Ano ang linear vibration?

Linear vibration: ang elasticity ng mga bahagi sa system ay napapailalim sa batas ng hooke, at ang damping force na nabuo sa panahon ng paggalaw ay proporsyonal sa unang equation ng generalized velocity (time derivative ng generalized coordinates).

konsepto

Ang linear system ay karaniwang isang abstract na modelo ng vibration ng tunay na system. Ang linear vibration system ay inilalapat ang superposition na prinsipyo, iyon ay, kung ang tugon ng system ay y1 sa ilalim ng aksyon ng input x1, at y2 sa ilalim ng aksyon ng input x2, pagkatapos ang tugon ng sistema sa ilalim ng pagkilos ng input x1 at x2 ay y1+y2.

Sa batayan ng prinsipyo ng superposisyon, ang isang arbitrary na input ay maaaring mabulok sa kabuuan ng isang serye ng mga infinitesimal na impulses, at pagkatapos ay ang kabuuang tugon ng system ay maaaring makuha. Ang kabuuan ng mga harmonic na bahagi ng isang periodic excitation ay maaaring mapalawak sa serye ng mga harmonic na bahagi sa pamamagitan ng Fourier transform, at ang epekto ng bawat harmonic component sa system ay maaaring maimbestigahan nang hiwalay. Samakatuwid, ang mga katangian ng pagtugon ng mga linear system na may pare-parehong parameter ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng impulse response o frequency response.

Ang tugon ng impulse ay tumutukoy sa tugon ng system sa unit impulse, na nagpapakilala sa mga katangian ng pagtugon ng system sa domain ng oras. Ang pagtugon sa dalas ay tumutukoy sa katangian ng pagtugon ng system sa unit harmonic input. Ang pagsusulatan sa pagitan ng dalawa ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagbabagong Fourier.

pag-uuri

Maaaring hatiin ang linear vibration sa linear vibration ng single-degree-of-freedom system at linear vibration ng multi-degree-of-freedom system.

(1) linear vibration ng isang single-degree-of-freedom system ay isang linear vibration na ang posisyon ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang generalised coordinate.Ito ang pinakasimpleng vibration kung saan maraming pangunahing konsepto at katangian ng vibration ang maaaring makuha.Kabilang dito ang simple harmonic vibration, libreng vibration, attenuation vibration at forced vibration.

Simple harmonic vibration: ang reciprocating motion ng isang bagay sa paligid ng equilibrium position nito ayon sa sinusoidal law sa ilalim ng pagkilos ng restoreing force na proporsyonal sa displacement nito.

Damped vibration: vibration na ang amplitude ay patuloy na pinahina ng pagkakaroon ng friction at dielectric resistance o iba pang pagkonsumo ng enerhiya.

Sapilitang panginginig ng boses: vibration ng isang sistema sa ilalim ng patuloy na paggulo.

(2) ang linear vibration ng multi-degree-of-freedom system ay ang vibration ng linear system na may n≥2 degrees of freedom.Ang isang sistema ng n degrees of freedom ay may n natural na frequency at n pangunahing mode. ng system ay maaaring kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga pangunahing mode.Samakatuwid, ang pangunahing mode superposition method ay malawakang ginagamit sa dynamic response analysis ng multi-dof system.Sa ganitong paraan, ang pagsukat at pagsusuri ng mga natural na katangian ng vibration ng ang sistema ay nagiging isang nakagawiang hakbang sa pabago-bagong disenyo ng system.Ang mga dinamikong katangian ng mga multi-dof system ay maaari ding ilarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng dalas.Dahil mayroong isang katangian ng dalas na pag-andar sa pagitan ng bawat input at output, ang isang frequency na katangian ng matrix ay itinayo. ay isang tiyak na kaugnayan sa pagitan ng katangian ng dalas at ng pangunahing mode.

Linear vibration ng isang solong antas ng sistema ng kalayaan

Isang linear na vibration kung saan ang posisyon ng isang system ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang generalized coordinate.Ito ang pinakasimple at pinakapangunahing vibration kung saan maraming pangunahing konsepto at katangian ng vibration ang maaaring makuha.Kabilang dito ang simpleng harmonic vibration, damped vibration at forced vibration .

Harmonic vibration

Sa ilalim ng pagkilos ng pagpapanumbalik ng puwersa na proporsyonal sa displacement, ang bagay ay gumaganti sa paraang sinusoidal malapit sa posisyon ng equilibrium nito (FIG. 1). Ang X ay kumakatawan sa displacement at ang t ay kumakatawan sa oras. Ang mathematical expression ng vibration na ito ay:

(1)Kung saan ang A ay ang maximum na halaga ng displacement x, na tinatawag na amplitude, at kumakatawan sa intensity ng vibration;Omega n ay ang amplitude Angle increment ng vibration sa bawat segundo, na tinatawag na angular frequency, o ang circular frequency;Ito ay tinatawag na paunang yugto. Sa mga tuntunin ng f= n/2, ang bilang ng mga oscillation sa bawat segundo ay tinatawag na frequency; Amplitude A, frequency f (o angular frequency n), ang paunang yugto, na kilala bilang simpleng maharmonya vibration tatlong elemento.

FIG. 1 simpleng harmonic vibration curve

Gaya ng ipinapakita sa FIG. 2, ang isang simpleng harmonic oscillator ay nabuo sa pamamagitan ng concentrated mass m na konektado ng isang linear spring. Kapag ang vibration displacement ay kinakalkula mula sa equilibrium position, ang vibration equation ay:

Nasaan ang higpit ng spring. Ang pangkalahatang solusyon sa equation sa itaas ay (1).A at maaaring matukoy ng inisyal na posisyon x0 at paunang bilis sa t=0:

Ngunit ang omega n ay tinutukoy lamang ng mga katangian ng system mismo m at k, independiyente sa karagdagang mga paunang kondisyon, kaya ang omega n ay kilala rin bilang natural na dalas.

FIG. 2 solong antas ng sistema ng kalayaan

Para sa isang simpleng harmonic oscillator, ang kabuuan ng kinetic energy at potensyal na enerhiya nito ay pare-pareho, iyon ay, ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng system ay natipid.Sa proseso ng vibration, ang kinetic energy at potensyal na enerhiya ay patuloy na nagbabago sa bawat isa.

Ang pamamasa ng vibration

Isang vibration na ang amplitude ay patuloy na pinahina ng friction at dielectric resistance o iba pang pagkonsumo ng enerhiya. Para sa micro vibration, ang velocity ay karaniwang hindi masyadong malaki, at ang medium resistance ay proporsyonal sa velocity sa unang power, na maaaring isulat bilang c ay ang koepisyent ng pamamasa. Samakatuwid, ang equation ng vibration ng isang antas ng kalayaan na may linear na pamamasa ay maaaring isulat bilang:

(2)Kung saan, ang m =c/2m ay tinatawag na damping parameter, at.Ang pangkalahatang solusyon ng formula (2) ay maaaring isulat:

(3)Ang numerical na relasyon sa pagitan ng omega n at PI ay maaaring nahahati sa sumusunod na tatlong mga kaso:

N > (sa kaso ng maliit na pamamasa) particle ay gumawa ng attenuation vibration, ang vibration equation ay:

Bumababa ang amplitude nito sa paglipas ng panahon ayon sa exponential law na ipinapakita sa equation, tulad ng ipinapakita sa dotted line sa FIG. 3. Sa mahigpit na pagsasalita, ang vibration na ito ay aperiodic, ngunit ang dalas ng peak nito ay maaaring tukuyin bilang:

Tinatawag na amplitude reduction rate, kung saan ang panahon ng vibration.Ang natural logarithm ng amplitude reduction rate ay tinatawag na logarithm minus (amplitude) rate. pang-eksperimentong pagsubok delta at, gamit ang formula sa itaas ay maaaring kalkulahin c.

Sa oras na ito, ang solusyon ng equation (2) ay maaaring isulat:

Kasama ang direksyon ng paunang bilis, maaari itong hatiin sa tatlong kaso na hindi panginginig ng boses tulad ng ipinapakita sa FIG. 4.

N < (sa kaso ng malaking pamamasa), ang solusyon sa equation (2) ay ipinapakita sa equation (3). Sa puntong ito, hindi na nagvibrate ang system.

Sapilitang panginginig ng boses

Panginginig ng boses ng isang sistema sa ilalim ng patuloy na paggulo. Pangunahing sinisiyasat ng pagtatasa ng vibration ang tugon ng system sa paggulo. Ang panaka-nakang paggulo ay isang tipikal na regular na paggulo. Dahil ang panaka-nakang paggulo ay maaaring palaging mabulok sa kabuuan ng ilang maharmonya na paggulo, ayon sa prinsipyo ng superposisyon, tanging ang tugon ng system sa bawat harmonic excitation ay kinakailangan. Sa ilalim ng aksyon ng harmonic excitation, ang differential equation ng paggalaw ng isang antas ng freedom damped system ay maaaring isulat:

Ang tugon ay ang kabuuan ng dalawang bahagi. Ang isang bahagi ay ang tugon ng damped vibration, na mabilis na nabubulok sa paglipas ng panahon. Ang tugon ng isa pang bahagi ng forced vibration ay maaaring isulat:

FIG. 3 damped vibration curve

FIG. 4 na kurba ng tatlong paunang kundisyon na may kritikal na pamamasa

I-type ang

H /F0= h (), ay ang ratio ng steady response amplitude sa excitation amplitude, characterizing amplitude-frequency na katangian, o gain function;Bits para sa steady state response at insentibo ng phase, characterization ng phase frequency na katangian.Ang kaugnayan sa pagitan nila at Ang dalas ng paggulo ay ipinapakita sa FIG. 5 at FIG. 6.

Tulad ng makikita mula sa amplitude-frequency curve (FIG. 5), sa kaso ng maliit na pamamasa, ang amplitude-frequency curve ay may isang solong peak. Kung mas maliit ang pamamasa, mas matarik ang peak; Ang frequency na tumutugma sa peak ay tinatawag na resonant frequency ng system.Sa kaso ng maliit na pamamasa, ang resonance frequency ay hindi gaanong naiiba sa natural frequency.Kapag ang excitation frequency ay malapit sa natural frequency, ang amplitude ay tumataas nang husto. Ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay tinatawag na resonance.Sa resonance, ang pakinabang ng system ay na-maximize, iyon ay, ang sapilitang panginginig ng boses ay ang pinakamatindi.Samakatuwid, sa pangkalahatan, palaging nagsusumikap na maiwasan ang resonance, maliban kung ang ilang mga instrumento at kagamitan na gumamit ng resonance upang makamit ang malaki panginginig ng boses.

FIG. 5 amplitude frequency curve

Makikita mula sa phase frequency curve (figure 6), anuman ang laki ng pamamasa, sa omega zero phase difference bits = PI / 2, ang katangiang ito ay maaaring epektibong magamit sa pagsukat ng resonance.

Bilang karagdagan sa steady excitation, ang mga system ay minsan ay nakakaranas ng unsteady excitation. Ito ay halos nahahati sa dalawang uri: ang isa ay ang biglaang epekto. Ang pangalawa ay ang pangmatagalang epekto ng arbitrariness. Sa ilalim ng unsteady excitation, ang tugon ng system ay hindi rin matatag.

Ang isang makapangyarihang tool para sa pagsusuri ng hindi matatag na panginginig ng boses ay ang paraan ng pagtugon ng impulse. Inilalarawan nito ang mga dynamic na katangian ng system na may lumilipas na tugon ng input ng unit impulse ng system. Ang unit impulse ay maaaring ipahayag bilang isang delta function. Sa engineering, ang delta Ang function ay madalas na tinukoy bilang:

Kung saan ang 0- ay kumakatawan sa punto sa t-axis na lumalapit sa zero mula sa kaliwa; ang 0 plus ay ang puntong papunta sa 0 mula sa kanan.

FIG. 6 phase frequency curve

FIG. 7 anumang input ay maaaring ituring bilang kabuuan ng isang serye ng mga elemento ng salpok

Ang sistema ay tumutugma sa tugon h(t) na nabuo ng unit impulse sa t=0, na tinatawag na impulse response function.Ipagpalagay na ang system ay nakatigil bago ang pulso, h(t)=0 para sa t<0.Alam ang impulse response function ng system, mahahanap natin ang response ng system sa anumang input x(t). .Ang tugon ng system ay:

Batay sa prinsipyo ng superposisyon, ang kabuuang tugon ng system na naaayon sa x(t) ay:

Ang integral na ito ay tinatawag na convolution integral o superposition integral.

Linear vibration ng isang multi-degree-of-freedom system

Vibration ng isang linear system na may n≥2 degrees ng kalayaan.

Ipinapakita ng Figure 8 ang dalawang simpleng resonant subsystem na konektado ng coupling spring. Dahil isa itong two-degree-of-freedom system, dalawang independiyenteng coordinate ang kailangan upang matukoy ang posisyon nito. Mayroong dalawang natural na frequency sa system na ito:

Ang bawat frequency ay tumutugma sa isang mode ng vibration. Ang mga harmonic oscillator ay nagsasagawa ng mga harmonic oscillations ng parehong frequency, sabay-sabay na dumadaan sa posisyon ng equilibrium at sabay-sabay na umabot sa matinding posisyon. Sa pangunahing vibration na tumutugma sa omega one, ang x1 ay katumbas ng x2; ang pangunahing vibration na tumutugma sa omega omega two, omega omega one.Sa pangunahing vibration, ang displacement ratio ng bawat masa ay nagpapanatili ng isang tiyak na kaugnayan at bumubuo ng isang tiyak na mode, na tinatawag na pangunahing mode o natural na mode.Ang orthogonality ng masa at Ang katigasan ay umiiral sa mga pangunahing mode, na sumasalamin sa kalayaan ng bawat panginginig ng boses. Ang natural na dalas at pangunahing mode ay kumakatawan sa mga likas na katangian ng panginginig ng boses ng multi-degree ng sistema ng kalayaan.

FIG. 8 system na may maraming antas ng kalayaan

Ang isang sistema ng n degree ng kalayaan ay may n natural na frequency at n pangunahing mga mode. Anumang vibration configuration ng system ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon ng mga pangunahing mode. Samakatuwid, ang pangunahing mode superposition method ay malawakang ginagamit sa dynamic response analysis ng multi -dof systems.Sa ganitong paraan, ang pagsukat at pagsusuri ng mga likas na katangian ng vibration ng system ay nagiging isang nakagawiang hakbang sa dynamic na disenyo ng system.

Ang mga dynamic na katangian ng mga multi-dof system ay maaari ding ilarawan sa pamamagitan ng mga katangian ng dalas. Dahil mayroong isang katangian ng dalas na pag-andar sa pagitan ng bawat input at output, ang isang frequency na katangian ng matrix ay itinayo. Ang kurba ng katangian ng amplitude-frequency ng multi-freedom system ay naiiba. mula sa sistema ng single-freedom.

Nag-vibrate ang elastomer

Ang nasa itaas na multi-degree of freedom system ay isang tinatayang mekanikal na modelo ng elastomer. Ang elastomer ay may walang katapusang bilang ng mga degree ng kalayaan. Mayroong quantitative difference ngunit walang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng dalawa. Anumang elastomer ay may walang katapusang bilang ng mga natural na frequency at isang walang katapusang bilang ng kaukulang mga mode, at mayroong orthogonality sa pagitan ng mga mode ng masa at katigasan. Anumang vibrational configuration ng elastomer ay maaari ding kinakatawan bilang isang linear superposition ng mga pangunahing mode. Samakatuwid, para sa dynamic na response analysis ng elastomer, ang superposition method ng pangunahing mode ay naaangkop pa rin (tingnan ang linear vibration ng elastomer).

Kunin ang vibration ng isang string. Sabihin natin na ang isang manipis na string ng mass m bawat yunit ng haba, mahabang l, ay tensioned sa magkabilang dulo, at ang tensyon ay T. Sa oras na ito, ang natural na dalas ng string ay tinutukoy ng mga sumusunod equation:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Kung saan, ay ang propagation velocity ng transverse wave sa direksyon ng string. Ang mga natural na frequency ng mga string ay nangyayari na multiple ng pangunahing frequency sa 2l. Ang integer multiplicity na ito ay humahantong sa isang kaaya-ayang harmonic na istraktura. Sa pangkalahatan, walang tulad integer maramihang ugnayan sa mga natural na frequency ng elastomer.

Ang unang tatlong mga mode ng tensioned string ay ipinapakita sa FIG. 9. Mayroong ilang mga node sa main mode curve. Sa pangunahing vibration, ang mga node ay hindi nagvibrate.FIG. Ang 10 ay nagpapakita ng ilang karaniwang mga mode ng circumferentially supported circular plate na may ilang nodal lines na binubuo ng mga bilog at diameter.

Ang eksaktong pagbabalangkas ng problema sa panginginig ng boses ng elastomer ay maaaring tapusin bilang problema sa halaga ng hangganan ng mga partial differential equation. Gayunpaman, ang eksaktong solusyon ay matatagpuan lamang sa ilan sa mga pinakasimpleng kaso, kaya kailangan nating gumamit ng tinatayang solusyon para sa kumplikadong elastomer problema sa panginginig ng boses.Ang kakanyahan ng iba't ibang tinatayang solusyon ay upang baguhin ang walang hanggan sa may hangganan, iyon ay, upang i-discrete ang limb-less multi-degree of freedom system (continuous system) sa isang finite multi-degree of freedom system (discrete system) .Mayroong dalawang uri ng mga paraan ng discretization na malawakang ginagamit sa pagsusuri ng inhinyero: paraan ng may hangganan na elemento at paraan ng synthesis ng modal.

FIG. 9 mode ng string

FIG. 10 mode ng pabilog na plato

Ang Finite element method ay isang composite structure na nag-abstract ng isang complex structure sa isang finite number of elements at nag-uugnay sa kanila sa isang finite number of nodes. Ang bawat unit ay isang elastomer; Ang distribution displacement ng element ay ipinahayag sa pamamagitan ng interpolation function ng node displacement. Ang mga parameter ng pamamahagi ng bawat elemento ay puro sa bawat node sa isang tiyak na format, at ang mekanikal na modelo ng discrete system ay nakuha.

Ang modal synthesis ay ang pagkabulok ng isang kumplikadong istraktura sa ilang mas simpleng mga substructure. ang istraktura ay nakuha sa pamamagitan ng paggamit ng vibration morphology ng bawat substructure.

Ang dalawang pamamaraan ay magkaiba at magkaugnay, at maaaring gamitin bilang sanggunian. Ang modal synthesis na paraan ay maaari ding epektibong pagsamahin sa pang-eksperimentong pagsukat upang bumuo ng isang teoretikal at eksperimental na paraan ng pagsusuri para sa vibration ng malalaking sistema.