Mtetemo wa mstari ni nini?

Mtetemo wa mstari: elasticity ya vipengele katika mfumo ni chini ya sheria ya ndoano, na nguvu damping yanayotokana wakati wa mwendo ni sawia na equation ya kwanza ya kasi ya jumla (wakati derivative ya kuratibu jumla).

dhana

Mfumo wa mstari kwa kawaida ni kielelezo dhahania cha mtetemo wa mfumo halisi.Mfumo wa mtetemo wa mstari hutumia kanuni ya uwekaji juu, yaani, ikiwa jibu la mfumo ni y1 chini ya utendakazi wa ingizo x1, na y2 chini ya kitendo cha ingizo x2, basi majibu ya mfumo chini ya hatua ya pembejeo x1 na x2 ni y1 + y2.

Kwa msingi wa kanuni ya nafasi ya juu, ingizo la kiholela linaweza kugawanywa katika jumla ya mfululizo wa msukumo usio na kikomo, na kisha majibu ya jumla ya mfumo yanaweza kupatikana. Jumla ya vipengele vya harmonic vya msisimko wa mara kwa mara inaweza kupanuliwa katika mfululizo wa vipengele vya harmonic kwa kubadilisha Fourier, na athari ya kila sehemu ya harmonic kwenye mfumo inaweza kuchunguzwa tofauti. Kwa hiyo, sifa za majibu ya mifumo ya mstari yenye vigezo vya mara kwa mara inaweza kuelezewa na majibu ya msukumo au majibu ya mzunguko.

Mwitikio wa msukumo unarejelea mwitikio wa mfumo kwa msukumo wa kitengo, ambao unaashiria sifa za mwitikio wa mfumo katika kikoa cha wakati.Majibu ya mara kwa mara yanarejelea tabia ya mwitikio wa mfumo kwa pembejeo ya kitengo cha sauti. Mawasiliano kati ya hizo mbili imedhamiriwa. kwa Fourier transform.

uainishaji

Mtetemo wa mstari unaweza kugawanywa katika mtetemo wa mstari wa mfumo wa uhuru wa digrii moja na mtetemo wa mstari wa mfumo wa digrii nyingi za uhuru.

(1) mtetemo wa mstari wa mfumo wa digrii moja ya uhuru ni mtetemo wa mstari ambao nafasi yake inaweza kuamuliwa na uratibu wa jumla. Ndio mtetemo rahisi zaidi ambao dhana nyingi za kimsingi na sifa za mtetemo zinaweza kutolewa. Inajumuisha sahili. mtetemo wa harmonic, mtetemo wa bure, mtetemo wa kupunguza na mtetemo wa kulazimishwa.

Mtetemo rahisi wa sauti: mwendo unaofanana wa kitu karibu na nafasi yake ya usawa kulingana na sheria ya sinusoidal chini ya hatua ya kurejesha nguvu sawia na uhamishaji wake.

Mtetemo uliopungua: mtetemo ambao amplitude yake inapunguzwa kila wakati na uwepo wa msuguano na upinzani wa dielectri au matumizi mengine ya nishati.

Mtetemo wa kulazimishwa: mtetemo wa mfumo chini ya msisimko wa mara kwa mara.

(2) mtetemo wa mstari wa mfumo wa viwango vingi vya uhuru ni mtetemo wa mfumo wa mstari na digrii n≥2 za uhuru. Mfumo wa digrii n wa uhuru una masafa ya asili na n modi kuu. Usanidi wowote wa mtetemo ya mfumo inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko linear ya modes kuu. Kwa hiyo, njia kuu ya uwekaji juu ya modi hutumiwa sana katika uchanganuzi wa mwitikio wenye nguvu wa mifumo ya dof nyingi. Kwa njia hii, kipimo na uchanganuzi wa sifa za asili za mitetemo. mfumo unakuwa hatua ya kawaida katika muundo wa nguvu wa mfumo.Sifa za nguvu za mifumo ya dof nyingi zinaweza pia kuelezewa na sifa za mzunguko.Kwa kuwa kuna kazi ya tabia ya mzunguko kati ya kila pembejeo na pato, matrix ya tabia ya mzunguko hujengwa. ni uhusiano wa uhakika kati ya sifa ya mzunguko na hali kuu.Njia ya sifa ya amplitude-frequency ya mfumo wa uhuru mbalimbali ni tofauti na ile ya mfumo wa uhuru mmoja.

Mtetemo wa mstari wa kiwango kimoja cha mfumo wa uhuru

Mtetemo wa mstari ambamo nafasi ya mfumo inaweza kuamuliwa kwa kuratibu kwa jumla. Ndio mtetemo rahisi na wa kimsingi zaidi ambapo dhana nyingi za kimsingi na sifa za mtetemo zinaweza kutolewa. Inajumuisha mtetemo rahisi wa usawa, mtetemo duni na mtetemo wa kulazimishwa. .

Mtetemo wa Harmonic

Chini ya hatua ya kurejesha nguvu sawia na uhamishaji, kitu hujirudia kwa njia ya sinusoidal karibu na nafasi yake ya usawa (FIG. 1). X inawakilisha uhamisho na t inawakilisha wakati. Usemi wa hisabati wa mtetemo huu ni:

(1)Ambapo A ni thamani ya juu zaidi ya uhamishaji x, ambayo inaitwa amplitude, na inawakilisha ukubwa wa mtetemo;Omega n ni nyongeza ya Angle ya amplitude ya mtetemo kwa sekunde, ambayo huitwa masafa ya angular, au masafa ya duara; inaitwa awamu ya mwanzo. Kwa upande wa f= n/2, idadi ya oscillations kwa sekunde inaitwa frequency; Kinyume cha hii, T=1/f, ni wakati inachukua ili oscillate mzunguko mmoja, na hiyo inaitwa. kipindi.Amplitude A, frequency f (au angular frequency n), awamu ya awali, inayojulikana kama vibration rahisi harmonic vipengele vitatu.

FIG. Mkunjo 1 rahisi wa mtetemo

Kama inavyoonyeshwa kwenye FIG. 2, oscillator rahisi ya harmonic huundwa na m ya molekuli iliyokolea iliyounganishwa na chemchemi ya mstari. Wakati uhamisho wa vibration unapohesabiwa kutoka kwa nafasi ya usawa, equation ya vibration ni:

Ugumu wa chemchemi uko wapi.Suluhisho la jumla la mlinganyo ulio hapo juu ni (1).A na linaweza kubainishwa na nafasi ya mwanzo x0 na kasi ya awali kwa t=0:

Lakini omega n imedhamiriwa tu na sifa za mfumo yenyewe m na k, bila kujali hali ya ziada ya awali, hivyo omega n pia inajulikana kama mzunguko wa asili.

FIG. 2 shahada moja ya mfumo wa uhuru

Kwa oscillator rahisi ya harmonic, jumla ya nishati yake ya kinetic na nishati inayowezekana ni mara kwa mara, yaani, nishati ya jumla ya mitambo ya mfumo imehifadhiwa.Katika mchakato wa vibration, nishati ya kinetic na nishati inayowezekana hubadilishwa mara kwa mara kwa kila mmoja.

Mtetemo wa unyevu

Mtetemo ambao amplitude yake inaendelea kupunguzwa na msuguano na upinzani wa dielectric au matumizi mengine ya nishati. Kwa vibration ndogo, kasi kwa ujumla si kubwa sana, na upinzani wa kati unalingana na kasi ya nguvu ya kwanza, ambayo inaweza kuandikwa kama c ni mgawo wa unyevu. Kwa hivyo, mlinganyo wa mtetemo wa kiwango kimoja cha uhuru na unyevu wa mstari unaweza kuandikwa kama:

(2)Ambapo, m =c/2m inaitwa kigezo cha unyevu, na.Suluhisho la jumla la fomula (2) linaweza kuandikwa:

(3)Uhusiano wa nambari kati ya omega n na PI unaweza kugawanywa katika kesi tatu zifuatazo:

N > (katika kesi ya uchafu mdogo) chembe inayotoa mtetemo wa kupunguza, mlinganyo wa mtetemo ni:

Ukubwa wake hupungua kadiri wakati kulingana na sheria ya kielelezo iliyoonyeshwa katika mlinganyo, kama inavyoonyeshwa katika mstari wa nukta kwenye FIG. 3. Kwa kusema kweli, mtetemo huu ni wa mara kwa mara, lakini marudio ya kilele chake yanaweza kufafanuliwa kama:

Inaitwa kiwango cha kupunguza amplitude, ambapo ni kipindi cha vibration.Logariti ya asili ya kiwango cha kupunguza amplitude inaitwa kiwango cha logarithm minus (amplitude). Ni wazi, =, katika kesi hii, ni sawa na 2/1. Moja kwa moja kupitia delta ya majaribio ya majaribio na, kwa kutumia fomula iliyo hapo juu inaweza kuhesabiwa c.

Kwa wakati huu, suluhisho la equation (2) linaweza kuandikwa:

Pamoja na mwelekeo wa kasi ya awali, inaweza kugawanywa katika matukio matatu yasiyo ya mtetemo kama inavyoonyeshwa kwenye FIG. 4.

N < (katika hali ya uchafu mkubwa), suluhisho la equation (2) linaonyeshwa katika equation (3). Kwa wakati huu, mfumo hautetemeka tena.

Mtetemo wa kulazimishwa

Mtetemo wa mfumo chini ya msisimko wa mara kwa mara. Uchambuzi wa mtetemo huchunguza hasa mwitikio wa mfumo kwa msisimko. Msisimko wa mara kwa mara ni msisimko wa kawaida. mwitikio wa mfumo kwa kila msisimko wa usawa unahitajika. Chini ya hatua ya msisimko wa harmonic, usawa wa tofauti wa mwendo wa kiwango kimoja cha mfumo wa uhuru unaweza kuandikwa:

Jibu ni jumla ya sehemu mbili. Sehemu moja ni mwitikio wa mtetemo ulio na unyevu, ambao huoza haraka kadri muda unavyopita.Jibu la sehemu nyingine ya mtetemo wa kulazimishwa linaweza kuandikwa:

FIG. Mkondo 3 wa mtetemo ulionyolewa

FIG. 4 curves ya hali tatu za awali na damping muhimu

Andika kwenye

H /F0= h (), ni uwiano wa amplitude ya mwitikio thabiti na amplitude ya msisimko, inayoonyesha sifa za amplitude-frequency, au kupata utendakazi;Biti kwa mwitikio wa hali thabiti na motisha ya awamu, tabia ya sifa za mzunguko wa awamu.Uhusiano kati yao na masafa ya msisimko yanaonyeshwa kwenye FIG. 5 na FIG. 6.

Kama inavyoonekana kutoka kwa curve ya amplitude-frequency (Mtini. 5), katika kesi ya uchafu mdogo, curve ya amplitude-frequency ina kilele kimoja. inayoitwa mzunguko wa resonant wa mfumo.Katika kesi ya uchafu mdogo, mzunguko wa resonance sio tofauti sana na mzunguko wa asili.Wakati mzunguko wa msisimko unakaribia mzunguko wa asili, amplitude huongezeka kwa kasi. Jambo hili linaitwa resonance.Katika resonance, faida ya mfumo huongezwa, yaani, mtetemo wa kulazimishwa ni mkali zaidi. Kwa hiyo, kwa ujumla, daima hujitahidi kuepuka resonance, isipokuwa baadhi ya vyombo na vifaa vya kutumia resonance kufikia kubwa. mtetemo.

FIG. 5 amplitude frequency curve

Inaweza kuonekana kutoka kwa mzunguko wa mzunguko wa awamu (takwimu 6), bila kujali ukubwa wa uchafu, katika omega sifuri tofauti bits awamu = PI / 2, tabia hii inaweza kutumika kwa ufanisi katika kupima resonance.

Mbali na msisimko wa kutosha, mifumo wakati mwingine hukutana na msisimko usio na utulivu.Inaweza kugawanywa takribani katika aina mbili: moja ni athari ya ghafla.Pili ni athari ya kudumu ya uholela.Chini ya msisimko usio na utulivu, mwitikio wa mfumo pia hauko thabiti.

Zana madhubuti ya kuchanganua mtetemo usio thabiti ni mbinu ya mwitikio wa msukumo.Inafafanua sifa zinazobadilika za mfumo na mwitikio wa muda mfupi wa uingizaji wa kitengo cha msukumo wa mfumo.Msukumo wa kitengo unaweza kuonyeshwa kama utendakazi wa delta.Katika uhandisi, delta. kazi mara nyingi hufafanuliwa kama:

Ambapo 0- inawakilisha nukta kwenye mhimili wa t unaokaribia sufuri kutoka kushoto; 0 plus ndio hatua inayoenda 0 kutoka kulia.

FIG. 6 awamu ya mzunguko wa mzunguko

FIG. 7 ingizo lolote linaweza kuzingatiwa kama jumla ya mfululizo wa vipengele vya msukumo

Mfumo huo unalingana na jibu h(t) linalotokana na msukumo wa kitengo kwa t=0, unaoitwa kitendakazi cha majibu ya msukumo. Ikizingatiwa kuwa mfumo hausimami kabla ya mpigo, h(t)=0 kwa t<0.Kujua kitendakazi cha mwitikio wa msukumo wa mfumo, tunaweza kupata jibu la mfumo kwa ingizo lolote x(t).Katika hatua hii, unaweza kufikiria x(t) kama jumla ya mfululizo wa vipengele vya msukumo (FIG. 7) .Majibu ya mfumo ni:

Kulingana na kanuni ya nafasi kuu, jumla ya majibu ya mfumo unaolingana na x(t) ni:

Kiunga hiki kinaitwa kiunganishi cha ubadilishaji au kiunga cha juu.

Mtetemo wa mstari wa mfumo wa viwango vingi vya uhuru

Mtetemo wa mfumo wa mstari na digrii n≥2 za uhuru.

Kielelezo cha 8 kinaonyesha mifumo midogo miwili ya resonant iliyounganishwa na chemchemi ya kuunganisha. Kwa sababu ni mfumo wa digrii mbili za uhuru, viwianishi viwili vinavyojitegemea vinahitajika ili kubainisha nafasi yake.Kuna masafa mawili ya asili katika mfumo huu:

Kila masafa yanalingana na hali ya mtetemo.Visisitio vya usawazishaji hufanya msisimko wa usawa wa masafa sawa, kupita kwa usawa katika nafasi ya usawa na kufikia nafasi ya kupindukia.Katika mtetemo kuu unaolingana na omega moja, x1 ni sawa na x2; mtetemo kuu unaolingana na omega omega mbili, omega omega moja. Katika mtetemo mkuu, uwiano wa uhamishaji wa kila misa huweka uhusiano fulani na kuunda hali fulani, ambayo inaitwa hali kuu au hali ya asili. ugumu upo kati ya njia kuu, ambazo zinaonyesha uhuru wa kila mtetemo.Marudio ya asili na hali kuu inawakilisha sifa za asili za mtetemo wa digrii nyingi za mfumo wa uhuru.

FIG. 8 mfumo na digrii nyingi za uhuru

Mfumo wa viwango vya n wa uhuru una mikondo ya asili na hali kuu za n. Usanidi wowote wa mtetemo wa mfumo unaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa modi kuu. Kwa hivyo, mbinu kuu ya uwekaji juu inatumika sana katika uchanganuzi wa mwitikio wa nguvu wa anuwai. -dof mifumo.Kwa njia hii, kipimo na uchambuzi wa sifa za asili za vibration za mfumo huwa hatua ya kawaida katika muundo wa nguvu wa mfumo.

Sifa zinazobadilika za mifumo ya dofu nyingi pia zinaweza kuelezewa na sifa za masafa.Kwa kuwa kuna utendaji kazi wa tabia ya masafa kati ya kila pembejeo na pato, matriki ya tabia ya masafa hutengenezwa.Mkondo wa tabia ya amplitude-frequency ya mfumo wa uhuru mbalimbali ni tofauti. kutoka kwa mfumo wa uhuru mmoja.

Elastomer hutetemeka

Mfumo wa viwango vingi vya uhuru ulio hapo juu ni kielelezo cha kimakanika cha elastoma. Elastoma ina idadi isiyo na kikomo ya digrii za uhuru. Kuna tofauti ya kiasi lakini hakuna tofauti muhimu kati ya hizi mbili. Elastoma yoyote ina idadi isiyo na kikomo ya masafa ya asili na idadi isiyo na kikomo ya modi zinazolingana, na kuna usawa kati ya njia za wingi na ukakamavu. Usanidi wowote wa mtetemo wa elastoma unaweza pia kuwakilishwa kama kielelezo cha juu cha njia kuu. ya hali kuu bado inatumika (tazama mtetemo wa mstari wa elastomer).

Kuchukua vibration ya kamba.Hebu sema kwamba kamba nyembamba ya molekuli m kwa urefu wa kitengo, muda mrefu l, ni mvutano katika ncha zote mbili, na mvutano ni T.Kwa wakati huu, mzunguko wa asili wa kamba imedhamiriwa na zifuatazo. mlingano:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Ambapo, ni kasi ya uenezi ya wimbi linalovuka kando ya mwelekeo wa kamba.Masafa ya asili ya mifuatano hutokea kuwa mawimbi ya masafa ya kimsingi zaidi ya 2l. Msururu huu kamili husababisha muundo wa kupendeza wa sauti. Kwa ujumla, hakuna uhusiano huo kamili kati ya masafa ya asili ya elastoma.

Njia tatu za kwanza za mfuatano wa mkazo zinaonyeshwa kwenye FIG. 9. Kuna baadhi ya nodes kwenye curve ya mode kuu.Katika vibration kuu, nodes hazitetemeka.FIG. 10 inaonyesha aina kadhaa za kawaida za bati la duara linaloungwa mkono na mduara na baadhi ya mistari ya nodi inayojumuisha miduara na vipenyo.

Uundaji kamili wa tatizo la mtetemo wa elastoma unaweza kuhitimishwa kama tatizo la thamani ya mipaka ya milinganyo ya sehemu tofauti.Hata hivyo, suluhu halisi linaweza kupatikana tu katika baadhi ya visa rahisi zaidi, kwa hivyo inatubidi kukimbilia suluhisho la takriban la elastoma changamano. tatizo la mtetemo.Kiini cha masuluhisho mbalimbali ya takriban ni kubadilisha usio na mwisho hadi ukomo, yaani, kutofautisha mfumo wa uhuru wa viwango vingi usio na kiungo (mfumo endelevu) kuwa mfumo wa uhuru wa viwango vingi vya kikomo (mfumo tofauti) .Kuna aina mbili za mbinu za uchanganuzi zinazotumika sana katika uchanganuzi wa kihandisi: mbinu ya kipengele cha mwisho na mbinu ya usanisi ya modali.

FIG. 9 hali ya kamba

FIG. 10 mode ya sahani ya mviringo

Mbinu ya kipengee cha mwisho ni muundo wa mchanganyiko ambao huchota muundo changamano katika idadi finyu ya vipengele na kuviunganisha kwa idadi finyu ya nodi.Kila kitengo ni elastomer; uhamishaji wa usambazaji wa kipengele huonyeshwa kwa kazi ya ukalimani ya uhamishaji wa nodi. Kisha vigezo vya usambazaji wa kila kipengele hujilimbikizia kila node katika muundo fulani, na mfano wa mitambo ya mfumo wa discrete hupatikana.

Usanisi wa modal ni mtengano wa muundo changamano katika miundo midogo kadhaa rahisi.Kwa msingi wa kuelewa sifa za mtetemo za kila muundo, muundo mdogo unaunganishwa katika muundo wa jumla kulingana na hali ya uratibu kwenye kiolesura, na mofolojia ya mtetemo ya jumla. muundo hupatikana kwa kutumia mofolojia ya vibration ya kila muundo.

Mbinu hizi mbili ni tofauti na zinahusiana, na zinaweza kutumika kama marejeleo.Mbinu ya usanisi wa modali pia inaweza kuunganishwa kwa ufanisi na kipimo cha majaribio ili kuunda mbinu ya uchambuzi wa kinadharia na majaribio ya mtetemo wa mifumo mikubwa.