Що таке лінійна вібрація?

Лінійна вібрація: пружність компонентів у системі підпорядкована закону Гука, а демпфіруюча сила, що виникає під час руху, пропорційна першому рівнянню узагальненої швидкості (похідної за часом від узагальнених координат).

концепція

Лінійна система зазвичай є абстрактною моделлю вібрації реальної системи. Лінійна вібраційна система застосовує принцип суперпозиції, тобто якщо відгук системи є y1 під дією вхідного сигналу x1 та y2 під дією вхідного сигналу x2, тоді відповідь системи під дією вхідних даних x1 і x2 є y1+y2.

На основі принципу суперпозиції довільний вхідний сигнал можна розкласти на суму серії нескінченно малих імпульсів, а потім можна отримати загальний відгук системи. Суму гармонійних компонентів періодичного збудження можна розкласти на ряд гармонійних компонентів за допомогою перетворення Фур’є, і вплив кожної гармонійної складової на систему можна досліджувати окремо. Таким чином, характеристики відгуку лінійних систем із постійними параметрами можна описати за імпульсною характеристикою або частотною характеристикою.

Імпульсна характеристика відноситься до реакції системи на одиничний імпульс, який характеризує характеристики відгуку системи в часовій області. Частотна характеристика відноситься до характеристики відповіді системи на одиничний гармонічний вхід. Відповідність між двома визначається перетворенням Фур'є.

класифікація

Лінійну вібрацію можна розділити на лінійну вібрацію системи з одним ступенем свободи та лінійну вібрацію системи з кількома ступенями свободи.

(1) лінійна вібрація системи з одним ступенем свободи — це лінійна вібрація, положення якої можна визначити за допомогою узагальненої координати. Це найпростіша вібрація, з якої можна вивести багато основних понять і характеристик вібрації. Вона включає прості гармонійна вібрація, вільна вібрація, вібрація затухання та вимушена вібрація.

Проста гармонійна вібрація: зворотно-поступальний рух об’єкта поблизу його положення рівноваги за синусоїдальним законом під дією відновлюючої сили, пропорційної його зміщенню.

Згасаюча вібрація: вібрація, амплітуда якої постійно послаблюється через наявність тертя та діелектричного опору або іншого споживання енергії.

Вимушена вібрація: вібрація системи при постійному збудженні.

(2) лінійна вібрація системи з кількома ступенями свободи є коливанням лінійної системи з n≥2 ступенями свободи. Система з n ступенями свободи має n власних частот і n основних мод. Будь-яка конфігурація вібрації системи можна представити як лінійну комбінацію основних режимів. Тому метод суперпозиції основного режиму широко використовується в аналізі динамічного відгуку багатоступінчастих Таким чином, вимірювання та аналіз характеристик власної вібрації системи стає рутинним кроком у динамічному проектуванні системи. Динамічні характеристики систем з кількома степенями свободи також можуть бути описані частотними характеристиками. Оскільки існує функцією частотної характеристики між кожним входом і виходом, будується матриця частотної характеристики. Між частотною характеристикою та основним режимом існує певний зв’язок. Крива амплітудно-частотної характеристики Система з кількома свободами відрізняється від системи з однією свободою.

Лінійні коливання системи з одним ступенем свободи

Лінійна вібрація, у якій положення системи можна визначити за узагальненою координатою. Це найпростіша та найфундаментальніша вібрація, з якої можна вивести багато основних понять і характеристик вібрації. Вона включає просту гармонічну вібрацію, затухаючу вібрацію та вимушену вібрацію. .

Гармонійна вібрація

Під дією відновлюючої сили, пропорційної переміщенню, об’єкт здійснює зворотно-поступальний рух синусоїдальним способом поблизу свого положення рівноваги (МАЛ. 1). X представляє переміщення, а t представляє час. Математичний вираз цієї вібрації:

(1)Де A — максимальне значення зміщення x, яке називається амплітудою та представляє інтенсивність вібрації; Omega n — приріст амплітуди кута вібрації за секунду, що називається кутовою частотою або круговою частотою; це називається початковою фазою. У термінах f= n/2 кількість коливань за секунду називається частотою; зворотна до цього, T=1/f — це час, необхідний для одного циклу коливань, і це називається періодом. Амплітуда A, частота f (або кутова частота n), початкова фаза, відома як проста гармонічна вібрація трьох елементів.

ФІГ. 1 проста гармонічна крива коливань

Як показано на фіг. 2, простий гармонійний осцилятор утворюється зосередженою масою m, з’єднаною лінійною пружиною. Коли вібраційний зсув обчислюється від положення рівноваги, рівняння вібрації виглядає так:

Де – жорсткість пружини. Загальним розв’язком наведеного вище рівняння є (1).A і може бути визначена початковим положенням x0 і початковою швидкістю при t=0:

Але омега n визначається лише характеристиками самої системи m і k, незалежно від додаткових початкових умов, тому омега n також відома як власна частота.

ФІГ. 2 система з одним ступенем свободи

Для простого гармонічного осцилятора сума його кінетичної енергії та потенціальної енергії постійна, тобто повна механічна енергія системи зберігається. У процесі коливання кінетична енергія та потенціальна енергія постійно перетворюються одна в одну.

Гасіння вібрації

Вібрація, амплітуда якої постійно послаблюється через тертя та діелектричний опір або інше споживання енергії. Для мікровібрації швидкість, як правило, не дуже велика, а середній опір пропорційний швидкості в першому ступені, який можна записати як c є коефіцієнт демпфування. Тому рівняння коливань одного ступеня свободи з лінійним демпфуванням можна записати так:

(2)Де m =c/2m називається параметром демпфування, а загальний розв’язок формули (2) можна записати:

(3)Чисельне співвідношення між омега n і PI можна розділити на такі три випадки:

N > (у разі невеликого затухання) частинка, створена вібрацією затухання, рівняння вібрації виглядає так:

Його амплітуда зменшується з часом відповідно до експоненціального закону, показаного в рівнянні, як показано пунктирною лінією на ФІГ. 3. Строго кажучи, ця вібрація є аперіодичною, але частоту її піку можна визначити як:

Називається швидкістю зменшення амплітуди, де – період вібрації. Натуральний логарифм швидкості зменшення амплітуди називається логарифмом мінус швидкість (амплітуда). Очевидно, що = у цьому випадку дорівнює 2/1. Безпосередньо через експериментальна тестова дельта і, використовуючи наведену вище формулу, можна розрахувати c.

У цей час розв’язок рівняння (2) можна записати:

Разом із напрямком початкової швидкості її можна розділити на три випадки без вібрації, як показано на фіг. 4.

N < (у випадку великого затухання) розв’язок рівняння (2) показано у рівнянні (3). У цей момент система більше не вібрує.

Вимушена вібрація

Вібрація системи при постійному збудженні. Аналіз вібрації в основному досліджує реакцію системи на збудження. Періодичне збудження є типовим регулярним збудженням. Оскільки періодичне збудження завжди можна розкласти на суму кількох гармонійних збуджень, відповідно до принципу суперпозиції, лише необхідна відповідь системи на кожне гармонічне збудження. Під дією гармонічного збудження диференціальне рівняння руху демпфована система з одним ступенем свободи може бути записана:

Відповідь складається з двох частин. Одна частина — це реакція на затухаючу вібрацію, яка швидко зменшується з часом. Реакцію іншої частини вимушеної вібрації можна записати:

ФІГ. 3 крива затухаючої вібрації

ФІГ. 4 криві трьох початкових умов з критичним затуханням

Введіть

H /F0= h (), це відношення сталої амплітуди відгуку до амплітуди збудження, що характеризує амплітудно-частотні характеристики або функцію підсилення; біти для стійкого стану відгуку та стимулу фази, характеристики фазочастотних характеристик. Співвідношення між ними та частота збудження показана на фіг. 5 і ФІГ. 6.

Як видно з амплітудно-частотної кривої (рис. 5), у разі малого затухання амплітудно-частотна крива має один пік. Чим менше затухання, тим крутіший пік; частота, що відповідає піку, називається резонансною частотою системи. У разі малого затухання резонансна частота не сильно відрізняється від власної частоти. Коли частота збудження близька до власної частоти, амплітуда різко зростає. Це явище називається резонансом. Під час резонансу посилення системи є максимальним, тобто вимушена вібрація є найінтенсивнішою. ​​Тому, загалом, завжди намагайтеся уникати резонансу, якщо деякі інструменти та обладнання не використовують резонанс для досягнення великих вібрація.

ФІГ. 5 амплітудно-частотна крива

Як видно з частотно-фазової кривої (малюнок 6), незалежно від величини демпфування, в омега-нульовій різниці фаз біт = PI/2, ця характеристика може бути ефективно використана для вимірювання резонансу.

Окрім постійного збудження, системи іноді стикаються з нестаціонарним збудженням. Його можна грубо розділити на два типи: один — це раптовий вплив. Другий — тривалий ефект довільності. При нестаціонарному збудженні відповідь системи також є непостійним.

Потужним інструментом для аналізу нестаціонарної вібрації є метод імпульсної характеристики. Він описує динамічні характеристики системи з перехідною реакцією одиничного імпульсу на вході системи. Одиничний імпульс можна виразити як дельта-функцію. У техніці дельта функція часто визначається як:

Де 0- позначає точку на осі t, яка наближається до нуля зліва; 0 плюс – це точка, яка йде до 0 справа.

ФІГ. 6 фазна частотна крива

ФІГ. 7 будь-який вхід можна розглядати як суму серії імпульсних елементів

Система відповідає відгуку h(t), створеному одиничним імпульсом при t=0, який називається функцією імпульсного відгуку. Якщо припустити, що система нерухома перед імпульсом, h(t)=0 для t<0. функцію імпульсної характеристики системи, ми можемо знайти відповідь системи на будь-який вхідний сигнал x(t). На цьому етапі ви можете розглядати x(t) як суму серії імпульсних елементів (РИС. 7).Відповідь системи:

На основі принципу суперпозиції загальний відгук системи, що відповідає x(t), дорівнює:

Цей інтеграл називається інтегралом згортки або інтегралом суперпозиції.

Лінійні коливання системи з багатьма ступенями свободи

Коливання лінійної системи з n≥2 ступенями вільності.

На малюнку 8 показано дві прості резонансні підсистеми, з’єднані сполучною пружиною. Оскільки це система з двома ступенями свободи, для визначення її положення потрібні дві незалежні координати. У цій системі є дві власні частоти:

Кожна частота відповідає моді вібрації. Гармонічні осцилятори здійснюють гармонічні коливання однієї частоти, синхронно проходячи через положення рівноваги і синхронно досягаючи крайнього положення. У головному коливанні, що відповідає омега одиниці, x1 дорівнює x2; In основна вібрація, що відповідає омега омега два, омега омега один. У головній вібрації зміщення Співвідношення кожної маси зберігає певне співвідношення і утворює певний режим, який називається основним режимом або природним режимом. Ортогональність маси та жорсткості існує серед основних режимів, що відображає незалежність кожної вібрації. Власна частота та основний режим представляють властиві вібраційні характеристики системи з кількома ступенями свободи.

ФІГ. 8 система з кількома ступенями свободи

Система з n ступенів свободи має n власних частот і n основних мод. Будь-яку вібраційну конфігурацію системи можна представити як лінійну комбінацію основних мод. Тому метод суперпозиції основних мод широко використовується в аналізі динамічного відгуку багатьох Таким чином, вимірювання та аналіз природних вібраційних характеристик системи стає рутинним кроком у динамічному проектуванні системи.

Динамічні характеристики систем з кількома степенями свободи також можна описати частотними характеристиками. Оскільки між кожним входом і виходом існує функція частотної характеристики, будується матриця частотних характеристик. Крива амплітудно-частотної характеристики системи з кількома свободами відрізняється від системи єдиної свободи.

Еластомер вібрує

Наведена вище система з кількома ступенями свободи є приблизною механічною моделлю еластомеру. Еластомер має нескінченну кількість ступенів свободи. Між ними є кількісна різниця, але суттєвої різниці немає. Будь-який еластомер має нескінченну кількість власних частот і нескінченна кількість відповідних мод, і існує ортогональність між модами маси та жорсткості. Будь-яка коливальна конфігурація еластомер також можна представити як лінійну суперпозицію основних мод. Тому для аналізу динамічного відгуку еластомеру метод суперпозиції основної моди все ще застосовний (див. лінійну вібрацію еластомеру).

Візьмемо вібрацію струни. Припустимо, що тонка струна масою m на одиницю довжини, довжиною l, натягнута на обох кінцях, і натяг дорівнює T. У цей час власна частота струни визначається таким чином: рівняння:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Де – швидкість поширення поперечної хвилі вздовж напрямку струни. Власні частоти струн є кратними частоті основної частоти понад 2l. Ця ціла кратність призводить до приємної гармонічної структури. Загалом, немає таке ціле кратне співвідношення між власними частотами еластомеру.

Перші три режими натягнутої струни показані на фіг. 9. Є кілька вузлів на кривій основної моди. Під час основної вібрації вузли не вібрують. РИС. 10 показує кілька типових форм кругової пластини, що підтримується по колу, з деякими вузловими лініями, складеними з кіл і діаметрів.

Точне формулювання задачі про вібрацію еластомеру можна завершити як крайову задачу диференціальних рівнянь у частинних похідних. Однак точне рішення можна знайти лише в деяких найпростіших випадках, тому ми повинні вдатися до наближеного рішення для складного еластомеру вібраційна задача. Суть різних наближених розв'язків полягає в тому, щоб змінити нескінченне на кінцеве, тобто дискретизувати безкінечне систему з кількома ступенями свободи (безперервну систему) у скінченну систему з кількома ступенями свободи (дискретну систему). Існують два види методів дискретизації, які широко використовуються в інженерному аналізі: метод скінченних елементів і метод модального синтезу.

ФІГ. 9 режим рядка

ФІГ. 10 режим круглої пластини

Метод скінченних елементів — це композиційна структура, яка абстрагує складну структуру на скінченну кількість елементів і з’єднує їх у скінченній кількості вузлів. Кожна одиниця є еластомером; переміщення розподілу елемента виражається функцією інтерполяції зміщення вузлів. Тоді параметри розподілу кожного елемента концентруються на кожному вузлі в певному форматі, і виходить механічна модель дискретної системи.

Модальний синтез - це розкладання складної структури на кілька простіших підструктур. На основі розуміння вібраційних характеристик кожної підструктури підструктура синтезується в загальну структуру відповідно до умов координації на межі розділу та морфології вібрації загальної структура отримана за допомогою морфології вібрації кожної субструктури.

Ці два методи є різними та пов’язаними, і їх можна використовувати як еталон. Метод модального синтезу можна також ефективно поєднувати з експериментальними вимірюваннями для формування теоретичного та експериментального методу аналізу вібрації великих систем.