Rung động tuyến tính là gì?

Rung động tuyến tính: Độ co giãn của các thành phần trong hệ thống phải tuân theo định luật của Hooke và lực giảm xóc được tạo ra trong quá trình chuyển động tỷ lệ thuận với phương trình đầu tiên của vận tốc tổng quát (dẫn xuất thời gian của tọa độ tổng quát).

ý tưởng

Hệ thống tuyến tính thường là một mô hình trừu tượng của sự rung động của hệ thống thực. Hệ thống rung tuyến tính áp dụng nguyên tắc chồng chất, nghĩa là, nếu phản ứng của hệ thống là Y1 theo tác động của đầu vào x1 và Y2 theo tác động của đầu vào x2, Sau đó, phản ứng của hệ thống theo tác động của đầu vào x1 và x2 là Y1+Y2.

Trên cơ sở nguyên tắc chồng chất, một đầu vào tùy ý có thể được phân tách thành tổng của một loạt các xung vô hạn, và sau đó tổng số phản ứng của hệ thống. một loạt các thành phần điều hòa bằng biến đổi Fourier và ảnh hưởng của từng thành phần điều hòa trên hệ thống có thể được nghiên cứu riêng Các tham số có thể được mô tả bằng phản ứng xung hoặc đáp ứng tần số.

Phản ứng xung động đề cập đến phản ứng của hệ thống đối với sự thúc đẩy của đơn vị, đặc trưng cho các đặc tính phản ứng của hệ thống trong miền thời gian. Phản hồi tần số đề cập đến đặc tính phản hồi của hệ thống với đầu vào điều hòa đơn vị. bởi biến đổi Fourier.

phân loại

Rung tuyến tính có thể được chia thành rung động tuyến tính của hệ thống tự do một cấp độ và rung động tuyến tính của hệ thống đa độ tự do.

. Rung sóng hài, rung động tự do, độ rung suy giảm và rung động cưỡng bức.

Rung hài đơn giản: Chuyển động đối ứng của một đối tượng trong vùng lân cận của vị trí cân bằng của nó theo một định luật hình sin theo tác động của một lực phục hồi tỷ lệ thuận với sự dịch chuyển của nó.

Rung độ ẩm: Rung có biên độ liên tục bị suy giảm do sự hiện diện của ma sát và điện môi hoặc tiêu thụ năng lượng khác.

Buộc rung động: Rung của một hệ thống dưới sự kích thích liên tục.

(2) Độ rung tuyến tính của hệ thống tự do nhiều độ của hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng sự kết hợp tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, phương pháp Super trùng chế độ chính được sử dụng rộng rãi trong phân tích phản ứng động của các hệ thống đa DOF. Theo cách này, Đo lường và phân tích các đặc tính rung tự nhiên của hệ thống trở thành một bước định kỳ trong thiết kế động của hệ thống. Các đặc tính động của các hệ thống đa DOF cũng có thể được mô tả bằng các đặc tính tần số. đầu ra, ma trận đặc tính tần số được xây dựng. Có mối quan hệ xác định giữa đặc tính tần số và chế độ chính. Đường cong đặc trưng tần số biên độ của hệ thống đa tự do khác với hệ thống tự do đơn.

Rung động tuyến tính của một mức độ duy nhất của hệ thống tự do

Một rung động tuyến tính trong đó vị trí của một hệ thống có thể được xác định bởi một tọa độ tổng quát. Đó là độ rung đơn giản và cơ bản nhất mà từ đó nhiều khái niệm và đặc điểm cơ bản của rung động có thể được dẫn xuất. .

Rung hài hòa

Dưới hành động khôi phục lực tỷ lệ thuận với sự dịch chuyển, đối tượng đáp lại theo cách hình sin gần vị trí cân bằng của nó (Hình 1) .x đại diện cho sự dịch chuyển và T biểu thị thời gian. Biểu thức toán học của rung động này là:

(1)Trong đó A là giá trị tối đa của chuyển vị X, được gọi là biên độ và biểu thị cường độ của rung động; omega n là sự gia tăng góc biên độ của rung mỗi giây, được gọi là tần số góc hoặc tần số tròn; được gọi là pha ban đầu. Các thuật ngữ của f = n/2, số lượng dao động mỗi giây được gọi là tần số; nghịch đảo của điều này, t = 1/f, là thời gian cần thiết để mất Dao động một chu kỳ và được gọi là khoảng thời gian.

QUẢ SUNG. 1 đường cong rung hài đơn giản

Như thể hiện trong hình. 2, một bộ dao động điều hòa đơn giản được hình thành bởi khối lượng tập trung m được kết nối bởi một lò xo tuyến tính. Khi sự dịch chuyển rung được tính từ vị trí cân bằng, phương trình rung là:

Độ cứng của lò xo ở đâu. Giải pháp chung cho phương trình trên là (1) .a và có thể được xác định bởi vị trí ban đầu x0 và vận tốc ban đầu tại t = 0:

Nhưng Omega N chỉ được xác định bởi các đặc điểm của chính hệ thống M và K, không phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu bổ sung, do đó Omega N còn được gọi là tần số tự nhiên.

QUẢ SUNG. 2 mức độ tự do của hệ thống tự do

Đối với một bộ tạo dao động hài đơn giản, tổng năng lượng và năng lượng tiềm năng của nó là không đổi, nghĩa là, tổng năng lượng cơ học của hệ thống được bảo tồn. Trong quá trình rung động, động năng và năng lượng tiềm năng liên tục biến đổi thành nhau.

Sự rung động giảm xóc

Một rung động có biên độ liên tục bị suy giảm do ma sát và điện môi hoặc mức tiêu thụ năng lượng khác. Đối với rung động vi mô, vận tốc nói chung không lớn và điện trở trung bình tỷ lệ thuận với vận tốc với công suất đầu tiên, có thể được viết như C là C là Hệ số giảm xóc. Do đó, phương trình rung của một mức độ tự do với giảm xóc tuyến tính có thể được viết là:

(2)Trong đó, m = c/2m được gọi là tham số giảm xóc và. Giải pháp chung của công thức (2) có thể được viết:

(3)Mối quan hệ số giữa Omega N và PI có thể được chia thành ba trường hợp sau:

N> (trong trường hợp giảm xóc nhỏ) tạo ra độ rung suy giảm, phương trình rung là:

Biên độ của nó giảm theo thời gian theo định luật theo cấp số nhân được thể hiện trong phương trình, như thể hiện trong đường chấm chấm trong hình. 3. Nói một cách bắt buộc, độ rung này là aperiodic, nhưng tần số của cực đại có thể được định nghĩa là:

Được gọi là tốc độ giảm biên độ, trong đó thời gian rung động. Logarit tự nhiên của tốc độ giảm biên độ được gọi là tỷ lệ logarit (biên độ). Thử nghiệm thử nghiệm Delta và, sử dụng công thức trên có thể được tính toán c.

Tại thời điểm này, giải pháp của phương trình (2) có thể được viết:

Cùng với hướng vận tốc ban đầu, nó có thể được chia thành ba trường hợp không hiệu chỉnh như trong hình. 4.

N <(trong trường hợp giảm xóc lớn), giải pháp cho phương trình (2) được hiển thị trong phương trình (3). Tại điểm này, hệ thống không còn rung động.

Buộc rung động

Sự rung động của một hệ thống dưới sự kích thích liên tục. Phân tích hiệu chỉnh chủ yếu nghiên cứu phản ứng của hệ thống đối với kích thích. Kích thích là một kích thích thường xuyên điển hình. Phản ứng của hệ thống đối với mỗi kích thích hài hòa là bắt buộc. Biểu hành của kích thích hài hòa, phương trình vi phân của chuyển động của một mức độ tự do hệ thống làm ẩm có thể được viết:

Phản hồi là tổng của hai phần. Một phần là phản ứng của rung động ẩm, phân rã nhanh chóng theo thời gian. Phản ứng của một phần khác của rung động bắt buộc có thể được viết:

QUẢ SUNG. 3 đường cong rung ẩm

QUẢ SUNG. 4 đường cong của ba điều kiện ban đầu với giảm xóc tới hạn

Gõ vào

H /f0 = h (), là tỷ lệ biên độ đáp ứng ổn định với biên độ kích thích, đặc trưng cho các đặc tính tần số biên độ hoặc chức năng đạt được; Tần số kích thích được hiển thị trong hình. 5 và hình. 6.

Như có thể thấy từ đường cong tần số biên độ (Hình 5), trong trường hợp giảm xóc nhỏ, đường cong tần số biên độ có một cực đại. được gọi là tần số cộng hưởng của hệ thống. Trong trường hợp giảm xóc nhỏ, tần số cộng hưởng không khác nhiều so với tần số tự nhiên. Khi tần số kích thích gần với tần số tự nhiên, biên độ tăng sắc sảo. Hiện tượng này được gọi là cộng hưởng. Sự cộng hưởng, mức tăng của hệ thống được tối đa hóa, nghĩa là rung động cưỡng bức là dữ dội nhất. Do đó, nói chung, luôn cố gắng để tránh cộng hưởng, trừ khi một số công cụ và thiết bị sử dụng cộng hưởng để đạt được rung động.

QUẢ SUNG. 5 đường cong tần số biên độ

Có thể nhìn thấy từ đường cong tần số pha (Hình 6), bất kể kích thước giảm xóc, trong các bit chênh lệch pha Omega Zero = PI / 2, đặc tính này có thể được sử dụng hiệu quả để đo cộng hưởng.

Ngoài sự kích thích ổn định, các hệ thống đôi khi gặp phải sự kích thích không ổn định. Nó có thể được chia thành hai loại: một là tác động đột ngột. Thứ hai là tác động lâu dài của sự độc đoán.

Một công cụ mạnh mẽ để phân tích độ rung không ổn định là phương pháp đáp ứng xung. Nó mô tả các đặc tính động của hệ thống với phản ứng thoáng qua của đầu vào xung của đơn vị chức năng thường được định nghĩa là:

Trong đó 0- đại diện cho điểm trên trục T tiếp cận số 0 từ bên trái; 0 Plus là điểm đi đến 0 từ bên phải.

QUẢ SUNG. 6 đường cong tần số pha

QUẢ SUNG. 7 Bất kỳ đầu vào nào cũng có thể được coi là tổng của một loạt các yếu tố xung

Hệ thống tương ứng với đáp ứng h (t) được tạo bởi xung đơn vị tại t = 0, được gọi là hàm phản hồi xung Chức năng đáp ứng xung của hệ thống, chúng ta có thể tìm thấy phản hồi của hệ thống đối với bất kỳ đầu vào x (t) đầu vào nào. .The Phản hồi của hệ thống là:

Dựa trên nguyên tắc chồng chất, tổng phản ứng của hệ thống tương ứng với x (t) là:

Tích phân này được gọi là tích phân tích hợp hoặc tích phân chồng chất.

Rung động tuyến tính của hệ thống đa độ tự do

Rung của một hệ thống tuyến tính với N≥2 độ tự do.

Hình 8 cho thấy hai hệ thống con cộng hưởng đơn giản được kết nối bởi một lò xo khớp nối. Bởi vì nó là một hệ thống hai độ tự do, hai tọa độ độc lập là cần thiết để xác định vị trí của nó. Có hai tần số tự nhiên trong hệ thống này:

Mỗi tần số tương ứng với một chế độ rung. Các bộ tạo dao động hài hòa thực hiện các dao động hài hòa có cùng tần số, đi qua vị trí cân bằng và đạt đến vị trí cực đoan. độ rung chính tương ứng với Omega Omega Two, Omega Omega One. Trong rung động chính, sự dịch chuyển tỷ lệ của mỗi khối giữ một mối quan hệ nhất định và tạo thành một chế độ nhất định, được gọi là chế độ chính hoặc chế độ tự nhiên. Tính chỉnh hình của khối lượng và độ cứng tồn tại giữa các chế độ chính, phản ánh tính độc lập của mỗi độ rung. Chế độ đại diện cho các đặc điểm rung động vốn có của hệ thống tự do đa độ.

QUẢ SUNG. 8 Hệ thống có nhiều mức độ tự do

Một hệ thống độ tự do N có n tần số tự nhiên và n chế độ chính. Bất kỳ cấu hình rung của hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các chế độ chính. -dof hệ thống. Theo cách này, việc đo lường và phân tích các đặc tính rung tự nhiên của hệ thống trở thành một bước thường xuyên trong thiết kế động của hệ thống.

Các đặc tính động của các hệ thống đa DOF cũng có thể được mô tả bằng các đặc tính tần số. từ hệ thống tự do đơn.

Các chất đàn hồi rung động

Mức độ tự do ở trên là một mô hình cơ học gần đúng của chất đàn hồi. Một số lượng vô hạn của các chế độ tương ứng, và có tính trực giao giữa các chế độ khối lượng và độ cứng. Bất kỳ cấu hình rung động nào của chất đàn hồi cũng có thể là Được biểu thị dưới dạng chồng chất tuyến tính của các chế độ chính. Do đó, để phân tích phản ứng động của chất đàn hồi, phương pháp chồng chất của chế độ chính vẫn được áp dụng (xem rung động tuyến tính của chất đàn hồi).

Lấy độ rung của một chuỗi.let's nói rằng một chuỗi mỏng gồm m khối m trên mỗi đơn vị chiều dài, dài l, được căng ở cả hai đầu và độ căng là T.at lần này, tần số tự nhiên của chuỗi được xác định bởi phần sau Phương trình:

F = Na/2L (n = 1,2,3,).

Trong đó, tốc độ lan truyền của sóng ngang dọc theo hướng của chuỗi. Các tần số tự nhiên của các chuỗi xảy ra là bội số của tần số cơ bản trên 2L. Số nguyên như vậy nhiều mối quan hệ giữa các tần số tự nhiên của chất đàn hồi.

Ba chế độ đầu tiên của chuỗi căng được hiển thị trong hình. 9. Có một số nút trên đường cong chế độ chính. Trong độ rung chính, các nút không rung.fig. 10 cho thấy một số chế độ điển hình của tấm tròn được hỗ trợ theo chu vi với một số đường nút bao gồm các vòng tròn và đường kính.

Công thức chính xác của vấn đề rung động đàn hồi có thể được kết luận là vấn đề giá trị biên của các phương trình vi phân một phần. Tuy nhiên, giải pháp chính xác chỉ có thể được tìm thấy trong một số trường hợp đơn giản nhất, vì vậy chúng tôi phải dùng đến giải pháp gần đúng cho chất đàn hồi phức tạp Vấn đề rung động. Bản chất của các giải pháp gần đúng khác nhau là thay đổi vô hạn thành hữu hạn, nghĩa là phân tách hệ thống tự do đa độ không có chi (liên tục hệ thống) vào hệ thống tự do đa độ hữu hạn (hệ thống rời rạc). Có hai loại phương pháp rời rạc được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật: phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp tổng hợp phương thức.

QUẢ SUNG. 9 Chế độ chuỗi

QUẢ SUNG. 10 chế độ của tấm tròn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một cấu trúc tổng hợp, tóm tắt cấu trúc phức tạp thành một số lượng hữu hạn các phần tử và kết nối chúng ở số lượng nút hữu hạn. Trực tiếp đơn vị là một chất đàn hồi; sự dịch chuyển phân phối của phần tử được biểu thị bằng chức năng nội suy của chuyển vị nút. Các tham số phân phối của từng phần tử được cô đặc vào từng nút ở một định dạng nhất định và mô hình cơ học của hệ thống riêng biệt thu được.

Tổng hợp phương thức là sự phân hủy của cấu trúc phức tạp thành một số cấu trúc đơn giản hơn. Trên cơ sở hiểu các đặc tính rung của từng cấu trúc, cấu trúc phụ được tổng hợp thành một cấu trúc chung theo các điều kiện phối hợp trên giao diện và hình thái rung động của chung Cấu trúc có được bằng cách sử dụng hình thái rung của từng cấu trúc.

Hai phương pháp khác nhau và liên quan, và có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo. Phương pháp tổng hợp phương thức cũng có thể được kết hợp một cách hiệu quả với phép đo thử nghiệm để tạo thành một phương pháp phân tích lý thuyết và thử nghiệm cho sự rung động của các hệ thống lớn.