Doğrusal titreşim: sistemdeki bileşenlerin esnekliği Hooke yasasına tabidir ve hareket sırasında oluşturulan sönümleme kuvveti genelleştirilmiş hızın ilk denklemiyle (genelleştirilmiş koordinatların zamana göre türevi) orantılıdır.
kavram
Doğrusal sistem genellikle gerçek sistemin titreşiminin soyut bir modelidir. Doğrusal titreşim sistemi süperpozisyon ilkesini uygular; yani, x1 girişinin etkisi altında sistemin tepkisi y1 ve x2 girişinin etkisi altında y2 ise, bu durumda x1 ve x2 girişinin etkisi altında sistemin yanıtı y1+y2 olur.
Süperpozisyon ilkesine dayanarak, keyfi bir girdi, bir dizi sonsuz küçük darbenin toplamına ayrıştırılabilir ve daha sonra sistemin toplam tepkisi elde edilebilir. Periyodik bir uyarımın harmonik bileşenlerinin toplamı, şu şekilde genişletilebilir: Fourier dönüşümü ile harmonik bileşenler dizisi oluşturulabilir ve her bir harmonik bileşenin sistem üzerindeki etkisi ayrı ayrı incelenebilir. Dolayısıyla sabit parametrelere sahip doğrusal sistemlerin yanıt özellikleri, darbe yanıtı veya frekans yanıtı ile açıklanabilir.
Darbe tepkisi, sistemin zaman alanındaki tepki özelliklerini karakterize eden birim darbeye sistemin tepkisini ifade eder. Frekans tepkisi, sistemin birim harmonik girişe verdiği tepki karakteristiğini ifade eder. İkisi arasındaki yazışma belirlenir. Fourier dönüşümü ile.
sınıflandırma
Doğrusal titreşim, tek serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi ve çok serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi olarak ikiye ayrılabilir.
(1) Tek serbestlik dereceli bir sistemin doğrusal titreşimi, konumu genelleştirilmiş bir koordinatla belirlenebilen doğrusal bir titreşimdir. Birçok temel kavram ve titreşim özelliğinin türetilebileceği en basit titreşimdir. Basit içerir. harmonik titreşim, serbest titreşim, zayıflama titreşimi ve zorlanmış titreşim.
Basit harmonik titreşim: Bir nesnenin, yer değiştirmesiyle orantılı bir geri getirme kuvvetinin etkisi altında sinüzoidal bir yasaya göre denge konumu yakınındaki ileri geri hareketi.
Sönümlü titreşim: Sürtünme ve dielektrik direncin veya diğer enerji tüketiminin varlığı nedeniyle genliği sürekli olarak zayıflayan titreşim.
Zorlanmış titreşim: Sürekli uyarılma altında bir sistemin titreşimi.
(2) Çok serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi, n≥2 serbestlik derecesine sahip doğrusal sistemin titreşimidir. n serbestlik dereceli bir sistemin n doğal frekansı ve n ana modu vardır. Herhangi bir titreşim konfigürasyonu sistemin ana modlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, ana mod süperpozisyon yöntemi, çoklu serbestlik dereceli sistemlerin dinamik tepki analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu sayede, sistemin doğal titreşim özelliklerinin ölçümü ve analizi yapılmaktadır. sistem rutin bir adım haline gelir Sistemin dinamik tasarımında. Çoklu serbestlik dereceli sistemlerin dinamik özellikleri aynı zamanda frekans karakteristikleri ile de açıklanabilir. Her giriş ve çıkış arasında bir frekans karakteristik fonksiyonu olduğundan, bir frekans karakteristik matrisi oluşturulur. Arasında kesin bir ilişki vardır. frekans karakteristiği ve ana mod. Çoklu özgürlük sisteminin genlik-frekans karakteristik eğrisi, tek özgürlük sistemininkinden farklıdır.
Tek serbestlik dereceli sistemin doğrusal titreşimi
Bir sistemin konumunun genelleştirilmiş bir koordinatla belirlenebildiği doğrusal bir titreşimdir. Titreşimin birçok temel kavramının ve karakteristiğinin türetilebileceği en basit ve en temel titreşimdir. Basit harmonik titreşim, sönümlü titreşim ve zorlanmış titreşimi içerir. .
Harmonik titreşim
Yer değiştirmeyle orantılı geri yükleme kuvvetinin etkisi altında, nesne denge konumuna yakın sinüsoidal bir şekilde ileri geri hareket eder (ŞEKİL 1). X yer değiştirmeyi ve t ise zamanı temsil eder. Bu titreşimin matematiksel ifadesi şöyledir:
(1)Burada A, genlik olarak adlandırılan ve titreşimin yoğunluğunu temsil eden x yer değiştirmesinin maksimum değeridir; Omega n, açısal frekans veya dairesel frekans olarak adlandırılan titreşimin saniyedeki açı artışının genliğidir; başlangıç fazı denir. f= n/2 cinsinden saniyedeki salınım sayısına frekans denir; Bunun tersi olan T=1/f, bir döngünün salınımı için geçen süredir ve buna periyot denir. Genlik A, frekans f (veya açısal frekans n), başlangıç fazı, basit harmonik titreşim olarak bilinen üç elementtir.
İNCİR. 1 basit harmonik titreşim eğrisi
Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 2'de, doğrusal bir yay ile bağlanan konsantre kütle m ile basit bir harmonik osilatör oluşturulur. Titreşim yer değiştirmesi denge konumundan hesaplandığında, titreşim denklemi şöyledir:
Yayın sertliği nerededir. Yukarıdaki denklemin genel çözümü (1).A'dır ve x0 başlangıç konumu ve t=0'daki başlangıç hızı ile belirlenebilir:
Ancak omega n, ek başlangıç koşullarından bağımsız olarak yalnızca sistemin m ve k özellikleriyle belirlenir, dolayısıyla omega n aynı zamanda doğal frekans olarak da bilinir.
İNCİR. 2 tek serbestlik dereceli sistem
Basit bir harmonik osilatörün kinetik enerjisi ve potansiyel enerjisinin toplamı sabittir, yani sistemin toplam mekanik enerjisi korunur. Titreşim sürecinde kinetik enerji ve potansiyel enerji sürekli olarak birbirine dönüşür.
Sönümleme titreşimi
Genliği sürtünme ve dielektrik direnç veya diğer enerji tüketimi nedeniyle sürekli olarak azaltılan bir titreşim. Mikro titreşim için hız genellikle çok büyük değildir ve orta direnç, hızın birinci kuvvetiyle orantılıdır; bu, c olarak yazılabilir. sönüm katsayısı. Bu nedenle, bir serbestlik derecesinin doğrusal sönümlü titreşim denklemi şu şekilde yazılabilir:
(2)Burada m =c/2m sönüm parametresi olarak adlandırılır ve Formül (2)'nin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:
(3)Omega n ve PI arasındaki sayısal ilişki aşağıdaki üç duruma ayrılabilir:
N> (küçük sönümleme durumunda) parçacık tarafından üretilen zayıflama titreşimi, titreşim denklemi:
Şekil 2'de noktalı çizgide gösterildiği gibi, denklemde gösterilen üstel yasaya göre genliği zamanla azalır. 3. Açıkçası, bu titreşim periyodik değildir, ancak tepe noktasının frekansı şu şekilde tanımlanabilir:
Titreşim periyoduna genlik azalma oranı denir. Genlik azalma oranının doğal logaritmasına logaritma eksi (genlik) oranı denir. Açıkçası, bu durumda = 2/1'e eşittir. deneysel test deltası ve yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir c.
Bu durumda denklem (2)'nin çözümü şu şekilde yazılabilir:
Başlangıç hızının yönü ile birlikte, Şekil 2'de gösterildiği gibi üç titreşimsiz duruma bölünebilir. 4.
N < (büyük sönüm durumunda), denklem (2)'nin çözümü denklem (3)'te gösterilmektedir. Bu noktada sistem artık titreşmemektedir.
Zorlanmış titreşim
Sabit uyarım altındaki bir sistemin titreşimi. Titreşim analizi temel olarak sistemin uyarıma tepkisini araştırır. Periyodik uyarım tipik bir düzenli uyarımdır. Periyodik uyarım her zaman süperpozisyon ilkesine göre birkaç harmonik uyarımın toplamına ayrıştırılabildiğinden, yalnızca Sistemin her harmonik uyarıma tepkisi gereklidir. Harmonik uyarılma etkisi altında, tek serbestlik dereceli sönümlü sistemin diferansiyel hareket denklemi yazılabilir:
Yanıt iki parçanın toplamıdır. Bir kısım zamanla hızla azalan sönümlenmiş titreşimin tepkisidir. Zorlanmış titreşimin diğer bir kısmının tepkisi ise şöyle yazılabilir:
İNCİR. 3 sönümlü titreşim eğrisi
İNCİR. Kritik sönümlü üç başlangıç koşulunun 4 eğrisi
Yazın
H /F0= h (), genlik-frekans özelliklerini veya kazanç fonksiyonunu karakterize eden, kararlı yanıt genliğinin uyarım genliğine oranıdır; Fazın kararlı durum yanıtı ve teşviki için bitler, faz frekans özelliklerinin karakterizasyonu. Aralarındaki ilişki ve uyarılma frekansı Şekil 2'de gösterilmektedir. 5 ve ŞEK. 6.
Genlik-frekans eğrisinden görülebileceği gibi (Şekil 5), küçük sönümleme durumunda genlik-frekans eğrisi tek bir tepe noktasına sahiptir. Sönümleme ne kadar küçük olursa tepe o kadar dik olur; Tepe noktasına karşılık gelen frekans sistemin rezonans frekansı denir. Küçük sönümleme durumunda rezonans frekansı doğal frekanstan çok farklı değildir. Uyarma frekansı doğal frekansa yakın olduğunda genlik keskin bir şekilde artar. Bu olaya rezonans denir. Rezonansta sistemin kazancı maksimuma çıkar, yani zorlanmış titreşim en yoğundur. Bu nedenle, bazı alet ve ekipmanlar büyük rezonans elde etmek için rezonans kullanmadıkça, genel olarak her zaman rezonanstan kaçınmaya çalışın. titreşim.
İNCİR. 5 genlikli frekans eğrisi
Faz frekans eğrisinden görülebileceği gibi (şekil 6), sönümlemenin boyutundan bağımsız olarak, omega sıfır faz farkı bitleri = PI / 2 cinsinden bu karakteristik, rezonansın ölçülmesinde etkili bir şekilde kullanılabilir.
Sistemler sürekli uyarılmanın yanı sıra bazen kararsız uyarılmayla da karşılaşabilirler. Kabaca iki türe ayrılabilir: Biri ani çarpmadır. İkincisi ise keyfiliğin kalıcı etkisidir. Kararsız uyarılma altında sistemin tepkisi de kararsızdır.
Kararsız titreşimi analiz etmek için güçlü bir araç, darbe tepkisi yöntemidir. Sistemin birim darbe girişinin geçici tepkisi ile sistemin dinamik özelliklerini tanımlar. Birim darbe bir delta fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Mühendislikte, delta fonksiyon genellikle şu şekilde tanımlanır:
0-, t ekseni üzerinde sıfıra soldan yaklaşan noktayı, 0 artı ise sağdan 0'a giden noktayı temsil eder.
İNCİR. 6 fazlı frekans eğrisi
İNCİR. 7 herhangi bir girdi, bir dizi dürtü elemanının toplamı olarak düşünülebilir
Sistem, t=0 anında birim darbe tarafından oluşturulan h(t) yanıtına karşılık gelir ve buna darbe yanıt fonksiyonu adı verilir. Sistemin darbeden önce durağan olduğunu varsayarsak, t<0 için h(t)=0 olur. Sistemin darbe tepki fonksiyonundan herhangi bir x(t) girişine sistemin tepkisini bulabiliriz. Bu noktada x(t)'yi bir dizi darbe elemanının toplamı olarak düşünebilirsiniz (ŞEKİL 7) .Sistemin yanıtı şu:
Süperpozisyon ilkesine dayanarak x(t)'ye karşılık gelen sistemin toplam yanıtı şöyledir:
Bu integrale evrişim integrali veya süperpozisyon integrali denir.
Çok serbestlik dereceli bir sistemin doğrusal titreşimi
n≥2 serbestlik derecesine sahip doğrusal bir sistemin titreşimi.
Şekil 8, bir bağlantı yayı ile bağlanan iki basit rezonans alt sistemini göstermektedir. İki serbestlik dereceli bir sistem olduğundan konumunu belirlemek için iki bağımsız koordinata ihtiyaç vardır. Bu sistemde iki doğal frekans vardır:
Her frekans bir titreşim moduna karşılık gelir. Harmonik osilatörler aynı frekansın harmonik salınımlarını gerçekleştirir, denge konumundan eşzamanlı olarak geçerek en uç konuma eşzamanlı olarak ulaşır. Omega one'a karşılık gelen ana titreşimde x1, x2'ye eşittir; Omega omega iki, omega omega bir'e karşılık gelen ana titreşim. Ana titreşimde, her kütlenin yer değiştirme oranı belirli bir ilişkiyi korur ve ana mod veya doğal mod olarak adlandırılan belirli bir modu oluşturur. Diklik Her bir titreşimin bağımsızlığını yansıtan ana modlar arasında kütle ve sertlik mevcuttur. Doğal frekans ve ana mod, çok serbestlik dereceli sistemin doğal titreşim özelliklerini temsil eder.
İNCİR. Çoklu serbestlik derecesine sahip 8 sistem
n serbestlik dereceli bir sistem, n doğal frekansa ve n ana moda sahiptir. Sistemin herhangi bir titreşim konfigürasyonu, ana modların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, ana mod süperpozisyon yöntemi, çoklu sistemlerin dinamik tepki analizinde yaygın olarak kullanılır. -dof sistemleri. Bu şekilde sistemin doğal titreşim özelliklerinin ölçülmesi ve analizi, sistemin dinamik tasarımında rutin bir adım haline gelir.
Çoklu serbestlik dereceli sistemlerin dinamik özellikleri aynı zamanda frekans karakteristikleri ile de açıklanabilir. Her giriş ve çıkış arasında bir frekans karakteristik fonksiyonu bulunduğundan, bir frekans karakteristik matrisi oluşturulur. Çoklu özgürlük sisteminin genlik-frekans karakteristik eğrisi farklıdır. tek özgürlük sisteminden.
Elastomer titreşir
Yukarıdaki çok serbestlik dereceli sistem, elastomerin yaklaşık bir mekanik modelidir. Bir elastomerin sonsuz sayıda serbestlik derecesi vardır. İkisi arasında niceliksel bir fark vardır ancak temel bir fark yoktur. Herhangi bir elastomerin sonsuz sayıda doğal frekansı vardır ve sonsuz sayıda karşılık gelen mod vardır ve kütle ve sertlik modları arasında ortogonallik vardır. Elastomerin herhangi bir titreşim konfigürasyonu aynı zamanda ana modların doğrusal bir süperpozisyonu olarak da temsil edilebilir. Bu nedenle, dinamik tepki analizi için elastomer, ana modun süperpozisyon yöntemi hala uygulanabilir (bkz. elastomerin doğrusal titreşimi).
Bir ipin titreşimini ele alalım. Diyelim ki, birim uzunluk başına m kütleli, l uzunluğunda ince bir ip her iki ucunda da geriliyor ve gerilim T. Bu sırada ipin doğal frekansı aşağıdaki formülle belirleniyor: denklem:
F =na/2l (n= 1,2,3…).
Burada, enine dalganın tel yönü boyunca yayılma hızıdır. Tellerin doğal frekansları temel frekansın 2l üzerindeki katları olur. Bu tamsayı çokluğu hoş bir harmonik yapıya yol açar. Genel olarak, elastomerin doğal frekansları arasında böyle bir tamsayı çoklu ilişki.
Gerilmiş ipin ilk üç modu Şekil 2'de gösterilmektedir. 9. Ana mod eğrisi üzerinde bazı düğümler bulunmaktadır. Ana titreşimde düğümler titreşmez. Şekil 10, dairelerden ve çaplardan oluşan bazı düğüm çizgileri ile çevresel olarak desteklenen dairesel plakanın birkaç tipik modunu göstermektedir.
Elastomer titreşim probleminin tam formülasyonu, kısmi diferansiyel denklemlerin sınır değeri problemi olarak sonuçlanabilir. Ancak, kesin çözüm yalnızca en basit durumların bazılarında bulunabilir, bu nedenle karmaşık elastomer için yaklaşık çözüme başvurmak zorundayız. titreşim problemi. Çeşitli yaklaşık çözümlerin özü, sonsuzu sonluya değiştirmek, yani uzuvsuz çok serbestlik dereceli sistemi (sürekli sistem) sonlu çok serbestlik dereceli bir sisteme ayrıştırmaktır. (ayrık sistem). Mühendislik analizinde yaygın olarak kullanılan iki tür ayrıklaştırma yöntemi vardır: sonlu elemanlar yöntemi ve modal sentez yöntemi.
İNCİR. 9 dize modu
İNCİR. 10 dairesel plaka modu
Sonlu elemanlar yöntemi, karmaşık bir yapıyı sonlu sayıda elemana soyutlayan ve bunları sonlu sayıda düğüm noktasına bağlayan kompozit bir yapıdır. Her birim bir elastomerdir; Elemanın dağılım yer değiştirmesi, düğüm yer değiştirmesinin enterpolasyon fonksiyonu ile ifade edilir. Daha sonra Her bir elemanın dağılım parametreleri her bir düğüme belirli bir formatta yoğunlaştırılarak ayrık sistemin mekanik modeli elde edilir.
Modal sentez, karmaşık bir yapının birkaç daha basit alt yapıya ayrıştırılmasıdır. Her bir alt yapının titreşim özelliklerinin anlaşılmasına dayanarak, alt yapı, arayüzdeki koordinasyon koşullarına ve genel titreşim morfolojisine göre genel bir yapıya sentezlenir. Her bir altyapının titreşim morfolojisi kullanılarak yapı elde edilir.
İki yöntem farklı ve ilişkilidir ve referans olarak kullanılabilir. Modal sentez yöntemi aynı zamanda büyük sistemlerin titreşimi için teorik ve deneysel bir analiz yöntemi oluşturmak üzere deneysel ölçümle etkili bir şekilde birleştirilebilir.
Gönderim zamanı: Nis-03-2020
