Rung động tuyến tính là gì?

Rung động tuyến tính: độ đàn hồi của các bộ phận trong hệ tuân theo định luật hooke và lực cản sinh ra trong quá trình chuyển động tỷ lệ thuận với phương trình thứ nhất của vận tốc tổng quát (đạo hàm thời gian của tọa độ tổng quát).

ý tưởng

Hệ thống tuyến tính thường là một mô hình trừu tượng về dao động của hệ thống thực. Hệ thống dao động tuyến tính áp dụng nguyên lý chồng chất, nghĩa là nếu đáp ứng của hệ thống là y1 dưới tác động của đầu vào x1 và y2 dưới tác động của đầu vào x2, thì đáp ứng của hệ thống dưới tác động của đầu vào x1 và x2 là y1+y2.

Trên cơ sở nguyên lý xếp chồng, một đầu vào tùy ý có thể được phân tách thành tổng của một chuỗi xung vô hạn, và sau đó có thể thu được đáp ứng tổng của hệ thống. Tổng các thành phần hài của một kích thích định kỳ có thể được mở rộng thành một chuỗi các thành phần hài bằng phép biến đổi Fourier và ảnh hưởng của từng thành phần hài lên hệ thống có thể được nghiên cứu riêng biệt. Do đó, đặc tính đáp ứng của hệ thống tuyến tính với các tham số không đổi có thể được mô tả bằng đáp ứng xung hoặc đáp ứng tần số.

Đáp ứng xung đề cập đến phản ứng của hệ thống với xung đơn vị, đặc trưng cho các đặc tính đáp ứng của hệ thống trong miền thời gian. Đáp ứng tần số đề cập đến đặc tính đáp ứng của hệ thống với đầu vào hài đơn vị. Sự tương ứng giữa hai yếu tố này được xác định bằng phép biến đổi Fourier.

phân loại

Dao động tuyến tính có thể được chia thành dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do và dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do.

(1) Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do là dao động tuyến tính mà vị trí của nó có thể được xác định bằng tọa độ tổng quát. Đây là dao động đơn giản nhất mà từ đó có thể rút ra nhiều khái niệm và đặc tính cơ bản của dao động. Nó bao gồm các dao động đơn giản dao động điều hòa, dao động tự do, dao động suy giảm và dao động cưỡng bức.

Dao động điều hòa đơn giản: chuyển động tịnh tiến của một vật ở gần vị trí cân bằng của nó theo định luật hình sin dưới tác dụng của một lực phục hồi tỉ lệ với độ dịch chuyển của nó.

Rung động tắt dần: Rung động có biên độ liên tục bị suy giảm do sự hiện diện của ma sát và điện trở hoặc sự tiêu thụ năng lượng khác.

Dao động cưỡng bức: dao động của hệ dưới tác dụng kích thích không đổi.

(2) dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do là dao động của hệ tuyến tính có n ≥2 bậc tự do. Một hệ có n bậc tự do có n tần số tự nhiên và n chế độ chính. Bất kỳ cấu hình rung nào của hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, phương pháp xếp chồng chế độ chính được sử dụng rộng rãi trong phân tích đáp ứng động của các hệ thống đa bậc. Theo cách này, việc đo và phân tích các đặc tính rung động tự nhiên của hệ thống hệ thống trở thành một bước thông thường trong thiết kế động của hệ thống. Các đặc tính động của hệ thống nhiều dof cũng có thể được mô tả bằng các đặc tính tần số. Vì có một hàm đặc tính tần số giữa mỗi đầu vào và đầu ra nên một ma trận đặc tính tần số được xây dựng. Có một mối quan hệ nhất định giữa đặc tính tần số và đặc tính chính chế độ. Đường cong đặc tính biên độ-tần số của hệ thống đa tự do khác với đường cong đặc tính của hệ thống tự do đơn.

Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do

Dao động tuyến tính trong đó vị trí của hệ có thể được xác định bằng tọa độ tổng quát. Đây là dao động đơn giản và cơ bản nhất mà từ đó có thể rút ra nhiều khái niệm và đặc tính cơ bản của dao động. Nó bao gồm dao động điều hòa đơn giản, dao động tắt dần và dao động cưỡng bức. .

Rung động điều hòa

Dưới tác dụng phục hồi lực tỉ lệ với độ dịch chuyển, vật chuyển động tịnh tiến theo hình sin gần vị trí cân bằng của nó (Hình 1). X biểu thị độ dịch chuyển và t biểu thị thời gian. Biểu thức toán học của rung động này là:

(1)Trong đó A là giá trị lớn nhất của độ dịch chuyển x, được gọi là biên độ và biểu thị cường độ rung; Omega n là biên độ Gia tăng góc của rung động mỗi giây, được gọi là tần số góc hoặc tần số tròn; Đây là được gọi là pha ban đầu. Theo f= n/2, số dao động trong một giây được gọi là tần số; Nghịch đảo của số này, T=1/f, là thời gian cần thiết để dao động trong một chu kỳ, và đó được gọi là thời kỳ. Biên độ A, tần số f (hoặc tần số góc n), pha ban đầu, được gọi là dao động điều hòa đơn giản ba yếu tố.

QUẢ SUNG. 1 đường cong dao động điều hòa đơn giản

Như thể hiện trên hình. 2, một bộ dao động điều hòa đơn giản được hình thành bởi khối lượng tập trung m được nối với nhau bằng một lò xo tuyến tính. Khi độ dịch chuyển dao động được tính từ vị trí cân bằng, phương trình dao động là:

Độ cứng của lò xo ở đâu. Nghiệm tổng quát của phương trình trên là (1).A và có thể được xác định bởi vị trí ban đầu x0 và vận tốc ban đầu tại t=0:

Nhưng omega n chỉ được xác định bởi các đặc tính của bản thân hệ m và k, không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu bổ sung nên omega n còn được gọi là tần số tự nhiên.

QUẢ SUNG. Hệ 2 bậc tự do

Đối với một bộ dao động điều hòa đơn giản, tổng động năng và thế năng của nó không đổi, tức là tổng cơ năng của hệ được bảo toàn. Trong quá trình dao động, động năng và thế năng không ngừng biến đổi lẫn nhau.

Độ rung giảm chấn

Một rung động có biên độ liên tục bị suy giảm do ma sát và điện trở hoặc tiêu thụ năng lượng khác. Đối với rung động vi mô, vận tốc thường không lớn lắm và điện trở trung bình tỷ lệ thuận với vận tốc với lũy thừa thứ nhất, có thể viết là c là hệ số giảm chấn. Do đó, phương trình dao động một bậc tự do với giảm chấn tuyến tính có thể được viết là:

(2)Trong đó, m =c/2m được gọi là tham số giảm chấn, và nghiệm tổng quát của công thức (2) có thể viết:

(3)Mối quan hệ số học giữa omega n và PI có thể được chia thành ba trường hợp sau:

N > (trong trường hợp giảm chấn nhỏ) hạt tạo ra dao động suy giảm, phương trình dao động là:

Biên độ của nó giảm theo thời gian theo định luật hàm mũ được thể hiện trong phương trình, như được thể hiện trên đường chấm trên hình. 3. Nói một cách chính xác, sự rung động này là không tuần hoàn, nhưng tần số cực đại của nó có thể được định nghĩa là:

Được gọi là tốc độ giảm biên độ, trong đó là chu kỳ dao động. Logarit tự nhiên của tốc độ giảm biên độ được gọi là tốc độ logarit trừ (biên độ). Rõ ràng, =, trong trường hợp này, bằng 2/1. Trực tiếp thông qua thử nghiệm delta và sử dụng công thức trên có thể tính được c.

Lúc này, nghiệm của phương trình (2) có thể viết:

Cùng với hướng của vận tốc ban đầu, nó có thể được chia thành ba trường hợp không dao động như trên Fig. 4.

N < (trong trường hợp lực cản lớn), nghiệm của phương trình (2) được thể hiện ở phương trình (3). Lúc này, hệ không còn dao động nữa.

Rung cưỡng bức

Rung động của một hệ thống dưới sự kích thích không đổi. Phân tích rung động chủ yếu nghiên cứu phản ứng của hệ thống đối với sự kích thích. Kích thích định kỳ là một kích thích đều đặn điển hình. Vì kích thích định kỳ luôn có thể được phân tách thành tổng của một số kích thích hài, theo nguyên tắc chồng chất, chỉ cần phải có đáp ứng của hệ thống đối với mỗi kích thích điều hòa. Dưới tác dụng của kích thích điều hòa, phương trình vi phân chuyển động của hệ giảm chấn một bậc tự do có thể được viết:

Câu trả lời là tổng của hai phần. Một phần là phản ứng của dao động tắt dần, nó suy giảm nhanh chóng theo thời gian. Phần còn lại là phản ứng của dao động cưỡng bức có thể viết:

QUẢ SUNG. 3 đường cong rung giảm chấn

QUẢ SUNG. 4 đường cong của ba điều kiện ban đầu có độ giảm chấn tới hạn

Nhập vào

H /F0= h (), là tỷ số giữa biên độ đáp ứng ổn định với biên độ kích thích, đặc trưng cho các đặc tính biên độ-tần số hoặc hàm khuếch đại;Các bit dành cho đáp ứng trạng thái ổn định và khuyến khích pha, mô tả đặc tính tần số pha. Mối quan hệ giữa chúng và tần số kích thích được thể hiện trên hình. 5 và HÌNH. 6.

Như có thể thấy từ đường cong biên độ-tần số (Hình 5), trong trường hợp giảm chấn nhỏ, đường cong biên độ-tần số có một đỉnh duy nhất. Giảm chấn càng nhỏ thì đỉnh càng dốc; Tần số tương ứng với đỉnh là gọi là tần số cộng hưởng của hệ thống. Trong trường hợp giảm chấn nhỏ, tần số cộng hưởng không khác nhiều so với tần số tự nhiên. Khi tần số kích thích gần với tần số tự nhiên, biên độ tăng mạnh. Hiện tượng này được gọi là cộng hưởng. Khi cộng hưởng, mức tăng của hệ thống được tối đa hóa, tức là độ rung cưỡng bức có cường độ mạnh nhất. Vì vậy, nói chung, luôn cố gắng tránh cộng hưởng, trừ khi một số dụng cụ và thiết bị sử dụng cộng hưởng để đạt được thành tích lớn rung động.

QUẢ SUNG. Đường cong tần số 5 biên độ

Có thể thấy từ đường cong tần số pha (hình 6), bất kể kích thước giảm chấn, trong các bit lệch pha omega 0 = PI / 2, đặc tính này có thể được sử dụng một cách hiệu quả trong việc đo cộng hưởng.

Ngoài kích thích ổn định, hệ thống đôi khi gặp phải kích thích không ổn định. Nó có thể được chia đại khái thành hai loại: một là tác động đột ngột. Loại thứ hai là tác động lâu dài của sự tùy tiện. Dưới sự kích thích không ổn định, phản ứng của hệ thống cũng không ổn định.

Một công cụ mạnh mẽ để phân tích rung động không ổn định là phương pháp đáp ứng xung. Nó mô tả các đặc tính động của hệ thống với đáp ứng nhất thời của đầu vào xung đơn vị của hệ thống. Xung đơn vị có thể được biểu thị dưới dạng hàm delta. Trong kỹ thuật, delta hàm thường được định nghĩa là:

Trong đó 0- đại diện cho điểm trên trục t tiến tới 0 từ bên trái; 0 cộng là điểm tiến về 0 từ bên phải.

QUẢ SUNG. đường cong tần số 6 pha

QUẢ SUNG. 7 bất kỳ đầu vào nào cũng có thể được coi là tổng của một chuỗi các phần tử xung

Hệ thống tương ứng với đáp ứng h(t) được tạo ra bởi xung đơn vị tại t=0, được gọi là hàm đáp ứng xung. Giả sử rằng hệ thống đứng yên trước xung, h(t)=0 với t<0.Biết hàm đáp ứng xung của hệ thống, chúng ta có thể tìm thấy phản hồi của hệ thống với bất kỳ đầu vào x(t) nào. Tại thời điểm này, bạn có thể coi x(t) là tổng của một chuỗi các phần tử xung (Hình 7) .Phản hồi của hệ thống là:

Dựa trên nguyên lý xếp chồng, đáp ứng tổng của hệ tương ứng với x(t) là:

Tích phân này được gọi là tích phân tích chập hay tích phân chồng chất.

Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do

Dao động của hệ tuyến tính có n ≥2 bậc tự do.

Hình 8 cho thấy hai hệ thống con cộng hưởng đơn giản được kết nối bằng lò xo ghép. Vì là hệ hai bậc tự do nên cần có hai tọa độ độc lập để xác định vị trí của nó. Có hai tần số tự nhiên trong hệ thống này:

Mỗi tần số tương ứng với một chế độ rung. Các bộ dao động điều hòa thực hiện các dao động điều hòa có cùng tần số, đồng bộ đi qua vị trí cân bằng và đồng bộ đạt đến vị trí cực trị. Trong dao động chính tương ứng với omega one, x1 bằng x2; rung động chính tương ứng với omega omega hai, omega omega one. Trong rung động chính, tỷ lệ dịch chuyển của mỗi khối lượng giữ một mối quan hệ nhất định và hình thành một chế độ nhất định, được gọi là chế độ chính hoặc chế độ tự nhiên. Tính trực giao của khối lượng và độ cứng tồn tại giữa các chế độ chính, phản ánh tính độc lập của từng rung động. Tần số riêng và chế độ chính thể hiện các đặc tính rung vốn có của hệ thống nhiều bậc tự do.

QUẢ SUNG. Hệ 8 có nhiều bậc tự do

Một hệ thống có n bậc tự do có n tần số riêng và n chế độ chính. Bất kỳ cấu hình rung nào của hệ thống đều có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, phương pháp xếp chồng chế độ chính được sử dụng rộng rãi trong phân tích đáp ứng động của nhiều chế độ. -dof systems.Theo cách này, việc đo và phân tích các đặc tính rung động tự nhiên của hệ thống trở thành một bước thường xuyên trong thiết kế động của hệ thống.

Các đặc tính động của hệ thống nhiều dof cũng có thể được mô tả bằng các đặc tính tần số. Vì có một hàm đặc tính tần số giữa mỗi đầu vào và đầu ra nên ma trận đặc tính tần số được xây dựng. Đường cong đặc tính biên độ-tần số của hệ thống đa tự do là khác nhau khỏi hệ thống tự do đơn lẻ.

Chất đàn hồi rung

Hệ thống nhiều bậc tự do ở trên là mô hình cơ học gần đúng của chất đàn hồi. Chất đàn hồi có vô số bậc tự do. Có sự khác biệt về số lượng nhưng không có sự khác biệt cơ bản giữa hai chất đàn hồi. Bất kỳ chất đàn hồi nào cũng có vô số tần số tự nhiên và vô số chế độ tương ứng và có tính trực giao giữa các chế độ khối lượng và độ cứng. Bất kỳ cấu hình rung động nào của chất đàn hồi cũng có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, để phân tích phản ứng động của chất đàn hồi, phương pháp xếp chồng của chế độ chính vẫn được áp dụng (xem rung động tuyến tính của chất đàn hồi).

Lấy độ dao động của một sợi dây. Giả sử một sợi dây mỏng có khối lượng m trên một đơn vị chiều dài, dài l, bị căng ở cả hai đầu và lực căng là T. Lúc này, tần số tự nhiên của sợi dây được xác định bởi công thức sau phương trình:

F =na/2l (n= 1,2,3…).

Trong đó, là tốc độ truyền của sóng ngang dọc theo hướng của dây. Tần số tự nhiên của dây là bội số của tần số cơ bản trên 2l. Sự bội số nguyên này dẫn đến một cấu trúc hài hòa dễ chịu. Nói chung, không có mối quan hệ bội số nguyên như vậy giữa các tần số tự nhiên của chất đàn hồi.

Ba dạng đầu tiên của dây căng được thể hiện trên hình. 9. Có một số nút trên đường cong chế độ chính. Trong rung động chính, các nút không rung.Hình. 10 thể hiện một số dạng điển hình của tấm tròn được đỡ theo chu vi với một số đường nút bao gồm các đường tròn và đường kính.

Công thức chính xác của bài toán dao động của chất đàn hồi có thể được kết luận là bài toán giá trị biên của phương trình vi phân từng phần. Tuy nhiên, lời giải chính xác chỉ có thể tìm được trong một số trường hợp đơn giản nhất nên chúng ta phải dùng đến lời giải gần đúng cho chất đàn hồi phức tạp. vấn đề rung động. Bản chất của các giải pháp gần đúng khác nhau là thay đổi vô hạn thành hữu hạn, nghĩa là rời rạc hóa hệ thống nhiều bậc tự do không có nhánh (hệ thống liên tục) thành một hệ thống nhiều bậc tự do hữu hạn (hệ thống rời rạc) .Có hai loại của các phương pháp rời rạc hóa được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật: phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp tổng hợp phương thức.

QUẢ SUNG. 9 chế độ của chuỗi

QUẢ SUNG. 10 chế độ của tấm tròn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một cấu trúc tổng hợp trừu tượng hóa một cấu trúc phức tạp thành một số phần tử hữu hạn và kết nối chúng tại một số nút hữu hạn. Mỗi đơn vị là một chất đàn hồi; Sự dịch chuyển phân bố của phần tử được biểu thị bằng hàm nội suy của dịch chuyển nút. Sau đó, các tham số phân phối của từng phần tử được tập trung đến từng nút theo một định dạng nhất định và thu được mô hình cơ học của hệ thống rời rạc.

Tổng hợp phương thức là sự phân hủy một cấu trúc phức tạp thành nhiều cấu trúc con đơn giản hơn. Trên cơ sở hiểu biết các đặc tính rung động của từng cấu trúc con, cấu trúc con được tổng hợp thành một cấu trúc chung theo các điều kiện phối hợp trên giao diện và hình thái rung động của tổng thể cấu trúc thu được bằng cách sử dụng hình thái rung động của từng cấu trúc phụ.

Hai phương pháp này khác nhau và có liên quan với nhau và có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo. Phương pháp tổng hợp phương thức cũng có thể được kết hợp hiệu quả với phép đo thực nghiệm để hình thành phương pháp phân tích lý thuyết và thực nghiệm về độ rung của các hệ thống lớn.