లీనియర్ వైబ్రేషన్ అంటే ఏమిటి?

లీనియర్ వైబ్రేషన్: సిస్టమ్‌లోని భాగాల స్థితిస్థాపకత హుక్ యొక్క చట్టానికి లోబడి ఉంటుంది మరియు చలన సమయంలో ఉత్పన్నమయ్యే డంపింగ్ ఫోర్స్ సాధారణీకరించిన వేగం యొక్క మొదటి సమీకరణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది (సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్‌ల సమయ ఉత్పన్నం).

భావన

లీనియర్ సిస్టమ్ అనేది సాధారణంగా వాస్తవ వ్యవస్థ యొక్క వైబ్రేషన్ యొక్క వియుక్త నమూనా. లీనియర్ వైబ్రేషన్ సిస్టమ్ సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రాన్ని వర్తిస్తుంది, అంటే, ఇన్‌పుట్ x1 చర్యలో సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన y1 అయితే, ఇన్‌పుట్ x2 చర్యలో y2, అప్పుడు ఇన్‌పుట్ x1 మరియు x2 చర్యలో సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన y1+y2.

సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం ఆధారంగా, ఒక ఏకపక్ష ఇన్‌పుట్‌ను అనంతమైన ప్రేరణల శ్రేణిలో కుళ్ళిపోవచ్చు, ఆపై సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం ప్రతిస్పందనను పొందవచ్చు. ఆవర్తన ప్రేరేపణ యొక్క హార్మోనిక్ భాగాల మొత్తాన్ని విస్తరించవచ్చు. ఫోరియర్ పరివర్తన ద్వారా శ్రావ్యమైన భాగాల శ్రేణి మరియు సిస్టమ్‌పై ప్రతి హార్మోనిక్ భాగం యొక్క ప్రభావాన్ని విడిగా పరిశోధించవచ్చు.అందుచేత, లీనియర్ సిస్టమ్‌ల ప్రతిస్పందన లక్షణాలు స్థిరమైన పారామితులతో ప్రేరణ ప్రతిస్పందన లేదా ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిస్పందన ద్వారా వివరించవచ్చు.

ఇంపల్స్ రెస్పాన్స్ అనేది యూనిట్ ఇంపల్స్‌కు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందనను సూచిస్తుంది, ఇది టైమ్ డొమైన్‌లో సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన లక్షణాలను వర్ణిస్తుంది. ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిస్పందన అనేది యూనిట్ హార్మోనిక్ ఇన్‌పుట్‌కు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన లక్షణాన్ని సూచిస్తుంది. రెండింటి మధ్య అనురూప్యం నిర్ణయించబడుతుంది. ఫోరియర్ రూపాంతరం ద్వారా.

వర్గీకరణ

లీనియర్ వైబ్రేషన్‌ను సింగిల్-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్ మరియు మల్టీ-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్‌గా విభజించవచ్చు.

(1) సింగిల్-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్ అనేది సరళమైన కంపనం, దీని స్థానాన్ని సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్ ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు. ఇది చాలా సరళమైన కంపనం, దీని నుండి వైబ్రేషన్ యొక్క అనేక ప్రాథమిక భావనలు మరియు లక్షణాలను పొందవచ్చు. ఇది సరళమైన వాటిని కలిగి ఉంటుంది. హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్, ఫ్రీ వైబ్రేషన్, అటెన్యుయేషన్ వైబ్రేషన్ మరియు ఫోర్స్డ్ వైబ్రేషన్.

సింపుల్ హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్: దాని స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో పునరుద్ధరణ శక్తి చర్యలో సైనూసోయిడల్ చట్టం ప్రకారం దాని సమతౌల్య స్థితికి సమీపంలో ఉన్న ఒక వస్తువు యొక్క పరస్పర కదలిక.

డంప్డ్ వైబ్రేషన్: రాపిడి మరియు విద్యుద్వాహక నిరోధకం లేదా ఇతర శక్తి వినియోగం ద్వారా నిరంతరంగా వ్యాప్తి చెందే కంపనం.

బలవంతపు కంపనం: స్థిరమైన ప్రేరేపణలో ఉన్న సిస్టమ్ యొక్క కంపనం.

(2) బహుళ-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్ అనేది n≥2 డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో సరళ వ్యవస్థ యొక్క కంపనం. n డిగ్రీల స్వేచ్ఛ యొక్క సిస్టమ్ n సహజ పౌనఃపున్యాలు మరియు n ప్రధాన మోడ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఏదైనా వైబ్రేషన్ కాన్ఫిగరేషన్ సిస్టమ్ యొక్క ప్రధాన మోడ్‌ల యొక్క సరళ కలయికగా సూచించబడుతుంది.అందుచేత, ప్రధాన మోడ్ సూపర్‌పొజిషన్ పద్ధతి డైనమిక్ ప్రతిస్పందనలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది మల్టీ-డాఫ్ సిస్టమ్స్ యొక్క విశ్లేషణ.ఈ విధంగా, సిస్టమ్ యొక్క సహజ కంపన లక్షణాల యొక్క కొలత మరియు విశ్లేషణ సిస్టమ్ యొక్క డైనమిక్ డిజైన్‌లో ఒక సాధారణ దశగా మారుతుంది. మల్టీ-డాఫ్ సిస్టమ్స్ యొక్క డైనమిక్ లక్షణాలను కూడా ఫ్రీక్వెన్సీ లక్షణాల ద్వారా వివరించవచ్చు. .ప్రతి ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ మధ్య ఫ్రీక్వెన్సీ క్యారెక్టరిస్టిక్ ఫంక్షన్ ఉన్నందున, ఫ్రీక్వెన్సీ క్యారెక్టరిస్టిక్ మ్యాట్రిక్స్ నిర్మించబడింది. ఫ్రీక్వెన్సీ లక్షణం మరియు ప్రధాన మోడ్ మధ్య ఖచ్చితమైన సంబంధం ఉంది. బహుళ-స్వేచ్ఛ వ్యవస్థ యొక్క యాంప్లిట్యూడ్-ఫ్రీక్వెన్సీ లక్షణ వక్రత ఏక-స్వేచ్ఛ వ్యవస్థ నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

ఒకే డిగ్రీ స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్

సాధారణీకరించిన కోఆర్డినేట్ ద్వారా సిస్టమ్ యొక్క స్థితిని నిర్ణయించగల సరళ కంపనం. ఇది సరళమైన మరియు అత్యంత ప్రాథమిక కంపనం, దీని నుండి కంపనం యొక్క అనేక ప్రాథమిక భావనలు మరియు లక్షణాలను పొందవచ్చు. ఇందులో సాధారణ హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్, డంప్డ్ వైబ్రేషన్ మరియు ఫోర్స్డ్ వైబ్రేషన్ ఉంటాయి. .

హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్

స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో శక్తిని పునరుద్ధరించే చర్యలో, ఆబ్జెక్ట్ దాని సమతౌల్య స్థానానికి సమీపంలో సైనూసోయిడల్ పద్ధతిలో రెసిప్రొకేట్ అవుతుంది (FIG. 1).X స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది మరియు t సమయాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ కంపనం యొక్క గణిత వ్యక్తీకరణ:

(1)ఇక్కడ A అనేది స్థానభ్రంశం x యొక్క గరిష్ట విలువ, దీనిని వ్యాప్తి అని పిలుస్తారు మరియు కంపనం యొక్క తీవ్రతను సూచిస్తుంది; Omega n అనేది సెకనుకు కంపనం యొక్క వ్యాప్తి కోణం పెరుగుదల, దీనిని కోణీయ ఫ్రీక్వెన్సీ లేదా వృత్తాకార పౌనఃపున్యం అంటారు; ప్రారంభ దశ అంటారు. f= n/2 పరంగా, సెకనుకు డోలనాల సంఖ్యను ఫ్రీక్వెన్సీ అంటారు;దీని యొక్క విలోమం, T=1/f, ఇది ఒక చక్రాన్ని డోలనం చేయడానికి పట్టే సమయం మరియు దానిని పీరియడ్ అని పిలుస్తారు. యాంప్లిట్యూడ్ A, ఫ్రీక్వెన్సీ f (లేదా కోణీయ పౌనఃపున్యం n), ప్రారంభ దశ, సాధారణ హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్ మూడు మూలకాలు.

అంజీర్. 1 సాధారణ హార్మోనిక్ వైబ్రేషన్ కర్వ్

FIG లో చూపిన విధంగా. 2, సరళ స్ప్రింగ్ ద్వారా అనుసంధానించబడిన సాంద్రీకృత ద్రవ్యరాశి m ద్వారా ఒక సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ ఏర్పడుతుంది. కంపన స్థానభ్రంశం సమతౌల్య స్థానం నుండి లెక్కించబడినప్పుడు, కంపన సమీకరణం:

స్ప్రింగ్ యొక్క దృఢత్వం ఎక్కడ ఉంది. పై సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం (1).A మరియు ప్రారంభ స్థానం x0 మరియు ప్రారంభ వేగం t=0 వద్ద నిర్ణయించబడుతుంది:

కానీ ఒమేగా n అనేది అదనపు ప్రారంభ పరిస్థితులతో సంబంధం లేకుండా m మరియు k వ్యవస్థ యొక్క లక్షణాల ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది, కాబట్టి ఒమేగా n ను సహజ పౌనఃపున్యం అని కూడా అంటారు.

అంజీర్. 2 స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క ఒకే డిగ్రీ

ఒక సాధారణ హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ కోసం, దాని గతి శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి యొక్క మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది, అంటే, సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం యాంత్రిక శక్తి సంరక్షించబడుతుంది.కంపన ప్రక్రియలో, గతి శక్తి మరియు సంభావ్య శక్తి నిరంతరం ఒకదానికొకటి రూపాంతరం చెందుతాయి.

డంపింగ్ వైబ్రేషన్

రాపిడి మరియు విద్యుద్వాహక నిరోధకత లేదా ఇతర శక్తి వినియోగం ద్వారా వ్యాప్తి చెందే వైబ్రేషన్. డంపింగ్ కోఎఫీషియంట్. కాబట్టి, లీనియర్ డంపింగ్‌తో ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛ యొక్క వైబ్రేషన్ సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

(2)ఇక్కడ, m =c/2m డంపింగ్ పరామితి అని పిలుస్తారు మరియు ఫార్ములా (2) యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయవచ్చు:

(3)ఒమేగా n మరియు PI మధ్య సంఖ్యా సంబంధాన్ని క్రింది మూడు సందర్భాలలో విభజించవచ్చు:

N > (చిన్న డంపింగ్ విషయంలో) కణం ఉత్పత్తి అటెన్యుయేషన్ వైబ్రేషన్, కంపన సమీకరణం:

FIGలోని చుక్కల రేఖలో చూపిన విధంగా సమీకరణంలో చూపిన ఘాతాంక చట్టం ప్రకారం దాని వ్యాప్తి సమయంతో తగ్గుతుంది. 3.కచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఈ కంపనం అపెరియోడిక్, కానీ దాని శిఖరం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీని ఇలా నిర్వచించవచ్చు:

వ్యాప్తి తగ్గింపు రేటు అని పిలుస్తారు, ఇక్కడ కంపనం యొక్క కాలం ఉంటుంది. వ్యాప్తి తగ్గింపు రేటు యొక్క సహజ సంవర్గమానాన్ని సంవర్గమానం మైనస్ (వ్యాప్తి) రేటు అంటారు. సహజంగానే, =, ఈ సందర్భంలో, 2/1. నేరుగా ద్వారా ప్రయోగాత్మక పరీక్ష డెల్టా మరియు, పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి c లెక్కించవచ్చు.

ఈ సమయంలో, సమీకరణం (2) యొక్క పరిష్కారం వ్రాయవచ్చు:

ప్రారంభ వేగం యొక్క దిశతో పాటు, FIGలో చూపిన విధంగా దీనిని మూడు నాన్-వైబ్రేషన్ కేసులుగా విభజించవచ్చు. 4.

N < (పెద్ద డంపింగ్ విషయంలో), సమీకరణం (2)కి పరిష్కారం సమీకరణం (3)లో చూపబడింది. ఈ సమయంలో, సిస్టమ్ ఇకపై వైబ్రేట్ చేయబడదు.

బలవంతంగా కంపనం

స్థిరమైన ప్రేరేపణలో ఉన్న సిస్టమ్ యొక్క కంపనం. కంపన విశ్లేషణ ప్రధానంగా ఉత్తేజితానికి సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందనను పరిశోధిస్తుంది. ఆవర్తన ప్రేరేపణ అనేది ఒక సాధారణ సాధారణ ఉత్తేజితం. ఆవర్తన ప్రేరేపణ అనేది సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం ప్రకారం, ఎల్లప్పుడూ అనేక హార్మోనిక్ ఉత్తేజిత మొత్తంగా కుళ్ళిపోతుంది కాబట్టి, ప్రతి హార్మోనిక్ ప్రేరేపణకు సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందన అవసరం. హార్మోనిక్ ఉత్తేజిత చర్యలో, అవకలన సమీకరణం ఒక డిగ్రీ స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క కదలికను వ్రాయవచ్చు:

ప్రతిస్పందన రెండు భాగాల మొత్తం. ఒక భాగం డంప్డ్ వైబ్రేషన్ యొక్క ప్రతిస్పందన, ఇది కాలక్రమేణా వేగంగా క్షీణిస్తుంది. బలవంతంగా కంపనం యొక్క మరొక భాగం యొక్క ప్రతిస్పందనను వ్రాయవచ్చు:

అంజీర్. 3 డంప్డ్ వైబ్రేషన్ కర్వ్

అంజీర్. క్లిష్టమైన డంపింగ్‌తో మూడు ప్రారంభ పరిస్థితుల 4 వక్రతలు

అని టైప్ చేయండి

H /F0= h (), అనేది ఉత్తేజిత వ్యాప్తికి స్థిరమైన ప్రతిస్పందన వ్యాప్తి యొక్క నిష్పత్తి, వ్యాప్తి-పౌనఃపున్య లక్షణాలను వర్గీకరించడం లేదా పనితీరును పొందడం; స్థిరమైన స్థితి ప్రతిస్పందన మరియు దశ యొక్క ప్రోత్సాహకం కోసం బిట్‌లు, దశ పౌనఃపున్య లక్షణాల లక్షణం. వాటి మధ్య సంబంధం మరియు ఉత్తేజిత ఫ్రీక్వెన్సీ FIGలో చూపబడింది. 5 మరియు FIG. 6.

యాంప్లిట్యూడ్-ఫ్రీక్వెన్సీ కర్వ్ (FIG. 5) నుండి చూడగలిగినట్లుగా, చిన్న డంపింగ్ విషయంలో, వ్యాప్తి-ఫ్రీక్వెన్సీ వక్రత ఒకే శిఖరాన్ని కలిగి ఉంటుంది. డంపింగ్ చిన్నది, కోణీయ శిఖరం; శిఖరానికి సంబంధించిన ఫ్రీక్వెన్సీ సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిధ్వని ఫ్రీక్వెన్సీ అని పిలుస్తారు. చిన్న డంపింగ్ విషయంలో, ప్రతిధ్వని ఫ్రీక్వెన్సీ సహజ పౌనఃపున్యం నుండి చాలా భిన్నంగా ఉండదు. ఉత్తేజిత ఫ్రీక్వెన్సీ ఉన్నప్పుడు సహజ ఫ్రీక్వెన్సీకి దగ్గరగా, వ్యాప్తి తీవ్రంగా పెరుగుతుంది. ఈ దృగ్విషయాన్ని ప్రతిధ్వని అని పిలుస్తారు. ప్రతిధ్వని వద్ద, సిస్టమ్ యొక్క లాభం గరిష్టీకరించబడుతుంది, అనగా, బలవంతంగా కంపనం అత్యంత తీవ్రమైనది. అందువల్ల, సాధారణంగా, ప్రతిధ్వనిని నివారించడానికి ఎల్లప్పుడూ ప్రయత్నించాలి, కొన్ని సాధనాలు మరియు పరికరాలు ప్రతిధ్వనిని పెద్దగా సాధించడానికి ఉపయోగించకపోతే. కంపనం.

అంజీర్. 5 వ్యాప్తి ఫ్రీక్వెన్సీ కర్వ్

ఒమేగా జీరో ఫేజ్ తేడా బిట్స్ = PI / 2లో, డంపింగ్ పరిమాణంతో సంబంధం లేకుండా, ఫేజ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కర్వ్ (ఫిగర్ 6) నుండి చూడవచ్చు, ఈ లక్షణాన్ని ప్రతిధ్వనిని కొలిచేందుకు సమర్థవంతంగా ఉపయోగించవచ్చు.

స్థిరమైన ప్రేరేపణతో పాటు, సిస్టమ్‌లు కొన్నిసార్లు అస్థిరమైన ఉత్తేజాన్ని ఎదుర్కొంటాయి.దీనిని స్థూలంగా రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు: ఒకటి ఆకస్మిక ప్రభావం.రెండవది ఏకపక్షం యొక్క శాశ్వత ప్రభావం.అస్థిరమైన ఉత్తేజం కింద, సిస్టమ్ ప్రతిస్పందన కూడా అస్థిరంగా ఉంటుంది.

అస్థిర కంపనాన్ని విశ్లేషించడానికి ఒక శక్తివంతమైన సాధనం ప్రేరణ ప్రతిస్పందన పద్ధతి. ఇది సిస్టమ్ యొక్క యూనిట్ ఇంపల్స్ ఇన్‌పుట్ యొక్క తాత్కాలిక ప్రతిస్పందనతో సిస్టమ్ యొక్క డైనమిక్ లక్షణాలను వివరిస్తుంది. యూనిట్ ప్రేరణను డెల్టా ఫంక్షన్‌గా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఇంజనీరింగ్‌లో, డెల్టా ఫంక్షన్ తరచుగా ఇలా నిర్వచించబడుతుంది:

ఇక్కడ 0- ఎడమ నుండి సున్నాకి చేరుకునే t-అక్షంపై పాయింట్‌ను సూచిస్తుంది; 0 ప్లస్ అనేది కుడి నుండి 0కి వెళ్లే పాయింట్.

అంజీర్. 6 దశ ఫ్రీక్వెన్సీ వక్రత

అంజీర్. 7 ఏదైనా ఇన్‌పుట్ ప్రేరణ మూలకాల శ్రేణి మొత్తంగా పరిగణించబడుతుంది

సిస్టమ్ t=0 వద్ద యూనిట్ ప్రేరణ ద్వారా ఉత్పన్నమయ్యే ప్రతిస్పందన h(t)కి అనుగుణంగా ఉంటుంది, దీనిని ఇంపల్స్ రెస్పాన్స్ ఫంక్షన్ అంటారు. సిస్టమ్ పల్స్‌కు ముందు స్థిరంగా ఉందని ఊహిస్తే, t<0 కోసం h(t)=0.తెలుసుకోవడం సిస్టమ్ యొక్క ప్రేరణ ప్రతిస్పందన ఫంక్షన్, మేము ఏదైనా ఇన్‌పుట్ x(t)కి సిస్టమ్ యొక్క ప్రతిస్పందనను కనుగొనగలము. ఈ సమయంలో, మీరు x(t)ని ప్రేరణ యొక్క శ్రేణి మొత్తంగా భావించవచ్చు. మూలకాలు (FIG. 7) వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన:

సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం ఆధారంగా, x(t)కి సంబంధించిన సిస్టమ్ యొక్క మొత్తం ప్రతిస్పందన:

ఈ సమగ్రతను కన్వల్యూషన్ ఇంటిగ్రల్ లేదా సూపర్‌పొజిషన్ ఇంటిగ్రల్ అంటారు.

బహుళ-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్

n≥2 డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో సరళ వ్యవస్థ యొక్క కంపనం.

మూర్తి 8 ఒక కప్లింగ్ స్ప్రింగ్ ద్వారా అనుసంధానించబడిన రెండు సాధారణ ప్రతిధ్వని ఉపవ్యవస్థలను చూపుతుంది. ఇది రెండు-డిగ్రీ-ఆఫ్-ఫ్రీడం సిస్టమ్ అయినందున, దాని స్థానాన్ని నిర్ణయించడానికి రెండు స్వతంత్ర కోఆర్డినేట్‌లు అవసరమవుతాయి. ఈ వ్యవస్థలో రెండు సహజ పౌనఃపున్యాలు ఉన్నాయి:

ప్రతి పౌనఃపున్యం వైబ్రేషన్ మోడ్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్‌లు ఒకే పౌనఃపున్యం యొక్క హార్మోనిక్ డోలనాలను నిర్వహిస్తాయి, సమకాలీకరణ స్థానం గుండా సమకాలీకరించబడతాయి మరియు సమకాలీనంగా తీవ్ర స్థానానికి చేరుకుంటాయి. ఒమేగా వన్‌కు సంబంధించిన ప్రధాన కంపనంలో, x1 x2కి సమానం; ఒమేగా ఒమేగా టూ, ఒమేగా ఒమేగా వన్.ఇన్‌కి సంబంధించిన ప్రధాన కంపనం ప్రధాన కంపనం, ప్రతి ద్రవ్యరాశి యొక్క స్థానభ్రంశం నిష్పత్తి ఒక నిర్దిష్ట సంబంధాన్ని ఉంచుతుంది మరియు ఒక నిర్దిష్ట మోడ్‌ను ఏర్పరుస్తుంది, దీనిని ప్రధాన మోడ్ లేదా సహజ మోడ్ అని పిలుస్తారు. ప్రధాన మోడ్‌లలో ద్రవ్యరాశి మరియు దృఢత్వం యొక్క ఆర్తోగోనాలిటీ ఉంటుంది, ఇది ప్రతి కంపనం యొక్క స్వతంత్రతను ప్రతిబింబిస్తుంది. .సహజ ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు ప్రధాన మోడ్ బహుళ-డిగ్రీ స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ యొక్క స్వాభావిక కంపన లక్షణాలను సూచిస్తాయి.

అంజీర్. బహుళ స్థాయి స్వేచ్ఛతో 8 వ్యవస్థ

స్వేచ్ఛ యొక్క n డిగ్రీల వ్యవస్థ n సహజ పౌనఃపున్యాలు మరియు n ప్రధాన మోడ్‌లను కలిగి ఉంటుంది. సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా వైబ్రేషన్ కాన్ఫిగరేషన్‌ను ప్రధాన మోడ్‌ల యొక్క లీనియర్ కలయికగా సూచించవచ్చు. అందుచేత, బహుళ యొక్క డైనమిక్ ప్రతిస్పందన విశ్లేషణలో ప్రధాన మోడ్ సూపర్‌పొజిషన్ పద్ధతి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. -dof వ్యవస్థలు.ఈ విధంగా, సిస్టమ్ యొక్క సహజ కంపన లక్షణాల యొక్క కొలత మరియు విశ్లేషణ సిస్టమ్ యొక్క డైనమిక్ డిజైన్‌లో ఒక సాధారణ దశగా మారుతుంది.

మల్టీ-డాఫ్ సిస్టమ్స్ యొక్క డైనమిక్ లక్షణాలను ఫ్రీక్వెన్సీ లక్షణాల ద్వారా కూడా వర్ణించవచ్చు.ప్రతి ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ మధ్య ఫ్రీక్వెన్సీ క్యారెక్టరిస్టిక్ ఫంక్షన్ ఉన్నందున, ఫ్రీక్వెన్సీ క్యారెక్టివ్ మ్యాట్రిక్స్ నిర్మించబడుతుంది.మల్టీ-ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ యొక్క యాంప్లిట్యూడ్-ఫ్రీక్వెన్సీ క్యారెక్ట్రిక్ కర్వ్ భిన్నంగా ఉంటుంది. ఏక-స్వేచ్ఛ వ్యవస్థ నుండి.

ఎలాస్టోమర్ కంపిస్తుంది

పైన పేర్కొన్న బహుళ స్థాయి స్వేచ్ఛా వ్యవస్థ ఎలాస్టోమర్ యొక్క యాంత్రిక నమూనాగా ఉంటుంది. ఒక ఎలాస్టోమర్‌కు అనంతమైన డిగ్రీల స్వేచ్ఛ ఉంటుంది. పరిమాణాత్మక వ్యత్యాసం ఉంది కానీ రెండింటి మధ్య ముఖ్యమైన తేడా లేదు. ఏదైనా ఎలాస్టోమర్‌కు అనంతమైన సహజ పౌనఃపున్యాలు ఉంటాయి మరియు అనంతమైన సంబంధిత మోడ్‌లు, మరియు ద్రవ్యరాశి మరియు దృఢత్వం యొక్క మోడ్‌ల మధ్య ఆర్తోగోనాలిటీ ఉంటుంది. ఏదైనా ఎలాస్టోమర్ యొక్క వైబ్రేషనల్ కాన్ఫిగరేషన్ ప్రధాన మోడ్‌ల యొక్క లీనియర్ సూపర్‌పొజిషన్‌గా కూడా సూచించబడుతుంది.అందుచేత, ఎలాస్టోమర్ యొక్క డైనమిక్ రెస్పాన్స్ విశ్లేషణ కోసం, ప్రధాన మోడ్ యొక్క సూపర్‌పొజిషన్ పద్ధతి ఇప్పటికీ వర్తిస్తుంది (ఎలాస్టోమర్ యొక్క లీనియర్ వైబ్రేషన్ చూడండి).

ఒక స్ట్రింగ్ యొక్క కంపనాన్ని తీసుకోండి.ఒక యూనిట్ పొడవుకు m యొక్క ఒక సన్నని స్ట్రింగ్ m, లాంగ్ l, రెండు చివర్లలో టెన్షన్ చేయబడిందని మరియు ఉద్రిక్తత T అని చెప్పండి. ఈ సమయంలో, స్ట్రింగ్ యొక్క సహజ పౌనఃపున్యం కింది వాటి ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది సమీకరణం:

F =na/2l (n= 1,2,3...).

స్ట్రింగ్ దిశలో విలోమ తరంగం యొక్క ప్రచార వేగం ఎక్కడ ఉంది. స్ట్రింగ్‌ల యొక్క సహజ పౌనఃపున్యాలు 2l కంటే ఎక్కువ ప్రాథమిక పౌనఃపున్యానికి గుణిజాలుగా ఉంటాయి. ఈ పూర్ణాంకాల గుణకారం ఆహ్లాదకరమైన శ్రావ్యమైన నిర్మాణానికి దారి తీస్తుంది. సాధారణంగా, ఏదీ ఉండదు. ఎలాస్టోమర్ యొక్క సహజ పౌనఃపున్యాల మధ్య అటువంటి పూర్ణాంకం బహుళ సంబంధం.

టెన్షన్డ్ స్ట్రింగ్ యొక్క మొదటి మూడు మోడ్‌లు FIGలో చూపబడ్డాయి. 9. మెయిన్ మోడ్ కర్వ్‌లో కొన్ని నోడ్‌లు ఉన్నాయి.ప్రధాన కంపనంలో, నోడ్‌లు వైబ్రేట్ అవ్వవు.FIG. 10 వృత్తాలు మరియు వ్యాసాలతో కూడిన కొన్ని నోడల్ పంక్తులతో చుట్టుకొలత మద్దతు ఉన్న వృత్తాకార ప్లేట్ యొక్క అనేక సాధారణ మోడ్‌లను చూపుతుంది.

ఎలాస్టోమర్ వైబ్రేషన్ సమస్య యొక్క ఖచ్చితమైన సూత్రీకరణను పాక్షిక అవకలన సమీకరణాల సరిహద్దు విలువ సమస్యగా ముగించవచ్చు. అయితే, ఖచ్చితమైన పరిష్కారం కొన్ని సరళమైన సందర్భాలలో మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది, కాబట్టి మేము సంక్లిష్ట ఎలాస్టోమర్‌కు సుమారుగా పరిష్కారాన్ని ఆశ్రయించవలసి ఉంటుంది. కంపన సమస్య. వివిధ ఉజ్జాయింపు పరిష్కారాల సారాంశం అనంతాన్ని పరిమితానికి మార్చడం, అంటే లింబ్-లెస్ మల్టీ-డిగ్రీ ఆఫ్ ఫ్రీడమ్ సిస్టమ్ (నిరంతర వ్యవస్థ)ని పరిమిత బహుళ స్థాయి స్వేచ్ఛా వ్యవస్థగా (వివిక్త వ్యవస్థ) విడదీయడానికి. ఇంజనీరింగ్ విశ్లేషణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించే రెండు రకాల విచక్షణ పద్ధతులు ఉన్నాయి: పరిమిత మూలకం పద్ధతి మరియు మోడల్ సంశ్లేషణ పద్ధతి. .

అంజీర్. స్ట్రింగ్ యొక్క 9 మోడ్

అంజీర్. వృత్తాకార ప్లేట్ యొక్క 10 మోడ్

పరిమిత మూలకం పద్ధతి అనేది మిశ్రమ నిర్మాణం, ఇది సంక్లిష్ట నిర్మాణాన్ని పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలలోకి సంగ్రహిస్తుంది మరియు వాటిని పరిమిత సంఖ్యలో నోడ్‌ల వద్ద కలుపుతుంది. ప్రతి యూనిట్ ఎలాస్టోమర్; మూలకం యొక్క పంపిణీ స్థానభ్రంశం నోడ్ స్థానభ్రంశం యొక్క ఇంటర్‌పోలేషన్ ఫంక్షన్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ప్రతి మూలకం యొక్క పంపిణీ పారామితులు ఒక నిర్దిష్ట ఆకృతిలో ప్రతి నోడ్‌కు కేంద్రీకృతమై ఉంటాయి మరియు వివిక్త వ్యవస్థ యొక్క యాంత్రిక నమూనా పొందబడుతుంది.

మోడల్ సంశ్లేషణ అనేది సంక్లిష్టమైన నిర్మాణాన్ని అనేక సరళమైన సబ్‌స్ట్రక్చర్‌లుగా విభజించడం. ప్రతి సబ్‌స్ట్రక్చర్ యొక్క కంపన లక్షణాలను అర్థం చేసుకోవడం ఆధారంగా, ఇంటర్‌ఫేస్‌లోని సమన్వయ పరిస్థితుల ప్రకారం మరియు సాధారణ వైబ్రేషన్ పదనిర్మాణం ప్రకారం సబ్‌స్ట్రక్చర్ సాధారణ నిర్మాణంగా సంశ్లేషణ చేయబడుతుంది. ప్రతి సబ్‌స్ట్రక్చర్ యొక్క వైబ్రేషన్ పదనిర్మాణాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా నిర్మాణం పొందబడుతుంది.

రెండు పద్ధతులు విభిన్నమైనవి మరియు సంబంధితమైనవి మరియు సూచనగా ఉపయోగించవచ్చు. మోడల్ సంశ్లేషణ పద్ధతిని ప్రయోగాత్మక కొలతతో సమర్థవంతంగా కలిపి పెద్ద వ్యవస్థల కంపన కోసం సైద్ధాంతిక మరియు ప్రయోగాత్మక విశ్లేషణ పద్ధతిని రూపొందించవచ్చు.