Що таке лінійна вібрація?

Лінійна вібрація: Еластичність компонентів у системі підлягає закону Гука, а сила демпфування, що утворюється під час руху, пропорційна першому рівнянню узагальненої швидкості (похідна часу узагальнених координат).

концепція

Лінійна система, як правило, є абстрактною моделлю вібрації реальної системи. Лінійна вібраційна система застосовує принцип суперпозиції, тобто, якщо відповідь системи є Y1 під дією входу x1, і y2 під дією входу x2, Потім відповідь системи під дією вхідних x1 і x2 є y1+y2.

На основі принципу суперпозиції довільний вхід може бути розкладений на суму серії нескінченно мазкових імпульсів, а потім може бути отримана загальна реакція системи. Серія гармонічних компонентів шляхом перетворення Фур'є та вплив кожного гармонічного компонента на систему можна дослідити окремо. Тому характеристики відповіді лінійних систем з постійними параметрами можна описати імпульсною реакцією або частотною відповіддю.

Імпульсна відповідь відноситься до відповіді системи на одиницю імпульсу, яка характеризує характеристики відповіді системи у часовій області. Відповідь частоти відноситься до характеристики системи до одиниці гармонічного введення. Відповідність між ними визначається шляхом перетворення Фур'є.

класифікація

Лінійна вібрація може бути поділена на лінійну вібрацію системи одноразового свободи та лінійну вібрацію системи мультипідрозділення.

(1) Лінійна вібрація системи одного ступеня свободи-це лінійна вібрація, положення якої можна визначити узагальненою координатою. Гармонічна вібрація, вільна вібрація, вібрація ослаблення та примусова вібрація.

Проста гармонічна вібрація: зворотно -поступальний рух об'єкта в районі його рівноважного положення відповідно до синусоїдального закону відповідно до дії сили відновлення, пропорційної її переміщенню.

Датптована вібрація: вібрація, амплітуда якої постійно ослаблена наявністю тертя та діелектричного опору або іншого споживання енергії.

Примусова вібрація: вібрація системи під постійним збудженням.

(2) Лінійна вібрація системи мультипідрозмірної свободи-це вібрація лінійної системи з N≥2 градусами свободи. системи може бути представлена ​​як лінійна комбінація основних режимів. Тому основний метод суперпозиції режиму широко застосовується в динамічному аналізі реакцій багатодобових систем. Вимірювання та аналіз природних вібраційних характеристик системи стає звичайним кроком у динамічній конструкції системи. Динамічні характеристики багатодобових систем також можуть бути описані за частотними характеристиками. і вихід, побудована частотна характеристика матриці. Існує певне співвідношення між частотною характеристикою та основним режимом. відрізняється від системи односфрейдової системи.

Лінійна вібрація одного ступеня свободи

Лінійна вібрація, в якій положення системи можна визначити узагальненою координатою. Це найпростіша і найважливіша вібрація, з якої можна отримати багато основних понять та характеристик вібрації. Входить проста гармонічна вібрація, демпфірована вібрація та вимушена вібрація .

Гармонічна вібрація

Під дією відновлення сили, пропорційної переміщення, об'єкт відповідає синусоїдальним чином поблизу його рівноважного положення (рис. 1) .x являє собою переміщення, а t - це час. Математичний вираз цієї вібрації:

(1)Де A - максимальне значення переміщення x, яке називається амплітудою, і являє собою інтенсивність вібрації; омега n - збільшення кута амплітуди вібрації в секунду, що називається кутовою частотою або круговою частотою; це називається початковою фазою. коливання одного циклу, і це називається періодом. Амплітуда А, частота F (або кутова частота N), початкова фаза, відома як прості гармонічні вібрації Три елементи.

Рис. 1 проста гармонічна вібраційна крива

Як показано на фіг. 2, простий гармонійний осцилятор утворюється концентрованою масою m, з'єднаною лінійною пружиною. Коли переміщення вібрації обчислюється з положення рівноваги, рівняння вібрації::

Де жорсткість пружини. Загальне рішення до наведеного рівняння є (1) .A і може бути визначено початковим положенням X0 та початковою швидкістю при t = 0:

Але Omega N визначається лише характеристиками самої системи M і K, незалежно від додаткових початкових умов, тому Omega N також відомий як природна частота.

Рис. 2 Одиничний ступінь системи свободи

Для простого гармонічного генератора сума його кінетичної енергії та потенційної енергії є постійною, тобто загальна механічна енергія системи зберігається. У процесі вібрації кінетична енергія та потенційна енергія постійно перетворюються один на одного.

Вібрація демпфування

Вібрація, амплітуда якої постійно ослаблена тертям та діелектричним опором або іншим споживанням енергії. Для мікро вібрації швидкість, як правило, не дуже велика, а середня опір пропорційна швидкості до першої сили, яка може бути написана як C є Коефіцієнт демпфування. Тому рівняння вібрації одного ступеня свободи з лінійним демпфуванням можна записати як:

(2)Де, m = c/2m називається параметром демпфування, і. Загальне рішення формули (2) можна записати:

(3)Числовий залежність між омега N та Pi може бути розділена на наступні три випадки:

N> (У випадку невеликого демпфування) Частинки, що виробляються, вібрація ослаблення, рівняння вібрації:

Його амплітуда зменшується з часом відповідно до експоненціального закону, показаного в рівнянні, як показано в пунктирній лінії на фіг. 3. Якщо говорити, ця вібрація є аперидовою, але частота його піку може бути визначена як:

Називається швидкістю зменшення амплітуди, де є період вібрації. Природний логарифм швидкості зменшення амплітуди називається логарифм мінус (амплітуда). Експериментальний тестовий дельта і, використовуючи вищевказану формулу, можна обчислити c.

У цей час можна записати рішення рівняння (2):

Поряд з напрямком початкової швидкості, його можна розділити на три випадки нелюбрації, як показано на фіг. 4.

N <(у випадку великого демпфування) рішення рівняння (2) показано в рівнянні (3). У цій точці система більше не вібрує.

Примусова вібрація

Вібрація системи при постійному збудженні. Вібраційний аналіз в основному досліджує реакцію системи на збудження. Пеперіодичне збудження є типовим регулярним збудженням. Зділення періодичного збудження завжди може бути розкладене на суму декількох гармонічних збуджень, відповідно до принципу суперпозиції, лише Необхідна реакція системи на кожне гармонічне збудження. Під дією гармонічного збудження можна записати диференціальне рівняння руху одного ступеня демпфірованої системи свободи:

Відповідь - це сума двох частин. Одна частина - це реакція демпфірованої вібрації, яка швидко розпадається з часом. Відповідь іншої частини примусової вібрації може бути написана:

Рис. 3 затуплена вібраційна крива

Рис. 4 криві з трьох початкових умов з критичним демпфуванням

Введіть

H /F0 = H ()-це відношення амплітуди стійкої реакції на амплітуду збудження, характеризує амплітудні характеристики або функції посилення; біти для стаціонарної реакції та стимулювання фази, характеристика характеристик фази між ними та Частота збудження показана на фіг. 5 і рис. 6.

Як видно з кривої амплітуди частоти (рис. 5), у випадку з невеликим демпфуванням крива амплітуди частота має єдиний пік. Чим менше демпфування, крутіша піка; частота, що відповідає піку називається резонансною частотою системи. У випадку невеликого демпфування частота резонансу не сильно відрізняється від природної частоти. Коли частота збудження близька до природного Частота, амплітуда різко збільшується. Це явище називається резонансом. У резонансі посилення системи максимізований, тобто примусова вібрація є найбільш інтенсивною. вібрація.

Рис. 5 Крива частоти амплітуди

Можна побачити з кривої фазової частоти (мал. 6), незалежно від розміру демпфування, в бітах різниці фаз омега = pi / 2, ця характеристика може бути ефективно використана при вимірюванні резонансу.

Окрім постійного збудження, системи іноді стикаються з нестабільним збудженням. Це може бути приблизно розділене на два типи: один - це раптовий вплив. Другий - це тривалий ефект довільності. За межами нестабільного збудження, реакція системи також нестабільна.

Потужним інструментом для аналізу нестабільної вібрації є метод імпульсного відповіді. Функція часто визначається як:

Де 0- являє собою точку на осі Т, яка наближається до нуля зліва; 0 плюс- це точка, яка йде до 0 праворуч.

Рис. 6 фазова крива

Рис. 7 Будь -який вхід може розглядатися як сума серії імпульсних елементів

Система відповідає відповіді h (t), що генерується одиничним імпульсом при t = 0, що називається функцією імпульсного відповіді. Застосовуючи, що система нерухома перед імпульсом, h (t) = 0 для t <0.nowing Функція імпульсної відповіді системи, ми можемо знайти відповідь системи на будь -який вхід x (t). Якщо в цій точці ви можете подумати про x (t) як суму ряду імпульсних елементів (рис. 7) . Відповідь Системи є:

На основі принципу суперпозиції загальна реакція системи, що відповідає x (t), становить:

Цей інтеграл називається інтегралом згортання або інтеграл суперпозиції.

Лінійна вібрація системи багатограна свободи

Вібрація лінійної системи з N≥2 градусами свободи.

На малюнку 8 показані дві прості резонансні підсистеми, пов'язані з з'єднанням пружини. Оскільки це система двокрана-свободи, для визначення його положення необхідні два незалежні координати. У цій системі є дві природні частоти:

Кожна частота відповідає режиму вібрації. Гармонічні осцилятори проводять гармонічні коливання однієї і тієї ж частоти, синхронно проходячи через положення рівноваги і синхронно досягаючи крайнього положення. Основна вібрація, що відповідає Омега Омега Два, Омега омега по одному. Маса зберігає певне співвідношення і формує певний режим, який називається основним режимом або природним режимом. Ортогональність маси та жорсткості існує серед основних режимів, що відображає незалежність кожної вібрації. Природна частота та основний режим представляють собою Притаманні вібраційні характеристики багатограна системи свободи.

Рис. 8 Система з декількома ступенями свободи

Система N ступенів свободи має n природних частот і n основних режимів. Будь -яка вібраційна конфігурація системи може бути представлена ​​як лінійна комбінація основних режимів. Тому основний метод суперпозиції режиму широко використовується в динамічному аналізі відповіді Multi -dof Системи. Таким чином, вимірювання та аналіз природних вібраційних характеристик системи стає звичайним кроком у динамічній конструкції системи.

Динамічні характеристики мульти-DOF систем також можуть бути описані за частотними характеристиками. Оскільки між кожним входом і виходом є частотна характеристика, складається частотна характеристика матриці. з системної системної системи.

Еластомер вібрує

Вищезазначена багаторічна система свободи є приблизною механічною моделлю еластомеру. Нескінченна кількість відповідних режимів, і існує ортогональність між режимами маси та жорсткості. Будь -яка вібраційна конфігурація еластомера також може бути представлена Як лінійна суперпозиція основних режимів. Тому для динамічного аналізу відповіді еластомеру метод суперпозиції основного режиму все ще застосовується (див. Лінійну вібрацію еластомеру).

Візьміть вібрацію струни. Рівняння:

F = na/2l (n = 1,2,3…).

Де, швидкість поширення поперечної хвилі вздовж напрямку струни. Природні частоти струн є кратними фундаментальними частотою понад 2 л. Цього ціла множинність призводить до приємної гармонічної структури. Таке ціле багаторазове співвідношення між природними частотами еластомеру.

Перші три режими натяжного рядка показані на фіг. 9. Є деякі вузли на кривій головному режимі. У головній вібрації вузли не вібрують.fig. 10 Показано кілька типових режимів окружної підтримки кругової пластини з деякими вузловими лініями, що складаються з кола та діаметрів.

Точне формулювання проблеми вібрації еластомеру можна зробити висновок як задача граничного значення часткових диференціальних рівнянь. Однак точне рішення можна знайти лише в деяких найпростіших випадках, тому нам доведеться вдатися до приблизного рішення для складного еластомера Проблема вібрації. Суть різних приблизних рішень полягає в тому (безперервна система) у кінцеву багатограна системи свободи (дискретна система). Існують два види методів дискретизації, широко використовуються в інженерному аналізі: метод кінцевих елементів та метод модального синтезу.

Рис. 9 Режим рядка

Рис. 10 Режим кругової пластини

Метод кінцевих елементів - це композитна структура, яка абстрагує складну структуру в кінцеву кількість елементів і з'єднує їх при кінцевій кількості вузлів. Коротка одиниця - це еластомер; зміщення розподілу елемента виражається функцією інтерполяції вузла Параметри розподілу кожного елемента зосереджені на кожному вузлі в певному форматі, і отримується механічна модель дискретної системи.

Модальний синтез - це розкладання складної структури на кілька більш простих підструктур. На основі розуміння вібраційних характеристик кожної підструктури, підструктура синтезується в загальну структуру відповідно до умов координації на інтерфейсі та морфології вібрації загальної Структура отримується за допомогою морфології вібрації кожної підструктури.

Два методи різні і пов'язані з цим, і можуть використовуватися як еталон. Метод модального синтезу також може бути ефективно поєднаний з експериментальним вимірюванням, щоб утворити теоретичний та експериментальний метод аналізу для вібрації великих систем.