörelsen hos ett objekt i närheten av dess jämviktsposition enligt en sinusformad lag under handlingen av en återställande kraft proportionell mot dess förskjutning.

Dämpad vibration: vibration vars amplitud ständigt dämpas av närvaron av friktion och dielektrisk motstånd eller annan energiförbrukning.

Tvingad vibration: Vibration av ett system under konstant excitation.

(2) Den linjära vibrationen i multiferdomssystemet är vibrationen i det linjära systemet med n≥2 frihetsgrader. Ett system med n grader av frihet har n naturliga frekvenser och n huvudlägen. En vibrationskonfiguration av systemet kan representeras som en linjär kombination av de viktigaste lägena. Därför används huvudläge-superpositionsmetoden i stor utsträckning i dynamisk svarsanalys av multi-DOF-system. På detta sätt, Mätning och analys av systemets naturliga vibrationsegenskaper blir ett rutinmässigt steg i systemets dynamiska utformning. De dynamiska egenskaperna hos multi-DOF-system kan också beskrivas med frekvensegenskaper. Det finns en frekvenskarakteristisk funktion mellan varje ingång och utgång, en frekvenskarakteristisk matris är konstruerad. Multi-frihetssystem skiljer sig från det ena-frihetssystemet.

Linjär vibration av en enda grad av frihetssystem

En linjär vibration där ett systems position kan bestämmas av en generaliserad koordinat. Det är den enklaste och mest grundläggande vibrationen från vilken många grundläggande koncept och egenskaper hos vibrationer kan härledas. Det inkluderar enkel harmonisk vibration, dämpad vibration och tvångsvibration .

Harmonisk vibration

Under verkan av att återställa kraften proportionell mot förskjutningen återgår objektet på ett sinusformat sätt nära dess jämviktsposition (fig. 1) .x representerar förskjutningen och T representerar tiden. Det matematiska uttrycket för denna vibration är:

(1)Där a är det maximala värdet för förskjutning x, som kallas amplituden, och representerar vibrationens intensitet; omega n är amplitudvinkeln för vibrationen per sekund, vilket kallas vinkelfrekvensen, eller cirkulärfrekvensen; detta kallas den inledande fasen. I termer av f = n/2 kallas antalet svängningar per sekund frekvensen; det omvända av detta, t = 1/f, är den tid det tar att Oscillera en cykel, och det kallas perioden. AMPLITUDE A, frekvens F (eller vinkelfrekvens N), den inledande fasen, känd som enkel harmonisk vibration tre element.

FIKON. 1 enkel harmonisk vibrationskurva

Som visas i fig. 2, en enkel harmonisk oscillator bildas av den koncentrerade massan M anslutet med en linjär fjäder. När vibrationsförskjutningen beräknas utifrån jämviktspositionen är vibrationsekvationen:

Var är vårens styvhet. Den allmänna lösningen på ovanstående ekvation är (1) .A och kan bestämmas av den initiala positionen X0 och initial hastighet vid t = 0:

Men omega n bestäms endast av egenskaperna hos själva systemet M och K, oberoende av de ytterligare initiala förhållandena, så omega n är också känd som den naturliga frekvensen.

FIKON. 2 enstaka frihetssystem

För en enkel harmonisk oscillator är summan av dess kinetiska energi och potentiell energi konstant, det vill säga systemets totala mekaniska energi förvandlas systemet. I vibrationsprocessen förvandlas kinetisk energi och potentiell energi ständigt till varandra.

Dämpningsvibrationen

En vibration vars amplitud ständigt dämpas av friktion och dielektrisk motstånd eller annan energiförbrukning. För mikrovibration är hastigheten i allmänhet inte särskilt stor, och medelstora motståndet är proportionellt mot hastigheten mot den första effekten, som kan skrivas som C är Dämpningskoefficienten. Därför kan vibrationsekvationen för en grad av frihet med linjär dämpning skrivas som:

(2)Där, m = c/2m kallas dämpningsparametern, och den allmänna lösningen i formel (2) kan skrivas:

(3)Det numeriska förhållandet mellan Omega N och PI kan delas in i följande tre fall:

N> (i fallet med liten dämpning) partikelproducerad dämpningsvibration är vibrationsekvationen:

Dess amplitud minskar med tiden enligt den exponentiella lagen som visas i ekvationen, såsom visas i den streckade linjen i fig. 3.St sett är denna vibration aperiodisk, men frekvensen för dess topp kan definieras som:

Kallas amplitudreduceringshastigheten, var är vibrationsperioden. Den naturliga logaritmen för amplitudreduktionshastigheten kallas logaritm minus (amplitud) -hastigheten. Experimentellt test delta och med hjälp av ovanstående formel kan beräknas c.

För närvarande kan lösningen av ekvation (2) skrivas:

Tillsammans med den initiala hastighetsriktningen kan den delas upp i tre icke-vibreringsfall som visas i fig. 4.

N <(När det gäller stor dämpning) visas lösningen på ekvation (2) i ekvation (3). Vid denna punkt vibrerar inte längre.

Tvingad vibration

Vibration av ett system under konstant excitation. Vibreringsanalys undersöker huvudsakligen systemets svar på excitation. Periodisk excitation är en typisk regelbunden excitation. Systemets svar på varje harmonisk excitation krävs. Under handlingen av harmonisk excitation, den differentiella rörelseekvationen för en enda grad av frihetsdämpat system kan vara skriven:

Svaret är summan av två delar. En del är svaret från dämpad vibration, som snabbt sönderfaller med tiden. Svaret från en annan del av tvingad vibration kan skrivas:

FIKON. 3 dämpad vibrationskurva

FIKON. 4 kurvor med tre initiala förhållanden med kritisk dämpning

Skriv in i

H /f0 = h (), är förhållandet mellan stabilt svarsamplitud och excitationsamplitud, karakterisering av amplitudfrekvensegenskaper eller förstärkningsfunktion; bitar för stabilt tillstånd svar och incitament av fas, karakterisering av fasfrekvensegenskaper. Förhållandet mellan dem och Excitationsfrekvens visas i fig. 5 och fig. 6.

Som framgår av amplitudfrekvenskurvan (fig. 5), i fallet med liten dämpning, har amplitudfrekvenskurvan en enda topp. Ju mindre dämpningen, desto brantare toppen; frekvensen som motsvarar toppen är kallas resonansfrekvensen för systemet. När det gäller liten dämpning skiljer sig resonansfrekvensen inte mycket från den naturliga frekvensen. När excitationsfrekvensen är nära den naturliga Frekvens, amplituden ökar kraftigt. Detta fenomen kallas resonans. Vid resonans maximeras förstärkningen av systemet, det vill säga den tvingade vibrationen är den mest intensiva. Därför strävar du alltid efter att undvika resonans, såvida inte vissa instrument och utrustning att använda resonans för att uppnå stora vibration.

FIKON. 5 amplitudfrekvenskurva

Kan ses från fasfrekvenskurvan (figur 6), oavsett dämpningsstorlek, i omega nollfasskillnadsbitar = PI / 2, kan denna egenskap effektivt användas för att mäta resonans.

Förutom stabil excitation möter system ibland ostadig excitation. Det kan grovt delas upp i två typer: en är den plötsliga effekten. Den andra är den varaktiga effekten av godtycklighet. Under ostadig excitation är svarets svar också ostabil.

Ett kraftfullt verktyg för att analysera ostadig vibration är impulssvarmetoden. Det beskriver systemets dynamiska egenskaper med det övergående svaret från enhetens impulsinmatning. Funktion definieras ofta som:

Där 0- representerar punkten på t-axeln som närmar sig noll från vänster; 0 plus är poängen som går till 0 från höger.

FIKON. 6 -fasfrekvenskurva

FIKON. 7 Alla ingångar kan betraktas som summan av en serie impulselement

Systemet motsvarar svaret h (t) som genereras av enhetens impuls vid t = 0, vilket kallas impulssvarfunktionen. Anpassar att systemet är stationärt före pulsen, h (t) = 0 för t <0. Knowna Systemets impulssvarfunktion, vi kan hitta systemets svar på alla ingångar x (t). Vid denna punkt kan du tänka på x (t) som summan av en serie impulselement (Fig. 7) .De Svarets svar är:

Baserat på superpositionsprincipen är det totala svaret från systemet som motsvarar x (t):

Denna integral kallas en integral av konvolution eller en superposition integral.

Linjär vibration av ett multi-grad-av-frihetssystem

Vibration av ett linjärt system med n≥2 grader av frihet.

Figur 8 visar två enkla resonansundersystem som är anslutna med en kopplingsfjäder. Eftersom det är ett två-graders-av-frihetssystem, behövs två oberoende koordinater för att bestämma dess position. Det finns två naturliga frekvenser i detta system:

Varje frekvens motsvarar ett vibrationssätt. De harmoniska oscillatorerna utför harmoniska svängningar av samma frekvens, synkront passerar genom jämviktspositionen och synkront når den extrema positionen. I huvudvibrationen motsvarar omega en, x1 är lika med x2; den huvudsakliga vibrationen motsvarande omega omega två, Omega Omega One.in huvudvibrationen, Förskjutningsförhållandet för varje massa håller en viss relation och bildar ett visst läge, som kallas huvudläget eller det naturliga läget. Den ortogonaliteten i massa och styvhet finns bland huvudlägena, vilket återspeglar oberoende för varje vibration. Den naturliga frekvensen och den frekvensen och Huvudläge representerar de inneboende vibrationsegenskaperna för multidegreet av frihetssystemet.

FIKON. 8 System med flera frihetsgrader

Ett system med N -grader av frihet har n naturliga frekvenser och n huvudlägen. En vibrationskonfiguration av systemet kan representeras som en linjär kombination av de viktigaste lägena. Därför används huvudläge -superpositionsmetoden i stor utsträckning i dynamisk svarsanalys av multi -DOF -system. På detta sätt blir mätningen och analysen av systemets naturliga vibrationsegenskaper ett rutinmässigt steg i systemets dynamiska utformning.

De dynamiska egenskaperna hos multi-DOF-system kan också beskrivas med frekvensegenskaper. Eftersom det finns en frekvenskarakteristisk funktion mellan varje inmatning och utgång, är en frekvenskarakteristisk matris konstruerad. AMPLITUDE-FREFREKENS KARAKTERISTICKURVEN FÖR MULTI-FREEDOM-SYSTEMET ÄLDRA DILL från det för enstaka system.

Elastomeren vibrerar

Ovanstående multi -grad av frihetssystem är en ungefärlig mekanisk modell av elastomer. En elastomer har ett oändligt antal frihetsgrader. Ett oändligt antal motsvarande lägen, och det finns ortogonalitet mellan elens och styvhet. Representerad som en linjär superposition av de viktigaste lägena. Därför är för dynamisk svarsanalys av elastomer fortfarande tillämplig (se linjär vibration av elastomer).

Ta vibrationen av en sträng. Låt oss säga att en tunn sträng av massa m per enhetslängd, lång L, spännas i båda ändarna, och spänningen är t.at den här gången, den naturliga frekvensen för strängen bestäms av följande ekvation:

F = na/2l (n = 1,2,3 ...).

Där, är förökningshastigheten för den tvärgående vågen längs strängens riktning. Strängens naturliga frekvenser råkar vara multiplar av den grundläggande frekvensen över 2L.Detta heltal multiplicitet leder till en trevlig harmonisk struktur. Generellt finns det ingen Sådan heltal multipla relation mellan elastomerens naturliga frekvenser.

De tre första lägena för den spännande strängen visas i fig. 9. Det finns några noder på huvudläge -kurvan. I huvudvibrationen vibrerar inte noderna. 10 visar flera typiska lägen för den perifera stödda cirkulära plattan med några nodal linjer bestående av cirklar och diametrar.

Den exakta formuleringen av elastomervibrationsproblemet kan avslutas som gränsvärdeproblemet för partiella differentiella ekvationer. Men den exakta lösningen kan bara hittas i några av de enklaste fallen, så vi måste ta till den ungefärliga lösningen för den komplexa elastomeren Vibrationsproblem. Kärnan i olika ungefärliga lösningar är att ändra det oändliga till det ändliga, det vill säga att diskretisera det lemlösa multidegre av frihetssystem (Kontinuerligt system) i en begränsad multidegree av frihetssystem (diskret system). Det finns två slags diskretiseringsmetoder som är allmänt används i teknisk analys: Finite Element Method and Modal Synthesis Method.

FIKON. 9 Strängläge

FIKON. 10 Cirkulära läge

Metod för ändlig element är en sammansatt struktur som sammanfattar en komplex struktur till ett ändligt antal element och förbinder dem till ett ändligt antal noder. Fördelningsparametrar för varje element koncentreras till varje nod i ett visst format, och den mekaniska modellen för det diskreta systemet erhålls.

Modal syntes är nedbrytningen av en komplex struktur i flera enklare understrukturer. På grundval av att förstå vibrationskarakteristiken för varje understruktur, syntetiseras understrukturen till en allmän struktur enligt samordningsförhållandena på gränssnittet och vibrationsmorfologin för det allmänna allmänna Strukturen erhålls genom att använda vibrationsmorfologin för varje understruktur.

De två metoderna är olika och relaterade och kan användas som referens. Modal syntesmetod kan också effektivt kombineras med den experimentella mätningen för att bilda en teoretisk och experimentell analysmetod för vibrationer av stora system.